장음표시 사용
451쪽
GEOMETRARUM. 439pason 6 et 4 consonantiam diapente ; et denique, AP. XVII.
et 3 consonantiam diatessaron: Vocari Solet haec a ..ia proportio harmonica.' Quod si ita sit, cur non ' CT etiam in his numeris 6 3 2, vel in his, 42.l2 7, quae cadunt sub eandem definitionem, eaedem sunt consonantiae Quare autem facit ratio G ad 3 vel totum quodlibet ad suum dimidium, consonantiam diapason, nescivit Clarius Id enim primus omnium docuit Galilaeus, postquam Clavius mortuus esset ugae merae sunt homine mathematico indignae. Hactenus de principiis Euclidis Sequitur principium aliud, quibus utuntur hodie geometrae, tale.
SI quadrati duo latera angulum rectum continentia divisa fuerint, utrumque in quotlibet partes magnitudine et numero aequales, numerusque artium unius lateris multiplicatus sit per numerum partium alterius id est, si duo illi numeri aequales multiplicentur inter se factus erit numerus quadratorum, quorum latera sunt singulae partes lateris totius quadrati. Exempli gratia si quadrati latus sit longum I 00 pedes, multiplicentur autem I 00 pedes per numerum 100, unde factus erit decies mille pedes erunt, ut illi assumunt, illi decies mille pedes totidem quadrata, quorum uniuscujusque latus sit unus pes et decies mille pedes longitudine simul Sumptos aequales esse toti quadrato. Similiter
452쪽
440 DE PRINcIPII ET RATIOCINATIONEOAP. xviii. multiplicatis 1000 pedibus per numerum i , ori- Doridie. tu cubus a toto latere. lotuerunt eadem rationis, num 'κ so latere quadrati bifariam, ex multiplicatioram inra pronuntiare quatuor semilatera aequalia me
Haec tu absurdiora esse putabis, quam ut qui quam ita computaret. Sed ita est nec moniti, ab illa computatione desistunt. Ita computavit geometra quidam, qui propter librum quem inscripsit Mesolabium, celebris est: monitusque erroriS, spondit ita se computasse sicut computarunt geometrae omnes qui fuerunt, qui sunt, et qui post erunt aliis in annis. ihil ergo hic calumniae est. Quid autem illos a sensu communi seducere inn- tum potuit rDecepit illos, primo, idea quadrati numeri qualis pingitur, in qua latera multiplicata in se faciunt
Secundo, decepit illos, quod crediderint eandem
esse rem, multiplicare partes inter se et ducere unum latus in alterum:
juxta ideam quadrati geometrici talis, ubi tria latera multiplicata per 3 sequalia esse volunt ipsi quadrato. Tertio decepit illos authoritas Αrchimedis, cujus hominis propter tu- pendissimum ingenium mentionem hoc loco invitus facio), qui magnitudinem circumferentis circuli per hujus modi
multiplicationem demonstrare conatu est. Deinde, saeculo proxime superiore in calculo ubtensarum eadem methodo usus est opernicus et Regiomontanus in doctrina triangulorum, et postremo lavius in tabulis condendis sinuum tangentium, et Secantium.
453쪽
GEOMETRARUM. 44 IEx hoc errore nascitur alius, nempe radicem AP. VIII. numeri quadrati esse quadrati geometrici latus. D. riille. Siquidem enim multiplicatio numeri producat qua 'R 'ν dratum geometricum, necessario sequetur radicem numeri facti esse ipsum latus on videbant enim, in numeris quadratum numerum et radicem ejus esse ambo earundem rerum numeros et proinde radicem numeri quotcunque quadratorum numerum esse etiam quadratorum, quemadmodum radix centum hominum sunt decem homines.
Ρostremo decepit illos, quod eandem rem esse putarint latus quadrati geometrici et radicem qu drati numeri. Itaque regulam algebrae, quae regula est pure arithmetica, ad geometriam imperite applicantes, ex ingeniosissima reddiderunt absu dissimam, pro linea, quadrato, et cubo, unitatem promiscue supputantes. Exempli gratia cumscripsisset quidam, si AD ponatur dupla DV et a tota AV detrahatur Α media proportionalis inter
ipsas Amet V, quae re vlinquitur VS, erit major '- duarum mediarum proportionalium inter ipsas AD, DV ad hoc confutandum sic ratiocinatus estor fessor quidam geometriae publicus:
Ρonatur DV aequalis I. Amerita. Ponatur AS inedia proportionalis inter AD DV et detrahatur Relinquetur S. Ergo S aequalis est 3 minus 2. Quae multiplicata in se cubice facit 45 minus VI 682, quod minus est quam quatuor cubi a DV: quia 4 minus 168l aequales sunt quatuor cubis a DV. 'Cum ergo cubus ab AD sit 8, erit cubus ab S
454쪽
442 DE PRINcIPII ET RATIOCINATIONEOAP. Vari minor dimidio cubo ad D, id est, minor majorem indido mediarum inter et DV. 'Νon disputo hoc loco an major mediarum duarum revera sit VS, sed specimen exhibeo algebrae hodie se per quam V est linea Ici et per comsequens A est 2 lineam; et per consequens, Secundum hujusmodi algebristas, cubus ΑD aequalis est 8 lineisu et 45 quadrata a DV minus l68 aequalia quatuor lineis, nempe quadruplus rectae DV. Reputa tecum an haec non sint magis absurda, quam ulla quae inveniri possunt in ethicis aut poli licis Hatonis aut Aristotelis. Regula autem algebrae talis est theorema quod quaeritur, Supponatur verum esse vel quod faciendum est, supponatur factum. Ex eo supposito, assumptis aliis cognitis, inferatur conclusio, et ex his aliae conclusiones, donec veniatur ad principia, aut ad Vera aliunde cognita, quot sussiciunt ad suppositi demonstrationem Vel donec Veniatur, si ita contingat, ad absurdum aliquod. am si ducaris ad vera quot sussiciunt ad demonstrationem, ex illis veris conversis suppositum demonstrabitur: in incidas in absurdum, falsum esse SeiS. Hac usus est methodo primus quantum scio)Diophantus, paucis adhibitis notis praeter literas)symbolis radicum, quadratorum, cuborum. uncautem tota algebra, aucta symbolis ab Oughtredo et artesio, et ab his ad geometriam applicata, nomen obtinuit geometria umboli P infecitque hujus aevi geometras, geometriae erae peStis. Dixi de principiis. Videamus nunc, an non Sit
etiam aliqua Euclidis vel Clavi demonstratio cujus forma sit illegitima.
455쪽
QUAE ab extremitate diametri uisaque circuia ad AP. m. angulo recto ducitur, extra Oδum circulum a Phomiatio det et in locum inter ipsam rectam lineam ια et peri heriam comprehenaum, altera recta linea cincadet et emicirculi quidem anguis quovis angula acut rectiline major est; reliquu autem
In circulo ABC, cuis νcentrum D, diameter ait AC ad quam ex A pun t eaetremo, per endicularis ducatur. Dico hanc lineam perpendicularem nece aris extra circulum eadere. Si enim cadet intra Frem, qualis ea AB dueta DB, erunt duo anguli DAB DB aequalem sed DAB rectu eat per Onatructionem igitur et B rectu erit, quod est Mordum. Duo enim anguli in triangulo minores une duobus rectis. Non igitur cadet semendicularis intra circulum et neque eandem ob cau3am in ipsam circumferentiam, ed eaetra, quatis es EF Dico jam ex Α, inter ΑΕ, rectam, et circumferentiam ΑΒ, - Oaae cadere alteram
Haec est demonstrationis Euclidis interprete Clavio pars prima quam dico vitiosam SSe. Primo, quod punctum dicit esse neque intra circulum neque in circumferentia ejus Cum enim
456쪽
444 DE PRINOIPII ET RATIOCINATIONEOAP. Ix punctum A sit terminus semidiametri DA, a qua D.iuis describitur circumferentia BC, necesse est ut
Te 'i punctum A sit in ipsa circumferentia. Intulit ergo
hanc conclusionem contra ipsam Euclidis OonStru
tionem, qui supponit perpendicularem F cluo ab
extremo puncto diametri. At concesso PuriCtum non esse in circumferentia, sed perpendiCularem re solummodo radere sive tangere circulum in Aeterit tamen punctum, extra circulum et ab eo Separabile, more contiguorum. Itaque ductu Per
terminum diametri recta quadam pareitela ipsi tam genti re, illa cadet inter rectam ΑΕ et arcum AB, contra demonstrationem hujus partis primae. Pedipendicularis enim ducta per terminum diametri non erit ipsa tangens M, sed ipsi parallela, nec secabit circulum, sed habebit punctum cum circulo commune, nempe ipsius diametri terminum. Deinde quoniam utriusque semicirculi sunt duo termini, erunt in duobus semicirculis contiguis, ad terminum diametri, duo puncta. ihil ergo Prohibet, quicquid sit punctum, quin duobus terminis pro uno sumptis diameter una cum minutissima parte arcus cum plusquam punctum illud geometrarum, nihil commune sit rectae perpendiculari et arcui haberi possint pro lineis quae faciunt angulum rectum. am crura angulorum de anguli e sentia omnino non sunt et sic falsum quoque erit quod in tertia parte demonstrationis ponit, angulum quem facit perpendicularis cum arcu, quoVis angulo acuto rectilineo esse minorem. Porro in secunda et tertia parte demonstrationis sic dicit: Quoniam Oate um eat Omnem rectam eae
Α, ductam infra perpendi darem AE cadere imira circulum, jaciet aec auris ea linea cum A
457쪽
circuli a nem cum M angulum rectilineum 1 hiis
acutum majorem angulo contingentiae cum Maz retsi par anguli aemicirculi, hic ver totum quidpiam remeetu anguli contingentiae. Id quod liquido conatis, ducta recta B, quomodocunque infra AE Nam cum Mec linea ΑΒ intra circidum
cadat, ut dem atratum est, erit anguia rectili- neu acutus ΑΒ minor angulo semicirculi contento
ob diametro AC et circumferentia ABC, cum ille hujus sit pars. Anguis vero contingentiae, comtentu sub tangente linea AE et circumferentia ABC, minor angulo rectiline acuto BAE, quod Me hujus par δit. Assumit hic Euclides angulum rectilineum ΑΒ partem esse anguli semicirculi, id est, anguli factia recta C et circumferentia ΑΒ item angulum contingentiae partem esse anguli rectilinei AB.
Sed ex eo manifeste sequitur, quatuor angulos, nempe, rectilineum ΑΒ angulum semicirculi, angulum contingentiae, et angulum rectum rectilineum, Me ejusdem generis, sicut partes et totum. Et per consequens angulum contingentiae per Def. 5 Elem. V multiplicatum, OSSe Superare angulum rectum rectilineum. anifestum enim est partem multiplicari posse, donec suum totum superet. Contradicit ergo Euclides huic definitionisus quintae Elementi quinti. Cum ergo angulus contactus et angulus rectilineus sint diversi generis quantitatis, ita ut altera alteram multiplicata superare non possit, ut ipse Clavius demonstrat) angulus contingentiae ablatus nihil auferet ab angulo recto rectilineo, non magis quam linea ablata aliquid aufert a quadrato aut superficies a solido.
458쪽
446 DE PRINOIPII ET RATIOCINATIONEOAP. Ix. Itaque angulus semicirculi angulo recto rectilineo
αὼ Iia Itaque manifestum est angulum contingentiae, etsi quantitas sit, non tamen esse quantitatem a guli, sed quantitatem diversi generis, nempe eum Vedinis ut supra ostensum est. Erravit ergo hoc loco Euclides, deceptus a sui ipsius definitione puncti. In controversia autem inter Clarium et Ρelletarium de angido contactus, Veritas erat a parteielletarii qui sustinuit angulum contactus quantitatem non esse illius angvii, et angulos semicirculorum rectos esse omnes, et inter se aequales. Quod autem anguli semicirculorum sunt inter se aequales, ex eo quoque intelligere potes quod pra demonstravi; similium arcuum aequale esse curvedines. Itaque
descriptis duobus sectoribus similibus, ABC, ADE; ductisque tangentibus BF, DG et subtensis BC, DE: aequaliter declinabunt arcus BC, DE a tangentibus FB DG propter aequalitatem curvedinis sive flexionis primae a punctis B et D. AEquales ergo utrobique sunt anguli contingentiae, et per consequem, etiam anguli semicirculorum. Iudicabis item de doctrina hac Clarii ex foetu. Νam monstra inde nata sunt. Primum hoc ipsum: Angulos emicirculorum eas inaequalor contrarium enim lumine naturali satis manifestum est. Secundum hoc: ranaitur a minore ad ma με eι per Omnia media, nec tamen per aeqvi te id quod nemo cogitans non videret esse falsum. Sed ita est, ut nemo fere hodie philosophetur suo, sedi gistri alicujus ingenio ideoque in absurda incidunt, non aliter quam totidem oves principem gregis Sequentur, etsi in mare se praecipitaret.
459쪽
DE DIMENSIONE CIRCULI. ΡRIΝcIPIA ista quae supra a me reprehensa sunt, CAP. XX.
mirum est etiam quantum ad pulcherrima geome D. M -- tris problemata invenienda viam obstruxerunt quorum exempla aliqua hic tibi exhibere, operae pretium SS Puto.
Si quadratum ABCD. Centro A, intervallo AB, descriptus sit circuli quadrans ABD. Secentur latera AD BC bifariam in E et F. Ducta EF secante arcum BD in G, erit arcus BG totius arcus BD pars tertia. Ρer punctum G ducatur recta IGK pMellela lateri BC, secans AB in I et D in Κ, producaturque ad H, ita ut ΙΗ sit tripla IG denique permis catur recta O indefinita, et parallela DC. Ducatur BG chorda arcus BG, et producatur ad ΝΟ in , secans D in Ρ. Deinde centro B intervallo BO, describatur arcus circuli secans B productam in Q. Porro later B adjungatur in directum AR aequalis duplae GF, et ducta RD, quae sequalis erit duplo lateri AD producatur ad latus BC productum in S; eritque CS aequalis tangenti 30 graduum transibit autem S per Η, terminum Semiradii ΚΗ. Ducatur a parallela ΝΗ, secans RS in a. Compleaturque parallelogrammum BCurb. Postremo diviso arcu B bifariam inis, ductoque
sinu arcus Be, jungatur Rc. Hactenus constructio. Erit ergo sinus arcus B sexta pars rectae ba, et
ipsi parallelus ideoque vel in ipsa ba, Vel supra, vel infra Sumatur Ad sexta pars AD, et ducta
460쪽
448 DE PRINOIPII ET RATIOCINATIONERM productaque ut secet ba, absecabit sextam ejus D di oti,ion Partem, Propter Ad, b in trianguloraba amb -- lelas. Quare absecabit in ba rectam aequalem Sinui arcus B c. Quod impossibile est, nisi ba transeat per c cum sit ut Ad PAD ad D, ita sinus a
cus B ad sextuplum sinum arcus c. Transit ergo ba per c. Eodem modo, si arcus B secetur bifariam, fient arcus duodecem, et sinus eorundem totidem e qui sinus semper erunt, simul sumpti, minore inmuBD, majores tamen recta ba Eadem methodo, bisecando in perpetuum, ostendi potest, rectinmomnem ductam inham ipsique parallelam, terminatam in rectis AB, DS, minorem esse arcu BD: et per conSequens, rectam BS, compositam e r dio et tangente 30 graduum, non esse arcu BD, jorem inor autem esse non potest cum octus nullus ulteriori bisectioni relictus sit. Etiam geometrae omnes qui magnitudinem circuli determinarunt, arcum D faciunt minorem quam est reota BS. Mabes ergo demonstrationem quadraturae Circuli verbis haud multo pluribus quam quae sunt in
Coroll i. Si jungatur recta RG secans Αmunm, producta balne et Byinis, erit B tertia pars rectae BS, et aequalis arcu BG et be sequalis chordae BG et in aequalis radio circuli cujus quadrans
aequalis est arcu BG et Ad radius arcus cujus quadrans circuli aequalis est arcu B c et in unu Versum, omnes rectae ductae ab Mad arcum BG, secabunt Ain, et arcum BG, in ratione radii ad quadrantem a se descriptum. Ex quo sequitur facilis divisio arcus sive anguli in ratione data, ut instapatebit ad cap. xiii.