장음표시 사용
461쪽
Coroll. i. Iunctari secante CD in L erit DL -AP. xx. aequalis semidiametro circuli, cujuS Perimetri quar D. Min.nsisnotae parti aequalis est radius ΑΒ Sunt enim B. ' vh AB, DL, propter similitudinem triangulorum SBA, ADL, continue proportionales. Est autem SB ad AB, ut quadrans perimetri ad radium. Quare et AB ad DL est ut quadrans perimetri ad radium, nempe DL. Coroll. iii Sumpta in D parte A sequali rectae DL, ductaque Μ, et producta ad B incidet in C. Cum enim AD sit radius circuli cujus perimetri pars quarta est aequalis BS et ΑΜ radius circuli cujus perimetri pars quarta est aequalis ΑΒ, et rectae omnes ductae a puncto R secant BS, AD in ratione quartae partis perimetri ad radium, recta
DE MAGNITUDINE CIRCULI HUGRNIANA.
DETERMIΝATIONEM hanc magnitudinis arcus BD tanta diligentia a geometris omnis aevi summis quaesitam, quamque eram esse tam manifeste modo demonstravi, quam manifeste ulla apud Euclidem propositio demonstrata est, professore mathematici, primo nostrates simul atque apparuit, magno conatu irati oppugnaverunt, consentientibus etiam et laudantibus caeteris. Sed quibus armis, quibus innis principiis λ Illis quae supra ostendi esse absurda : nempe, Si linea multiplicetur per
numerum, iactum erae numerum quadratorum 2-Si a numer quadratorum aetrahatur radiae qua-VOL. IV. G G
462쪽
450 DE PRINOIPII ET RATIOCINATIONE DAP. XXI. Arata, eaetraetum egae numerum linearum et i Ex D mamitu numero, Orum extris hiatur radix cubica exerra
se tum numerum egre linearum Punctum erae nMi et lineam duci posse vi nuuam haberes Latiam
Qui propositionem hanc primus exhibuit, demonstravit illam juxta methodum Corollarii proxime praecedentis, hoc modo diviso arcu B bifariamin, duxit sinum arcus bo, quem sinum duplicavit producens ad . Deinde ductam ΙG, sinum amus BG, bifariam secuit inari junctasque eg EG, Productas supposuit ad latus B productum. Et hi- secando rursus arcum BC ductoque sinu ejus, et diviso Imbifariam, atque eodem modo bisecando quamdiu quantitas bisecari potest, concludebat partes arcus BG partibus sinus IG ubique esse proportionales. Id quod et verum est, et ab illo vere illatum Sequitur autem inde, recta e producta ad B in , rectam Bi aequalem esse arcu BG et proinde totam rectam B sequalem esse arcui toti BD. Hoc autem a dictis professoribus impugnatum
est, partim ex tabulis sinuum tangentium, et secantium, partim ab auctoritate Archimedis niam autem tabulae illae constructae sunt per multiplicationem lineae per numerum, cujus productum falso computant pro numero quadratorum; et per extractionem radicum ex illis quadratis, quas radices falso computant pro numero linearum argumentum sumptum ex illis tabulis vim refutandi nullam habent . Et quoniam Archimedes ipse dimensionem circuli suam demonstrat per radicum
463쪽
extractionem, auctoritas ejus in hac re valere non debet. eque mirum est, si per hujusmodi calculum, recta e G producta cadere videatur in rectam B productam, ultra vel citra punctum R. Eandem hanc determinationem magnitudinis arcus BD impugnavit Christianus Hugenius, ex eo quod ipse in libro suo quem ediderat de Magnitudine iretili, demonstravit ut putat rectam Omp sitam ex radio et tangente 30 graduum, qualis est BS, majorem esse arcu quadrantis BD.
CAP. XXI. De magnitudin eirculi Hugeni nn.
Descripto enim segmento circuli semicirculo minore ABC, et diviso a perpendiculari FB bifariam in B; sectisque rursus arcubus AB, BC bifariam in D et E ductisque eorum chordis CE, EB, BD, et DA; et tangentibus Η, ΒΗ, BI, IA, et K, KE, EL, LB, ΒΜ, D, DO, Ox; et deinceps bisecando quantum intelligi potest, demonstrat et quidem quantum ego ideo, recte segmenta EC, EBE, BDB, DAD minora esse triangulis ΚE, LB, ΜD DOA. Quod autem idem infert, si perpetua bisectione
fierent infinita numero segmenta illa quoque simul sumpta minora fore omnibus triangulis, quae Segmentis respondent simul sumptis, male infertur, nisi recta IBH sit extra circulum, ita ut punctum
non sit ambarum linearum rectae et cumae commune, Sed inter utramque mam sim sit utriusque
464쪽
452 DE PRIΝcIPII ET RATIOCINATIONE CAP. XXI. lineae commune omnes illae tangentes numero in-D. h. iiis finitae conStituent ipsum arcum ABC. t si B sit eXtra circulum, quamvis ipsi contiguum, chordae AB, BC secabunt circulum non in eodem puncto in quo secatur a recta FB, sed utrobique citra ipsum. Docet enim Euclides prop. 2. Elem. iii rectam CB totam esse intra circulum, et prop. I 6 El. iii tangentem esse totam extra circulum. Itaque nulla recta praeter B transire potest per arcum et tangentem ad idem punctum B, nempe ad punctum quod vocant contactua, nisi utrique lineae attribuatur latitudo aliqua. Itaque falso usus principio hoc, punctum eos nihil post multas demonstrationes intulit, disserentiam inter tertiam partem arcu quadrantis Et chordam, ad disterentiam inter Mordam ejusdem tertiae partis et inum ejus sive semiradium ci culi majorem habere rationem quam 4 ad 3 quod non parum confirmat id quod refutare voluit. Quod autem intulit rectam compositam a radio et an gente 30 graduum majorem esse arcu quadrantis, deceptus fecit, eo quod putaret radium circuli nouminorem esse quam quae ab eodem centro ad tangentem ducitur, quae est extra circulum. Consule ipsum illius librum, cujus mihi exemplar, dum haec scribo, deest nec, si adesset, demonstrationes ejus commode hic transcriberentur.
REVERTERE ad diagramma Capitis xx. In illo diagrammate, sit datus arcus trifariam secandus Ba.
465쪽
puncto R ducatur recta G, secans AB in β, et AP. XII. BC in . Secetur B trifariam in Met4 ducantur D. dubiisque rectae Rh et M secantes arcum Barin 1 etet, et 'in'
Dico arcum B divisum esse trifariam a duabus rectis Rii, M. Νam propter parallelas Bγ M, divisa est etiam M trifariam in , et Vab iisdem rectis M, M. Est autem Αι ad totam mut arcus quadrantis descripti intervallo Ai3, ad arcum totum BD descriptum intervallo AD. Etiam arcus quadrantis descripti a tertia parte arcus MLerit tertia pars Βα. Arcus quadrantis descripti ab A sit hi arcus autem quadrantis descripti ab M sit βυ. Νon differunt ergo arcus duo β et B inter se longitudine, sed curvedine tantum, cum sit a minus, β magis curva. Idem dicendum est de
arcu φι, et caeteris omnibus arcubus descriptis super δε, λβ et caeteris arcubus qui adhuc describerentur super harum aequalibus partibus, comparatis cum partibus similibus circumferentiae M.
Intellige jam puncta meta admota esse in lineis AB et 3 ad Letis, et proinde arcum β jacere in
Ba Congrueret ergo cum arcu ipso α, si modo omnia puncta θ, λ, et omnes partes harum aequales, ferrentur simul in suis quaeque lineis ductis ab Rdonec pervenirent ad arcum a. ecesse enim esset, si A Leti divisa essent in partes aequales in quo possibile est eas dividi, ut singulae abscinderent partem arcus B aequalem quadranti Super se descripto. Quare etiam rectara abscindit ab arcu
B tertiam partem arcu Bu, nempe ii et λ, duas tertias ejuSilem.
466쪽
454 DE PRINCIPII ET RATIOCINATIONEcAP. xxii Est ergo arcus B datus divisus trifariam a Gotis D. .. ii M, M. Eodem modo potest arcus non major quam ''s arcus BG, dividi quinquifariam vel in ratione v cunque data. Sicut etiam arcus major quam BG, si bisecetur donec pars ejus minor sit quam BG : nempe partem inventam duplicando toties quoties datus bisectus fuerat. Angulum ergo in ratione data divisimus et propterea, etiam proportionem datam dividere doctuimus in partes aequales quotcunque requirentur. Idque methodo brevi et perspicua.
DE QUANTITATE RECTAE COΜPOSITAE EX RADIO CIRCULI ET TANGENTE 30 GRADUUM ITEM, DUBITATIO SUPER PROP. 47 ELEM. I, ETC.
QUADRATUM rectae compositae ex radio circuli et tangente arcus 30 graduum est ad quadratum a radio, ut decem ad quatuor.
Sit radius circuli AB cujus quadratum sit ABCD. Ducatur arcus BD, qui est quadrans circuli descripti ab ΑΒ.Secetur quadratum ABCD in quatuor quadrata aequalia a rectis EF, GH, secantibus se mutuo in I. Secet autem GH arcum BD in Κ jungaturque recta ΑΚ, producaturque ad BC in L erit Butangens 30 graduum.
Reetae L adjiciatur in directum in aequalis BC. Erit ergo tota ΒΜ composita ex BC radio circuli, et Μ tangente 30 graduum.
467쪽
In Μ sumatur Ν, aequalis semiradio G. AP. HIII. Producatur AD ad , ita ut A sit aequalis N i. v. iii, o
jungaturque γ, quam secet E producta in P. et et
jungaturque BR secans GH in V. est. Est ergo per prop. 47 Elem. i quadratum a BP decuplum quadrati ab ΝΡ. Est autem quadratum a radio AB quadruplum quadrati ab ΝΡ: et propterea, quadratum a BZest ad quadratum ab ΑΒ ut 1 ad 4. Probandum ergo est rectas ΒΡ, ΒΜ esse
Ducatur Μ parallela ΝΡ, secans BP productam in G, et E productam in R. Erit ergo ΝΜRΡrectangulum Ducatur a puncto Μ ad B perpendicularis O quae producta incidat in EZad S. Sunt ergo triangula BΝΡ, BOΜ similia. amanguli ad , O sunt recti aequales, et angulus ad communis. Quare etiam anguli ΜΟ, ΡΝ
Si jam rectae S, Q sunt aequales, manifestum est aequales quoque esse inter se tum RS, Q, tum etiam O, R et praeterea BO, ΒΝ et perconSequens, quadratum alma quadratum a BC ut 10 ad 4 Quod est propositum. Sumatur in ΒΜ pars ipsius tertia a quod fiet sumendo G tertiam partem rectae G L. Radio autem B describatur arcus circuli secans rectam Valicubi, et quidem sensu judice in ipso punctos. Rursus duplicato Βα, ut fiat i duae tertias rectae Μ et radio β describatur arcus circuli secans CD in iterum sensu judice punctum erit in intersectione rectarum ΒΡ, CD. ostremo radio toto Μ descriptus arcus circuli, transibit
468쪽
456 DE PRINcIPII ET RATIOCINATIONE CAP. XXIII. per punctum Unde judicio sensuum, tertiam qiianitiato iam rectae BP aequalis erit tertiae parti rectae BM:
P m. et proinde tota BP aequalis toti ΒΜ.
η Sed haec,' inquies, non sensuum sed rationis judicio determinanda sunt.' Recte dicis itaque ne videar severitatem disciplinarum corrumpere
velle, conabimur rem demonstrare.
In duobus triangulis similibus, si latus unum primi majus vel minus fuerit quam latus homologum secundi, etiam reliqua duo latera ejusdem primi majora vel minora erunt reliquis homologia secundi utrumque utroque. Id quod per se satia
Quoniam est in triangulis similibus ΒΩΜ, ΒΜO, ut BQ ad ΒΜ, ita ΒΜ ad Bo, erunt Bia, id est Be, ΒΜ, B continue proportionales et ratio B ad B duplicata rationis B ad ΒΜ, vel Bwadio. Sed ut B ad ΒΜ, ita est BRad ΒΝ. Quare ratio B ad O duplicata est rationis Bria ΒΝ.
puncto P erigatur ad Be perpendicularis, secans ΒΜ productam ubicunque quae incidet vel inis, Vel citra, vel ultra, et abscindet a producta ΒΜ majorem, Vel minorem, quam est ipsa Be. Si incidat in ipsum punctum e erunt rectae Be, ΒΡ, ΒΝ, continue proportionales. Sin incidat citra vel ultra e erit ratio cujusdam rectae majoris Vel inia
noris quam Be ad ΒΡ, duplicata rationis Brad ΒΝ, sive Μ ad O. Quod est absurdum, cum RBΜ m, sint continue proportionales. Sunt ergo Be ΒΡ, B continue proportionales. Sed ut Buad Ρ, ita est B ad Μ. Sunt autem Bia, eaequales. Quare etiam BR B sunt aequales. Radius ergo circuli una cum tangentea gradurun, aequalis est rectae quae subtendit angulum rectum
469쪽
GEOΜETRARUM. 457 in triangulo rectangulo, cujus latus unum sequiae AP HIII. est tribus semiradiis, alterum uni Semiradio. Quod D. quis vivi
erat demonstrandum. Sunt ergo S, Μ aequales. Est autem, aequalis tertiae parti ΒΜ. Est autem S propter triangula BGV, RS aequalia et similia aequalis V, tertiae parti ΒΡ. Itaque ΒΜ, B sunt aequales et quadratum a B ad quadratum a BC ut 10 ad 4. Quod erat demonstrandum. Nec in veritate theorematis sensus et ratio dissentiunt. Corollarium hinc oritur manifestum, rectas ΒΝ, BO, ut et Ρ, ΡR, item PS, PQ, esse inter se sequales et esse BQ BR BO, id est e, facta aequali Bia), Μ, Ν continue proportionales et O, ΜΡ esse parallelas et angulos OR ΜΡ, ΡΜ,
ΡΜ esse omnes inter se aequales et denique, facto angulo ΝΜ aequali angulo PS, parallelas esse ΒΡ, ΜΝ seque altas. Ex proportione hac modo demonstrata sequitur theorema novum circa dimensionem circuli, nempe hoc : Arcum quadrantis descripti semidiametro ΒΜ, aequalem esse quinque semiradiis arcum autem quadrantis cujusdam, qui sit aequalis rectae ΑΒ, descriptum esse a semidiametro quae est media proportionalis inter AB, sive CD, et ejusdem duas quintM. Secetur enim AD, quae aequalis est radio, in quinque partes aequales, quibus adjiciuntur in directum aliae duae quintae, Da ab Divisa autem Ab bisariam inis, describatur semicirculus secans D in HEst ergo ut i radii AD ad Dd, ita Dd ad radium' id edit. 1668. Edit. 1666 adjiciantur'.
470쪽
458 DR PRINcIPII ET RATIOCINATIONEOAP. xxiii. ΑΒ. Sed ut radii AB ad mediam a ita Mint qtiis itai duo Semiradii, id est AB ad mediam inter An st zz et quinque semiradios. Est autem ΒΜ, ut modo 'in monstratum est, media inter ΑΒ et quinque se-- radios Sunt ergo Db, Dd, DC, ΒΜ, et quint Iussemiradius, continue proportionales. Ducta ergo Ad, et producta, incidet in propterea quod est
ut B ad ΒΑ, ita ΒΑ, id est AD ad Dd. uti
niam ergo demonstratum est, cap. XX et desen ucap. XXi, contra Hugenium, qui problema hoc profundissime contemplatus, et ex principiis Eucliclis accuratissime ratiocinatus est, rectam ΒΜ aequalem esse arcu BD, eandemque modo ostendi aequalem
esse mediae inter ΑΒ et quinque semisses ejusdem AB, sequitur, propterea quod ΑΒ est radius quadrantis aequalis rectae ΒΜ, rectam Dd esse radium quadrantis aequalis ΑΒ et duas quintas radii AB, nempe Db esse radium quadrantis Dd; et denique, rectam ΒΜ esse radium quadrantis aequalis quintuplae Ν id est quintuplo semiradio. Unde exsurgit etiam, rectam Dd aequalem esse duabus quintis arcus BD. Quae omnia vidit quidem, et edidit Iosephus Scaliger sed cum non recte demonstrasset, damnavit ipse, nil dubitans de principiis Euclidis sed postquam fuisset convitiis lavit
acerbissimis oneratus. Consideremus nunc eadem haec in numeris. Ad
ΒΜ adjiciatur e sequalis PQ eritque e sequalis Oia, id est GV, id est tertiae parti semiradii BG; semissis autem rectae e qui sit r.erit sexta pars ejusdem BG. Erit ergo quadratum a BG sequiae 36 quadratis ad r. Est autem recta B octodecupla ipsius Nr, et proinde quadratum ejus aequale 324 qu,