장음표시 사용
71쪽
A mala nec intelligibilis, nedum accurata. DIALosus Inter quaeuam sua ipsius puncta potest interjacere linea re tu, praeterquam inter extrema λ Et D modo inter ea eae aequo intenacet magis quam curva, nisi forte quod non declinet ab aliqua alia linea, eadem habente extrema, magis in unam Pa tem quam in aliam λ Quod si ita sit, quare non possunt esse inter eadem puncta extrema plures recta lineae. Praeterea, intelligi non potest quomodo linea recta eae equo, id est, aequaliter, inter jacere inter sua extrema dicatur, nisi intelligamus
prius quid sit aequale. B. Definitio aequalium ab Euclide, nescio qua
de causa, praetermissa est; quanquam circa sequalitatem et inaequalitatem omnis Versetur geometria.
A. Axioma octavum ad Elementum primum Euclidis, instar definitionis est aequalium linearum, vel etiam aequalium Uerscierum, nempe hoe, quin sibi mutuo congruunt, ea inter e uni inqualis. B. on est ea aequalium definitio, quanquam Vera propositio, et quae multis theorematis demonstrandis satis bene inservierit; sed videtur potius
descriptio quaedam ejus, quod faciunt illi qui ma
nitudines rerum metiuntur. Νam qui mensurant, mensuram congruere faciunt cum mensurato Defini ergo aequalia. A. AEqualia uni inter se corpora, quae eidem lom c gruere O unt. Et, inquale magnitudines sunt magnitudine aequalium cor rum. B. Hae quidem definitiones sunt corporum et magnitudinum aequalium, non autem simpliciter aequalium. am te Orum, motuum, ponderum, aliarumque rerum multarum aequalitati, neutra earum applicari potest.
72쪽
60 EXAMINATIO ET EΜENDATIO DiALocus A. empora, motus, pondera aequalia seorsim definienda sunt ea esse quorum nenaurari ius compora quibu3--δurantur, inquat uunt.
B. ondum definiisti quid sit duim lineam ta- A. Recta linea ea est, quae per totam viam istino termino ad alterum aequaliter distis a quibuslibet lineis, imilibus et aequalibua inter δ' et Eo dem habentibus terminoδ. B. Intelligo. Sic axis terrae linea est recta, propterea quod aequaliter distat per totam viam
circumferentiis duorum pluriumve circulorum meridianorum.
A. Sed neque definitio haec intelligi potest, nisi ab iis qui intelligunt quaenam lineae similes vel di
similes dicendae sunt. Itaque rectissime fecisset Euclides, si lineam curvam prius definisset. B. Quid est linea curva λA. Linea curva cujus termini, alva quamlitate, diduci poδsunt. B. am qui aliquid curvum facit, vel ex curvo magis curvum terminos ejus adducit. Jam lineam rectam egomet definiam eam δεe, cujus terminidi ei non poagunt. Definitio quinta est, ver cie eatim longitudinem latitudinemque tantum habet. A. Bona est. Sexta, operflete termini stiri lineae, similis est tertiae, nec definitio, sed propositio, qua significatur lineas non esse considerandas ut extra superficiem terminatas, sed in ipsa, ut puncta in linea quam terminant.
B. Quid est superficies plana λ am definitio, quae traditur ab Euclide, eodem laborat vitio quo quarta. Illud enim, eae inquo uin interjacet lineas, non est intelligibile. Defini ergo superficiem pla
73쪽
MATHEMATICAE HODIERNAE. Glis. Faciam. Sed definienda est prius linea. Est DiALocus ergo linea, via qua fertur motum punctum. Iam, - 'incisa plana est via sinem ita motin ut gingula odia puncta in das describant linea rectaa. Definitio octava est anguli plani haec: planu angm Itia eam arum linearum, in plano e mutuo tangen sitim et non in directum jacentium, alteritia ad vitieram inelinatio. Hujus definitionis vitium primum est obscuritatis nempe in voce inclinatio. Nam secundum Euclidem, inclinatio esse non potest nisi in angulis acutis itaque angulus rectus nullus est Secundum vitium est falsitatis am recta et curva ita constitui possunt, ut nec jaceant in directum, nee constituant angulum, ut in angulo contactus nisi putaret angulum contactus esse
angulum quod negat, post ellitarium Wallistus. Itaque illis, non Euclidi, falsitas haec imputanda sit. Et praeterea, quia duo anguli recti compositi faciunt
angulum, nimirum recti duplum, et tamen in directum jacent contra hanc definitionem. lostremo, angulus, quem faciunt duae circumferentiae, vel
circumserentia et recta, mutuo SeSe tangentes, comparari posset quoad quantitatem cum quolibet angulo alio plano quippe, cui convenit definitio haec anguli plani universalis Sed non anguli plani
omnes comparari possunt. Est ergo vitiosa definitio. B. Quomodo definis tu angulum planum aco
ratius λA. Sciendum est vocem hanc anguis planugaequivocam esse. am cum in omni angulo intelligantur duae rectae sibi mutuo occurrentes, Vel saltem ad occursum tendentes, fieri potest ut duplici modo id fiat; quorum alter est per Otum
74쪽
DIALocus lineae integrae circularem, alter per continuam lineae rectae flexionem. Quae duae angulorum generationes adeo sunt diversae, ut ipsi anguli sint liet rogenei, nec una definitione comprehendi possint. Habet quidem uterque nomen anguli, sed alter simpliciter ita vocari solet alter per adjunctum angula contactua. Haec cum non recte intellecta fuerint, controversiam excitarunt de angulo contactus inter lavium et ellitarium quae excitari non poterat, si definitio Euclidis satis fuisset e spicua. B. Audiamus utriusque generis anguli definitionem tuam. A. Angulua, simpliciter dictua, ea duarum lin arum sibi mutu in plano congruentium, jacta permotum circularem ver alter termino ut centro,
unitis ab altera digre83M. B. Anguli quantitas quomodo definitur λΛ. Quantitas anguli, simpliciter dicti est quantitas arcus circuli cujuslibet descripti centro illo, in quo lineae quo arcum intercipiuntue mutuo tangunt, ab iisdem lineis intercepit. Angulus autem contactua est duarum linearum in plano e mutuo tangentium digre is facta per continuam Aeaei
B. Quare duo haec genera angulorum non POS- Sunt sub uno magis amplo genere contineri λA. Quia non mensurantur per unius mensurae applicationem. Nam angulus simpliciter dictus, tantus est quantus est arcus circuli interceptus; ideoque per arcum circuli mensuratur. At angulus contactus, mensuratur per lineam rectam ductam a puncto contactus ad circumferentiam. Itaque magnitudines duorum angulorum Ontactu men-
75쪽
MATHEMATICAE HODIERNAE. 63S--- α linea recta, quae ducitur a puncto con DIALOGUS tactu Per utriusque circumferentiam.
B. Intelligendum est hoc de angulo contactus circuli tantum. A. Iino Vero de angulis contactus quarumcunque Curvarum, modo similes sint; sed quando sunt dissimiles, erunt anguli contactus eorum iterum diversi generis. B. Definitio non est, rectilineu angulus est quem continent duae rectoe Probamne esse putas λA. Ita. B. Si duo arcus circuli se mutuo secent, Vel arcus et recta, angulus quem faciunt rectilineus non St, neque angulus contactus. Qualis igitur
est angulus λA. Est angulus simpliciter dictus. on enima natura linearum dependet natura anguli. Potest enim a curva linea in plano acente circulus describi, et arcus interceptus idem erit ac si a recta describeretur, et proinde etiam anguli quantitas
eadem erit. Definitio decima est anguli recti, et rectae Pe pendicularis, nempe haec cum recta me rectam congiatena, angulo qui sunt deinem inquat iecerit rectus rat uterque equalium angulorum;
et recta insistens, perpendicularia dieitur lineo euici istit. Sequuntur definitiones undecima et duodecima angulorum obtusi et acuti, brevissimae simul et rectissimae nimirum, recto hunc quidem minorem, illum autem majorem Gae. Verum divisio haec in Obt-um, rectum, et acutum, angulo Simpliciter dicto soli convenit. Definitio decima tertia; seminus ει quod aliculis extremum t. B. Neque definitio est haec, quia VOX una Per
76쪽
64 EXAMINATIO ET EMENDATIO DIAL us vocem unicam definiri non potest neque omnino
necessaria nisi enim intellexissemus quid sit te minua, Dustra esset definitio tertia, ubi dicit lineae
A. Definitio decima quarta, haec est fgum eδι, φαμε sub aliquo ne aliquibua terminis compr henditur. Quae quidem Vera est. Poterat tamen idem brevius dici, magnitudo comoria M Ommi parte ita. B. eque vero intelligi potest, ad quid refertur relativum quin, nisi ad magnitudinem. Absurdum enim esset dicere, foramisso Muram quin sub
aliquo, etc. A. Decima quinta est; cireuis ea ora plana gub una linea comprehenaa, quae peripheris a eL latur ad quam ab uno puncto eorum quo intra foram uni οδita, cadente Omnes rectae lineae inter amaunt nequia . Definitio haec, etsi vera sit, et modus describendi circulum sine geometrarum ope satis cognitus, pro accurata tamen haberi non debet. Debuit enim ostendisse prius hujusmodi figurae constructionem sive generationem quaenam esset, ut sciremus aliquam in rerum natura figuram esse, in qua ab unico puncto ad figurae extremum omnes undequaque lineae essent inter se aequales.
Quod quidem illis, qui nunquam circulum describi viderant, videri posset incredibile. B. Quomodo autem definiendus est circulus per generationem A. Circulus est fora descripta per linem, in plano aetatentia et Qua tinua terminu qui cit, circumductionem. Qua methodo definiendi utitur etiam Euclides in definitione pia me coni, et cylindri.
77쪽
MATHEMATICAE HODIERNAE. 65 Decima sexta est hoc vero punctum centrum DIALOGus
circuli a pellatur id est, punctum quod in gene Tatione circuli quiescebat. Decima septima haec est diameter autem circuli est recta uiaedam per centrum ducta, et eae utraque parte in circuli per Heria terminata, Me circulum bifariam ecat. In qua nihil est non accuratum, nisi quod postrema Verba, quin circulum bifariam ecat, abundent. Definitio enim diametri absoluta erat sine illis Verbis quae inter axiomata, vel potius inter demonstrata theoremata, Ponenda erunt. Definitiones caeterae usque ad tricesimam quintam, quae Elementi primi postrema est, ut facillimae, ita etiam accuratissimae sunt. Ipsa autem OS- trema haec est paraueti sunt linem recto' quineum in eodem sint lamo, et eae utraque parte in itinnitum producantur, in neutram ibi mutuo in- ei M.
B. Quid in hac definitione reprehendis λA. Definitionem hanc parallelarum recturum, quod attinet ad usum, satis bonam eSSe non nego. Sed quoniam parallelismus omnis, tam rectarum quam Cumarum, tam linearum quam superficierum ejusdem est naturae, et una definitione universali comprehensibilis rectius fortasse secisset, si parallelas simpliciter definisset. raeterea nisi causa aliqua in definitione parallelarum rectarum appareat, quare duae rectae nunquam Concurrant, absurdum non erit si hujusmodi lineas possibiles isse negaVerimus. B. Defini ergo simpliciter parallelas. A. Duae lineae quaecunque, ire reclin ive curvαοῦ item in E Uersici , plano vel non planin pura leti gunt, in quao incident ineae rectaefacient
78쪽
66 EXAMINATIO ET EMENDATIO DIALOsus sue cum utraque angulo aequales ad easdem parte3, unt ae er imae inter a aequato.
B. Video jam quare parallelae concurrere inter se non possunt distinentur enim ubique ab seM libus rectis, iisdemque aequaliter et ad easdem partes inclinatis. Recte autem apponuntur verba illa, de demparteo nam alioqui definitio non esset paria telarum simpliciter, sed solummodo rectarum. Sequuntur postulata tria de quibus postulatis quaero, quo sensu dici possint demonstrationis principia. Postulatur enim ut aliquid possit fieri. incipiorum autem demonstrationis natura est, postulare ut aliquid sit habendum pro vero sine demonstratione. Quaerimus enim in scientiis non quid facere nos possumus, sed quid Verum est. A. eque vero sunt postulata haec principia demonstrationiδ, sed conatruelionis. ecessaria tamen Sunt, propterea quod ne prima quidem theoremata demonstrari possunt sine figurae Onstructione. am ex constructione, id est, e generatione sola cognoscuntur constructi affectiones. Postulat ergo Euclides ab initio, duci et pro ei δε lineam rectam et quovi centro et intemsallo deseribi circulum. B. Erravit igitur Wallistus, qui punctum nihil,
et lineam sine omni latitudine esse opinatus est. Duelis enim, et productis, et Macristis, motus Sunt, et propterea motus corporum aliud enim nihil mobile est; et signant semper aliquid, et semper divisibile ; etsi quantum signant, non semper inter demonstrandum consideratur. A. Sequuntur principia alia, quae appellantur
B. Quomodo differunt inter se tulata, et
79쪽
ΜATHEMATICAE HODIERNAE. 67eommunes notioneast am etiam commune nO DIALOGustione axiomata dicuntur. AXMma autem est
Latine, pοatulatum. A. Sunt revera utraque postulata. Differunt autem in eo, quod in alteris postulatur p--facere, in alteris postulatur concedi verum eage aliquid, ut evidens, sine demonstratione. Sed pergamus. Definitiones secundi et tertii Elementi, quae sunt nominum tantum impositiones, accuratae sunt, nisi quod definitio quarta Elementi tertii non sit definitio, sed axioma sive suppoSitio qua notum Sup- Ponitur, nimirum a puncto ad lineam rectam brevissimam esse perpendicularem. Similiter definitiones Elementi quarti sunt nominum ad placitum impositiones, ideoque reprehendi non possunt. Ad Elementum quintum definitio prima est, para est magnillud magnitudinis, minor majoris, cum minor minitur majorem. B. Sed si minor non metiatur majorem, num
ideo non erit illius pars λA. Erit. Sed loquitur Euclides hoc loco de parte aliquota id est, cum major dividitur in partes aequales, illarum una haec intelligitur. Sed
cum esset in geometria loquendum saepe de men--ra et me tiratione deerat tamen hactenus definitio mensurae. Definivit partem per definitionem mensurae. am mora ea magnitudo magnitu-ianis, minor majori vel non minoris, cum minor, ipsi applicas semel vel plurie' ωδam inquat. B. Omnes quidem omnia per applicationem metiuntur in corporibus consistentibus mensurandis uisa bracchio, pede utuntur in fluidis, rasibus. Illo nempe spectant, quod dixisti supra, locum mensurae in mensurati loco quoties conti-
80쪽
68 EXAMINATIO ET EMENDATIO DIALOous metur invenire. Illa enim aequalia sunt, quae, HVa
quantitate, idem capiat locus. Sed et quae aequalia non sunt, idem capit locus. Sic enim existimant non modo allistus, sed etiam metaphysicorum et scholasticorum fere tota natio. A. Quo fundamento autem id putant λB. Corpora dicunt eadem existentia modo rare- fieri, modo condensari minus autem Sse, qu-- quam idem, condensatum corpus, quam rarefactum. Fieri itaque potest ut duo corpora insequalia, quorum unum sit magis, alterum minus condensatum, in eodem loco sint successive. A. onne locus locato congruere accuratissime
dicitur λ onne Euclides aequalia esse dicit, quaecunque sibi congruunt λB. Est axioma octavum Elementi primi. A. Quoniam igitur corpus utrumque successive loco eidem congruit, id est, loco eidem est aequale: erunt quoque duo illa corpora, Per communem notionem primam, inter se aequalia. B. Ita videtur. Quid autem est quod tot non modo philosophos, sed etiam mathematicos ipsosque professores, potuit in errorem hunc turpissimum inducere λA. Accidit plerisque hominibus circa ea quae ignorant, idem quod pecoribus. Ut enim pecora ductorem gregis primum erumpentem quacunque,
ignara periculi, sequi solent, ita et homines in quodlibet absurdum a principe opinionis ducti facile incidunt.
B. Sed quid fefellit ipsos primos ΘΛ. Falere primos solet, quod cum sustinuerint dogma aliquod verisimile quidem, sed tamen falsum, et a dissentientibus dissicultatibus urgentur