장음표시 사용
171쪽
me altera ast angulus in ea a D e minor erit angulo a i e in minore sectio. nepe c9ec, qui tamen per thesim est aequalis in secunda figura si superponatur sectio secti/oni congruet. secus contra primam partem, sectiones similes in eadem hasi nGessent aequales. At res contenta fuerit. Per superiores autem duas Pro/positiones Sc per a e s e is licet invenire datae sectioni similem, vel o dato circvito amputare.
Issi Siatio essemicirculus aut inaequalissimicirculo. 17. Semicirculus es sititio dimidia circuli
mque semicirculus comprehenditis peripheria dc diametro.is d LUt de i est semicirculus: reliquae sectio
18. ngulus inflemicirculo rectus est, semicirculiminor recto rectilianeo, major quovis acuto: in majorepetitione est minor redio, majoris major, in minore major, minoris minor.et 3ImI6p3.
Septem partes sunt hujus elementi, prima est quod angulus in semicirculo sit rectus:ut in a e i: nam si radius ducaturo e dividetur angulus a e i in duos an P 3 gulos
172쪽
os . . P. R A M Igulos deo Noe ι aeqUales angulis es o Neio per roes: itaque cum sit aequalis reliquis angulis,est rectus peri es es. Aristoteles hanc geometriam complexus esta post, Styphilos&ait angulum in semicirculo re cuim est e, quia sit dimidius duorum rectorum,quod eodem redit. Secunda pars quod angulus semicircoli sit minor recto, patet ex eo quia pars est recti. Nam angulus semicirculi die est pars recti rectilineiatu. Tertia quod sit major quovis acuto: patet per A cis eas. Secus enim tangens non esset eadem parte singularis. Quarta pars sic patec gulus ad i in majore sectione dei est minor recto. quia
an eodem triangulo det, qui ad a rectus. Et si crus neu/trum sit per centrum, constitui tamen potest angulusa,
qualis dato in eadem nempe sectione. Quinta sic. An gulus maioris sectionis eat est major recto, quia conti Dei rectum. Sexta sic Angulusa oe in minore sectione est major recto per ra e is, quia qui in opposita sectione ad ι est minor recto. Septima sic. Angulus ea o est minor re/cto, quia pars recti nempe exterioris si producaturia. Atque haec de angulis circuli', quorum omnium efficacissimus est angulus in semicirculo, nec frustra ab Aristotele toties appellatus. Hanc igitur Aristotelis geometriam plenius aperiemus. Hinc enim plurima oriuntur. Itaque r. si duae rectae diametro circuli contermina conterminentur in peripheria, faciunt caulam rectum. Et
r. si recta infinita secetur ά peripheria externi centri is punctis duo π contingente, ita meter fit a comingente, rem dato p cta connectens diametrum erit perpendicularis super in
sinitam. 'Ut hie recta a ea peri pheria a ei centri o extra data secetur in dato puncto 4, 6 in puncto contingente ut in e,A sit ab e diameter eo i, recta a i a dato puncto a connectens diametrum io e erit perpen
dicularis super infinita, quia faciet cum infinita angulum in semicirculo. Et
3. si recta a dato puncto suciens angulum cum infinita a diameter peripheriae secantis infanctam recta ά dicto puncto connectens segmentum erit perpendicularis super infinitum. ut in eodem exemplo recta ιoe fiat diametesia cujus bisectione pro centro peripheria secet infinitam, dccaei. Et . si duarum rectarum maior fiat diameter circul minorque majori contermina ex inscriptaraminatur, Hor plus poteri qucri minor quadrato connectentis. His pio. Ut ce
173쪽
quam e i quaadrato ex a ir reactangulu enim fiet triangulu ari, & per s e ra poterit aequala cruribus.
I9. Si recta continuata e duabus rectissat diameter circuli perpendicularis apuncto continuationis inperipheriam erit proportionalis inter c tra. IV 6.
Ut sunto datae a e sc e i, e quibus dei continuata sit. N perpendicularis eo sit in peripheriam uoi. Haec erit media proportionalis,quia ductis rectis do di i o truongulum fiet rectangulum , cua Oi sit angulus in semicirculo, Sper i ccles oeerit proportioαnalis interae Scel. Sic si quadrati decempedalis Iatus quaeratur oblongi aequa. lis ipsi quadrato latera unius pedis S decem pedum continuentur, proporti onalis media erit latus quadrati.
a O. O nguli in oppositisseritionibus aequantur adternis angulis pecoris
ut sunto sectioneae io,&eao, tangens sit u eri& anguli in oppositis sectionibus eao ee eio: Dico ipsos aequati alternis a nosulis exsecat e fc contigua oe &oeu: primo qui ad a aequa
tur alterno Oeat, quia 5cties anguli o eγ, o e a, a e n duobus rectis aequantur per i e s e s, quibus item aequantur tres anguli in triangulo a eo per v e G: a ternis aequalibus tolle rectosae u&aoe. Rectus enim est a oeperi 3 e, quia in semicirculo, tollatur di communis deo, reliqui ea oocoeI alterni aequabuntur. Secundo anguli ad a & i aequantur duobus rediis pero e, quibus aequantur&oeIec o e M. Atqui ea o aequatur alterno oez. Ergo qui ad i aequatur alterno reliquo o eu. Neque vero interest, utrum angulusnda sit ad diametrum . Id enim demon mandi tantum caussa statuitur, ubi libet enim suerit, aequalis etit, ne pein eadem sectione. Itaque
174쪽
i 2 P. RAMI i. si d termisdim due recte e stetur angulus remisus talo, er ab equiti vertice perpentic laris reliquo lateri concurrat eum perpendicularia medio datae . concursus erit centrum circuli per aequatum anaulum descript in cujus oppositia sectionesuper datam angulus aequabitur dato. 3Ps.
tribus gene Titius anguli potes experre N eodem semper argumento, Ut hic da istus angulusa data recta ei, ad terminum e aequatus angulus leo, perpendicularis lateri eo sit eu, at a modio datae sitγ u : Hic uerit centrum optatum. Atque hinc licet sectionem destri, hei e super datam rectam, quae capiat angulum rectilineum aequalem dato. r. Si angulus siecantis cI contigue equetur dato angulo rectilineo, angulus in opposita stabo ne eidem pariter aequabitur. 3 6 p 3. ut in su biecta figura. Atque hinc licet a dato circulo sectionem secare, in qua sit angulus aequalis dato. ut sit angulus da tus a iccircuis Ius eιo, facies ad punctu me exsecante eo& tangente Iuangulum aequalem dato perae se s , qualis hic sito e v, tum sectio eoi capiet angulum aequalem dato. Qua pro p er hae sunt opes anguli in semicirculo, ab Aristotele Ddeo tantopere appellati, quibus lubet addere ad extreamum quandam singularem Sc mirificam peripheriae na/turam. Angulus sectionis maioris est major recto Angulus sectionis minoris est minor recto. Ecquid c inquies cur aequalis sectionis vel semicirculi angulus non erit aequalis recto Euclides nominatim nihil hic respondet, qui tamen dixit ad is p 3 angulum semicirci li majorem esse quovis angulo acu lo rectilineo, quod videtur solum recto convenire, ex inaequalitate cum recto definitur obtusus 5c acutus: Inter obtusum ecacutum rectusessi Datur Vero in circulo major recto velut obtusus, datur mi/nor recto velut acutus, datur etiam minor quovis acuto, εἰ major quovis acuto, ut inter peripheriam, rectamque perpendicularem media recta nequeat inister cedere. Ecquid igitur inquies re stat quin semicirculi angulus rectus sit Certe lectus est in suo genere,&sic anguli recti dicuntur in sphaera,& medius inter obtusum acutumque sui generis est, dc generaliter ita perpendiculum desinitum nobis est i et e r. Angulus rectus ita definitus 3 e 3 Nirabile itaque sit an/gulo nihil addi posse, quo major acuto fiat, & tamen majorem esse, cui nihil praeter unicam lineam accessit. Datur majus, datur minus, cur non datur qualee 5c quidem datur id inter quod N aequale, ne recta quidem possit intercedere. Angulum tamen rectum re ctilineum majorem esse recto circulati, geomettia com
175쪽
II tuta convincit. Datur igituri circulo ratio inaequalitatis maioris A minoris, nodatur ra Eo aequalitatis. Sed multo mirabilius fuerat illud c ratione inscripta/rum, quod detur ratio aequalitatis majoris minorisque inaequalitatis, non deatur tamen proportio, de quo erit in scholis. P. RAMI GEOMETRIAE LIB. de adscriptistae circuli ex trianguli. V V I I.
GEometria plani reetiIinet S circuli adhuc fuit: sequitur utriusque astri ptio: quae primo libro generaliter desinita est: peripheria vero circuli ea ipsius terminus. Itaque reeti lineum inscribitur circulo, quando peripheria tansit angulos, s d 4 : Circumscribitur cum a singulis lateribus periphetia tan/gitur: 6 d q.
i. Si recitilineum ascriptum circulo est aequilaterum, est aequiangulum.
De inscripto patet,& quidem de triangulo per se , quia si est aequilaterum, est aequi angulum
per 2 c io e G. In triangulato autem res domonstra da est.
Ptaro utas a sint aequales, sub/tendent periaphctias aequa les per i e is: tum si mediam peripheriam interutramque omittas, ut hic ux& reliquam oles addas utrique,tota oles γ subtensa angulo adu Sc uoles subtensa angulo ad I aequabuntur. Itaque anguli in peripheria insistentes in periphetiis aequalibus aequantur. De inscripto item verum, si circumscriptus circulus intelligatur. Perpendiculares enim a centro a in latera circumscripti pers e la facient triangula utrinque aequilatera & aequiangula ductis in angulos radiis, ut in eodem exemplo. Et . a. Aequatur triangulo aequalis, basis quidem perimetro, altitudinis darem perpendicularia centro in latus. ut hic patet peric se . Tria enim sunt triangula in uno triangulo aeque al/q ta. Idem
176쪽
ta. Idem erit de trianguα Iato, ut
cim tri/angula sent ae que alta:
quod Ibhet atqui laterum adstriaptum circulo aquabitur triangulo basis aequalis perimetro ipsius adscripti, quia perimeter continet bases triangulorum,in quae rectilineum resolvitur.
a. sectilinea; ita circulis inscripta, ni ut a diametro quadrata.
Quia per i e s plana similia habent duplicatam rationem homologorum Iaterum. At mrcim lineis inscriptiS diametti sunt homoIosa latera vel sunt proin portionales late libus homo logis. ut sunto ressit angula trianγgula similia a e i, o u , quia a e Nou sunt diametu, res pio tinus Patet. At in triangulis obliqua gulisset Scrudi similibus diametti sunt proportionales homori rogis lateribus, nempe e 38c um Nam ex thesi ut se ad ru, ii celod uγ: Zc ideo ex praeced cnti ut clametrisa 5 u o. In triangulatis similibus, cum per et e Io resolventur in itiam gula similia, idem erit. Itaque
si sit ut diameter circuli ad latri rectilinei instri sic diameter secundi circuli ad litur sic unis directilinei inscripti, triangiatque inscriptorum hingularissimilis similiterque ita, rectilinea inscripta erunt similia similiterque situ. Id Euclides sic sumpsit ad 2 p ir,& quidem ut videtur eis p σ: Se nos ideo a seu mpsimus. Adscriptio circuli est cum triangulo quolibet et cum triangulato
177쪽
GEOMETRIAT LIB. X VI l. ra 3 autem duntaxat ordinato, Se quidem adscript so circuli est communis.
ut in triangulo de i, rectae do eceu bisecent angulos, 5e ab earum concursu Isunto perpendi.
culares Isau, si dico centro I ra
dio Io vel ru vel f describi circuisium percise quia hi secantes cum perpendicularibus faciet m/angula a qui latera per a e 7, ideoque tres perpendicu lares, quae sunt bases aes qui laterorum aequales erunt. Idem argumentum erit de triangulato.
s. Si duae recitae recte bisecent duo latera dati reritilinei, circuliis radii ab earum concurctu in angulum circumscribetur dato rectilineo. sp .
ut in superioribus figuris. Demonstratio est eadem superiori: Tres enim ra. dii per a e aequantur, οἱ concursus pere 13 eas est centrum. Atque haee com/munis est adscriptio circuli, sequitur adscriptore lalinei,sc primum trianguli.
6. Si duae inscriptae ά contactu recta oe per heria aequent duos utrinque angulos duobus angula dati trianguli, connexae inscribent triangulum talo circulo aequiangulum dato triangulo. E a p 4.
Detur triangulum a ei ξe o circulus cui inscribendum sit triangulum aequian. pulum dato. Tan/ α ti Igat igituretecta v spera pheriam Iri, dea contactu F inscri/prae r&γι aequent cum tangete angu lo Su Ir, s l angu/ elis aet&die,&conne laturri, aequabunt per i 7 e is angulos alternorum segis mentorum angulis uri sediri. Itaque per c 3 e 7 cum bini aequentur, reliquus aequabitur reliquo. Circumscriptio hic etiam specialis est
. Si duo anguli in centro dati circuli aequentur ad commune latus eriterioribus angula dati trianguli, rectae tangentesperipheriam in cruribus angulorum circumscribent triangulum dato circulo aequiangulum dato triangulo.3 p q a Esto
178쪽
Esto triangulum,&in eo exteriores angulis et Gog: circulus autem Isr, Min centro I aequentur anguli Ir de s Irad commune latus tr angulis exterioribus dei ξga ou. Dico angulos circumscripti trianguli aequari angulis dati trianguli: Nam quadranguli tr m quatuor In tenoreS aequantur quatuor rectis per A e io,duoque addi 8ersunt recti per fabricam ex secante Scco tigua a con tactu per cetrum per a c Is e is. Ita reliqui ad l& in aequantur duobus rectis, quibus aequantur a eo: At angulus ad I aequatur exteriori, reliquus igitur ad in aequatur reliquo a eo. Idem erit de angulis do eicuou. Itaque tum hinis aequalibus reliqui ad a dei aequabun/tur. Itaque Si triangulem est rectangulum, obtu angulum,acvrangulam, miram circumscripti circuli est hi latere, extra latera, intra latera: contra.
ctis figuris centrum a. P. RAMI GEOMETRIAE L I B. π VIII de asscriptione triangulati. ATque haec trianguli est adscriptio. Triangulare ordinati adscriptio do.
ceatur, Sc primum circumscriptio communis ex antecedente tamen im scriptione hoc modo.
I. Si reLia tangantperiberiam in angulis inscripti triangulati ordium ti , circumscribent triangulatum circulo homogeneum inscripto triangu
lato Exempla per species it scriptorum proponentur: specialis itaque inscriptio dicatur, Sc quidem per unicum latus, quod repetitum, quoties opus est, peri/pheriam compleati Id enim fecit Euclides in uno quindecangulo, nos in omnishus faciemus
179쪽
L I B. x V I I I GEOMETRIAE Uthici Crura enim anguli erunt radii, quorum dia. metri conne in faciet quatuor triangu/la rectangulataque aequalia cruribus 5c per a e hasibus. Ideoque quadratum inscribtnt. Quadratum inscriptum est dimidium circumscripti. Quia latus circumscripti quod hic aequatur diametro circuli potest per s era duplum ad latus inscripti. Et Est malus dimidio circumsicripti circuli. Quia circumscriptum quadratum, quod duplum est, est majus toto circulo. Reliquis deinceps multangulis imparilateris inscribendis opus est triangulo, cujus uterque angulus ad basim sit multiplus reliqui, in quinquangulo pitumum duplus, quod sic habetur.
3. Si recitaseceturproportionaliter, trianguli crurumsectae aequalium,
basis majorisigmento aequalis, uterque angulus ad basim erit duplus reli, qui, m basis erit latus quinquanguli in circulum cuim triangulo inserispicio oeup .
Hic primum ad fabricam trianguli sumes pro radio reis amae per 3 e 14 soctam proportionaliter in punctoo, circulumque fa/cies centro a radio ae, Sc per 3 e is inscribes aequalem majori segmento,inscriptamq; cum secta connectes. Hoc triangulum erat optatum. Nam perro es an guli ad basim e i aequantur, ut quod de altero probatum sit, prohatum quoque sit de reliquor tum du/catur recta o i,5c circulus circumscribatur per ε e a triangulo a oi: hunc circulum tanget recta ei per 37 e: quia ex thesi rectaue secatur proportionaliter, ideoque oblongum secantis Se exterioris segmentia quatur quadrato majoris segmenti, cui aequata est ex thesi basis ei: Hic igitur angulus ui e duplus est anguli ad a, quia aequatur angulis a io Seo diat qualibus inter se. Nam perro eis elo aequatur angulo odi in alterno segmento.& relis quus a io aequatur sibi ipsi. Itaque εἰ angulusa e i aequatur duobus eisdem, quia aequatus est angulo a te. At angulus eo i exterior duobus eisdem aequatur peracs e s. Itaque angultio e&oei quia aequales eidem aequantur inter se. Quare per io e latera o i& ei aequantur: ideoque & ao5coit angulique odi & ota sunt aequales perio es. uare cum ambobus aequatus sit an pulus a te duplus erit alterius aequalium: At basis ei est latus quinquanguli aequi lateri . Nam si
180쪽
1 26 p. RAMI duae rectae bisecantes inscripti trianguli utrumque angulum duplum reliqui cInectantur, Ninter se &cum angulis inscribent circulo quinquangulum aequi/laterum, cuius unum latus erit ipsa basis. ut hic cum anguli eoa, eo ι, uto, uis, i a o aequentur in peripheria, subtensae periopheriae per se
ex iis quinque lateribus unuest ae. Ergo recta proportionaliter secta ita quinquanguli adscriptionem massinatur , indeque vicissim redditur linea proportionaliter secta.
. Si duae rectae se biendunt duos deinceps angulos inscripti quinquanguli decantui proportionalitur, GP majora segmenta sunt latera inscripti. ex 88 I3.
Ut hie sunto restae ai&eu subtendentes angulos de i, &e du, dico eas proportionaliter secari in punctos,&majora segmenta aequari lateti quinquanguli. Hic enim bina triangula sunt aequiangula: primo a ei Sc uae per thesim dc re 7. Itaque anguli die 5 aes aequantundeinde dei Sca se, quia angulus ada communis est, reliquus igitur reliquo aequatur per c 3 e T. Jam perse7, ut ia&ae, id est ut mox patebit ad is, licea adas. Itaque per i e t secatur ι a proportionaliter: ea autem latus aequatur is, quia utraque aequatur lateri ei, illa per thesim, haec per i oe G. Anguli enim ad hasimis e&ies aequantur ejusde nem pe duplicia: quia is e per 3 c y e 6 aequatur duobus interioribus aequalibus angulo adu perio e G SK proximam conclusionem. Itaque duplus est anguli aes, cujus etiam duplus est angulusu ei per σ e is, insistens nempe in dupla peripheria. Atque hinc patet labrica quinquanguli ordinati super datam rectam. ita a si data recta secta proportionaliter continuetur utrinque malore segmenta, sexque periphoris radio datae concurrunt, binae utrinque a terminis data Cr continuatae, duae reliquae ab earum concursu ectae per cocursus G terminos datae constituent super datam quinquanaullam ordinatὶ