장음표시 사용
121쪽
quidem si aequales sint numeri, nam semissis summae aequalium numerorum, idem est atque alter ipsorum, ac proinde productili multiplicationis aequatur quadrato eiusdem scinissis. Minus vero, si fini in aequales numeri, quia tunc, ut dictum est, productum multiplicationis una cum quadrato semissis interualli aequatur quadrato semissis summae. Quare oportet, ut a quadrato semissis ummae auferendo productum, supersit quadratus semissis interualli. Unde constat Diophantum per conditionem appositam supponere quaesitos numeros esse tuaequales. Deinde patet ut solutio contingat rationalis, oportere ut detracto producto a quadrato semissis summae residuum sit quadratus numerus. Nam cum lioc reliduum sit quadratus semissis interualli, si residuum illud non sit quadratus numerus, erit interuallum irrationale, ac proinde Nipsi numeri. cibi gratia, si diuidendus sit 2o in ducis numeros, quorum productum sit 98 operando cum Diophanto inueniemus tandem I aequalema. Quare semissis interualli erit Ra. atque ipsi numeri Io - a.&Io a. Porro tam ex conditione apposita, quam ex ipsa operatione elicitur iste Canon. A p drato semissis summa, aufer productum multiplicationis, residui radix quadrata, addita est sempta eidem semis summa, quaesitos exhibebit numeros. Aliter etiam proponi poterat conditio , nimirum. Operter numerorum flumma quadratum, quadrato numero superare auadruplum producti. Nam ut ostensum est quinta secunditorismatum. Quadratus, summae duorum numerorum,aequalis est quadriiplo plani sub ipsis numeris, una cum quadrato interualli ipsorum. Vnde etiam alius Canon formabitur, nimirum.
Aufer auadruplum producti a quadrato summa residui radicem quadratam adde ct assime Us mma , semissi aggregati crine ui quaesitos exhibebit numeros. Sed motatu dignum est ad hanc quaestionem, illam etiam posse reduci.
Dato medio trium proportionatium est aggregato extremorum, extremos inmenire.
o. solἰm Ut dato medio 8. summa extremorum ao sine inueniendi ipsi extremi ' Quia in tribus proportionalibus, planus sub extremis aequatur quadrato medij, cum medi quadratus sit sq. patet eo reduci propositam questionem , ut diuidatur zo in duos numeros, quorum mutuo duci fiat 64. Quod idem est eum Diophan o problemate, & per illud, vel per eius Canones inuenientur extremi quaesiti &16. um autem attinet ad verba illa, si δὲ τοῦτο πλασματικὶ quae nos retento Graeeo vocabulo vertimus, o autem hoc plasmaticum Xilander vero Diophanti mentem minime assecutus, male interpretatur, Hoc autem es esse maliunde. Nos ea explicabimus iusta quaestione trigesima tertia.
122쪽
HIcetiarn conditio indicat an possibilis sit quaestio, is per numeros rationales solui possit,
idemque prorius dicit quod septima secundi porismatum , nimirum Quadratus summae duorum numerorum4 quadratus interualli corum aequantur duplo aggregati quadratorum. Quare ut quaestio sit possibilis necesse est duplum aggregati quadratorum , eile maius quadrato summae, nisi propositi nuineri sint aequales, tunc n. dupluui quadratorum aequabitur quadrato summae ' Quia .secundi. quadratus summae aequatur quadratis numerorum de duplo producti, at cum timeri sunt aequales, duplum producti aequatur ipsis quadratis.Qitare in hoc eas quadratum summae aequatur duplo quadratorum. Vt vero solutio sit rationalis necesse est duplum quadratorum excedere quadratum ummae, quadrato numero, cum enim hic excessus sit quadratus interualli numerorum , ut docuimus, si huiusmodi excessus non sit quadratus, erit interuallum numerorum irrationale, ac proinderi ipsi numeri Caeremin ex hac conditione sic explicata pendet Canona Xdandro traditus, nimirum. A duplo gregati quadratorum, aufer quadratκm summae xinmerorum, residui latus quadratum addeor adimae, Fumma numerorum, semissis aggregati ct residui quasitos exhibebit numeros. Poterat etiam aliter proponi conditio, 'uidem magis apposite ad operationem Diophanti. Oportersummam quadratorum superare digium quadrati semissis summa numerorum duplo quadrati Quia enim per sextam secunditorismatum constat summam quadratorum duplam esse quadratorum qui fiunt a semisse summae laterum δε a semisse interualli eorumdem latet si a summa quadratorum, auseratur duplum quadrati a semissi summae numerorum, residuum aequari duplo quadratis semissis interualli numerorum. Itaque ex hac etiam conditione sie explicata, is ipsamee Diophanti operatione elicietur alter Canon. A summa quadratorum Uer duplum quadrarisemis semma semerorum, residui semustilaos quadratum additum vel ademptum ipsis Us numerorum, quaesitos dabit numeros. Verba autem illa, τὸ δὲ ς πλασμα eo , Me, ut arbitror, subreptilia sunt , ut ad trigesimam tertiam fusius docebo, nolui tamen ea de textu tollere, ne audax plus aequo vel temerarius alicui sorte videre , sed ea asteriscis includete satis habui.
ab ipsis ortorum esse o. Ponatur inter Φραγώνων ταισι μονάδουe π τεν- ηυ,ε-
nem. ἐλάττων 4 η ac πάλιν ποιουσι τὸ προος A IN EV AESTION EM XXXII. HIc nulla opus est conditione, solutio contingat rationalis, semper enim, dum quaestio sit
possibilis eam per numeros rationales solui continget, verum ut sit possibilis sane aliqua limitatione indiget, quicquid dicat Scholiastes, quam ego ita concipio. Oportet excessum quadrati super quadratum manorem esse quais at sinma numerorum. Cuius necessitas evidens est, quia Quadratus summae aequatur ipsis quadratis numerorum, με. secori duplo producti, quare nisi pars ponaturaequalis toti, vel etiam maior, impcssibile est interialium
123쪽
uuadratorum esse aequale vel maius quadrato summae numerorum. Itaque in exemplo Diophanti posita summa numerorum 2o cum eius quadratus sit 4oo.poterit interuallum quadratorum praescribi quilibet numerus minor quam Uo aequalis autem vel maior nequaquam Caeterum ex operatione Diophanti elicitur huiusmodi Canon. Diuid interuallum quadratorum per duplum summa numerorum, quotiens additus e a uetussimis summa, dabit quaesit. --σε - - ... Hoe autem idem fere est quod demonstratum estprop. tertia secunditorismatum . nimirum. Divide interualium quadratorum per summam numerorum, orietur interuaelum numerorum. Data porto summa numerorum isorii in interuallo soluitur quaestio per Canonem prima huius. Potest etiam aliter institui operat o de tamen ad aequationem simplicem deuenietur. Esto alternumerorum I N altera, i N. horum quadrati sunt I Q.&I OO. -ΑON quorum interuallum est om hoc ergo aequatur8o. ωfit IN. 8. Hinc eciam Iicietur Cano alius, priore
ia uadrato Fumma adde vel adima interuallum quadratorum,summam ct residuum diuid seorsim per duplumsumnis numerornm , orienis quas numera.
-d si manet summa ipsorum, N. interualluir Restati productum multiplicatione
HI appositaeonditio non est ad ostendendum an quaestio sit possit bilis , sed antlim an per numeros rationales blui possit Etenim non potest ablolutὰ proponi huiusmodi minae impossibilis, quodcumque enim praescribatur numerorum interuallum,4 qualeeumque statuatur produ-dultum multiplicationis eorum , soluetur quaestio. Sed ut solutio contingat ratio lis necesse est ut quadruplo producti addendo quadratum interualli, quadratus fiat, quia scilieet, quadruplumi pq C. producti cum quadrato interualli aequatur quadrato summae numerorum. in autem elicitur a non a itandro traditus. - . νύ uadrato interualli adde quadruplum producti, auregati latus estFumma merorum, mis a As adimas interuallum, semis summa ct residara quasto da numeros. Pc . a. oris ' & ex ipsemet operatione Diophanti alium elicimus Canonem. Adde producta Padratum semissis interualli aggregati latus est semis summa numerorum, Maddendo ct adimendosemissem interualli, sient quaesiti numeri. Est etiam notatu digniim non disserte quaestionem istam ab illa Das medio trium prinrt onalium sedisserentia tremorum, inuenire extremos. Ut dato medio 8.&interuallo eximinorum a quaerantur extremi. Quia planus sub extremis aequatur quadrato medij,4 is est M. eo reducitur quaestio,
124쪽
vt inueniantur duo numeri, quorum interuallum sit ra. productum multiplicationis 4 Qusd idem est cum quaestione ista Diophanti. Quare per eam vel per Canones allatos inuenientur extremi quae siti tis. Superest ut explicem verba illa δε τῆτο πλα σμια τμον, quae tum huic quaestionitum trigesimaeis trigesimae primae adiecta sunt statim post conditionem, quaeque hoc loco dilucidanda recepi. Prius tamen monendus est lector, nec Scholiastem, nec Xilandrum mentem Diophanti assequutum esse , quod euilibet fiet manifestum qui ea quae uterque ad trigesimam commentus est Iegere voluerit. Sane non vacat in corum nugis refellendis diutius immorari. Praeterea ilander verba ipsa male reddidit, nam lasmaticum , intereretatus est, effictum aliunde cum potiusfignificet id a quo aliud quippiam effingi, plasmari potest. Ego itaque nil aliud voluisse
Diophantum aio , quam indicare ex huiusmodi quaestionum solutione, seu ex conditionibus adieres, vel ex canonibus inde deductis formari Silasmari quodammodo regulas illas quas vocant compositas, cinia scilicet ex tribus infimis speciebus duae uni aequales reperiuntur, seu ut loquitur Franciscus Viet , restulas de quadrato atticio sublatere Etenim prima &secunda illarum regularum , ab hac ipsa quaestione trigesima tertia facile deducuntur. crtia vero pendet omnino a trigesima. Quamobrem iis a trigesima prima nulla formetur huiusmodi regula, non dubito eadem verba ibi temere inculcata esse, ab ipso scilicet Scholiasta, vel imperito amanuensi ex aliis quaestionibus eo translata. Quomodo autem ab his quaestionibus sormentur supradic tae regulae, non pigebit in tyronum gratiam adscribere, ipsas etiam tradendo regulas , tum eo modo quo communiter absoluuntur, tum eo queu tradit Petrus Nonius ad vitandas Fractiones saepe commodo, ae denique methodum ipsam Diophanti exhibendo.
PRIMAE REGULA C O M 'O SITA RV M.
uadrati, Numeri aequales lanitatibus. Fiat prius reductio ad unum Quadratum per parabolismum , diuidendo scilicet
singulas aequationis partes per numerum Quadratorum. Tunc capiatur semissis diu merorum, eius quadrato addantur unitates, ab aggregati latere auseratur semissus Numerorum residuum est valo Numeri.
EADEM EX PETNO NON IO. Facto ut supra parabolismo si opus sit. Quadrato numeri Numerorum adde quadruplum unitatum ab aggregati latere aufer numerum Numerorum , residuum erit valor Numeri duplicata Verbi gratia Q -- LN. sint aequales r. . Quia nullo hoc opus est parabolismo , quadrato ipsius
s. nimirum pii as adde quadruplum ipsius et . ni nurumici fit Iar cuius latus II. unde auferendos remanet 6. duplum numeri, ergo Numerus est 3 utrumque autem modum ab hac quaestione trigesima tertia deduci sie ostendemus. Ponantur in aequales 2I.4 sit
CD I N. cui addatur BC ipsi aequalis. Et illis addatur adhue AB aequaliso 'v''' ''M numero Numerorum, puta . Tunc eonstat ex CD in C. fieri a &ex CDii Ai fieri N. Igitur ex Co in totum A C fit et r. Quamobrem cum notumst duoruni A C. Cm interuallum esses B, nempe q. productum ex eorum multiplicatione esse II patet nos eo deduci, quaeramus duos numeros quorum interuallum productum multiplicatione sitas. Quod ipsum quaerit Diophantus quaestione hae trigesima tertia Minor autem quaestorum erit C D seu Im quod inueniendum proponebatur. Itaque si utamur secundo Canone supra allato, capiemus semissem umerorum, seu interualli, nempe ipsius A. eius quadratum addemus unitatibus seu producto et r. unde fientas cuius latus x. unde si auferantur semisssis ipsius q. remanet 3 minor quaestorum, seu GD seu LN unde patet a secundo illo Canone deduci in dum communem perficiendi hanc regulam. Quod si ad inueniendum duos numeros quorum interualIum sit . productum II utaris primo Canone supra allato , incides sane in regulam Petri Noni j. Nam quadrato ipsius qui estio . addes quadruplum ipsius I. nempe 8 . unde fiet Ioo a cuius latere Io ausere. .d residuum O.erit duplum
125쪽
SECUNDA REGULA C O M 'O SIT AERUM.
uadrati aequales Numeris G mnitatibus.
Facto si opus sit parabolismo, adde nitatibus quadratum semissis Numerorum, lateri aggregati adde ipsum semictem Numerorum, fiet valo Numeri.
Verbi gratia I CL sit aequalis N. -- ar addo ad ar quadratum semissis ipsius Φ nempe fit as. cuius lateri s. addoJupradictum semissem a. fit 7 valor
EADEM EX PETRO NON IO. Quadrato numeri Numerorum adde quadruplui unitatum, lateri aggregati adde
numerum Numerorum, fiet valor Numeri duplicati. Verbi gratia L si aequalis; N. - Adde as. ad quadruplum ipsius 24. nelnpe ad 96. fit IaI. cuius laterii adde . fit 16 duplum Numeri. Quare ipse Numerus est 3. Utrumque modum dein riuari quoque ab hac quaestione trigesima tertia sic probabimus.Sit Ira aequalis q. N. - at imprimis patetam maiorem esse quam . numerum Numerorum , nam ex quolibet latere in seipsum,vel in numerum ipso maiorem , fit vel quadratus lateris , vel numerus eodem quadrato maior. Quare siq. esset aequalis vel major quam IN. essent N aequales vel maiores quam Q. ac proinde non posset D equar N. -- r. Hoc posito Sitis C. I N. erit ergo AC maior quam 4 ut proba- tum sumatur igitur in eo Α Β 4. Wreliquot C addatur aequalis ei CD. '' ' ' 'Patet ergolatis. eatum ex A C Moci productum exis C inini esse AN. Quare cum quadratus exin sit aequalis productis exin C in ΑΒ.&ex AC in B C. seu in D. sequitur productum ex AC. in CD. aequariar. Igitur ut prius quaetendi sunt duo numeri A C. CD. quorum interuallum AB seu .in productum multiplicationis est at nam horum maior C. erit olor numeri. Itaque a duplici Canone, duplex ut supra eruitur regula, primae prorius similis Ἀ-nali tantum substractione in additionem mutata, quia videlicet Ibi quaerebatur minor numerus C D. Hic vero quaeritur maioris C.
TERTIA REGULA C O M P O SIT AER V M.
Numeri aequale δι a ratis, initatibus.
Facto si opus sit Parabolismo A quadrato 1emissis Numerorum aufer unitates, residui latus adde vel adime semissi Numerorum, fiet valor Numeri.
Verbi gratia Io N. sint aequales ira at Quadratus semissis Numerorum est, . unde si auferasa I. Vnitates superest . cuius latus a. si addasvi adimas semissi Numerorum s. fit valor Numeri vel 3 ves .
EADEM EX PETRO NON IO. A quadrato numeri Numerorum aufer quadruplum unitatum, residui latus adde vel adime ipsi numero Numerorum, fiet valor Numeri duplicati.
Verbi gratia IN. sint aequales i Io a quadrato ipsius 7 puta a 49 ause quadruplum ipsius Io nemperio superest o cuius Iatus . adde vel adime ipsi'. net vel 4 vel Io duplum Numeri. Quare Numerus est vel et vel 1 utramque regulam deduci a trigesima quaestione Diophanti facilEprobabitur Sunto io N aequales I Q. - 2I imprimis patet numerum Numerorum O. maiorem esse quam IN. nam si esset aequalis, vel minor, eo ducto in im fierent Iom aequales vel minores illo. Quare cum Io N praeter I contineant at oportet Io ine maiorem quam m. Hoc
posito sic Buo in quo sumatur I N. A D. vel DB., si ponatur IN AD constat ex ΑΒ in ΑD. A. . . D n ς quadratili exin D. esse M. Quare eum productus exin B in 3μcmri. A D. ' sit aequalis quadrato et D una eum producto ex A D. in Di relinquitur pro ludiui ex AD in D B esse ai. Igitur quaerendi sunt duo numeri quorum summa sit Io. productum a r. Eodem modo si LN ponatur Di ostendemus ex AB. in D B. fieri io. N.&exa D. in Di fieri ar. Quare, prius quaerendi erunt duo numeri, quorum summa sitio productum a I. Quod ipsium quaerit Diophantus quaestione trigesima. Itaque si libeat uti primo Canone ibi allato. Summae Io semisse capto nempe s. ab illius quadrato
126쪽
2s auferemus produc tum 2I. residui . latus a. addemus vel adimemus ipsi , & fient quaesiti numeri . quorum alter est A D. alteri B.4 uterque valor Numeri esse potest. Qui est priruua modus nanc regulam perficiendi. Quod si utaris secundo Canones, incides in regulam Petri Nonuvi manifestum est. Sedin ex annotaris ad trigesimam patet si quadratus semissis Numerorum aequalis sit unitatibus , ipsum eundem semissem esse valorem Nunieri, signum enim est quaesitos D
Caeterum quia Diophantus ut iam monui ad definitionem undecimam peculiari utens methodo. nunquam adhibens parabolismum aequationes resoluit, quomodo id perficiat iam docendum est.
REGULAE COMPOSIT AE EX DIO PHANTO. Ducito numerum Quadratorum in unitates, producto adde quadratum semissis Numero tum in prima& secunda regula vel ab eodem quadrato aufer idem productum in tertia regula Summae vel residui cape latus , huic adde vel adime semissem Numerorum in prima vel secunda regula. Contra semissi numerorum adde vel adimeidem latus, tertia regula Summam vel residuum diuide per numerum quadratorum, fiet valor umeri. Verbi gratia D -- aodi sint aequales n. duello 3. in sa. sit se, cui adde Ioo quadratum semissis Numerorum , fit 236. cuius latus i6. unde si auferas Io remanet . quo diuiso pera fit a valor Numeri, eademque est aliarum regularum ratio. Disteri Ergo Diophantae methodus a communi in hoc solum, quod in communi diuisio per numerum Quadratorum fit ab initio, in Diophantaea methodo, eadem diuisio fit in fine. Sed demonstrandum est utramque methodum eodem recidereis Sit enim A numerus quadratorum,&a numerus unierorum, unitatum. Tunc per Diophan- . . . Ei Iatam methoduni duci. Δὶ nat D. sumptoquea semisse ipsiti R. Hiis qua- α dratus Faddatur ad D.&sat G. cuius latus esto II vi de auferendo E supersit Mi 'or' mintam communem methodum diuidandur perin ipsi A. B. C. unde sane
F ' nita M., numeri N. P. sumptoque in semisse ipsius N. eius quadra- . . . tus addatur ad .is fiat . cuius latus esto, unde ablato Q. supersi eis ci Erit ergo ut demonstratum est in pri in regula X. valor numeri. Dico
Θ O , 34 per . diuidatur produc eundem X valorem Numeri sumatur enim a. quadratus ipsius A. Qu9niam ergo M. est unitas , erunt continue pro
' pontoriales in M. in ratione cuius denominator est A, rationis ipsius L. -- ' ad M. denominator erit L. Cum autem idem A. ductus in P, in C. pro- dueat C MD etiti ad C ut C ad P. Mipsi Dci erunt proportionales ipsis L A M. eritque Dad P. ut L. ad M. Quare ex L in P. fiet D. Qitia etiam A fluctus in N. facit B, erit Bad N ut A ad M. Quare &dimidium E ad dimidium in erit ut A. ad M. Quamobrem quadratus F.ad quadratum 7 R erit, L ad M. Igitur, F ad R. ita est D ad P. Quare α' antecedentes simul, ut G ad con se mi sequentes simul, ut ad T. erunt ut L ad M. Ergo rurius latus Η. ad latus V erit ut A.ad M. Itaque cum ostensum sit esse quoque E. ad in ut A.ad M.erit, totus Had totum .ita ablatus E.ad ablatum in Quare reliquus Κ ad reliquum erit quoque viri ad M. Quamobrem diuiso K per A pr dibit X. Quς demonstrandum erat. Eadem prorsus ratione, idem euenire ostendetur in secunda regula. Nam omnia codem modo perficiuntur, nisi quod in fine fit additio loco substractionis. Vt in communi methodo addatur ad U. fiet vaso Numeri. Itaque in Diophantata methodo addatur E ad Η.& fiat . die si diuidatur per Α prodire eundem valorem Numelia. Cum enim ut ostensum est silmias, sicut Ead erunt .antecedentes simul, puta ad consequentes simul, puta ad Z in eadem ratione, quae eadem est eum rationein ad M. Eamobrem diuiso . per Α, orietura. Quod erat ostem
Non dissimili ratione ostendetur utramque methodum conuenire in tertia regula Sit enim Αquadratorum numerus QB unitatum , C numerorum. Tunc per Diophantaeam methodum ducto in B fiat D. & semiissis ipsius esto Eeuius quadratus Finde auserendo D. supersit G. cuius latus H quo detracto ex Eluperlit Κ, Leodem H addito ad eundem E at . Deinde per communem
s '' ineui usini ad ratus', unde auferendo N. supersita cuius latus V quo detracto ex luperisit c is eodem V ad Oddito fiat Z. Erit igitur valor Numeri tam Lyiι Φη'ς F qu ma. Dico itaque si ipsi K. . per A diuidantur prodire eosdem XZ. Nam umpto L quadrato ipsius Α, rursus, prius ostendemus in Lad M, Dad M. ' sed est C ad P, ad M. ergo rursus semissis E ad semissem Lest ut A ad M., δ' Quare & quadratus Fad quadratum R. est via ad M. seu uti ad N. Quamo'
127쪽
i. septimi. Z8M. septimi. rum Y et, Itemque residuorum ΚΛ X eadem ratio quis ad M. Quare si ipsi c&m dividantve per A orientur ipsi Z&X. Quod demonstrandum erat. Ex his tribus modis ab luendi regulas compositas, eum seliget peritus logista,quem compendiosorem iudicabit. Sanessi parabolismus citra tractiones fieri possit, communem praestat amplecti methodum, sin seeus,Diophantae compendiosior est. In utraque porro si numerus Numerorum sit impar Noni methodum adhibere iuvabit, nam ea commode aptari potest, non minus Diophantatae quam communi, Ut si N aequentur 6 ducto ni 26 fit 78. quia numerorum Numerus est impar sum eius quadratum o cui addo quadruplum ipsius 78. puta 3ra. fitque 36ti cuius latus is unde si auferas . superest. I a. quo diuis per numerum quadratorum 3 fit color numeri duplicati, ac proinde ipse Numerus est a vel si placet diuide Ia per duplum numeri quadratorum , nimirum per . fiet statim valor Numeri, sed de his satis.
Quoniam vero quaerendo duos numeros quorum summa, vel summa quadratorum , vel interis uallum , vel interuallum quadratorum,aut productum multinlicationis data sint diuersimod multae aliae non inelegantes quaestiones fieri possunt, quas omisit Diophantus, libet hie earum nonnullas subiicere , in quibus nobis non erit magnopere cauendum, ne in regulas compositas aequatio deuoluatue, eum illae iam nobis sint familiares, dum per eonditiones adiectas innotescat, an innumeris rationalibus solutio contingat.
Quaeruntur duo numeri, ut summa quadratorum ab iis ortorum, productus eorum multiplicatione sint quales posscimur oportet autem, siue addatur siue adim tur, suum, quadratorum, duplum producti, heri utrimque quadratum.
Esto summa quadratorum 3 productum multiplicationis is si placet per reductionem ad alia . minas quaestiones, ista variis modis solui potest. Rita enim summa quadratorum adscito duplo producti,4 1 paris aequatur quadrato summae numerorum. At summa quadratorum multata duplo producti, relinquit quadratum interualli numerorum; si ad 3 . addas 3o fiet 6 . quadratus summae. Quare ipsa summa est 3. Item si a M. auferas N. remanet 4 quadratus interualli. Quare ipsum interuallum est a Iam ergo per quatuor quaestiones inueniri possunt quaesiti numeri. Primo per trigesimam quaerendo duos mimeros quorum summas productum II. Secundo per trigesimam primam quaerendo duos num ros quorum summa 8. .summa quadratorum Iertio per trigesimam tertiam quaerendo duos numeros , quorum interuallum a produchimis. Quarto denique per primam quaerendo duos numeros, quorum summat interuallum a.
sed si peeuliari operatione rem absoluere plaeeat. Ponatur interuallum quadratorum I. N. erunt ipsi quadrati Z- N. MI - - IN. quorum mutuo ductu fit 28j- is aequale quadrato producti Is nempe II. Quare tandem 64 aequantur Iside fit I N. 8. Ad positiones sunt quaesti quadrati 2I.&p. quorum lateras.&3 sunt quaesiti numeri. Hine etiam Canonem formare licet.
A Quadrato semissis Fumma quadratorum aufer quadratum producti, residui iam additumis ademptum semispsumma quadratorem, ipse exhibebit quadratos.
Inueniantur duo numeri, quorum interuallum, .summa quadratorum ab ipsis ortorum, sint quales poscimur. Oportet autem duplum summa quadratorum multatum quadrato interualli, relinquere quadratum.
Esto interuallum 6 summa quadratorum 68 si per reductionem, quaestionem propositam sol- . . uere libet. Misa duplum summae quadratorum, aequatur quadrato summae numerorum, & qua-τ drato interualli, duplo ipsius 68 nempe a q6. aufer quadratum ipsius 6 nempe 36. remanet Oo. cuius latus Io est inma numerorum. Iam ergo soluetur quaestio per trigesimam primam, quaerendo duos numeros quorum summa Io. summa quadratorum 68. rursus per primaminum Tendo duos numeros, quorum summa ro interuallum 6 sed si peculiati est utendum operatione id ita fiet. Cum interuallum praescribatur 6. Ponatur alter numerorum 3 -- N alter IN 3 fiet summa quadratorum i -- L equalis O8. Quare fit i N. s. sunt quaesiti numeri 3.&a Hinc etiam Canon formabitur.
Dimidsum quadrati interualli aufer a summa quadratorum, residui semissis latus addisum est adem rem semis interualli quaesitos numeros exhabebit. prorsus conuenit cum sexta secundi potismatum, ut manifestum est.
128쪽
AESTIO TERTIA. Inueniantur duo numeri, quorum interuallum, interuallum quadratorum ab ipsis.
ortorum datos conficiant numeros oportet autem quadratum interualli numerorum minorem esse interuallo quadratorum.
Sit interuallum nunterorum 6 interuallum quadratorum si si libet uti reductione. Qui ex . ., interuallo numerorum in summam eorundem, fit interuallum quadratorum , diuidendo fio peri. V uotiens Io erit summa numerorum. Igitur soluetur quaestio per trigesimam secundam quaerendo uos numeros, quorum summa Io interuallum quadratorum 6 O Rursus soluetur per primam quaerendo duos numeros quorum summa Io. interuallum 6. Sed si peculiarem requiras operationem. Pone minorem quaesitorum I N. ergo maior IN. - 6 interuallum quadratorum est 36 quod aequatur 6o.&fitI. N. a. minor numerus Vel Pone maiorem I N erit minor x N. - Ιnteruallum quadratorum est nN.-36 quod aequaturdo. I IN. 8. maior numerus Hine sola
Quadratum interuali nitimaerorum adde ct adime interuali quadratorum, summam ct re disiis per dupti internam numerarum , prodιbunt quasit numera. Aliter etiam esto minor IN a maior et Nis o fiet interuallum quadratorum Iam aequale fici. Quare fici N. s. sunt numeri ut prius a. a. Hine etiam Canon alius formari potest. Diuiae anteruallam quadratorum e durum interuata numerorum, quotienti adde -- mesemissem antemam numerorum habebis suasitos
Inueniantur duo numeri, Ut productus eorum multiplicatione , interuallum radiatorum ab ipsis ortorum, sint quales poscimur. Oportet autem quadratum upli producti additum quadrato interualli quadratorum, efficere quadratum, cuius Iateri siue addatur siue adiniatur duplum producti, fiat quadratus.
Esto productus is interuallum quadratorum46. Ponatur summa quadratorum i N. Ergo si addatur ei duplum producti', fiet x, - - 3o aequale quadrato summae numerorum: vi ab M. au- .sHAC setatur idem duplum producti 3o 'fet IN. -3o. aequale quadrato interualli numerorum. Porro ruta ex interuallo numerorum in summam ipsorum fit interuallum quadratorum, patet ex qua a. a. paris. rato interualli numerorum in quadratum summae fieri quadratum interualli quadratorum. Qua smobrem ei N. ao inam. Io productus et in 'oo aequatur quadrato ipsius I6 nempe solidi fit x N. q. summa quadratorum. Reducetur ergo iam quaestio ad primam istarum quaerendo duos numeros, quorum productum Ie summa quadratoriim q. Vel etiam ex summa quadratorum
34. interuallo ipsorum 16. reperientur sigillatim ipsi quadrati s. s. per primam huius libes,
Aliter etiam,& facilius institui potest operati , talia quoque conditio praeseribi nimirum. oportet quadratum producti additum quadrato semissis interualli quadratorum saeete quadratum. cuius lateri siue addatur siue adimatur emissis interualli quadratorum, fiat item quadratus. Ponatur quadratorum alter I N. -- 8. alter IN. 8. Sic enim est eorum interuallum 16 Igitur eum ex quadratotum mutuo ductu fiat quadratus plani sub lateribus, ex N. - in I N. 8. fiet et Q - 4. aequale quadrato producti is nempe etas. fit IN. 17. suntque quadrati quaesiti's. is unde, ipsa latera 3.&3. noscuntur. Hinc Elieletur huiusmodi Canon. Quadratum produ m adde quadrato semissis interualli quadratorum , summa lateri adde est adime semissem interualli quadratorum, fient quadrati Dastorum numerorum.
Inuenire duos numeros, quorum summa, aggregatum ex producto multipli- eationis ix summa quadratorum , datos conficiant numeros oportet autem quadruplum aggregati ex producto multiplicationis, ex summa quadratorum multatum triplo quadrati summae, relinquere quadratum.
Esto summa Io. aggregatum expmducto&ex summa quadratorum 76 Esto alter numerorum s. IN. alter s. - IN. erit summa quadratorum so μὰ iroductum multiplicationis as 1 Lerso regregatum horum erit 7 - I Q. aequale 76.4 fit i N. I. sunt ergo quaesiti numeri . --Ηine formatur iste Canon.
129쪽
Ab aggregato exsumma auadratorum est ex producto multiplicationis aufer dodranιem 3μadrata summa residui latus additumis ademptum semissi summa, amasitos dabit numeros. Vel quod idem est. A quadruplo aggregati aufer ripiam uadrati siumma residui latus adriti ademptum iursumma , protabit duplum quasitorum numerreum. m. adi. 's si per reductionem velis hoc problema soluere ' Quoniam quadratus summae aequatur summa quadratorum de duplo producti, si a quadrato summae Iota ausuras 76 compositum ex summa quadratorum4 ex producto semel, residuum aequabitur producto Iam ergo tripliciter reducetur quaestio. Primo ad trigesimam quaerendo duos numeros quorum summario prodii elum multiplicationis et . secundo ad trigesimam priniam quaerendo duos numeros quorum summa Io. .summa quadratorum 32. nam cognito producto a cognoscituris summa quadratorum aufetendo a .de 76 Tertio ad primam istarum quaerendo duos numeros quorum productum et .summa quadratorum a.
AESTIO SEXTA. Dato aggregato ex summa quadratorum, ex producto multiplicationis, dato
que altero e duobus numeris, alterum inuenire Oportet autem datum aggregatum multaciim dodrante quadrati dati numeri, relinquere qtiadratum.
Esto datum aggregatum 2 . alter numerorum io. Ponatur compositum ex quaesito numero, ex semisse dati . N. ergo quaestus i N. 3 cuius quadratus est ay - rom. At alterius quadratus est loci productum vero multiplicationis ipsorum est Iob. Io. Quae omnia simul efficiunt I Q s. aequalia Ia . Qirare fies N. 7. ergo qiiaelitus numerus qui ponebatur IN. - . erit a. Ηine elicietur huiusmodi Canon. A dato aggregaro aufer dodran-- - - ----:. - Iaremanser semissem datinis.
Inueniantur duo numeri, ut summa quadratorum, compositum ex summanumerorum , ex producto multiplicationis , datos conficiant numeros. Oportet autem duplum huius compositi unitate auctum , additum seminae quadratorum, efficere quadratum, cui proxime minor quadratus, ablatus a duplo summae quadratorum relinquat etiam quadratum.
Sit summa quadratorum 34. Compositum ex summa numerorum, ex producto multiplicationis sit M. Ponatur summa numerorum LN ergo productum est 23 - cuius duplum M N. ρωdi quo addito summae quadratorum fit Eo. - N aequale quadrato summae tandem ria his N aequantur o quae est prima compositarum, N. 8. summa scilicet numerorum. Quare productum multiplicationis est 1. Itaque iam reducetur quaestio ad tres alias. Primo ad trigesimam quaerendo duos numeros quorurn summa g. eroductum is secundo ad trigesimam primam quaerendo duos numeros quorum summa 8., summa quadratorum tertio ad primam istarum, quaerendo duos numeros quorum productum Is summa quadratorum 4. omnibus modis inuenientur quaesti numeri 3. s. Hinc fiet anon. Summa quadratorum adde duplum compositi ex summa numerorum est ex producto, unitate avfrum.
Aggregati latus unitate multatum, erit summa numerorum.
Porro hic mi sequentibus per quadratum proxime minorem , intelligo illum cuius latus deficit unitate a latere quadrati cuius fit mentio.
Inueniantur duo numeri, ut productum multiplicationis eorum, lacompositum ex summa numerorum, ex summa quadratorum datos conficiant numeros oportet autem octuplum producti nitate auctum, additum quadruplo compositi conficere quadratum, cui proxime minor quadratus multatus sede cupio productici linquat quadratum.
Elto productum 6 Compositum ex summa numeroriim inuadratorum 8. Ponatur summari merorum ergo summa quadratorum 8 am eui addendo a duplum producti Het 3o. ' in 'H LN aenuali quadrato summae numerorum , puta QNuarea GH Im aequatur 3O. AE IN. s. summa scilicet quaesitorum nutrierorum. Quamobrem mma quadratorum est 3. Itaque iam licet ad tres alias quaestionem hanc reuocare, sicut & praecedentem,nimirum ad trigesimam primam,
130쪽
& primam istarum. Inuenienturque quaesiti numeria.&3. Hinc formatur huiusmodi Canon. uadruplo eompositi adde Octvlum producti nitate auf- aggregati latra unitate vitatum,
Inuenire duos numeros, quorum summa, .compositum ex eorum interuallo, ex silmma quadratorum, datos conficiant numeros oportet autem via dato composito auferendo semissem quadrati summa, residui duplum unitate auctum faciat
quadratum. Esto summa 8.Compositum ex interuallo numerorum,di ex summa quadratorum 16 Ponatur minor IN. maior H IN. horum interualluesta N. summa quadratorum 3 - 2 in Are a N. - aequantur s6.4 tandem a Q, adi sunt aequales et Ande fici N. 3 semissis interualli. ipsum ergo interuallum est 6. summa quadratorum so Itaque iam ad tres alias reuocabitur quaestio. Primo ad primam quaerendo duos numeros, quorum summa 8. interualIum o Secundo ad trigesimam primam quaerendo duos numeros, quorum summa 8 summa quadratorum so Tertio adsecundam istarum quaerendo duos numeros, quorum interuallum 6 summa quadratorum O. Omnibus modis inuenientur quaesiti numeri r Hine etiam elicitur facilis Canon. Aufer a dato composito sinissem quadrati summa , residui duplo adde nitarem, flet quadratur miradi EST IO DECIMA.
Inuenire duos numer ut interuallum ipsorum, compositum e summa nume torum,& ex summa quadratorum datos conficiant numeros oportet autem vi a dato compostolauserendo semissem quadrati interualli, residui duplum unitate auctum faciat quadratum.
Esto interuallum 6 compositum ex summis numerorum4 quadratorum 38. Ponatur summa nua merorum a N. ergo summa quadratorum erit 38-a N. ipsi vero numeri I N- . N. - ve eorum interuallum maneat 6 Fiet autem summa quadratorum, Q - 48. sed iam erat 18 a N. Igitur 18 N. aequantur a Q. 8. tandem a ' a N aequantur o. I I N. . semissis summae numerorum Est summa ergo numerorum 8 .summa quadratorum m. Quare rursusim uocabitur quaestio ad easdem tres ad quas praecedens reduci ostensa est, Minuenientur quaesiti numeri r fiet etiam Canon. Aufera dat composito semissem quadrati interuaui, residui duplum unitate auctam quadratia
flet, cuius latus unitate multatum erit μmma numerorum.
Non adiieitur hic alia huiusmodi quaestio.
I enire Nos numeros, ut summa quadratorum , compositum ex summa numerorum ex eo ram interuallo datos conficiant numeros.
Qui facile citra Algebram staui potest. Sit enim summa quadratorum so compositum ex summa numerorum, ex eorum interuallo Patet per Canonem prima libri huius, vel per visesimam tertiam primi porium. 4. esse duplum maioris numeri. Quare ipse maior numerus est, cuius quadratum 49 si auferas a Fo remaneti quadratus minoris.
Inuenire duos numeros, quorum summa δε aggregatum ex producto multiplicationis: ex interuallo ipserum datos conficiant numeros. Oportet autem ut excessus quadrati semissis summae super aggregatum, unitate auctus conficiat quadratum Velit excessus aggregati super quadratum semissis summae, ab unitate detractus, relinquat quadratum.
Est primum summa numerorum46 aggregatum ex producto interuallo s6. Ponatur interuallum a N. ergo productum erit scir. - a N ipsi vero numeria IN.&8-IN. quorum productum filo . I equale y - 2 N.4 tandem a N. - 8. aequantura in unde fit IN. . semissisi terualli, ac proinde ipsum interuallum est L productum 8. Itaque iam reducetur quaestio ad primam, cum summa sit 16 interuallum . vel ad trigesimam, cum summa sit 16 produi tum 48. vel ad trigesimam tertiam , cum interuallum sit 8 productum R, inuenientur numeri dira Dei ade esto summa Laggregatum ex producto interuallo l. Posito ut prius interuallo a