장음표시 사용
141쪽
HS c quaestio elim nulla primi libri eonuenit , quiequid dieat Sehesiastes, qui eam reuoeat ad trigesimam, trigesimam tertiam. Sed quam merito, sola collatione fiet manifestum. Caeterum sicut ἔ Diophantus,omparat productum ex multiplicatione duorum numerorum, cum eorum summa &cum eorum interuallo, sic idem productum comparari potest interuallo quadratorurn, summae eorundem unde duae huiusmodi sermabuntur quaestiones.
Inuenire duos numeros, ut summa quadratorum ad productum multiplicationis da tam habeat rationem oportet autem ut a quadrato semissis denominatoris rationis, auferendo unitatem supersit quadratus.
Esto summa quadratorum ad productiam, die ad a. Ponatur alter numerorum I M altera erit summa quadratonis I. productum IN. Quare I - . . aequatur . N.& fit LN ves a. vel . Itaque duo quilibet numeri in ratione dupla satisfacient proposito. Hinc fit Canon. Miravo semissis denominataris rasionis data, aufer unitatem , residui iatus adde vel assima eidem semis, orietur utroque modo denominasor, elonis , in εκ duo auilibet se Ni numeri fluunt,uaestionem. Ceterum notatu dignum est summam quadiatorum ad produltum eandem semper habere rationem, quam habet ad unitatem summa quotientum qui fiunt ex mutua laterum diuisione. Quod
A sis tiam sic ostendetur. Sint latera A B quorum quadrati EF, productum G., diuisic B sit quotiens C diuisoquem per A sit quotiens D. Dico ambos EF fimul ad 1., is E pas L .pue siςut ambos insimul ad unitatem. Etenim quia ducto D in A.&producto Ei, in B fit F, ' idem F. fiet ducto xin B,&producto G in D. Eodem arpimento ostendemus E fieri ex G in C. Cum ergo G ductus in singulos CD producat singulos EF patet ex summa ipsbrum CD in G fieri summam ipsbrum EF Quare ex definitione multiplicationis est summa ipsorum EF ad G sicut summa ipsorum CD ad unitatem. Quod demonstrandum erat.
142쪽
ta EsTIO SECUNDAEInuenire duos numeros, ut interuallum quadratorum ad productum multiplicationis datam habeat rationem. Oportet autem ut quadrato semissis denominatoris r tionis datae addendo nitatem, fiat quadratus.
Est interuallum quadratorum ad productum , ut 8. ad 3. Ponatur alter Numerorum LN alter T. erit interuallum quadratorum I Q 4. At productum LN Quare I aequabitur fiet x N. 3 vel si IN. supeonatur minor quam I. erit interuallum quadratorum I i in Quare I aequabitiira in N.&ietam. Quare manifestum est quouibet numeros in proportione tripla loluere quaestionem, hine fiet Canon. Odrato semissu denominatoris rasione data adde unitatem, lateri βmma adde me adime eundem semissem, utroque modo innotescet denominator rationis, in qua duo γιlibet numera sumpti satisfacient proposiv. Hie etiam accidit interuallum quadratorum ad productum multiplicationis eandem habere rationem , quam habet ad unitatem interuallum quotientum qui fiunt ex mutua laterum diuisione. Quod ex demonstratis in praecedente, manifeste colligitur.
rum numerorum interuallum, datam ha et caeso ita αυνών λογον ἔχη διδομον tam beat rationem Constitutum esto com τε- δωδε συούμ ον - - π αυτ ει μ
143쪽
dratorum ab ipsis ortorum, interuallum ipsorum superet dato numero. Opori autem quadratum interualli numerorum minorem esse compofito tum ex ipsomet interuallo , tum ex dato numero quo quadratorum interuallum superat ipsum numerorum interuallum Imperetur ut interuallum numerorum sica.Interuallum autem quadratorum superet interuallum numerorum unitatibus ao. Ponatur minora N. Maior igitur erit IN. - a. manet interuallum ipsorum et interuallum autem quadratorum est N. - . Oportet igitur N. - . superare unitate a. unitatibuscio. Quamobrem N. - . aequantur 22.4 fit IN. . . Erit igitur mi- noro maior 6 i. soluunt quaestionem.
Haec quaestio verbis paulum immutatis eadem est cum tertia illarum , quas ad trigefiniam tertiam primi sumus commenti. Nam verbi gratia quamere duos numeros quorum interuallumst a.& interuallum quadratorum superet ipsum a numero χο nil aliud est quam velle ut interuaIlum numerorum sit a. interuallum vero quadratorum 2a. Itaque eonditio ibi apposita eadem est eum illa quam hic praescribit Diophantus, nimarum suadratasimeruam numerorum debet essem. ωor intervallo quadratorum, cuius theorematis si quis peculiarem requirat demonstrationem eam afferre non pigebit. Sint dati numeri Aa BG quorum interuallum A D. iis vim B. BG sint aequa les. Dico quadratum ipsius AD minorem cile interuallo quadratorum ab ipsis A B. B C. etenim
myiaraxusini est aequalis quadratis partium A D. DB. duplo plani sub ip-
sita Igitur interuallum quo quadratus a, B superat quadratum absim seu abs DC est aequale quadrato ipsius A D. duplo producti exam in D B. Quare interuallum quadradratorum superat quadratum interualli numerorum , duplo producti ex minore numero in ipsum interuallum numerorum. Quod erat propositum. Sic contra si interuallo quadratorum addatur quadratus interualli numerorum, fiet duplum producti ex maiore numero in idem interuallum numerorum. Nam si quadrato ipsius A D. duplo producti ex x in D B addatur rursus quadratus ipsius A D. erit totum compositum aequale duplo quadrati ex AD, duplo producti exin D in DB, hoe est duplo producti eis B. maiore numero in x interuallum numerorum. Quod erat propositum. Quamuis itaque Canones allati ad tertiam illarum quas attulimus ad trigesimam tertiam primi, sint faciles expediti, ex hoc tamen Theoremate alium colligemus Canonem, sane
non inelegantem. Inter Eo clymia tortim adde vel adime quadratum interualli numerorum, Fummam res md uide per ininualium numerorum, quotientes erunt dupli a μον
b Orsei Pr κνάδε ε ο ρ ελα σωρIN a Nio duos numeros, ut inter uallum quadratorum ab ipsis , atqnumero superet interuallum numerorum, sic ad illum in data ratione Constitutum sit interuallum quadratorum, interualli numerorum esse triplum, superaddere adhuc unitates Io oportet autem quadratum interualli numerorum, minorem esse composito ex triplo sui ipsius, ex datis unitatibus Io. Ponatur
144쪽
CONDITIONI s appositae eadem initio est quae, appositae praee enti quaestioni, nil enim aliud requirat quam ut quadratus interualli numerorum sit minor interuallo quadrisorum ζ anones iidem hic etiam locum habebunt, vi maiiifestum est.
PRO Postru quadratum diuidere ramo m----- in duos quadratos Imperatum sit ut 14 His, iam δε Io . dividatur in duos quadratos. Ponatur M ...... ..... 4M HAMQ
meriSquotquot libuerit, cum defecturo is, . . - ia.... a Iunitatum quod continet latus ipsius, o me. - , -- - - - ίς
tatibus Is I in Communis adiiciatur , ta
OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT
C 'um autem n duo curis, aut quadratoquadratum in duos quadrato uadratos generiaiter nurum in infinitum tira quadratum potesatem in duos eiusdem nominis fas est diuidere cuius rei demonstrationem mirabium sane detexi.
Hane marginιs Aquitas non caperet.
QVAESTI IX. RVas ' oporteat quadratum is v Στ homo is μου -- δὶ diuidere in duos quadratos. Pona 32λῶ ἰ δύο - ραν tu rursus primi latus m. alterius vero ra
quotcunque numerorum cum defectu tot Ἀ--ο, λ.M in m. Iunitatum, quot constat latus diuidendi. ---δε ae Ἀὼ
Est itaque h. 4 erunt quadrati, hic ἔ--ψίαν -- T. VE
145쪽
kαι ἡ φθῆ ς πρώρου πλμα ἐς ἀμ, . ergo primi latus ': Atque ipse quadratus
PAR, aut nil differunt hae duae quaestiones, elim idem quaerant, de eodem prorsus operandi modo. Quare unica indigent explicatione. Operatio est sit btilis QDiophanti propria, qua insequentibus pulcherrimavi disti cillima perficit problemata, Mab alio ante ipsum nunquam excogitata Proinde tyronibus hie omni ope laborandum est, ut methodum istam fingendorum laterum perfecte eomerehendant, illique assuescant. Cum igitur Diophantus aequare velit quadrato I 6 rQId tali artificio peragit ut aequatione rite praeparata, tandem inter duas species proximas aequalitas consistat, se enim cum nulla opus sit radicis extractione, sed sola diuisione inueniatur valor Numeri, patet solutionem eontingere rationalem. Et hoc unum voluisse Diophantum praeter quam quod res ipsa clamat, ipsemet disertis verbis testatur quaestione undeeima infra, ubi eum de fingendo latere quadrati praeceptum dedisset, subiicit Sla enim una Deci uni speciei P ali remanente, expedietur a uoueo. Quod rursus iisdem sit verbis repetit quaestione duodecimari decima tertia. Hic itaque ut aequatio rite procedat, tria sunt obserualida. Prim ut in latere fictili quadrati ponatur unitatum numerus aequalis lateri quadrati diuidendi ἐn duos quadratos, ita Diophantus fingit hoc latus N. - Qv d fit idcirco , quia se necesse est in quadrato fietitio reperiri unitates aequales ipsi quadrato diuidendo, nimirum I 6 eum lex multiplicationis requirat, ex A. in nanta 6. Quare eum idem unitati in numerus sit etiam in altera aequationis parte, puta in is ineuidens est auserendo similia a similibus, unitates omnino tolli ab utraque parte, aequalitatem consistere inter proximas duas species, Quadratos scilieet,
Secundo necesse est ut unitates quae ponuntur in fictitio latere, adiunctum habeant signiam dein sectus , sic Diophantus ponit huiusmodi latus a N. - .in ratio est quia si poneretur a N. - nulla quadrati pars adiunctum haberet signum desectus , esset enim quadratus I6N. 36. Quare cum in altera aequationis parte sint unitates cum deserui quadratorum nempe Is I Q. ablatis utrimque unitatibus46. ut supra dimi est,maddendo derectum utrinque, nempe et remanerent L 2. 6. N. aequales nihilo. Vt igitur Numeri deficiant necesse fuit ponere latus quadrati cum detectu unitatum puta a N. - sic enim fit quadratus in ION. - 6. Quare adlatis utrimque unitatibus 15. addendo utrimque I Q. tum I 6 . remanent hinc s. Q. inde IK. N. inter se aequales. Denique multitudo Numerorum qui ponuntur in latere fictitio, debet esse maior ves minor unitate. Nam si ponatur unitas , orietur valor Numeri aequalis lateri ipsius quadrati diuidendi,&resoluendo hypostas es, ipsum latus fictilium, reperietur nihil. Ita si ponas in exemplo Diophanti, latus lanitium LN. - . fiet quadratus N. -- I aequandus is a Q. Quare auferendo similia a similibus,, supplendo defectus, remanent a inaequales 8 N.4 fit IN. q. Qitare latus quod positum erat i N. A. erit q. uri nihilum. Cur autem id contingat, ratio est euidens. Nam numerus quadratorum qui in aequatione remanet, semper aequalis est quadrato Numerorum qui ponuntur in latere ficto, adscita unitate, quare cum in latere ficto ponetur IN. numerus quadratorum qui manent in aequatione, crita in At multitudo Numerorum cuia aequantur et inest duplum latetis quadrati diuidendi, quia scilicet fit ex ductu i N. in dictum latus bis Verbi gratia in dato exemplo a Q aequantura . Quare cum duplum laterici puta 8 diuidetur per a neccsse erit oriri ipsum latus 4 pro valore umeri. Quod crat propositum. His sanet mobe intellectis totum Diophanti artificium percipietur. Sed abundantioris doctrinae gratia libet aduertere, eandem solutionem contingere, quamuis dupliciter instituatur positio secundi lateris, nimirum, siue ponatur in eo quaelibet multitudo Numerorum maior ea quae posita est in ptimo latere, siue alia minor, ita tamen ut inter harum utramque , illa sit media proporistionalis. Verbi gratia in exemplo Diophanti, siue ponas latus fictilium a N. - siue N. - . eadem continget solutio, fiet enim virobique I N. Quia scilicet N. est medius proportionalis inter a N. N. ωsie de aliis. Cuius symptomatis causa pendet ab huiusmodi Theoremate.
Sifuerint tres numeri proportionales, ut se habet auregatum auadratorum a duobus Irimis ad iamum, ira cr auregatum uadratorum a duobus postremis ad postremum.
Dis E, G si Si iri tres proportionales A. B. C. quorum quadrati DEG. Dico essem Esi. a is io s mul ad Α, si euta G simili ad C. Qiua enim Dad E est in duplicata ratione' lateris A. ad latus di sed . ad C est dupli eata ratio rationis A ad B, erit Dad φ si E sicut Α ad C eoilem argumento ostendetur essessi ad G ut A ad C. Quare est D ad Sut E ad G. t i. sutimi conuertendo G ad Evta ad D. Quis vero est D ad Evt A ad ' est vicissimi ad xvi E
146쪽
C. Itaque chm sit E ad D ut G ad Serunt componendo DF simul ad D, sicut EG simul, i , sed H.D ad A sic Ead vi ostensum est iam. Igitur ex aequo ut DE simul ad A sie EG simul ad x .sepimi.
C. Quod erat propositum. Hoc posito esto numerus Numerorum primi lateris, medius proportionalis inter ΑὐC. dico N r oti ponatur numerus Numerorum ecundi lateris , siue C. M 4 V3di eandem eoniingere solutionem. Sit enim latus quadrati di uidendi in duos quadratos. Igitur x Derit secundum latus, cuius quadratus constabit cx qua ε. se min. dratis ipsoriim Ain D minus duplo producti ex Min D cui addendo quadratum exi totum comis positiim aequabiturinii adrato diuidendo abs D. Quare auferendo utrimque quadratum ab D, Miransferendo deseetii in alteram aeqtiationis partem, manent quadrati ex ΑωB simul aequales
duplo producti ei in D. unde fit valor umeri diuidendo duplum producri exin in D per aggregatum quadratorum ab Α- . similiter ostendemus si secundum latus statuatur a D valorem Numeri haberi diuidendo di iplum producti ex in D per aggregatum quadratorum abs B&C. Cum ergo per praecedens Theorema sit, aggregatum quadratorum abs Ain B ad A. ita aggreP- tum quadratorum abs &C ad C. ae proinde per eundem duplum ipsius D multiplieando conse V k Iquentes, it ut aggrogatum quadratorum abs A B ad duplum producti exin in D. ita aggregatum
quadratorum abs B ad duplum producti ex C in D patet diuis seorsini duplo producti exin in per aggregatum quadratorum abs Λ ,, duplo producti ex B in C per aggregatum quadrato.
rum absi& C. fieri ob aequalitatem proportionis , eundem quotientem utrobique , atque ideo eundem utrobique reperiri valorem Numeri. Quod demonstrandum erat. Αduertendum praeterea primi quadrati latus poni posse quemlibet Numerorum numerum, dum in secundi latere ponatur maior vel minor Numeroriam numerus, verbi gratia ponatur primi latus N. erit quadratus, Q. Igitur secundus quadratus erit I6- cuius aliis ni gallina N. 4. fiet quadratus Q I N. - 46,aequalis I6 sin& tandem I3 aequabuntur ION. fiet, N. ἰ erieisitur primum latus' secundum quorum quadrati t. quorum summa ' seu Is . ubi ae-
vidit quod animadversione dignum est resoluendo hypostasim secundi lateris illud reperiti nonam. - . sed 4-2 N. Manet tamen eadem aequatio, Wres aeque bene succedit, quia quadratus. -i6 N. - Io cum quo aequalitas instituitur, habere potest duplex latus, nimirum a N. - . vel 4 am nec interest quo illorum effingi concipiatur Qu'd semel monuisse sufficiat, ne cui serupulum moueat quotiescunque deinceps simile quid continger San Franciscus Vieta in taliosi desectum sub ambiguitate relinquens tali nota uteretur ad eum significandum a N. - . Indicans scilicet ob in determinationem timeri qui talis esse potest via . nune maiores sint quam nunc minores, latus illud poni vel 2 - . vel 4-2N prout valo Numeri eommodius positionibus applicari poterit. Caetoli in ex operatione Diophanti nullo negotio Cano nerui potest. Sed omnium Acillimus ad huiusmodi quaestiones soluendas, elicitur ex propositione tertia libri tertii porismatum nimirum.
Dari auadrati latus Euide in duos numeros planossmiles, horum interua m. duplum messii pro
portionalis inter eos cadentis, latera exhibent auaesitorum auadratorum.
Vt si datus sit quadratus i6. diuide latus eius 4 in planos duos similes, habentes cilicet rationem quam 4 ad I. quod fiet per Canonem secundae primi, eruntque V quorum interuallum u relatera quaesitorii quadratorum sunt &j. Si autem 4 diuidatur rursus in alios duos. planos similes seruantes aliam proportionem, alia reperietur solutio, ut si diuidatur in duas partes seruantes rationem quam habent . ad O. erunt hae si , quarum interuallum, duplum edi proporti natis sunt γῆ - latera scilicet quaesitorum quadratorum. Attamen, ne quid tyrones fallat, aduertendum est fieri posse, ut idem uinertis bis diuidatur in duos planos similes , nec tamen per gemianam illam diuisionem quadratus illius bis componatur ex duobus quadratis. Quod accidit quotiescunque partium prioris diuisionis interuallum aequatur duplo med ij proportionalis cadentis inter partes posterioris diuisionis, &e eonuerso. Vnde necesse est per tranque diuisionem eadem quadratorum latera reperiri, non autem diuersa Verbi gratia, si idem diuidatur in planos similes
l&- quorum rario est quae Ladi sunt hi diuersi a iam expositis lin Attamen quia eorum interuallum idem est cum duplo med ij qui cadit inter v. ω conuerso interuallum ipsorum V idem est eum duplo mediiqui eadit inter nimirum patet per utramque diuisionem eadem reperiri latera ατ Vt autem hae ex altiori principio repetantur, id huiusmodi planis similibus
aecidit, quia illi sunt in ratione quadratorum I o. isti vero in ratione quadrator uni I. at priorum latera aequanti ir summae laterum posteriorum4 eorum interuallo, etenim posteriorum latera sint I. a. quorum summa interuallum, nimirum 3. I. conficiunt latera priorum. Hanc porro esse veram symptomatis huius causam more nostro libet demonstrare.
Sunt quadrati A C. quorum latera G H. itemque quadrati DI quorum latera cla ita vi ipso-i KL summa sit aequalis ipsis, eorumdem KL interuallum sit aequale ipsi H. Tune ducatur
147쪽
idem numerus Micipsos DC, ut fiant plani similes M, itemque ducatu idem . in ip ivt fiant plani similes T . ita tantino amborum MLS. summa sit aequalis tu inmae amborum T. X., ipsoru in G, medius proportionalis esto R, interuallum vero . Ipsorvi quoque Xo medius proportionalis estos, interuallum Z.dicotaino , ipsius R. quam vicissim Hipsius V duplum esse.
D. octaui. niam igitur quadratorum DF litteruallum P fit ex sum- γ ρε is , a laterum et in eorundem interuallum, fieti ex G in H ex hypothesi, at ex G invi fite . iam Rigitur B P. sunt aequales. At vero quadrati A C, simul quadratorum DF. simul dupli sunt, ex Mrs.septim in ipsos A C fiunt QS .e N autem in tesosi sunt Tm,cum ergo summa duorum QS sit aequalis summae amborum T X patet ex M in summam ipsorum Α C seri eundem numerum qui fit ex N. in summam ipsorum D F. Igitur ' est ut summa ipsorum A C ad summam ipsorum D F, ita N ad M. D. ρμλι. Quare&m duplus est ipsius M. Rursus cum ex M in ipso. C. fiantini. patet etiam ex M. in ipsos B. O fieri Ra similiterque ex N in ipsos E P. fieri .et. Quoniam itaque ex mini fit Z ex ,3 1. νειν M in B fit R. ωB P ostensi sunt aequales, patet ex eodem numero in ipsos N M. fieri ipsos GR. Qi iam obrem est Lad; sicut N ad M. ac proinde Test duplus ipsius R. Qii'd erat ostendendum. 3. t. peris. De uide cum summa ipsorum GH constet ex summa ipsorum XI&eorum interuallo ' erit sum-L,.Hω ma ipsorum GH dupla ipsius K.&quia interuallum eorundem GH fit ex summa ipsorum KL mul- tata eorundem interuallo Verit interuallum ipsorum Gi duplum ipsius L Quare productus ex summa ipsorum GH in eorundem interuallum , nimirum o aequabitur producto ex duplo Din duplum L, seu quadruplo pro luet ex X in L. Igitur O quadruplus est ipsius E. Proinde productus ex in o quadruplus et it producti ex N in E seu ipsius; sed quia N est duplus ipsius M. idem productus ex Nin duplus est producti ex Mino seu ipsiusa. IgiturY. duplus est ipsius V. Quod demonstrandum erat. Itaque ex omni parte constat propositum.
Hinc euidens est cur etiam cum Diophanto positionibus diuersimode institutis, eadem tamen nonnunquam solutio contingat, si enim primo statuantur numeri Numerorum utriusque lateris quales sunt Lis secundo statuantur iidem numeri Numerorum quales sunt G H. eadem per utramque positionem inuenietur solutio. Nam si ponas cum Diophanto latus unum IN aliud veroam nunt latera quaesitorum quadratorum dili AE autem rursus ponas latum unum IN. aliud vero, - . fient rursus eadem quadratorum latera Q Eadem de causu si prima vice ponas numeros Numerorum 2. a. secunda vice 4 1 non eontingit solutio diuersa, quia scilicet ipsorum a&et summa interuallum conficiunt ipsos s&I.& sic de aliis. Denique ex dictis melius universalius quam modo a itandro tradito, licebit cognoscere an propositus quadratus componatur ex duobus quadratis integris, immovi quoties in duos integros quadratos diuidi posse, respiciendo scilicet an latus eius duobus planis similibus integris componatur, & quoties ex planis similibus integris diuersis componatur adhibita tamen cautione ne duorum ex iis planis similibus interues Ium aequale sit duplo med ij proportionalis inter alios duos cadentis. Hac arte inuenies quadratum lateris F. quater componi ex duobus quadratis integris, quia scilicet ipse Is quater componitur e duobus planis similibus integris,nimirum ex I4 6.9 43. ba ex I6. -9.ωdenique exa o. r. Itaque per Canonem supra traditum inuenies latera quadratorum, ex quibus quadratus ipsius os componitur, videlicet 63. 46. vel 9. da vel 33. do . vel demum a1.4 6o. Sed de his latis.
148쪽
NMn vero numerum ex duobus cubis compositum diuideνe poterimus in alios da oseu bos liae quasti di cilis ane nec Baeheto aut Viet. cognita fortasse nec ipsi Diophanto eius tamen solutionem dedimus infra in notatis ad quaestionem fecundam lib. q.
ΡVticus RRIM v est hoc Problema, meiusdem naturae eum praecedente, cuius magnus est usus in sequentibus, praelartim libro quinto. Sed circa operationem Diophanti multa sunt obseruanda, quae Scholiastes Illander, vel non viderunt omnino, vel imperfecte tractarunt. Primo obseruandum ne in utroque latere fietitio idem statuatur Numeroriim numerus, alioquia non inuenientur diuersia quadratorum quaesitorum latera a datis iam lateribus, sed eadem prorsus, Scinutilis erit operatio. Ita in exemplo Diophanti si ponas fictilia latera i N. a. IN. q. vel rursusIN. -- . MIN. A. inuenies per utramque positionem eadem latera a. a. quae iam data sunt,&nihil actii erit. Quod ut sua demonstratione fulciatur sunto B C. latera data quadratorum . quorum summa Κ.4 ponatur ' certus Numerorum numerus in utro, ὰ que later fictitio, ita ut alterum sit Α-B, alterum Α-C. duplum
in xidem est atque ducere summam ipsorum BG nempe cin A. Quare duplum productum ex Bin A,4 ex C in A, aequatur duplo producti ex K in Α, puta ipsi E. Quamobrem E est numerus Numerorum qui reperiuntur in agscegato quadratorum assistitiis lateribus Α - Β ω - C. Atqui Dest numerus adratorum quilunt in eodem aggregato Proinde diuiso Eper fit valor Numeri. Itaque quia duplum xiii plum A ductum faciti,4 duplum A in Tacit E eriti ad E sicut A ad K. Quare diuisio K per A prodibit idem valor Numeri qui ostensus est prodire diuisora et D. Proinde cum relbluendo hypostases, ducetur valor umeri in Α, fieta, a quo auferendo B restabit utique C. auferendo C, restabit'. Igitur latus A B idem erit quod ipse C & latus Α - Cidem erit quod . Quod erat demonstrandum. Deinde ponatur unum latus -- B. alterum Α - .& sit Κ interuallum ipsorum BC sit autem Dut prius duplum quadratiis sed E sit duplum producti ex Ain K. h ζ, Pater ob signi diuersitatem, haberi numerum Numerorum eontento-Α6N. 'U3 v VI eum in aggregato quadratotum qui fiunt a fictitiis lateribus, si a duplo 7 in producti ec in C, auferatur duplum prod icti exis in B. hoc autem idem est atque clucere duplumis in interuallum ipsorum BG seu in . Igitur E est ille numerus Numerorum. Itaque cum D sit numerus quadratorum in eodem aggrcgato contentorum, diuiso Eper D orietur valor numeri. Quia ergo ducendo duplum Acin fit is, ducendo idem duplum Ain Κ fili, erit A. ad inuti ad Proinde diuiso X per Morietur item valor umeri,in resoluenda hypostases cum A ducetur in valorem Numeri fiet K. Quamobrem B aequabitur ipsi C., Α C hoe est C in aequabitur ipsi B. Quod erat propositum. Aduertendum secundo ad hoc ut aequatio procedat, in lateribus fietitiis ponendum esse latus
virumque datorum cum signo desemis, vel saltem alterum, ita ut in aggregato quadratorum fictitiorum numerus Nnmerorum reperiatur eum signo deseditis, ac proinde transeat in alteram aequationis partem , A maneant Numeri aequales quadratis. Quare tutissimus omnium modus fingendi latera quadratorum est, cum in utroque ponuntur data latura cum signo desectus,, tune nullα
149쪽
cautio adhibenda est, praeter eam qua tradita est aduertendo primo ut scilicet numeri Numerorum in diuersi is eam de qua agetur aduertendo ultimo. Ita si ponas latera I. N. 42. N. -3. fiet i N. in latera quaesita crunt; R. sic aliis infinitis modis variari positiones poterunt,& variete contingent solutiones, prout vari ponentur Numerorum numeri, qui tamen non sint prius positis proportionales, alioquin si portionales sint eandem exhibebunt solutionem, ut facile est demonstrate Qum si alterum tantum datorum laterum statuatur cum signo minoris, alterum vero cum signo pluris, dupliciter id accedere potest, quia vel minus latus ameitur signo vel maius latus. Itaque. Advertendum tertio, eum minus datorum laterum afficitur signes maius vero signo . . Ne cesse esse ut numerus Numerorum appositus minori ad numerum Numerorum appositum maiori maiorem habeat rationem ratione datorum laterum. Quare in hoc casu si ponatur verbi gratia alterum latus IN. -- 3 ponendum erit alterum 2 N. a vel M. a. sic in infinitum, ita ut numerus Numerorum secundi lateris excedat I qui ad unitatem seu ad numerum Numerorum primilateris eandem habet rationem quam 3 ad a. Huius rei causaeuidens est, quia oportet , t dictum est, in aggregato quadratorum fictiliorum numerum Numerorum esse eum signo . Quare inhoe
casu oportet duplum producti ex minore datorum laterum in Numeros sibi appositos, luperare duplum producti ex maiore in Numeros sibi adiuncto , quod patet fieri non posse nis obseruetur quod traditum est.
Aduertendum quarto cum maius latus datorum asscitur signo, minus vero signo Φ tune necesse esse, numerus Numerorum appositus maiori ad appositum minori lateri, maiorem habeat rationem ratione datorum laterum. Ita si ponatur alterum latus I N. q. statuendum erit alterum I, N. - a. veli N. - 2. .sic in infinitum, ponendo in secundo latere quemlibet numerum Numerorum minorem quam I vel si secundum latus statuatur Im -- a statuendum erit primum a. N. r. vel 4. N. 3.&sic in infinitum ponendo in primo latere quemlibet numerum Numerorum maiorem quam i . Qupit obseruari oportet ob causam in praecederite aduertendo allatam. Ita possunt haec duo praecepta in unicum contrahi, nimirum. Cum in uno latere fictilio ponitur alterum laterum datorum cum signo, in alterum vero ponitur in altero latere fictitio cum signo. oportet ut numerus Numerorum qui asscitur signo ad eum qui asscitur signo maiorem rationem habeat, ratione datorum laterum. Aduertenduin postremo, cum maius datorum laterum afficitur signo & minus signo . tune cauendum esse, ne numerus umerorum maiori appositus, ad appositum minori eandem rationem habeat, quam habet summa datorum laterum ad eorundem interuallum; alioquin idem sequetur
absurdum quod in primo aduertendo sequi ostensum est, reperientur scilieet eadem latera quae data sunt, nihil effectum erit Uerbi gratia si ponas alterum latus m. s. alterum I N. - . a. quias N. ad N se habet sicut sumnia ipsorum . d. ad eorundem interuallum inuenies tandem M. a. nil aliud esse quam a. 4 N. - esse idem quod 3. Huius symptomatis ausa ex huiusmodi Theoremate pendet. Datis auatuor numeris auorum primus ad secundum sit ut summa tertis quarti ad exeusum tert' supra quaruim .erι aggregatum quadratorum prim ct secundb ad productum ex primo in tertium mutiatum produm ex secundo in quartum Sicut primus ad semissem fiamma tertis est quarti vel sicut secundas ad semissem interualli eorundem.
Sint dati quatuor numeri ABCD & ipsorum C D interuallum sit E cuius semissi, cὸ Meorundem CD summae semissis sit F. aggregatum quadratorum ab ΑωB sit H. productum autem exin in C multatum producto ex B in D esto Κ.4 ponatur esse Aad B sicut summa duorum C D ad eorundem interualluma, hoe est B 3 UM ui F ad G die ense sit eu H ad K sies ad F vel B ad G. Quia enim ex ad BH4; g. sicut F ad G, erit vicissim ad F sicuti a G. Itaque sumanturam qua drati ipsorum ΑΒ quorum aggregatum positum est H Qec in A fiat R.
L s II 4kG QB fiat P. Quia igitur F est semissis summae ipsorum CD, ω semissisy ' in ei ualli eorundem; G simul aequantur ipsi R&GI simul aequantur ipsi C.
eoroll. s. inare dueere C in Aciden est, atque ducere Go F in Α, ' productum autem ex Gai aequatur
t. reis h o ducto Y F in B qui aesta ad B, F ad G tur productum ex C in Maequatur productis χr. sviIαι P in Α, ex Pin B. Quoniam vero Faequatur ipsis D . productum ex Pini aequatur producti, e D in B,& ex G in B. Quamobrem oroductum ex C in aequatur productis ex F in Α & ex Din B.&ex G in B. Itaque si hinc auisatur productus ex in B, utique productus ex Cin Α multatu, producto ex D in B, hoc estri manebit aequalis productis ex F in ΑΛ ex in B, hoe est ipsi, RP. Iam vero quia idem A ducitiis in seipsum, &in F producit L&R. erit Lada sicut A ad F seu sevi Bad G. Similiter quia idem B ductus in seipsum in producit M& P. etit M ad P seut Bad G. Istitu est Lad I sicut M ad P.& duo antecedentes simul, nempe H ad consequentes simuI, nempe ad X, sunt uti ad F seu Bad G. Quod demonstrandum erat.
150쪽
His praemissis , si ponantur data latera CD.& sint A. B. numeri Numerorum sitque unum latus fictilium Λ - , alterum B - - . fiet aequatio inter aggregatum quadratorum ab Αω , inter duplum producti ex Λm C multatum duplo producti ex Bin D. nempe inter Ire duplum ipsius
F - xkς ψ νδὶ Numstri diuidendo duplum ipsius Fleti, Quia autem 'E,. H ad', sic est A ad F. eritis Had duplum , sicut A ad duplum F. hoc
B; G 1. . si ad summam piorum C D. Quare hac summa diuila per Morietur quoque H,,a. o. c, N. --δψ Numςxi Proindς ςsoluendo hypostases cum unitates ipsius A dueen Sst γ' tu il valorem Numeri, fiet Maequalis summae ipsorum CD, unde patet Α C fore aequalem ipsi D. Similiter quia vi H ad duplum Κ. sic est B ad duplum . nempe ad E, diuiso Eiet Dorietur rursus valor Numeri. Vnde resoluendo hypostases eum unitates ipsius B ducentur in valorem Numeri, fieti aequalis ipsi E. Quamobrem B D necesse erit aequar ipsi C. Quare ex
omni parte patet propositu n3. Idem quoque ablurdum equitur, cum in utroque latere fictilio ponuntur data latera cum sieno desectus, si Num crorum num crus minori appositus, ad appositum maiori eandem rursus habeae rationem quam habct lumina datorum laterum ad eorundem interuallum , ut si in hypothesi Diophanti ponatur alterum latu MN. - alterum LN.-3. Quod eadem fui litate demonstratur, hoc praemisso Theoremate.
Datis quatuor numeras, quorum primu adsecundum sit, summa terris est quarti ad Meessum quarti supra tertium , erit 1gregatum ημdratorum primi est secundi, ad aggregatum productorum exprim insertium , ex secundo in quartum, sicut primus ad semissem summa reiij est quarii, velsior secundMs adsemassem interuam eorundem. Demonstratur autem hoc theorema eadem fere ratione qua iraecedens, imo ex illo facile insertur, probando scilicet eundem K fieri siue a producto ec in C. auferatur productus ex Bin D: sue producto ex Ain D. addatur productus ex in C. od tibi relinquo considerandum exercitationis ergo.
Vari Canones ex varia positionum institutione formari possent, sed quia parum in eis esset omis pndij, huic labori supersedeo. Verum Canonis loco libet explicare modum perficiendi hoc pi ema a Franeisco Vieta traditum, etetico 3 libri quarti qui talis est. Constituantur latera data, ποrreusa duorum triangulorum rectangulorum similium Summa baseos primi est perpendiculi secuηdi; itemque interi lium perpendicia primi baserassecundi vestam 1erualium baseos primio perpenriculi secundi olimque summaperpendiculi primi, ct baseos δε--ndi constituent qua irorum quadratorum latera.
Porro quili, num crus fit hypotenus trianguli rectanguli per praecedentem, diuidendo scilicet elis quadratum in duos quadratos Verbi gratia, sint data latera a. a. si per Canonem praecedentis diuida et in duos planos similes, videlicet qui sint in ratione Lad erunt hi ex quibus sedimabuntur latera circa rectum trianguli rectanguli; μ . Rursus divi de 3 in duos plano similes, quique sint in eadem ratione I ad 4 erunt hi l xv ex quibus formabuntur latera circa rectum triansuli rectanguli 44. Habemus itaque latera circa rectum triangulorum similium,nimirum -- ω I.1um. ma baleos primi perpendiculi secundi ex interuallum autem perpendiculi primiis baseos secundi est . Sunt ergo latera quaesitorum quadratorum 'eis . vel summa perpendiculi primi & baseos secundi est' interuallum autem baseos primiis perpendiculi secundi est j. Rursus ergo quaesitorum latera esse possunt M'. Huius rei demonstratio in promptu est. Sunto data latera Α. B. inue o nienda sint alia latera, quorum quadrati aequentur quadratis ipsorum Assi fiat hy-cq si, potenus trianguli rectanguli per praecedentem, sintque latera circa rectum D fiae ' item Bhypotenus similis trianguli, cuius latera circa rectum sipi EF. Ita vi quadrati' ipsorum CD sint aequales quadrato abs Ain quadrati ab Evi F. sint aequales quadratoc ad B. sit C ad D viri ad F. Denique ipsorum S summa esto G interuallum Latem Τ' , ' ipsorum PD summa esto cinteruallum Η. Dico latera quaesita esse G H. vel etiam K L. Quia enim est C ad D ut E ad F. Erunt tam quadrati duorum G H. quam quadrati duo c. 'rum I aequales quadratis omnium CD EI. At quadrati ipsorum C D. EF aequantur quadratis duorumina ex hypothesi, igitur quadrati ipsorum AB aequantur quadratis ipsorum G H. vel etiam
ipsorum ML. Quod erat demonstrandum.
in dato interuallo Constitutum sit in V, υπε: η τη δελι re nisετριέω δὴ