장음표시 사용
151쪽
zm en ποτε, μονον να- Ο - τ α γε libet unitatum, dummodo harum quadra- 'γωνος ὐπεραρη περρέ- δ δεθῶπιν, tu non superet interuallum datum. Sic
VER A illa, Di modo harum quadratus non superet interuallum autum, caute accipienda sunt. Nam in exemplo Diophanti, ubi interuallum datum 6o non est quadratus numerus, re bene habet, nam cum non possit dari quadratus aequalis numero non quadrato qualis est 6o quicunque quadratus accipiatur non maior quamino is necessario minor erit, quod requiritur ut aequatio rite tirocedat. Sed si datum interuallum esset quadratus numerus, tunc non susticeret ponere in latere ecundi quadrati unitates, quarum quadratus non superaret datum interuallum , sed ponendae essent unitates, quarum quadratus dcficeret a dato interuallo Verbi gratia sit datum interualliunas. Ponatur latus alterius quadrati IN. alterius vero IN. - fient Io . - 2s aequales etc. Quare IO N. aequabuntur nihilo. Itaque oportet fingi latus secundi quadrati ab I N. se tot unitatibus, quarum quadratus sit minor quam et .viIN. - I.&fient a N. I aequales F. eritque N. Ia sunt ergo quaesita later ra. 43. satisfaciunt proposito Quamobrem melius Qvniuersalius praescribetur conditio hoc pacto. Dummodo harum quadratus sit minor dato inre M. Caetcrum ex operatione Diophanti elicietur huiusmodi Canon. Sume meemuis quadratum mi rem dato interuallo , eumque subirahe a dato interualis , residuum diuide per duplum lateris sumpti quadrati, orietur vinum latus quasit oram, MFaddas Iasus limit quadrati, et alterum latus. Aliter etiam institui potest operatio, nimirum. Ponatur minor quaestorum quadratorum I Q. ergo maior erita fio fingatur eius latus ab I N. -- tot unitatibus, quarum quadratus sitiaranor quamino. fiet operatio eadem eum operatione Diophanti. Vel fingatur quadrati eiusdem latus ab I N. - tot unitatibus, quarum quadratus sit maior quam Oo. verbi gratia fingatur ab IN. I fiet quadratus -- a N. Wroo aequalis L --χo de fiet IN. xeruntque quaesta laterae 2.&8. Hinc rursus sormabitur iste Canon. neque ι quadrarum maiorem dato inte alio fias eos trabe datum inter Eum residuum iuxta per duplum lateris flumpti quadrati , orιetur num latus quasi orum , quod subtrahe atinere sumpti quadrati set alserum latus. Aliter rursus Ponatur maior Quadratiis Line itergo minor I in 6 o. ius latus fingatur ab N. - quotlibet unitatibus, puta abam. Io fiet quadratus ao N. -- Ioo aequalis Q so. fiet i N. 8. eruntque quaesita latera 8. H inc etiam formatur huiusmodi Canon. Sume quemlibet quadratum quem adde dato interuallo, summam diuide per duplam lateris sumpti quadrati , orietur πι- latus quasitorum, a quo aufer latus sumpti quadrati, vel contra;
Porto Canon omnium elegantissimus, quo sequenti quaestione utitur Diophantus, malibi saepe elicitur ex tertia secundi porismatum, adiuuante vigesima tertia primi, vel Canone primae si uni Diophanti, nimirum. Cape duos numeros quorum mutuo ductu fiat datum interuallum, horum summa semissis, est semissis interuali eorundem, qua Pomm quadratorum exhibebunt latera. Sit enim Α datum interuallum,i ex B in C fiat Α summae autem ipsorum Bis senili sis sen iis vero interualli eorundem BC. esto E mi erso constat perri' vigesimam tertiam primi porismatum , vel per Canonem primae primi Diophanti sum-λ niam ipso tum in aequari ipsi B in interuallum eorundemissi aequar ipsis patet fieri ex summa ipsorum D in eorundem interuallum. Quamobrem A est interuallum quadratorum ab ipsis D E. Quod erat propositum. Hinc autem melius, uniuersalius quam modo DXilandro tradito cogirosei poterit, an inih-
152쪽
tegris quaestio solui possit, immo an pluribus modis in integris solutio contingat si enim ipsi
BC tales desis posistit, ut uterque sit par vel uterque inpar , patet tam eorum summae, quani interualli uinillam in integris haberi. Quare ipsi D integri erunt ut iam docuimus ad primam primi S aute in ipsorum BC alter sit par, alter impar, non poterunt ipsi, ha- Det nisi diuisa nitate. Quamobrem quot modis reperiri poterunt duo numeri mutuo ductu conficicntes datum interuallum mitorum uterque sit par vel uterque impari, tot modis per integros soluetur quaestio. Vt dato interuallo eodem 6o quia id fit tum ex iocinis tum exclo in a. quorum uterque par est duobus modis in integris eontinget solui quaestionem, eruntque quaesita latera 84 2 velis 34 similiter dato interuallo is quia id fit tum ex is in i tum ex Linci duobus modis in integris soluetur quaestio, eruntque quaesita latera S& . vel q& I. Rursus dato interuallo 48. quia id fit tum exa ina . tui ex cincia tum ex in8 tribus modis soluetur quasti per integros, di erunt quaesita latera 33. I. vel g& . vel denique & I. Vnde sequitur quod iam aliter demonstraulinus in Corollario vigesimae secundae primiporis i datum interuallum sit pariter impar tantum , non posse solui quaestionem in integris, nam non metietur illud numerus par per parem , alioquin esset pariter par contra hypothesim , non metietur etiam idem interualluinnumerus impar per imparem , alioquin esset impar, quod est etiam contra hypothesim QEam brem relinquitur, metiatur tantum illud numerus par per imparem , ac proinde, ut ostensum est, non continget solutio in integris. Si autem datum interuallum sit impar, vel quilibet numerus pariter par supra quaternarium , soluetur quaestio semper in integris. Quia quemlibet imparem unitas nactitur per ipsumn me imparem. At quemlibet pariter parem metitur binarius per eiusdem pariter paris semissem qui semper est par. Excluditur autem quaternarius, quia metitur eum tantum a binarius per binarium non potest autem idem binarius esse summa, interuallum duorum eorun 'in dem numerorum , nisi pars ponatur aequalis toti.
N. --s aequalis quadrato. Et hoc genus ὁ δὲ ι bὸ ia γ σοι τραγώνοιe. καὶ vocatur duplicata aequalitas , aequatur a .. δπλισοτhe, Bλιι autem sic. Interuallo conspecto, quaere Dia Φρειον ἀγον. ρων - αν-χω duos numeros quorum Vnius in alterum isti δά άρ θμομ, να D- αὐοποι ει multiplicatio producat istud interuat vita inlis: λαὶ δὲ, δε ιυναδεο Ium. Sunt autem hi Q. Horum Vel ,γαράν του- σι ει ιβρχi, τὸ μισυ interualli semissis in se ductus aequatur Ἀαι. - -- ἐλάα- ντῆ m-- minora, vel summae semissis in se ductus Θ m. Gαι. λ Φύ
stum propositum. Ne autem in duplicatam aequalitatem Incidamus. 1I a endum. Inuenire nume
merum aliquem qui adsim ens binasium I μ Τρη ''- ς ρει ςλα- faciat quadratum, vel quis numerus ad λς iecto te nario fiat quadratus.Porro a quo 'cunque quadrato subtraxero di vel 3 is '
153쪽
ται- ισα τε γωνιου πλαασω τὸν Λ γωνον N. cum desectu tot unitatum ut resolutis
. VPLICI operatione quaestionem hanc eleganter absoluit Diophantus, sed neutram Scho- liastes , itandetve satisfeliciter explicauit. Sane quod ad primam attinet, in qua duplicata aequalitate utitur author , bene monet uterque eam niti primae secundi. Sed id totum non sufficiem eius adaequata ratio perfecte comprehendatur , nam licet inuenerimus duos quadratos eodem interuallo distantes quo distant dati numeri ea lege ut maior maiorem datorum superet, minor minorem, non statim constat per hanc duplicatam aequalitatem utrobique cperiri eundem valorem Numeri, quod unum curandum est ut quaestio persecte soluta sit. Hoc ergo sic demonstrabia, a mus. Sint dati Numeri Assi quorum interuallum C. Ponendo ergo quae-1N scio. Psixum numqrum I N erunt quadrato aequandi IN. - Α&IN. - B.suiae mantur duo quadrati Da eodem interuallo C distantes, ita ut insit - 4o Qxm in A, E sit maior quam B. Dico siue inaequetur IN. - Α siue' ' aequatur1N- B eundem utrobique reperiri valorem Numeri. Quis
r. t. tori . tum ex constructione est in arithmetica medietates ad B ut D ad E. Verit& permutando in eadem medietates ad D,sicuti ad E. Igitur si sumatur F excessus D super A, erit idem F excessus E super B. Cum ergo aequando D cum in detrahentur similia, similibus, nimirum cum Autrimqueauseretur, remanebit aequalis IN. sed etiam aequando Teuma No B auferetur vitinique Briremanebit idem Uaequalis et . Quare constat propositum. Hoc demonstrato, patet totum duplicatae aequalitatis negotium in eo vcrsari, ut inueniantur duo quadrati eodem interuallo distantes quo distatu dati numeri , quod sane fit rer Canonem postremum ad praecedentem allatum , qui ut ostensum est , totus pendet a tertia secundi orismatum. quae eadem est cum quinta secundi elementorum. Verum quilibet quadrati quorum sit idem interuallum quivi datorum numerorum, non statim apti sunt duplicatae aequalitati resoluendae, sed tales deligendi sunt, ut maior superet maiorem datorum numerorum, minor minorem. Hoc quidem vidit Seholiastes, sed in eo allueinatus est, ut bene monet itander, quod arte certa tales quadratos reperiri posse negauit. Ipse quoque ilander in affinem eius quem reprehendit errorem lapsus meliora non affert, sed indicata tantum necessitate tales quadratos reperiendi, quo pacto id fieri oporteat, ni inini docet. Res tamen faeilis est, nam tales numeri sumendi sunt quorum mutuo ductu fiat datum intriuestum, vi summae illorum semissis quadratus excedat maiorem datorum numerorum , ut in exemplo Diophanti, ubi interuallum est I maior numerorum 3. Oportet inuenire duos numeros quorum mutuo ductu fiat i.& quorum summae semissis quadratus sit maior quam 3 Quare cum summae ipsius quadratus sit quadruplus quadrati semissis, oportet summae quadratum excedere a Proinde elim latus proxime maius ipsius Ia sit 3. . necesse est summam
quaesitorum numerorum quorum mutuo dum nata excedere ἰ vel sanc non esse minorem. Hinc
est cur abiectis a.&e. Itemque 3. se legerit Diophantus 4 α . potueritque corum loco su merer.&l. vel 6.&: aliosque infinitos, quorum summa maior est quina I. Ita si dati numeri sine 3o.4 6 cum eorum interuallum sit a . maior vero ipsorum o euius quadruplum Iao quaerendisrunt duo numeri quorum mutuo ductuiat et . ita ut eorum summae quadratus excedat Izo.
154쪽
Quare cum radix proxime maior ipsius Do. sit II oportebit quaesitorum numerorum summam esseniatorem quam, vel certe non minorem. Quare rue sumi poterunt a. cia vel 3. 4. aliique infiniti quorum summa maior, vel non minor quam in sedeandem ob causam reiicientur 6. aliique infiniti quorum summa minor quam II.
Quod attinet ad secundam operationem verba, illa στε τό δ δυανάμω cet ταων ---α ουν αὐτοὶ τας et οε τεθρια αὐτῆ λωψ e κρναδec, alio mendo non laborant , quicquid dicat Xilander, nisi quod vox ταρ c temere inculcata erat, nam legebatur in codice ma nuscripto, αυτr inc Poεκτὶ ε, α πιι, τεταρπc λειψεωc μονάδαc. Caeterum hae voce sublata, reliqua bene labent, ne ullam pariunt dissicultatem, nisi ex praua ilandri interpretatiOne, qui ea sic conuertit visubstantι quadrati earum severet 8sas me positas defectus umiato. Cum tamen vox Hypostasi hoc loco Malibi semper apud Diophantum significet, non ipsas unita te quae ponuntur in latere fictilio , sed ipsum valorem numeri vel quadrati positionibus applicatum, ut iam docuimus ad primam primi. Hinc etiam erroris causam praebuit itander Christophoro Clauio cap. 29. aenigmate 98 sed & Raphael Bombellius in eodem lapsus est lib. . suae Igebrae Problemate 66. Quare relictis illorum inutilibus commentis, genuinus horum verborum lensus
hie est vi quadrati dipsas supere ipsis ante positas defectus nitates , veI ut clarioris doctrinaefratia interpretati sumus, ut resolutis 'postasibus Lesepere ipsas ante positas defectas nitates. Cum
enim quaesitus numerus positus sies Q a manifestum cst valorem quadrati talem reperiri debere ut superet 2. Id autem arte certa oui consequi possis non docuit hic Diophantus. Sed proficio insequentibus saepe tali utitur artih οὐ litoties sinat quid accidit. Quia numerus aequandus quadrato est Q -- .patet si eius latus fingatur IN aliquot unitatibus valorem Numeri oriri diuiden do quadratum ipsarum unitate multatum per duplum earundem unitatum .Quia vero I in ut dictum est debet esse maior quam a. sumpto latere proxime maiore ipsius a. nimirum L . oportet valorem numeri maiorem esse, vel certe non minorem quanici ' . Igitur eo redacti sumus ut inueniamus numerum, cuius quadratus unitate multatus divisus per duplum ipsius mimeri, de quotientem maiorem vel certe non minorem quam L Esto huiusmodi numeriis I N. ergo is maior est veICerte non minor quam I .&omnia multiplicando peram fit I O a. non minor quam N, ac proinde innon minor quam 3 N. - . qua aequatione resoluta, fit IN. non minor quam is e- sumptoque latere ipsius nimirum Di si ei addas I I. N. non minor quam 34. Quamobrem aequantes quadrato I Q fingemus eius latus I N. - quotlibet unitatibus quae superent et irae Diophantus finxit ho latus I N. - . Possetque etiam fingi N. s. vel Im s. sie in infinitum. Itaque ut ista tyronum memoriae firmius inhaereant, pracet paulo aliter positiones instituere, quod fieri posse indicauit Diophiantus his verbis. Porro a quocunque quadrato subtraxero aisve 3 is erit quiquarιtur. Ponatur quaelitus numerus I Q 3 is enim adsumpto 3 quadratum facite At idem absumpto a. iacit, I r. Hoc ergo aequatur quadrato Fingo quadratum ab N cumclate diu tot unitatum , ut hypoliasis quadrati superet ipsas ante positas defectus unitates, nimirum 3 ut ergo determinemus de hoc unitatum denumero, quia fiet valor Numeri diuidendo quadratum quaesitarum unitatum auctum unitate per duplum earundem unitatum Oportet I in maiorem esse quam 3 atque adeo IN. maiorem esse ve certe non minorem latere proxime maiore ipsius 3. quod est a Patet eo nos adduci ut inueniamus numerum , cuius quadratus unitate auctus, α diuisus per duplum ipsius numeri det quotientem non minorem quam a. Esto huiusmodi numerus N. ergo maior est , vel certe non minor quam a Moinnia ii N. Igitur L - I maior est vel eerte non minor quam aequationere Iuta fit Im vel a -- Ra vel a - sq. Ioeou sumendo latus proximEminus ipsius y nempe Iuratam vel maior quam 3. q. vel minor quam: Hic enim ob valorem Numeri duplicem, duplex inuenitur terminus alter supra quem, alter vero insta quem sumi potest valor umeri Possumus ergo quadrato aequantes I - i. eius latus fingere abi. N. quotlibet unitatibus quae sine maiores quam 3 . vel minores quanis fingatur I N. - . fiet quadratus I Q 8 N. - 16 aequalis Q. I.& tandem IN. est , unde fit quaesitus
numerus R. idem qui repertus est per operationem Diophanti. Fingatur rursus latus Quadrati i N. ' fiet quadratus 1 4 -- , - ἰ aequalis Q I. unde se I N. in est quaesitus numerus cui addendo 3. a. sunt quadratia ' i . Si cui porto laboriosior videbitur haec operatio, Iieebit etiam aliam instituere magis expeditam,&quae tantas difficultates minimὸ patiatur. Fingatur in eodem exemplo, quadratus aliquis ab LN - tot unitatibus quarum quadratus superet malorem datorum numerorum 3 puta ab I. N. a. fiet quadratus 1 -- N. - q. Hinc ergo auferendo 3 statuatur residuum quaesitus numerus, nempe - N. I. is enim adsumens . facit quadratum. Restat ut madsumpto a quadratum faciat. Facit autem I N. -- 3. Hoc ergo aequatur quadrato, cuius latus fingor . tot unitatibus quarum quadratus superet; unitates numeri quadrato aequandi, estolatus illud M.
155쪽
raut supra. Ex his omnibus operationibus variiCanones elici possunt ic omnium sucillisnus
prima fit, nimirum. De LM aiiadratos eodem interuatio distantes quoi dari nismer distant, se altis mas ores, cra inarare quadrato Ure maiorem numerum, vela minore minorem, resi m auod erit deus utrarique, quassum exhibebι numerum.
duobus numeris auferre numerum, facere resi-
duum trumque quadratum. Initanctumst vim o Marii auferatur Idem numeruS,Qutrumque residuum sit quadratus numerus. Qualemcunque vero quadratum austro de altero ipsorum s statuam reliquum cum hujus defectu, is enim detractus relinquet quadratum. Esto grtur quadratus a 9. detractus I inrelinquentur ergo 9- QUOportet igitur etiam a 2I. auferreo IQs facere quadratum. Sed si adi abstulero . I. Q relinquI tura Q. - 42. Hoc ergo aequatur quadraro, Fingo quadratum ab 1 N. cum desectu
tot unitatum, ut quadratum earum amplius sit quam 11. Sic enim rursus ab vir que parte una species uni specie aequalis relinquetur. Esto itaque unitatum 4. ipse igitur quadratus erit Lin ΦI6. I. N. qui aequabitur L - - Ia Auserantura similibus similiari relinquuntur MN. aequales . fit N. Atqui . faciunt Pseu unde desectus 1 Lauseratur, scilicet g. satisfit proposito. IN
V EST O ME A XIII. Liui Aτio quam praescribit Diophantus circa latus fie litium, omnino insufficiens est. v
si libet experiri finge illud i N. I. quandoquiden quadratus ipsius L excedit a fiet quadratus I Q -I6 N. - aequaliscis a. 4 et i N. 3 . Quare quaesitus numerus qui positus erat . I taberi non poterit , quia inest maior quam s. Itaque eum duo praescribendi essent te mini intra quos eadere dcbet numerus unitatum ponendus in latere fictitio, unum duntaxat praefiniuit Diophantus, nimirum 1a seu potius latus ipsius a. Quod cum sit paulo minus quam L .rccte dic cinus cum Dioeliant numerum illum unitatum debere superare et vel eri non esse minorem Sc hoc non sufficit, nam praeterea necesse est, talem fieri valorem Numeri ut resoluendo hypostases L sit minor quam s. quia scilicet quaesitus numerus positus est, I Q Quare oportetam minorem en quam 3. Quia ergo aequando quadrat, a. fingendo latus 1 N. - aliquot unitatibus, fit valor Numeri ex quadrato unitatum illarum multato numcro Ia. diuiso per duplum sui lateris, eo redigimur ut inueniamus talem unitatum numerum , cuius quadratus multatus numero II. diuisus per duplum sui lateris, de quotientem minorem quam Estoralis numerus IN. Ergo, minor est quam a. omnia in am fit Ia minor quam M. tandem fit minor quam . N. Ia qua resoluta occasione I Q inor quam 2I. - 3 seu minor quam re quamobrem neces est omnino numeruin unitatum ponendarum in latere seditio cadere inter 3 quales sunt . s. 6. 7. Mali infiniti admittendo fractiones.
156쪽
Caeterum, ut benesmonet itander , haec quaestio non secus ae praecedens per duplicatam aequalitatem rite solui potest. Uerbi gratia si dati sint numeris &ar. Ponatur quaesitus ab utroque au&rendus IN. ergo tam 9.-IN. quam a I a N. aequatur quadrato. Horum interuallum est Ia Quare tales eligendi 1unt numeri, quorum mutuo ductu fiat in ut semissis summae illorum quadratus sit inino quamini vel quod idem est , ut semissis interualli quadratus sit minor quam s. ob contrariam scilicet rationem ius, ob quam in praecedente requirebatur contrarium Memore igitur eorum quae docuimus in praecedente, quia quadruplum ipsius ar estra . dicemus numerorum quorum mutuo ductu fiet ia summae quadratum minorem esse debere quam 8 . Quare eum proximum latus de A sit s. q. oportebit summam talium numerorum minorem esse quam αἱ qualis est summa ipsorum a.&6. vel ipsorum 3.&4.&aliorum infinitorum. Quod si sumamus a. 6. erit quadratus semissis summae illorum46. at quadratus semissis interualli fiet q. Sive igitur aequetur 9. IN. siue I6. aequetur ar. - Im fiet utrobique idem valor numeri s. Quare . est quaesitus numerus, qui ab utroque datorum detractus relinquit quadratos q. 46. Hine etiam eum Glandro eliciemus
Sum duos ιν aratas eodem distantes me Eo quo dati numeri distant, sed minares iliis Tinna maiori numero aufer maiorem, adrarum, vel a minore snorem. Resi in sod erit idem utrobique, quastum exhibebit numerωm.
. αυτὸ σω Dra αἴ-ος ἔπι- δυναme ιεία , αναδε δ λωψει Ξ δ' ταυτα δια. Ἀώει μῆ λείψει μονάδε μαρ καὶ, it ab eodem numero auserre . c 7. utrumque residuum facere quadratum. Ponatur quaestus numerus N. si ab eo abstulero 6 relinquitur N. -6. aequalis quadrato. Si autem abstulero . relinquitur I N. 7.4 rursus in hoc casii duplicata aequalitas existit. Et quoniam horiim interuallum , puta I. continetur suba.& fiet tandemi N. fatisfacit Proposito. Ne vero in duplicatam aequalitatem deueniatur , sic indagabimus. Quaeremus primo a quo numero . subtractus, relinquat quadratum Caeterum cuicunque . quadrato adiiciamus s. is erit qui quaeritur. Est igitur quadrato I serit ergo qui quaeritur 1 -- . patet ab eo auferantur . relinqui quadratum. Oportet igitur auferre quoque et ab I -- 6. facere quadratum. Quamobrem I Res r. aequatur quadrato. Fingo quadratum ab I N. - . Ipse igitur quadratus erit I in Φ q. - Α N.
Hoc aequatur 4 r. in I N.: Erit ergo qui quaeritur siluit quaestio
I IM. operationi, in qua utitur duplieat aequalitate Diopbantus, nullam adilei conditionem, nee adiicienda est aliqua vi mal arbitratur Xilander Cum enim quadrati qui capiun-
157쪽
tui eodem distantes interuallo quo Vati numeri, addendi sint ipsis datis numeris , minor scilicet maiori, maior minori , patet ut additio perfici possit non referre virum tales quadrati maiores. sint datis numeris vel urinores. Quod in duabus praecedentibus circumspiciendum erat, quia in illis substractione utendum fuit non additione allucinatus ergo est Xilander existimans tendum hie eadem cautione in huiusmodi quadratis deligendis , qua fuit utendum in duodecima quod, exemplo ab ipscim et allato confirmare facile est. Sint dati numeri 4 l. W6s quorum interuallum 24 quod fit ex 4 in 6 vel e 3 in hos tamen binos rem expedire posse negat Xilander, idque con stare experientia ait sed sane constat experientia fallicitiandrum. Nam ipsorum 4 Me,.summae, interualli semisses sunt s. i. quorum quadratia .&4. Quare si addas . ad os vel as ad M. fiet utroque modo quaesitus numerus 66 ut patet Rursus plorum 3. summae, interualli semisses sunt P&l quorum qiradratim P&si addas ad Q. vel ' ad i. fit utroque modo quaesitus numerus Id qui satisfacit proposito. Porto ut modus hic utendi duplicata aequalitate persecte demonstratus maneat, sint dati numeri A maior, B minor, horumque interuallum .is ponatur quaesitus numerus N. Igitur
Quia ergo ob maiorem desectum totus IN. - minor est toto IN. R.
's aequibimus illi minorem quadratum E maiorem verbi huic. Et in
s m aequatione supplendo desectum, fiet x N aequalis summae ipsorum ΑΤ. At in secunda fiet raequalis BD summa autem iptarum ΑΕ aequalis est prorsus summae ipsorum B D, quia .cum 1 sis sint arithmeticε proportionalec ad ut Da est lumina extremorum Assi aequalis summae mediorum BD. Qigamobrem in utraque aequatione fit idem valor Numeri. Quod demonstrandum erat. Hinc elicitur a non a Xilandro traditus. Cape duos quadraros eodem distantes interuatio, quo est utili numera borum minorem adde maiora numero, ct maiorem minori, troque mouisset idem quasitus 1 merus.
Secundae vero operationi ut perficitur a Diophanto limitatio quaedam adiicienda erat; nam cum numerus quadrato aequandus sic et debet eius latus fingi ab a N. tot unitatibus, ut inaedem valor quadrati inueniatur excedens I. Quare eodem utaris attificio, quo usi sumus in praeeedentibus, inuenies latus illud fingentam esse ab im aliquo unitatum numero maiore quam L. MI minor quam L alioquin fi ponatur latus illud IN. α reperietur L - nihil esse. Ita si propositi numeri sintho. ponatur qualitus Q -- 6. unde auferendo o. remanet aequandus quadrato. Cuius latus fingendumab IN. - tot unitatibus ut tandem p is maior quama . Quare cum latus proxim maius ipsius 24 sit et oportet ire non minorem esse quam s. sit a tem I N. ex quadrato vnimium quae ponuntur in latere fictilio adfirmente numerum 14. Eu quape duplum tui latetis. Ponatur ergo hic unitatum numerus I N. Igitur,et maior est vel salintem non minor quam s. omnia ina N. fieri . - non minor quam O N. Qua aequatione resoluta fit Im vehes vel 4. Quare oportet talem poni in latere fictilio unitatum numerum, ut sit
Oun incit qua ri 6 vel non maior qua I 4 Qua ratione excluduntur tantum omnes uineri inter
Φαε fingatur ergo latus N. - fiet quadratus L Q 8 N. - 46 aequalis Is M. Vndo fimam s. erit ergis quaesitus numerus gr. latistacit proposim Vel fingatur idem laturis N - fidi et
rursus rN quotiescunque sumentur duo nummi unus maior quam . alter mi, O quam . ita ut maior ad ipsum 6 eandem habeat rationem quam habet A. ad minorem, eadem pervumque
uationem continget solutio. Ita.si eiusdem numeri I Q a latus fingas I N. - , vel IN. La fiet idem vastor ut eri . Itemque siue fingas idem latus I N. liue IN. - 8 fiet idem valor Numeris L&sie de alijs. Quod adnotasse fuit operae pretium.
Potest tamen operatione paulum immutata, tam laboriosae conditionis necessitas evanescere. Si videlieri, ponatur quaestus numerus t maiore datorum numerorum, ut in exemplo Di phanti ponatur quaesitus numerus I - - . hinc ergo detracto 6. remanet I aequandus quadrato, cuius latus finso ab IN. tot unitatibus, quarum quadratus superet r. manifesta est solutionis ratio. Ita si dati sint numeri 3o. i. Pono quaesitum L -- 3o unde auferendo remaneta aequandus quadrato, cuius latus fingo ab IN. - tot unitatibus, quarum quadratus superet a mine etiam licebit elegantem formare Canonem. Darorum numerorum inter Eum aufer ab asiquo medrato, resi m cui de per duplumiateria eiusdem auadrati, quotientis quadrat avistus maiori datorum numerorum, quasitum exhibebiε
158쪽
qui utramque partem adsumens faciat γωνον Oeλααν ἱκώτερον -- ι quadratum. Sit diuidenduscio in duos ιῶ συάμνον. ἔα κ. οἴει, ἁ δύο numeros. Exponantur duo numeri, Ut em M. ἔκ--οάει,δε - λια, αὐ-
hic quidem si ille vero, uiatisfaciunt 's
N hae quistin ne nulla est difficultas. Cur velit Diophalitu sum duos numero , quorum qua drae simul minotes sint numero diuidendo nemo est qui non videat. It que ex operatione is hune sermamus Canonem. me duas numeros --- auadrati simia minore sint numero riuidenda, binum p drato eis summam aufer a minero dividendo, residarum diuide re durumsumma sumptorum,nmerorum. σrretur latus i siti quadrati, emus durum si ducas seorsim in sumpto m- ros , o prata tis adris seorsim quadinatos se torum numerorum, flent quasit partes mineri diuidaena Ut si datus sit numerus 33 sume duos numeros a &a quorum quadratissimul faciunt Iet quo dea tracto de 33 supersunt aci quae diuisa per duplum inarum a. a. nimirum per Io dant a ratus quadrati qua siti, cuius duplum 4 ductum sigillatim in ipsos a &a facit 8. Ia quibus si addas se ot- sim quadratos eorundem a. a. ne inpe plia quadratum 4. ipsi Ia quadratum o fient Ia M a quaesitae partes numeri n. quibus addendo eundem quadratum 4 fiunt quadrati ISAE R
159쪽
MR, Iaborat Scholiastes , ut implicatum Theorema nobis obtrudat quasi necessarium acit intelligendam operationem Diophanti, cum illo carere possimus absque ullo artis dispendio.
Etenim cum ponat Diophantus quadratum quaesitum 1 - N. - quem finxit a latere N. - a Primo euidens est cur alteram partem numeri diuidendi ponat .R. - . quia scilicet, his ablatis a quadrato exposito, relinquitur quadratus, nimirum L Deinde ut aliam partem numeri diuidendi reperiat, ngit alium quadratum ab I N. - certo unitatuni numero minore quam . qui positus est in latere quaesit quadrati, puta ab I N. - I. iitque quadratus I Q - 2 N. - I. quo detracto quaesito quadrato remanet alia pars numeri diuidendi, nimirum a N. - . unde etiam colligitur aliter atque aliter sumi posse paries numeri diuidendi, codem etiam quadrato exposito manente, prout ab eo detrahentur viij atque alij minores quadrati. Mus autem attinetud limitationem quam praescribit Diophantus circa latus quaesti quadrati,
illud scilicet fingendum esse ab IN. - tot unitatibus quarum quadratus non superet numerum diuidendunt , hanc ego nec sui scientem puto, nec omnino necessariam Sufficiens qui dein non est, quia etsi obseruetur deveniri poterit ad absurdum. Nam ponatur latus quaesiti quadrati m. - q. erit ipse quadratus - 8 N. - I6. cuius unitates minores sunt numero diuidendo 2o unde constat obseruatam esse limitationem praescriptant. Si tamen ponatur pars una numeri diui Nndi 8N. I6. altera vero a. N. - . quae habetur si ab exposito quadrato auferatu quadratus a latere N. a. nimirum s. erit sit ma duarum partium Io . - 3 aequalisao. Quod est impossibile. Non est etiam hecessaria huiusmodi conditio, quia quamuis non seruetur, rite tamen perfici poterit aequatio. Etenim fingatur quadratus quaesitus a lateres N. - . erit is i in Io. N -- 2y. cuius unitates excedunt humerum diuidendum ao contra id quod praecipit Dio. phantus. atnen ponatur 'pars una numeri diuidendi a N. - . quae habetur sta exposito quadrato aut eratur quadratus a lateri I, nimirum N. - 36. Rursus ponatur pars
altera I N. - quae habetur si a quadrato exposito austratur quadratus a latere N. - nimirum I in rio. l. Eri partium summa m. - I3 . aequalis Io. Vnde fiet I N. HI: Ad hypostases erunt quaestae partes E. Quadratus quaesitus M a latere quo quadrato si auferasssillatim paries inuentas, remanent quadrati ,- ω- . quorumdatera ibri V. Aliter igitur praen'cribendam conditio huic operationi, mimirum. Ponatur quadratus quaesitus a lateream. quotlibet unitatibus. Tum tingatitur alij duo minores quadrati ad I N. -- tot unitatibus , ut harum quadratis sigillatim detractis a quadrato unitatum primi quadrati, duo residua simul minora sint numero diuidendo. Hoc autem facillisum factu est, quia dato quolibet quadrato, licet inuenire infinitos minores quadratos distantes a dato quadrato, interuallo minore quam quilibet praescriptus numerus verbi gratia dato quadrato as si velim minores quadratos quibus sigillatim a 21. detractis, supersit minus quam Io quia detrahendo, . aras superest y oportet quasitos quadratos minores quidem esse, quamas sed maiores quam s. Quare cum latus ety sit, At latus proxime maius ipsius s. sit . Patet quadratos omnes a lateribus inter quales sunt a lateribus . i q. .': e satisfacere proposit Hinc est cur posito quadrato quaesito Io. N. - s. quaerendi erant duo quadrati, quibus sigillatim detractis ars. residua simul minora essent quameto. ia veth quolibet residuo existente minore quam Io sequebatur utrumque simul minorem esse quam O. finxi latera quaesitorii in quadratorum IN. -- ac IN. - . . quia singuli quadrati ipsorum . At minores sunt quam Io ut ostensum est. Simili artificio rec*ficari poterit operatio illa qua deductione ad absurdum ostendimus insusscientiam Diophantaeae limitationis. Etenim ponendo eundem quadratum quaesitum Q. IN. - Io. esto pars una ut prius S N. - 46. Cum ergo ex conditione praescripta constet unitates utriusque panis simul minores esse debere numero diuidendorio. si in una parte sint 16 unitates, patet in alia debere esse minus quam 4. Oportet igitur fingere qua
dratum ab I N. - tot unitatibus , ut earum quadratus detractus de I6. relinquat minus quam q. Oporteterso quadratum illarum unitatum maiorem et ni quam a minorem quam I 6. Quare
cum latus ipsius l6 sit ., latus proxim maius ipsius a sit . . sumendus erit quilibet nitatum numerus inclusiue usque ad 4 exelusiues, quales sunt mali infini αIta si fingas quadratum ab IN. - , . erit quadratus in- N. Ia . quo detraeto a quaesito quadrato N. -- I6. superest secunda pars numeri diuidendi, nimirum IN. inuet. Quare summa partium fili M. Is aequalisao. Qua aequatione resoluta, optimε satisfit propositio.
160쪽
Ex dictis apparet quam infinitis variis modis positiones institui possint, de solutiones diuersae reperiri, nam primo quaesitus quadratus varie fingi potest. Deinde eodem manente quadrato quae sito, partes numeri diuidendi diuersimode fingi possunt. Sed & Diophantus rursus lib. 3. quaeae 23. halicipsam retractans quaestionem alia operatione negotium absoluit, quam ibi explIcabimus.
, Ii Raar Diophanti Aellis est, Mei qui superiorum omitum quaestionum artificium per seeu comprehenderit, nihiI hie obseurum videbitur. Vnum moneo numeri x --I8N.
v. latus non solum fingi osse a quolibet Numerorum numero cuius quadrariis superet, Q. cum dem Metiuinitatum 3 lateris scilicet ipsius, ut faciat Diophantus qui ponit hoetitus, N. q. led etiam fingi posse numero Numerorum euius quadratus supere cuius sextuplum sit minus quam tia adiectis tot unitatibus quot sunt in latere quadrati dati p. nimirum . Idcire fingi test hoc la tus a N. - . vela ' N. - 3. se ad -- 3. adiungi potest quilibet numerus Numerorum qua cadae inter et te mactatione fingendo huiusmodi latus N. - fit quadratus .Q. - Iam. - aequalis 3 - 18 s. AELI N. 6. suntque numeri quaesiui a Maiis qui sitisfaciunt postulatis. Sed ine magna perplexitate, quicquid dicat Nilander, per duplicatam aequalitatem soluῆ quaestio potest.Nam ponatur minor numerus i .est ergo maior 3 N.Quare utrique adiiciendis.sunt
quadrato aequandi I N. - s.&3m -- 9. Horum interuallum est a N. Sumendierso sunt duo numeri quorum mutuo ductu fiant, N. ita tamen ut tam in semisse summae quam in semisse interualle eoriini reperiatur 3 latus quadrati adiectii ut scilicet in aequationis utraque parte reperiantur s. Vnitates, quibus utrumque ablatis, maneat aequatio inter numeros inuadratos oportet ergo ininuenire duos numeros, quorum mutuo ductu fiant 2. N. ita ut in eorum summa, in eorum interuallo reperiantur unitates ct mare sunt huiusmodi numeri 6. quorum interualli semissis 3 -- N. cuius quadratus, a N. - et inaequatur IN. i. uitri N. 72. iuntque quaesiti numerio supra 72.4 2I6. Sed sane hac ratione operando unica tantum reperiri potest solutio, eum alii numeri praeter . A N. sumi non possint, quorum mutuo ductu sanes R. ob causam allatam. Quarci maluit Diophantus aliam inire viam,qua infinitae solutiones contingunt. Caeteriim ex hac ultima Ope ratione sormari potest Cano satis expeditus. De nominarinem rationis unitate multariam diuide per quadruplum lateris propositi quadrat; per quotientis quadratum inuide rarsus semissem denominatori unitate aucti orietur minor erue
Quoniam vero hie desiderari videntur aliquot quaestiones non inelegantes, di ad hanc tractatio nem pertinentes, placet illas subnectere.