장음표시 사용
181쪽
is simul adita Antia per sumptum semisses, feni minis ninmari. Verbi gratia, sumes . qui fit tum ex I. in Σ tum ex A. incia tum ex s. inra Aggregatorum sem es simin. 8. . quorum summa a8. qua diuisa per o fit δε quo ducto sigillatim in ipsos 3 8. 7. fiunt quaesiti nivmetiet n etenim Diophantus more Graeeorum utendo fractionibus stactionum. Primum quidem exhibuit id est . dimidium ἰ hoc estri. Tertium et v j id es- .is dimidium I seu u.
Patet autem eodem prorsus artifieio,is hane, praecedentem ad quotlibet numeros extendi pose , quod unico exemplo docuisse utriciet Quaeruntur quatuor numeri, ut uniuscuiusque quadratus multarus summa omnium, quadratus remaneata tendo Canone allato, si matur . qui fit exa ma tum ex et in Is tum ex . in Ia erum ex Min8. Aggregatorum emae sunt auo. 8. 7 quorum summa 37. . qua diuisa per M. fit p. quo ducto sigillatim in ipsos n. p. i. 84τ.&ommbus ad eamdem reta denortunationem, fiunt quaesiti numeri T.
182쪽
NVENIRE tres Imeros , Huniuscuiusque eorum quadratus a summa trium numerorum detractus, faciat quadratum. Expone duos quadratos, alterum ab L . alterum aram. fit summa quadratorum ab ipsis, Jono ergo summam trium numerorum si quaestorum primum Im secundum vero a N. Ita duabus propositi partibus est ia-tisfactum. Et quoniam habemus 3 qui diuiditur in duos quadratos, nimirum I. di diuidatur idem rursus, ut supra demonstratum est, in alios duos, quadrato , videlicet iri G H. Pon igitur tertium latus unius horum, puta M. enim illius quadratus a summa omnium de tractus. facit quadratum 'i' insuperest ut tres simul aequentur L sed tres simul emciunt 3 m. Igitur 1 N. fit R. Erit ergo primus tri secundus GP tertius .fatisfaciunt qliaestioni.
In II. Librum Diophanti Comments ij.
IN VAESTIONEM LOPaRArio Diophanti facilis est. Numerus ex duobus quadratis compositus, putas. rur sus diuiditur in alios duos quadtatos per decimam secund. Vnde patet hane quaestionem ad quo libet numeros extendi posse Etenim quaerantur quatuor Numeri, ut cuiussi te rum quadratus a summa numerorum demptus, relinquat quadratum. Ponatu summa, Ptimus vetor . secundus a N. Diuisoque . rursus in duos alios quadratos, quorum latera 'in i ponatur tertius: N. Quartus MN erit summa omnium LI N aequalis Murata . n. Sunt ergo quaesiti numerina'. Diuersitas porro operationis & lolutionis e duplici rapite oritur. Primo enim summa numeroriim poni potest, quili Det quadratorum numerus ex duobus quadratis compositus, puta Io Q. IDQ. 7 Q. 3cc. Deinde manente eadem summa numerorum
183쪽
Hine etiam Eetetur Canon uniuersas mimus. Sume quemtibia memerium ex uians a draiss compositum, prem mersus Hiade toties in drios alios ruadratos, donee ba ascio amiaratorum faιera, in petunm numeri mirum Ianere um--m Luide peri merum inιριν sumpti- , Notientem ducit Agiuatim in ipsa latera, senar sit numeri. Vt si petantur . numeri. Sume ετ quem diuide bis in duos quadratos, erunt horum latera I. 8.' I quorum lumm iso qua diuisi per s.fit λ. quo ducara sigillatim in supradicta latera,fiunt
Io eritin duplici de eruataflari potest& operatio& Alutis. Primo enim quadratus summae numerorum statui potest quilibet quadratorum numerus quadratus, puta I Q in Q Ac. Deinde quadrato summae manente eodem ipsi numeri ponentur diuersimode prout quadratus summae auferetura diuersis quadratis , residua ponretur pro quaeritis numeris. Sit posito quadrato summae I pom possunt ipsi numeri, non solis viscit Diophantus, M. 18: exi m Qi&sic in infinitum Unde patet eadem arte quaestionem ad quo libet nummos extendi posse. Et hine quoque formatur Canon uniuersalis.
184쪽
NU in his disse illas. Eadem sene hie diei possunt. quae ad duas praecedentra sunt adnotata, ω an neceadem litate Formahuntur Casterum his quatuor maestionibus idem agit Dictis phantiri intrihus nam eris . quod fecit in duobus libro seeundo quaestionibus ii 14 as ais., colligere licet huiuimodi quaestiones ad quoilibet I va N h tres numeros , Vt quaiadratus compositi ex tribus, detractus a quolibet ipsorum faciat quadratum. Ponatur, compositus ex tribus N. Quadratus autem illius et L sunto tres numeri, hic quidem arabile vero , Ieditius Io. Nam horum quilibet detracto quadrato compositi ex tribus, hoc esti facit quadratum. Et quia quadrat compositi ex tribus, latus habet, patethoe esse compositum ex tribus. Summa igitur trium est ri sed est quoque Fit igituram. st quadratus et erit- qire primus h. secundus tertius D& satisfaciunt quaestioni.
IN va Nia tres numeros , quadrato aequales , quorum bini reliquum su- Perent quadrato numero. Ponantur tres limul aequales quadrato ab I N. - . hoc est i α- N. Wr. Quorum primus decundus superent tertium unitate. Erit ergo tertius in inci . sic enim primus secundus superabunt illum unitate. Rursus secundus ciertius superent primum quadrato, nimirum I
erit similita primus i N. - Reli-ruum ergo habemus secundum tin- superest ut primus tertius saperent secundum quadrato numero. Sed quo prj-mus ciaertius superant secundum sunt a N. Hoc ergo aequatur quadrato, puta 16. de fit. N. 8 erit igitur primus M . secvndus ad tertius o datisfaciunt proposito.
185쪽
OVon supponit hic Diophantus . tale est. Datis tribus numeri interualium quo duo ex ima superant tertiι- auferatur assumma
trium numerorum, remene duplum tenu.
Hoeriosum vero iam demonstratum est ad decimam octauam primi. Dupliciter autem variarahossunt tam operatio quam solutio. Primo enim quadratus qui ponitur pro summa trium numerorum fingi potest non solum a latere Im. I. sed a quotcunque Numeris in quotcunque unitatibus. Deinde intervallum primi terti,supra seeundum, quod in hypothesi Diophantata reperitur, N. potest aequari cuilibet unitatum numero quadrato, ut manifestum R.
2 o. Σύ e is ruis, iuncti reliquum si perent dat numero,
. orimus scilicetin secundus, tertium su-
DV supponit Diophantus Primum reperiri posse tres quadrato , quadratum simul eonficientes quod qui aem nolle fit auxiliis undecimae secundi. Nam sumptis duobus quibusl-bet quadratis puta 4 ως quorum summa I3. Iam quam per undee mam secundi duo quaciatos quom interuallum sit P; horum minor 16 est tertius quaestus Secundo supponat
excessus binorum supra reliquum , aequari summae ipsorum numerorum, quod Iam novis Hae monstratum addecimam octauam primi. Porro tum ex hae operatione, tum ex Canon aecim octauae primi eruitur huiusmodi Canon. Sume tres quadratos piatiiratum eo eientes, a remn summa -- ' sigiliaram νηηmquemque msor ora residuorum semisses erunt Pasit numeri. Sed Sc non vulgari artifieio quaestio extendetur ad quatuor numeros,' sic proponetur. Inuenire quatuor numeros quadrato aequales, quorum rerni reliquum luperent quadrato numero. Ponatur summa numerorum quiIibet numerus quadratus, puta . Quia ergo Collentum elia vigesimam primi , summa excessuum dupla est summae numerorum, erit excessuum summa ου. Restat ergo utra diuidatur in quatuor quadratos quorum nilibet sit minorinum a. Id autem facile se si . diuidatur bis in duos quadratos per octauam secundi eruntque ni H --
hrio stat emisse excessuum qu eu . uterens
uaestionem ad quotlidet numeros extenaere, ted aliquando utendum erit artificio quo duodecimanu inti utitur Diophantus. Vt si quaerantur quinque numeri quadrato aequales, quorum quatern reliquum superent quadrato numero. Quare quaestionis huius explicationem reiicimiis in decimam septimam quinti, ubi commodius afferetur.
186쪽
mimos . hoc est secundus S tertius D, - -
IN Tachas duas propositiones nulla omnino vel perexigua est inserentia Leadem serme est operatio aliter atque aliter explicata. Diuersias in eo eonsistit, quod in septima irmenta prius tertii numeri hypostasi inuenit deinde hypostasin primi, unde elicit hypostasim fecundi. At in octaua talento prius tertio, inde elicit secundum , atque inde primum. Eodem tamen recidit utraque operatio, ut manifestum est. Itaque vi ninia explicentur dilucide , & varietas omnis tum operationis tum solutionis persecte omprehendatur. Aduerte primo , ut bene monet Xilander, pro quadrato quem tres numeri simul eonstituum statui possin quemlibet quadratum cuius latus constet ex quolibet Numerorum mimero in quot
187쪽
libet unitatibus. Posuit Diophantus latus illius IN. I. sed poni poterat IN. - a vela N. 3. e. ves etiam a N. r. Σμ- 2.2. N. - 2 dcc. Aduerie sciundo pro summa secundi terti j tui posse quadratum quemlibet minorem qu qui positus est pro summa trium numerorum. Sic Diophantus posita summa trium i Q. . - a N. - posuit lummam secundi, terti I QU-a N. - . sed si ponatur sumnia triumri summa seeundi &acitti I N. - - . vel etiam DR a N. - ves N. - sic in infinitum. I N. poni poterit Aduerte tertio summam primi& tertii quae quadrato aequanda manet, aequari debere tali quadrato , ut inde auferendo unitates quae continentur in eadem summa, & dividendo residuum me .numeriam Numerorum eiusdem summae, prodeat quotiens maior numero Numerorum, qui reperiuntur eum signo desectus in hypostasi secundi numeri ut in hypotes Diophantaea, ubi summa primi te tertii 5 . . . est aequanda quadrato, quia hypostasi secvndi est in N. Oportet inuenire quadratum qui uni at multatus, diuisus per C est quotientem maiorem quam . Id autem ut arte certa consequamur. Ponatur huiusmodi quadratus I Inde ablata unitate, fiet i - I. quo diuiso per et Q - .. maior quam A. supplendo defectum, fiet ἱ maior quam δή omnia pero. multiplicando fiet Q. maior quam r. Quamobrem aequabimus N. -- I. euiis libet quadrato maior quam s. In prima operatione Diophantus aequauit, N. - quadrato rar. In secunda veto, quadrato 3σ. Eodemque artificio reperietur terminus supra quem consistere debet talis quadratus, si primae positiones aliter instituantur. Porro ex operatione Diophanti elleio satis artificiosum Canonem. Cape duos eruadratos quorum ratio sit maior quanos. ad I hora- interuallibessis centimet primum quasitarum Quem Faustras a uadrata quota entis quis diuidenda dem tmemata is e sexissulum minoris catevis, orietur ecundus. Deni estiusdem interuaeli trienti addas minorem suadratum. M tertius. Vobi gratia cape quadratos Ia . I horum interuarium eritis euius, sunt M. primus numerus. Tum diuide Iao per o sextuplum minoris lateris fiet zo cuius quadratus Α- unde auferendo M.fitrio secundus numerus Denique trienti ipsius Iam qui est o. adde minorem quadratum I fiet M tertius numerus sunt ergo tres quaesiti numeri o. ro. r.
IN v NIlla tres numeros in aequali
interuallo, ut bini iunisti quadratumesticiant. Quaero primum tres quadratos numeros aequalibus interuallis distantes, quorum summae semissis maior sit quouis
ipserum. Ponatur igitur primus i inst-cundus autem I a N. - δε ε est ipsorum intervallum a N. -- I. si autem addidero secundo a N. . i. fiet tertius I - N. in a. Haec aequantur quadrato a latere I N. -8 fitque quadratus Is - Is N aequalis L IΦΑΝ. - a. sti N. N. hoc est G. Eris ergo primus oe r. secundus 68I. tertius denique a 4oI. Iatisfaciunt proposito , sunt enim tres
quadrati aequali interuallo distantes, lamissis summae illorum, quouis ipsorum est maior Uenio nunc ad id quod quaeritur, scilicet quo pacto tres numeri inueniantur eodem interuallo se superantes', quorum bini coniuncti quadratum faciant. Primum quaero tres quadratos in aequali interuallo isti iam demonstratum est, sunt huiusmodi quadrati. Primus
188쪽
Primus Oft secundus 68i tertius ΜΟΙ. inueniendum iam est quomodo primus& secundus facere possint ρε I. secundus dc tertius, o I. nam ob interualli aequalitate minuertitur ordo, tertius irimus I 58I. Statuatur trium summai N. Cum
ergo tres simul sint i N. si inde detraxero summam primi secundi nimirum 6 I. habebo tertium I N. 461. rursus si ab m. abstulero summam secundi tertis , nempe I or habebo primum i N. - oi si autem ab im dempsero summam terti, irimi, nimirum 68I habebo secundum N. 168r. Restat ut tres simul iuncti aequales sint IN. fit r. N.as 21. ἱ&factum est quσd imperabatur.
Primo uuaerit tres quadratos aequalibus interuallis distantes, quorum summae semissis maior siequolibet ipsorum, quia vult ut quaesiti numeri biniis bini constituant huiusmodi quadratos. Id autem heri non potest, nisi trium quadratorum summae semiuis quolibet ipsorum sit maior, ut d monstratum est addecimn sextam primi ad quam tandem reducitur haec quaestio, ut liuuet ex
Secundo sumit huiusmodi quadratos aequalibus interiistis distantes , quia inde sequitur ipsos tres numeros quaestos qui bini hos quadratos constitvuut, distare etiam vater se interuallis aequali d , ut postulat quaestio Quod pendet a tali Oropositione.
Si fuerint tres numeri, qui bini constituant summas aequalibus interuallis distantes, ipsi numeri aequalibus distabunt interuallis, e conuerso. Α, Β , C p. in xx quorum Ai simul seciant D. Ab C simul eomponanti aen . Eio Pi; ' - mvi QRstix nti sintque in F aequalibus distantes interuallis. Dieoiri, o ' ' IVMibu interuallis distare, imo iisdem prorsus quibus distini ha
d nnumqxu duobus inaequalibus additus, summas iacit eodem im
dem ob causam, idem utinuallum plorum EF quod est ipsorum A B. Quare constat propositum. unde etiam innotescit inversio illa ordinis de qua loquitur Diophantus, iam primus Ulicundus constitiiunt D. At secundus Ec tertius faciunt ἐ. Ac demum tertius & primus componunt E. Quare
c. ' πς' inumn vult enim primum quadratum esse summam Midi re Axx xxxii quid tuin esse summam secundi tertii numeri. Ac demum s
cundum quadratum esse summam terti & primi numeri. Tertio numeri quadrato aequandi i Q - N. -- a latus fingit Diophantus i N. a. tali arte ut resoluendo hypostases per valorem Numeri fiant quadrati quaesti quales postulantur nimirum quilibet ipsorum inor sit semisse summae eorumdem. Id Dem quomodo ecti, PIE sequi possimus non statim apparet Et itander quidem experiendo didicit latus fictilium esse non Polle Ita. 6. Sed non docuit modum inueniendi terminum supra quem consistere debet unit tum numerus in dicto latere ponendus eum defectu, quem an si essera existimauit, allue natus est, eum optime fingi possit latus illud m. a. ut mox patebit. Itaque ut rem a fundamentis aperiamus. Quia si sint tres numeri quorum quilibet minor sit semisse summae illorum, hoe idem est, atque si duo quilibet ex ipsis maiores sint reliquo ut manifestum est At duo quilibet maiores erunt reliquo, si duo minores simul superent maximum. Eo redacii sumus ut inueniamus tres quadratos in medietate Arithmetica , ut medius de minimus simul excedant maximum est autem minimus medius I ri N. M. Horum ergo summa a -
189쪽
a N. I. debet esse maior maximo qui in I Q. - N. - auterendo utrinque si lia,net L naio Quam a N. - qua aequatione resoluta, fit IN. maior quam R. a -- I seu quam a . Quamobrem in fingendo latere quadrati Q. - N-Da curandum est ut valor numeri non sit minor quani a Atqui valor umeri fiet a quodam quadrato, multato binatio, de diuiso per duplum sui lateris quaternario auctim. Inueniendus ergo est huiusmodi quadratus ponatur Igitur 4 α non minor esse debet quina: de omnia ducendo in a N. - fit in Enon mi umquam fm. Io 3 tandem I in non minor quam x N. II. Quare aequabimus iati numero paulo maiori quam τώ - ia putas N. - .&fiet IN 7. Itaque in latere ficetitio pone tur unitates non minores quam 7. Quod si fingatur latus illud I N. - . fiet quadratus I in I N. - s. aequalis N. - .a .fiet M. sunt ergo quaesit quadrati a 2oo. 223. oa r. Hi ne ad soluendum hoe lemma elicitur huiusmodi Canon.
duplum sutiateria ni ate auctum, fulsecundus, ct huic avias idon internarum, fiet tertias. Semel autem inuentis tribus huiusmodi quadratus, reperientur alij infiniti idem praestantes, si iam inuenti per eundem aliquem quadraturi multiplicentur vel dividantur, nam fient quadrati aequalibetis quoque interuallis distantes, ut iam monuimus ad vigesimaria secundi, ii causa est eur Diophantus omisso eommunici mominatore, solis maria numeratoribus. Denique hoe Iemmate expedito, soluetur an ipsa quaestio per Cai- en decimam--ttam primi, ut euidens est. sc inuentis quadratis aetos. arr. 62 I. horum summam cape fiet Ia67ς eurus semisus 6337 .vnde auferendo sigillatim eosdem quadratos, remanent ordine inuerso quaesiti numeri ia et alia
alios, ut compositus ex binis qui buslibet adsumpto dato numero faciat quadratum; sed, summa trium dato numero adiecto iaciat quadratum. Esto datus numerus 3. Compositus autem ex duobus primis sit x α' Α Ν. . in adscito 3 faciat quadratum raro vero deinceps sint i Q. se N. - 6. Tres autem simul INL- 8, -- 33. tela hi adsumpto 3.faciant quadratum. Et quoniam trium summa est i a N. UI3. quorum primi duo sunt. -- Ἀμ- I. R linquitur utique tertiiii N. - I. Rursus quoniam tres simul sunt I Q 3 8Ν.- 3 quorum secundusis tertius sunt l. - S. N. εχ relinquitur utique primus ΣΝ. . sed de primus ineundus siuit, N. -- a relinquitur ergo secundus -- N i. Superest ut primus aereius adscito 3 faciant quadratum. Sed primus tertius adscit,3 Ω-ciunt 6 Ν. - aa. Haec ergo aequantur quadrato. Esto is mori im. 13. Erit igitur primus 33. secundus δ' tertius 64. satisfaciunt proposito.
190쪽
Ova monet ilande de positionum varietate, verissima sunt. Sed allucinatur elim ait nume- ' rum N. - a. aequari posse cuilibet quadrato maiori quamaa. Nam oportet talem quadratum deligi a quo auterendo a di residuum per . diuidendo hat quotiens cuius quadratus auctus duplo sui ateris superet 6. aliter habere non posset secundus numerus qui potitus est Q. N. - o. Ita si ponas 6 N. - aequari quadrato as secundus numerus inuenietur minor nihilo. Quamobrem sumendus est quadratus 36. vel quilibet alius reditor quam 36. vi certa ratione iacile conchidi potest. Etenim quia I a N. debent excedere 6 hae aequatione resoluta, fit IN. maiorqu1m 7-I seu non minor quam Id fit autem valor numeri, ut dictum est a quodam quadrato auferendo a & residuum diuidendo peris quare quaeratur huiusmodi quadratus, Mest, Q.
Igitur v. non minor esse debet quam et ..tandem Is reperitur non minor quam, qualis e1 36. alius quilibet supra '
QVomodo inueniendi numeri sciompositas ex binis quibustibet adsumpto
dato numero conficiat quadratam inuenimus ad propositionem, libri s.
DA, o aliquo numero, inuenire tres A PIΘΜΟΥ τινοe si, e προσLρειν alios , ut compositus ex duobus urialios , ut compositus ex duobus quibuslibet dempto dato numero faciat
quadratum, sed & trium semma detracto dato numero faciat quadratum. Esto rursus datus numerus 3. Ponatur compositus ex duobus primis rQ. -- 3 ut detracto a. Dciat quadratum. Duo vero deinceps sne 1 4 N. - . . Trium vero summa I, --.N. - . uti hi dempto 3 faciant quadratum. Et quoniam summa trium est - N. - quorum primus secundus faciunt I QU- 3 re linquitur tertius N. - . Rursus quia secundus aertius sunt r-- 4 , -- Φ.quorum tertius est relinquitur secundus I a N. sunt autem primus&secundus quorum secundus est 1 in , N. relinquitur ergo primus, N. - 3 oportet itaque tertium irimum detracto 3 facere quadratum. Sed tertius cum primo, detracto 3 facit 6 N. - . Haec igitur ae ntur quadrato. Estoico . AE IN. io Ad positiones. Erit primus 3 secundus o. tertius 4.&satisfaciunt quaestioni. IN FAESTIONEM XI. Huc quoque lapsus est Xilander eum putauit numerum 6 N. - aequari potuisse quadrat
rosic enim seeundus qui positus erat rura N. Inuenitur aequalis nihilo. Quare determi nandum est de huiusmodi quadrato, hae arte. Utri insit maior quam a N. oportet utique maiorem esse quam a. Itaque quia aequando quadrato fit valor Numeri a quodam quadrato auserendo & residuum per 6 diuidendo Eo redacti sumus, inueniamus quadratum qui multatus quaternario, ter s. diuisus det quotientem maiorem quam a. Esto iii gitur: l. maior est quam a. ει tandem I inreperitur maior quam io . Quamobrem numerus σμ' q. quandus erit quadrato euilibet maior quam I6.