장음표시 사용
201쪽
Sunto quadrati A. B. quorum latera GD unitate distent. Et productus ex Min B. esto G eui. octos C et D , addendo suminam ipsorum Ai sat H. DicoH si quadratum ' Quia enim inter sepιimi. si quadratos Assi cadit medius proportio iratis productus ex C in D. patet G esse qua-1. persae. - dratum producti ex in D. At vero summa quadratorum Αν aequatur duplo pro-3q 49 ducti ex C in D. - ἰiadrato interualli ipsorum CD, hoc est unitati. Igitur eadein
summa quadratorum aequatur duplo lateris quadrati G unitate aucto Quamobrem cum addendo i i myri.quadrato G duplum sui lateris unitate auctum fiat H, 'ratctes csse quadratum, cuius latus unitate superat latus ipsius G. Quod erat demonstrandum. Quod autem attinet ad positiones primi uecundi numeri quos Diophantus vult esse quadratos continenter proximos, puta 3 9 allucinaturitiam itander cum putat alios quos ibet numeros potuisse pom per trigesimam primam secundi inuentos. Nam si huiusmodi ponantur qui non sint quadrati, hi quidem uni parti propositi satisfacient, sed duplicata aequalitas ad quam per hanc ope rationem Muciaitur, inexplicabilis eriti Etenim ut patet , numeri pro primori secundo positi sunt iidem cum unitatibus quae reperiuntur tandem in numeris quadrato aequandis , ut in hypothesi Di phanti, cum primum .secundum posuisset q. s. Inuenit quadrato aequaudos io . - . o. N. Q A. iure cum hiC Numerorum numeri sint inaequales, nee habeant rationem quadrati ad quadratum , necesse est unitates adiunctas quadratas esse, alioquin resolui non posset aequatio. Cum enim horum interuallum sit, N. -- s. tales deligendi sunt numeri, quorum mutuo ductu id fiat ut in quadrato semissis summa illorum reperiantur unitates s in .adrat semissis interualli reperiantur unitates . Vtici licet unitatibus inaequatione se mutuo abolentibus una species viri aequalis remaneat, tuta quadrati Numeris. Hoc autem fieri nequit, nisi in semisse summae sint unitates . latus in ipsius .&nisi in semisse interualli sint unitates a latus Wiu q. Proinde nisi s. quadrati sint, rem perfici non posse est manifestum. Hine facile est videre e ut ad conficiendum interuallum LN. - . sumpserit Diophantus numeros IN. Iino. Nam ut ex dictis constat tales suis mendi sunt ut summa, nitatum in ipsis contentarum sit 6 interuallum vero earundem 4. Quare per Canonem primae primi reperientur unitates ponendae in illis numeris esse I. ωs. Atqui posito altero multiplicatorum s. euidens est alium esse non posse nisi IN. I. ut eorum mutuo ductu fiant f -- . Posset quidem alter poni I. alter veros N. - s. Sed horum summae interualli semissis quadrati secundum omnes suas partes maiores sunt propositi ad aequandum quadrato numeris, unde inuenitur valor Numeri minor nihilo. Quare restat solos s. Qi N. Fra quaestioni soluendae idoneos reperiri. Attamen ostendemus ad quadragesimam quintam quarti hane aequationem etiam infinitis modis resolui possis per modum tendi duplicata aequalitate a nobis inuentum , quem ibi explicabimus. Quod ad Hypostasim terti numeri spectat, is non solum poni potest i N. sed etiam quilibet Numerorum numerus. Sed si iidem ponantur primus, secundus eadem semper eonti iacet solutio ut experiendo deprehendes. Quamobrem omnis solutionis varietas pendet mi primi&secundi positione , quae infinitis modis fiet potest tam sumi possint alii atque si quadrati continenter proximi.
EXtat huius quaestionis Diophanti problema in libro quinto quaestione quinta, Num
vero problema sequem ipse Diombantus sciens praetermisit, an potius in aliquo tre decim librorum confructum erat nescimus. Inuenires quadratos ut productus ex binorum multiplicatione adsumptreorundem summa qua Uum faciat. Huius tamen quaestionis in iras flationes dare posse
En verbi gratia sequentem solutionem satisfaciunt nempe pro emati tres qua
Imo sollerius progredi or Diophantaeam quaestionem promo- Θ qu/dr xv uere nihil erat Sequens enim problema generaliter o infinitis
Qq a. quadratu, modi construximus.
Inuenires numeros sub quibus binis quodsi planum adscita quadr xu amborum summa faciat quadratum. Inueniam turpe s. propositionem lib. s. tres quadrati ut quem bini faciunt planum a ciscens ambo, am summam faciat quadratum se funt illi numeri quadrati sis u. Sunt ergo tres is quadrati , tres primi numeri nostrae quaestionis ponatur quartus I N.flent tria producta nauum summis aquatia.
202쪽
Hae igitur tria aquanda uiarato, se Oritur triplicata aequalitas cuius explicationem dedimus ad qua onem M. libri sexti in
IN vani Ra tres numeros, ut proinductus ex binorum multiplicatione adsumens utriusque summam faciat quadratum Ponatur primus i N. secundus vero 3 est productus eorum multiplicatione addito utroque 4 N. F3 aequandus qua drato. Esto quadrato a 3. cit IN. et e go primus 3 Perit, secundus 3. ini po-1tulatorum est fatisfactum. Nam productus eorum multiplicatione adsumens utrumque facit quadratum as Oporterigitur V productus ex secundo in tertium , itemque: productus ex tertio in primum adscito utroque faciat quadratum Ponatur tertius IN & fit productus ex secundo, tertium utroque adscito rursus N. -- 3. At productus ex tertio in primum addito utroque fit 6 N. - Horum uterque quadrato aequatur. Sed quia alterius & numerorum initatum multitudo, iis qui sunt in altero est maioris neque eorum inter se ratio est quae quadrati ad quadratum, inutilis est huiusmodi positio. Eo itaque deuentum est ut quaerantur duo numeri , ut productus eorum multiplicatione utroque adscito faciat quadratum, praeterea ipsorum nitate auctorum ratio sit quae quadrati ad quadratum. Quandoquidem si
numerus numeri quadruplum ternario excedat, ipsi unitate aucti rationem habent ad inuicem, quam quadratus numerus ad quadratum numerum. Pon,primum IN. secundum vero .Ν -- 3. Restat ut productus eorum multiplicatione utroque addito faciat quadratum. Sed productus eorum multiplicatione viroque addito est a Ν. Q hic ergo aequatur quadrato Porino quadratum absa -3. fit quadratus q. - IaN. sit 1 N. seu h. erit igitur primus , secundus εἰ se Ita postulatorum vni est satisfactiim Superest ut productus ex secundo in tertium, itemque productus ex tertio in primum addito utroque
203쪽
i l . Οὐό --γοι - , δὲ rurius quadrato. Et est eorum interual-τερα γε καὶ - , ---. tum 7S.&duplicata rursus occurrit aequatio, feci N.4 erit igitur tertius m erat
autem primus A secundus B soluunt quaestionem. II VAESTIO NE M VIII.
Mariis est hoc problema,&elegans modus utendi duplicata aequalitate in eo continetur,quem cum non perceperit Xilander, mirum non est si parum feliciter eum explicauit. Quamuis eorruditos solutionis numeros bene restituerit. Nos ergo triplicem Diophanti positionem percurrentes no . tatu digna quaeque percenseamus,4 obscura dilucidemus. Prima politione quaeruntur duo uineri, ut productus illorum multiplicatione adscita summa eorundem, quadratum faciat, reperiuntur, et&3. Quamobrem hos statuendo pro primo&,ecundo, ponitur tertius Im quem ducendo sigillatim in priores duos,&productis addendo summam eorum ex quibus producuntur, fiunt quadrato fimul aequandi N. - 3 Haee autem aequatio inexplicabilis est, quia cum numeri quadrato aequandi componuntur ex Numeris, unitatibus, oportet vel mimeros Numerorum aequales esse, ut contigit propositione decima qua
in huius, ubi aequatur quadratis Io N. - - Io. N. - . vel numero Numerorum in aequali exi- sente, oportet unitates esse quadratas, ut in praecederite questioneIbi aequantur quadratis Io N. s&3N. - . . vel denique quod hucusque non accidit cum unitates quadratae non sunt, nee numeri Numerorum aequales oportet saltem numeros Numerorum inter se rationem habete quadrati quam trademus insta. Hoc igitur ut consequamur. Videndum est unde prouenerint Numerorum ad quadratum ob causam numeri N. N. At prouenerunt ex ipsis initio inuentis numeris 3.
unitate auctis, eum ducendo sigillatim in ipsos M.& productis addendo IN. fiant m ως
N. Corrigenda ergo est prima positio,&loco ipsorum & 'a'. alis duo numeri sunt inueniendi, quorum prodiictus adscita eorundem summa quadratum saeiat, ita ut ipsi numeri unitate aucti rationem inter se habeant quadrati ad quadratum. Id fiet per secundam positionem. Seeunda itaque positione, inueniantur huiusmodi numeri,is alterum postulatorum per ipsas positiones contequamur, tali utendum lemmate.
Si fuerint duo numeri quorum maior minoris quadruplum ternario excedat, ipsi numeri unitate aucti erunt plani similes.
Cuius lemmatis demonstratio saefilis est. Sit eniin maior minor i. a maiore auferendo rernarium B Esupersit AB quadruplus ad CD. Dico utrimque addatueo 'o Ulias EF D . totos F. s. esse planos similes. Cum enim BF qu
ri. st iis ternarius sit ouadruplus unitatis DC. Est ut AB ad C D, ita BF ad D G. Quare totus AF ad totum G est in eadem ratione quadrupla quod erat propositum Ponitur ergo primus IN. secundus 4 N. inde restat, productus eorum multiplicatione adscita eorum summa quadratum faciat, peracta aequatione fit IN. . suntque quaesiti numeri . ω l. quibuι
utentes tertiam instituemus positionem.
Tertia igitur positione quaesitorum ab initio numerorum ponitur primus L Secundus Tetistius N. unde tandem proueniunt quadrato aequandiu N. - - :&E. N. - A. Vbi quia Num
torum numeri sunt plani similes, sic explicabitur aequatio, sumantur duo quadrati in eadem ratione illorum numerorum, puta Io .&2ς calcatoque minore in maiorem, maiore in minorem fienti, sisi . iam quadrato aequandi 3 N. - - WI3 N. -- 3o ubi numeri Numerorum sunt aequales, ' quia datis quatuor numeris proportioliadibus, ex primo in quartum idem procreatur numerus , qui
204쪽
fit ex seeundo in tertium. Nee per huiusmodi multiplicationem immutatur aequalitatis ratio, quia quadrato per quemlibet quadratum siue multiplicato, siue diuiso, semper sit quadratus, unde patet si l3o. N. Ios aequetur quadrato,in illius a puta ' N. fore quadratum. Et si i3o. N. --3o ponatur aequar quadrato,in eius centesimam partem, pura fore quadrato aequalem. Sumpsit autem Diophantus quadratos s. Ioo potius quam alios quoscunque in eadem ratione, ut vitaret fractiones, alioquin expeditius res agcretur ducendo denominatorem rationis, puta . iii minorem numerum N. - unde fierent quadrato aequanda I-N-- 4rcksτN. - - Itaque
subtili artificiores deducta est ad primum modum duplicatae aequalitatis, quo usus est Diophantus tum duodecima, di decima quarta secundi, itim decima quarta huius. Etenim ipsorum 3ON. Ios. 43o N. - so. Interuallum est s. qui fit, si libet, ex 3 inris quorum summae semissis quadratus 196 aequatur maiori 3,N. - ioy. Et N.A. Caeterum varietas in operatione Minablutione a multis oritur capitibus. Primo enim inueniri possunt infiniti duo numeri, quorum productus adscita corum summa quadratum faciat, quique unitate aucti fiant plani similes. Tum quia, ut bene monet Xilander, quod de quadruplis asserit Diophantus potest congruenter applicari omnibus aliis numeris seruantibus rationem quadrati ad quadratum similiter enim si numerus numeri noncuplum superet octonario. addita utrimque nitate fient plani similes; vi numerus numeri sedecuplum excedat numero is adscita uterque unitate, fieri titiam planissimiles di sic de aliis Tum quia numeri quadrato aequandi, qualis est in hypothesi Diophanti H MN. . latus diuersimod E fingi potest, ut patet. Secundo rursus in lecunda eadem positione alia varietas considcrari potest. Primus enim non solum potest ponia N. sedis qui Iibet Numerorum numerus lemmate tamen tradito utendo congruenter inpositione secundi. Vt si ponatur primus a. . erit secundus 8 N. - 3. Vel a N. - s.&c si ponatur primus 3 N erit secundus Iam. a vel 27 N. - 85c. Tertio in tertia positione iisdem manentibus primo & secundo potest etiam tertius infinities variari , ioni non olum i N. sed, quilibet Numerorum numerus, sed ad hoc intelligemus ampliari lemma traditum hoc pacto. Sifuerint duo numera, quorum maior σuadruplum ι noris terrario superet, ct uterque dieatur in tertium numerum , prodis aue a iatur sdem tertiara, feni duo plani similes. Quod ita demonstrabitur.
Sic C superans ternatio DC ipsum A B quadruplum ipsius D E & tertius Α , B. . . quilibet numerua ductus in ipsos AC DE. faciat GH quibus addendo D. M 1 sigillatim ipsum F fiant KL dico ipso. esse in ratione quadrupla atque G s. H eo planos similes Etenim quia G. qui fit ex F. in C.' aequatur productis G c d ΑΚ Μ, l. II. ex F. in AB. BC.At productus ex F.i, B quadruplus est producti ex F. DE seu ipsius Η cum A B. D E sint in quadrupla rationeo productus autem ex F. in ternarium B C. triplus est ipsius F. patet G. continere Quadruplum ipsius H.4 triplum ipsius F. quare, si eidem G. addatura summa Κ. quadrupla est ipsorum H F. seu ipsius L Quod demonstrandum erat. Non aliter idem ostendetur de alia qualibet ratione quadrati ad quadratum.Vt si A C. ponatur excedere non cuplum vel sedecuplum ipsius Det ternari, eoncludetur m ipsius L esse noncuplum vel sedccumum &sie de alijs. Quare manifestui est iisdem manentibus primo decundo puta L.&4: Tertium poni posse Im vela N. vel 3N &c. Denique ipsa duplicata aequalitas infinitis modis resolui potest, prout sumentur alii atque alii numeri, quorum mutuo ductu fiat s. dummodo horum summae minterualli semisssis quadrati maiores sint ipsis ios. 4o ut docuimus ad duodecimam secundi.
Lvs Ni Ra tres numeros, ita ut binoia tum multiplicatione productus dempta amborum lumina sit quadratus. Ut in praecedenti ponatur primus Im secundus unitatum quotuis, eodem modo in difficultatem inexplicabilem incidemus. Ut ergo multitudinem Numerorum ad multitudinem Numerorum habeamus subratione quadrati ad quadratum, eo deuoluitur res ut quaerantur duo numeri,quo inrum mutuo ductu qui fit dempta ambo
205쪽
γωνος πρὸς τραγωνον se ἐπεὶ λάριθαὸς Φανrum summa sit quadratus, iraeterea P- si unitate multati rationem habeant quam quadratus ad quadratum. Eitim vero si
numerus alterum quater, dempto ternario continet, ij unitate multati ratione in
habent inter se quam quadratus ad quadratum , quia cilicet utrimque ablata unitate, fit diminutio hinc quaternar ij, inde unitatis; patet si quadruplis quadrupla, auserantur, residua esse quadrupla, atque ideo in ratione quadrati ad quadratum Pono igitur primum I N. I. secundum N. - I. fit productus eorum multiplicatione , dempto troque R I aequalis quadrato a latere a N. Psoc est in - - 8 N. fit I. N. : erit ergo primus P secundus satis- fit,ni postulatorum. Et quoniam primus est i secundus, . pono tertium IN.&fit secundo in tertiumn M. utroque detracto, puta IN. ε 3 restar a. N. s. aequandus quadrato. Esto quadrato A. Qui autem fit ex tertio in primum est N. utroque dempto restat: N. 4 aequanisdus quadrato. Esto ipsi 16. per hunc istud multiplicetur fit Io N. aes aequa dus quadrato. Similiter 2 N. -3. t. ducantur in fit ID N. Iq. aequalis quadrato. Horum interuallum 1a quod fit mittuo ductu ipserum a. quorum summae semissis in se facit is aequalem maiori, puta Iob. I . st IN. 3. Ergo tertius est 3 sei v. habebamus autem primum 2 secundum D seu V in soluunt
OMNIA quae ad praecedentem adnotata sunt, hic etiam locum habent Modus utendi duia plicata aequalitate idem est, demina quod assumit Diophantus eadem ratione demonstratur, ipsi iisque demonstrationis fundamentum attigit Diophantus his verbis. Quiascilicet utrimque ab tainitate, βιῶmιnutio hinc uaternaru inde νnitatis, ct pate si a quiarupli quadrupla auferantum, residua esse quadrupla. Operationis quoque solutionis varietas totidem modis contingere potest, ut diutius pigeat immorari in re manifesta.
206쪽
iaciat quadratum Ponatur alteri N. alter AN. I. Quoniam si numeriis sit numeri quadruplus dempta nitate , productus eorum multiplicatione adsumens minorem iacit quadratum Iam duo postulat rum restant implenda, ut cilicet productus eorum multiplicatione adscito secundo, utroque simul faciat quadratum. Sed productus adsumens secundum sit. -μ3 N. a. aequalis quadrato. Et idem productus utroque addito fit N. - I aequandus quadrato. Et est duplicata aequalitas. Horum interuab
i N. Erit igitur primus secundus A. soluunt quaestionem.
est cons mitas liuitis quaestionis eum vigesima- septima secundi. Vbi quaere,ut ora duo numeri, quorum productus adscito alierutro quadratum faciat. Sed He praeterea postu. Iatu ut idem productus adsumpta amborum summa faciat quadratum. Itaque tua solitiones eo, dem modo instituit Diophantus, eorundem lemmatum quae ibi demonstrauimus hic usus e saporest. Porro notandus hic modus utendi dupli rata aequalitate , cum numerorum quadrato aequando rum interuallum constat ex solis numeris. Τune enim necesse est in numeris quadrato aequandis reperiri quadratorum numerum quadratum, miles Q. Num ros autem Morim mutuo du tu fiat interuallum IN. accipit Diophantus N. ω ob similem causam illius quam attulimus ad de cimam quintam huius oportuit enim talem sumi mimerorum nummum , cuius semissis quadratadratus efficeret 6 Quare debuit prostero sumi N. unde sequitur alterum neeessui e . va
Caeterum tota diversitas in primis positionibus onsistit, quas diuersimoda fieti posse eo distacl - vigesimam septimam secundi allatorum. πN EN IR duos numeros , Ut pro
Iductus eorum multiplicatione siue alterutro siue utriusque summa multatus quadratum faciat. Ponatur alter I N. i. iner m. Quandoquidem si numerus numera sit quadruplus, demptis quatuor unitatibus, productus eorum multiplic tione detracto maiore quadratum facit. Restat itaque ut productum multiplicationis siue minore, sue utriusque summa multatus, faciat quadratum. Sed productum illud dempto minore fit M. HIN. r. Et idem productum dempto utroque fit . ,-IN. 4. Horum utrumque u drato aequale est lateruallum N. Si
V ό ρερα α' p. pMeξις φανερα. tuo illud mutuo ductu producentes N. 4. Et IN I P Erit ergo primus assecundus s. manifesta est demonstratio.
207쪽
FAos aut similia dici possunt de hae quaestione, quae desiperiore dicta sunt vide quis sit eon istinis vigesimae octauae seeundi, Qquomodo utrobique eodem tens lemmate Diohantus, eodem modo suas instituat positiones. Modas utendi duplieat aequalitate idem est, quo usus est in praecedente,& easdem ob causas ad eonficiendum interuallum Α .sumpsit N. r.
ET PEIN ἔα--αὐ ιμο NvENI Ra quamor numeros ut comin K M in eis G Moαρον γεωμμ λ posti ex omnibus quadratis , singulorum tam adiectione quam detractione faciat quadratum. Quoniam in quolibet triangulo rectangulo quadratus hypotenuia siue auctiis , siue multatus duplo eius quod fit e multiplicatione laterum circa rectum , facit quadratum. Quaero primum quatuor triangula rectangula aequales habentia hypotenusis. Hoc ipsum vero est, quadratum aliquem diui-
' η' distimus datum quadratum diuidere io
Qδ, tib . 'αὶ ita AE το ε .e, autem suapte natura numerus 63 diuiditur bis in duos quadratos, nempe in I 6. ρ. Et rursus in f 4. 4. quod ei contingit quia fit ex multiplicatione mutua . I3 quorum uterque in duos diuiditur quadratos. Nunc expositorum o &,6 sumo latera, sunt autem 7.4 q. formo triangulum rectangulum a duobus numeris et Q . est 33. 36 6s. Similiter ipsorum 6 in i latera sunt 8. a. a quibus rursus sermo triangulum rectangulum , cuius latera sunt s. 63. 3. fiunt quatuor triangula rectangula aequales habentia hypotenusas Resero me igitur ad propositam initio quaestionem, tono compositum ex quatuor numeris erue N.Quein libet vero ipsorum quatuor pono tot quadratorum quot continet unitates quadrum
208쪽
tus uel soo sub eiusdem partis denomi et δὲ H Q. Mu. . M δ' natione. Est autem partis denominator I 63o2I824.
PVLCHERRIM v est hoc problemavi rarat subtilitatis, in quo eum multum desudarit itanis der, persectam tamen eius enodationem afferre non potuit, destitutus scilicet ope porismatum quae ad hoc requiruntur. Quoniam ergo gloriam rei peroscurae explicandae nobis libenter reliquit, nos vi libentius ainplectamur. Et ut omisia clariora fiant, singula quaeque notatu digna ordine
Adverte itaque primo lemma quod assumit Diophantus de triangulis rectangulis idem set esse licet alis verbis enunciatum , quod iam usurpauit trigesima prima ecundi, ubi, monuimus, quod sin repetere non pigebit, illo nil aliud eontineri, quam quod ostenditur quina secundi Euclidis, de
quarta secundi porismatum Etenim per quartam secundi, constat summam quadratorum a duobus
numeris adsumpto duplo producti laterum efficere quadratum summam laterum. At per quartam secundi potismatum patet duplum producti laterum detractum a summa quadratorum, relinquere quadratum interualli laterum. Quare eum in triangulo rectangulo quadratus hypotenus sit aequalis quadratis laterum circa rectum, manifestum est, quod ait Diophantus, quadratum hypotenuis siue adsumpto, siue detracto duplo producti laterum circa rectum , facere utrimque quadratum. Proinde recte Diophantus summam quatuor quaesitorum numerorum constituit hypotenusam alicuius trianguli rectanguli, numquemque vero ipsorum numerorum ponit duplum producti late rum circa recium, seu quadruplum areae trianguli, ut constat ex tertia definitione tertii porismatum, se enim optime satisfit postulatis. Quamobrem ut ipsi numeri diuersi reperiantur, superest ut in inueniamus quatuor triangula re tangula, quorum eadem sit hypotentis Aduerte igitur secundo, ut bene monet Diophantus, reperires tuor triangula rectangula emindem habentia hyeotenusam, nil aliud esse quam quadratum quemlibet diuidere quater in duos quadratos. Quare nili seactiones in operando vitare voluisset, poterat rem absoluere per octauam secundi, qua doeuit quadratum quenilibet infinities diuidere in duos quadratos. Ut autem tractiones in operatione vitentur subtili sanε artificio quadratum inuestigat auctor, qui quater diuidatur in duos quadratos integros Exponit scilicet duo triangula rectangula non similia, pura 3. 4. S. a. 13. Tunc utriusque latera per alterius hypotenusam multiplicans, inuenit alia duo triangula, quorum eadem est hypotenus , nimirum 39. sa 6s.4 23 6 o. 6e. Nam haec esse latera trianguli rectanguli patet per primam tertii porismatum, eum fiant lateribus trianguli rectanguli per eunder numerum multielicatis. Quod autem dixi exponenda esse triangula non similia, id factum est, quia si triangulasmilia sint, non iam alia duo hac ratione sermabuntur ab his triangula, sed unicum duntaxat. Quod
se demonstratur. Sint triangula similia A BC DEF. ωducta hypotenus F in singula alietius latera fiat triangulum G Η Κ dico idem triangulum GH Κ, non aliud , se- S. y ,s hypotenus C. ducatur in singula latera alterius D E F. Nam primo ex hy- pothesi ex Cina fiet K. Deinde quia ex ad D, C ad F. fiet, utique idem 3' F Μ' ex Cin D qui fit ex xin F. similitet quia est Bad Et ut C ad F. fiet rursus idem me C in E qui fit ex B in F Quare constat propositum. 3.
Aduerte temtaut rursus inueniatur alia duo triangula,quorum si eadem hypotenusese. Diophan istum uti potismate,quod demonstrauimus propositione septima libri tertii nimirum.Si duo numeri ex duobus quadratis compositi inter se ducantur, productus omponetur bis ex duobus quadratis. Haede causa triangula initio exposita ita delegit,authorim euiustibet hypotenus componatur ex duobus quadratis,pura g. ex quadratis I.&4.ae I3. ex quadratis .& 9. Vnde optime concludit Q. componi his ex duobus quadratis, nimirum semel ex I6.4 49. Atque iteraim ex I. 44. Hi autem quadrati ut reperiantur ostendit septima tertirporismatum. Sed illius limitationes attendendae sunt, quarum prima requirit, ut quilibet expositorum numerorum componatur ex duobus quadratis inaequalibus.. si alter ex duobus aequalinus quadratis compositus sit, productus eorum multiplicatione com-:tur tantum semes ex duobus quadratis, ut si sumantur v&st quorum 8 componitur ex aequa quadratis erit productus M. semel tantum ex duobus quadratis compositus , puta ex 36.4 4 secunda vero limitatio requirit, ut expositi numeri componantur ex quadratis minime iro
209쪽
portiones us , alioquin idein sequitur incommodum, ut si sumant s. rio compositi ex quadra tu proportionalibus I. . q. I6. erit productus Ioci. ex duobus quadratis te me duntaxat compositus, videlicet ex64 8e 36. Quae omnia loco citato demonstrantur. Aduerte quarto Inuentis quadratis 6. Ap. itemque I. ex quibus fis componitur ex iis Dio hantuin sormare triangula rectangula duo , quorum eadem H hypotenus os eo quem demonstrauimus modo tertia vel quinta terti porismatum Etenim si per tertiam libeat operari a quadratis 4ς fiet triangulum cuius hypotenus erit summa ipsorun puta 6s basis vero tute uallum eorundem putam. Perpendiculum autem erit duplum edi, proportionalis, puta 16. Rursus a quadratis I. 6q. formabitur triangulum, cuius hypotenus erit silmma ipsorum puta 6s. Basis vero interuallum eorundem, puta 3. Perpendiculum autem erit duplum medi proportio Iis, puta I 6. sic habebuntur triangula duo quasitan. 16ζ. Sy.&I6. 63. 61. Quae eadem reperientur per quintam tertij potita. Verum hic notandus est Casus eum productus ex mutuo ductu duorum numerorum ex duobus quadratis, compositorum, eomponitur quidem his ex duobus quadrati sed
una compositione componitur ex duobus quadratis aequalibus,ut sumptis . Io productus so componitu quidem semel ex quadratis I. 49 inaequalibus. Sed componitur iterum ex aequalibus 23. as. Vndem hane compositionem inutilis redditur operationi Diophanti, non enim inde concludi potest eius quadratum componi ex duobus quadratis, cum ipsorum s ris nullum sit interuallum, quod deberet esse latus unius quadratorum illorum. Porro id semper accidit, quando tales sumuntur duo numeri ex duobus quadratis compositi, et quod fit ex interuallo laterum unius, in interuallum laterum alterius, aequetur duplo producti ex minore latere in minus latus. Quod ita demonstratur. cia Sint ΑΒ latera quadratorum unius, quorum interuallum C. In D E latera A, R., quadratorum alterius, quorum interuallum F.4 produetus ex C. in F aeque
ut duplo producti exin in D. Porro compositus ex quadratis ipsorum ΑΒ
, i productis elle quodniui, ipsorum, di esto die productum
e M in N. componiinitidem bis ex duobus quadratis, sed una composi- , H obcs Dig rion compo l x duo u aequalibus quadratis. Etenim ducto D in ipso. B. ' fiant G H.&ducto Ein eosdem ΑΒ fiant KL. Paret ex demonstratis septima tertii Porismatum, , productum ex M. indi componi tum ex quadrato summae amborum G L. ex quadrato interualli ipsorum GK. Tum ex quadrato summae amborum Lis ex quadrato interualli ipsorum H L. Vetum aio summam iptbrum Η Κ aequari interuallo ipsorum G L, ae proi deIroductum ex M in N. Me eompositione eoustare ex duobus quadratis aequalibus. Quia enim
hi ex E in B. seu ex duobus D F. in duos C si hinc auferatur productus ex D in A. putam. Patet interuallum pilatum G L aequari produsius ex xina, ex Cin D,, ex Cin F ωλωπ ducti ex Cin F sumendo duplum producti ex Λ in D illi aequalem ex hypothesi erit praedicium interuallum aequale duplo producti ex A in D. productis ex D in C. Wexa in F Sed eisdem productis patet aequalem esse su inmam ipt brum H Κ. Nam refit ex D in B seu ex D in A.4 ex D in C. Atri fit ei in E seu ex A in D. is A in F. Vnde eonstat duorum ΗΚ. summam aequari duplo producta ex in D,ι productis ex Din C.& ex Α in F. Igitur ipsorum re summa aequatur inte
uallo ipsorum G L. Quod demonstrandum erat. Adverte quinto Totus Graeci lacunas a me es repletas, tum defieientes numeros restituendo. tum corruptos emendando,&netbria haereas innumeris Graecis, moneo Diophantum maximos numeros in quibus ingens Myriadum milicitudo continetur, sic exprimere ut Myriadas a reliquis
unitatibus diuinguat perspicuitatis ergo, signum autem Myriadibus apponiti Myriadibus myratis
dum Mia duplex . a reliquis vinatibus signiim consuetum O. Sie vides numerum I 63 2l824.
se ab eo exprimi, iatio'. idest Myrias una myriadum. M 4τοῦ id est yriades Setoa Mo orat . idest unitates ira . Et sic de aliis. Aduerte postremo, sine potismate Diophanti aeque bene inueniri polle in integris quatuor triangula rectangula eandem habentia hypotenusam, auxilio decimae terti porismatum Etenim expositis triangulis non similibus 3. 4. s. o. ia.i3 si eum Diophanto formes ex his alia duo ducendo utram- qite hypotenusam in alterius latera, habebis 39. 32.6s. 's. o. Q. Tum si per deeimam terti po-rism. ex iliae triangulis prius expositis formes alia duo modo ibi tradito , fient utiquei 16. s. ωI6.5et os. Immo ex ibi demonstratis licebit ampliare Porisma Diophanti & illud extendere non soluin ad numeros ex duobus quadratis compositos, sed etiam ad duos ex duobus planissimilibus compositos in uniuersaliis me proponere.
Si numerus ex duobus planis similibus compositus, ducatur in alium ex duobus planis similibus compositum, qui non sint proportionales iis ex quibus primus componitur producetur numerus cuius quadratus componetur quater ex duobus quadratis.
Sint enim CF ex duobus planis similibus uterque compositus, qui non '' 'ue sint proportionales. Et ex C in F fiat T. die T quater eomponi me duobus M quaa te, Etenim quia C Gmponitur ex duo splanissumianis, erit hy
210쪽
Arithmeticorurn Liber III. 127
GO. xii . Poxqnus trianguli rectanguli per tertiam terti porismatum Sint ergo latea Lj ου iij. i ς Ἀζctum A. B. similiter Hostenditur hypotenus trianguli tectan. μου, is, s m Pii sum latera circa rectum D RIgitur a duobus triangulis ABCDEF. o uel cis o os ςnxur ali duo ducendo hypotenusam utramque in alterius latera, erunt ' γ' triangulam P T. I T. Rutilus sormentur alia duo per decimam terti,
porismatum, erunt haec GKT. LM T. Quare constat propositum. Caeterum animaditersione quoque disnum est, quaestionem hanc ad quotlibet numeros eadein arte extendi posse, cum si fractiones quidem minime vitentur, quilibet quadratus infinitis modis diuidi possit in duos quadratos. Si vero etiam per integros rem abloluere libeat, facile sit Diophanti artificium imitando quadratum reperire, qui quoties qui jusserit componatur ex duobus quadratis integris, quandoquidem perporisma quod assumit Diophantus, quodqtie demonstratum est septimaterii potismatum licet numerum iuuenire quoties quis jusserit ex duobus quadratis compositum. Nam sicut per illud porrisma inuenitur numerus bis compositus ex duobus quadratis, ducendo numerum semel ex duobiis quadratis compositum , in alium item semel ex duobus quadratis compositum, ita si numerus bis compositus ut 6s ducatur in alium semel compositum, quales sunt 3 3. Io II produc tus ter aut quater ex duobus quadratis componetur, ter quidem ΚΘ ducatur in s. vel in I 3. ex quorum mutuo ductu ipse fit, vel in aliquem illorum multiplicem. Quater autem si secus. Verbi gratia productus ex s. in Θ putasas ter tamum componitur ex duobus quadratis, nempe ex 223. Ioo ex 324. 4 ex 2D. 46. Quod accidit qui s. ω6s componuntur ex duobus quadratis. Quare si intelligamus os componi ex s. 46 necesse est proauctum ex s. in 6 . putasas componi ex duobus u dratis qui sunt etas.& oo. 324. 4 Rursus vero si capiamus 6s ut compositum exo . a. necesse est productum ex s. in os puta 32s componi etiam bis cx duobus quadratis, nimirum ex a89.W36.4 ex 2as Micio. Sed quia hi coincidunt cum duobus ob priorem multiplicationein inuentis, constat ses ter tantum diuidi in duos quadratos. At si ducas II in s. fiet sicis quater compositus ex duobus quadratis nimirum ex s76.4 329 quorum lateria 23 ex Ioa incit quorum latera 32.9 ex L quorum latera I. 42. Ac demum ex Io I6. quorum latera 33 &q. Quod si velis numerum sexies compositum ex duobus quadratis, sume aliquem ter compositum visas eumque ducito in semel compositum, dum non sit aliquis eorum qui metiunturhas vel multiplex eorum, sed sume v. g. II quo ducto in De fit 1sas sexies compositus ex duobus quadratis, nempe exaoas. Foo quorum latera yy so e 38 q. 268I quorum latera Q. AI ex εὐ- o Ps quorum latera To. 27. ex Fo I. 4. quorum latera TLaa ex nas. 96 quorum latera73. q. Ac demum eis 76. 9 quorum latera Tq. T. Ita si velis numerum octies ex duobus quadratis eompositum, duces ompositum quater in enm positum semel, vel bis compositum in bia compositum, dummodo inter eos nulla sit communieatio, se in infinitum. Qua de eausa si ducas syas sexies compositum, ut ostensum est, in Iori bis compositum , nimirum ex binis quorum latera 32. ω7. Et ruria ex binis' itorum latera G. ID fiet pa83as compositus quod mirabile esto vicesirari quater ex duobus quadratis, quorum accipe binorum latera. . 2I12
OBSERVATIO D. P. F. AD COMMENTARIUM,
praecipue ad locum illum, Aduerte tertio, c.
N erui primus qui superat nitate quaternarii multiplicem semel tantam es
hypoten a trianguli rectanguli, eius quadratus bis cubus 3 quadraroquadratus csc. in infinitum. Idem numerus primas se ussus quadratus eomponantur femel ex duobus quadratisci eius abus se quadrato quadratas, bisci quadrato eu bus, cuboeubus serie. in infinitum. Si numerus primus ex duobus quadratis compositus ducatur in aliam primum