장음표시 사용
191쪽
ri, si troductum ex secundo in tertium. Esto
I plicationis eorum sit . Cum ergo se- cundus sit o. erit utique tertius m.
' ---- - oportet aitur, productum et Primo
re et diro productus ex ptimo in tertium est in Q.
Et si , naeru pro primo positus qua- Φ'- δυο me iliat suisset, is esset ara ratio. Quod Φεννάγωνος , H in Umm in eum non sit, eo te deducta est ut duo ---πα - , is , re me inmeritant inueniendi , ut productum
m Q σιν, - εωρή, δ' o δε- dratum producent oportet ergo inue- γερο si . υτων σπινάδειν ιβ ποιεio μή nire duos quadratos quorum uterque adsiγωνον τουτων ΜεΘενναν mus cito a faciat quadratum. Hoc autem vise, ad . - νὸν si πρῶτον ἀειθ facile est, de sequationem ripediet, δ' vo θ -- ν ά - δε νήτω est alter . . alter in uterque enim addito G -πόνος ἀνίπὸ πρωτα, ναὶ τρίτου, a facit quadratum. His repertis redeo μ' ἔ ποιῶν γεγρά ,γώ. ὸς τὸ προί- ad id quod initio actum erat, estpono νω - ιγο ιῶ ά α δ αγ primum N. secundum t. tertium e N. Restatu productus ex primo in Iertium
192쪽
Afithmeticorum Liber III. io 9
quadratum a latere IN. et nempe I Q. - ει π ramina. 6 Ν - . o. c fit I N. l.& constat propositum.
HIE quaestio eum sequente est de earum numero quas pro deploratis reliquit dander, in
quain cum multa infeliciter commentus sit, textum tamen Diophanti leuite admodum deprauatum restituere non potuit. Sane tota deprauatio in eo est, quod fractionem Numericam is tui
petitus librarius ambigue sempm expressit, nam primo loeodie eam exhibet ca που deinde passime . tum tamen aliarum fractionum more potius fumaet sic exprimenda M. Hinc erroris ansam accipiens Xilander, vertit ubique 1 N. Ioco . . unde in docuitatis meatuicabiles seipsum coniecit. Porro dupliciter variari possunt positiones di solutio nam Icico ipsorum 4 est . inaniti alij quadrati invenui per undecimam secundi, qui adscitoria. quadratum faciant. Deinde numeri quadra to aequandi et latus diuersimode fingi potest, videlieet ab I N. -- tot unitatibus, qua vim quadrat sat maior quam Ia Diophantus aequauit quadrato a latere IN. μὴ unde Et N. suntque quaesiti numeri 2 at . Placet etiam in artis speeimen aliam tradere analysim, Diophantae utique non deletantem,
quam excogitaueram priusquam mihi contigisset Graecum videte odita . Sit riuus numerusao. quaeratur quadratus qui adiumptorio tamat quadratum, is erit in Iam ergo statvinitur. Priamus .seeundus duo quilibet Numeri, quorum mutuo ductu fiat is Et sit primus a, secundas 2. nam euidens est ficto parti propositi intisfieri. Tum ver utatuatur pro tecti altius quadratorum nummus qui ductus in iecundum a faciat quadratum , putara in=e vel 3 Δ c. t caducia invites defectus tot unitatum, ut hae multiplicatae per eundem secundum numerum datum numerum aci. Hunc unitatum numerum reperies dividendo,o per a viae fit Io. Quamolium ponetur tertius a QIO sic enim eo ductu in iecundum a fit fraci cui addendo datum num eum a G. fit quadratus 4 Suverest ut productus primi in tertium adsumpto zo faciat quadratum, facit autem 16 - 6o. Hoc emo aequatur quadrato. Esto eius lacus 4 N. -a, fiet 1 N. 4. sunt ers quaesiti numeri 8. a. 22.4 satisfactu tu proposito. Hae ratione operando poni possunt primus seeundus duo quilibet num i quorum mutuo duet titit quadratus qui adsumpto dato numero quadratum faciat. Vnde iam duplex oritur variatio, tum quia huiusmodi littersi quadrati inti niti reperientur perindecimam secundi tum quia
aeodem sumpto quadrato sumenturali atque alij duo numeri, quQrum mutuo ductuisfai P cerea inaupostasi terti poni potest quilibet quadratorum numerus, qui ad unitate secundi me Monem habeat quadrati ad quadratum, ut in nostra hypothesi, pcim Poterat tertius non solum I. - Io sed etiam Q. - Io D in Io &e. Denique ultimi quadrati latus puta ipsius 16 Q. Eo. diuersimode fingi potest, nimirum a re quotlibet miratibus. Vnde sane inlinita solutionum diuersarum suppetit sylva. Canones ex his operationibus eliei possent, sed non adeo expediti. Quare praessat duos alios legantis imo afferre, qui exquibusdam propositionibus libri secundi orismatum mani&M dedu-
cuntur. Primus ita e Canonesto. Datum m merum aufer a duobα quadratis, trumque re αι- δε id per inter Eum laterum eo nam ema arorum , duo p rontes una eum nassis laterum interualia quaesitos ex hia
Verbi gratia datus umerus estoria ause eum a quadratis νε α 6 q. remanent 2 et set quae si iniuitas pera interuallum laterum, fient quotientes la 46. sunt ergo quaesiti numeri ra. 26. a. Huius Canonis demonstratio facilis est. Nam ex ipsa constructione maiusestum est, ducto a in ipsos ata dea6. de productis a . Wyra addito eodem ra. fieri quadratos 36.4 64. Rursus productum ex Ia in a6 adbumpto a sacere quadratum , demonstratum est undecima secunditorismatum. Quamobrem ex omni parte patet proposituin Secundus autem Canon est. Datum nu=nerrim aufer aridus quadratis, utrumque resilitium sigillatiam diuide per interualium lauru Motiantes, una cum duplosumma Vsorum , mustato supra H interuatio, qua
Itaque duo primi numeri per hunc canonem reperti, sunt iidem cum duobus primis per superiorem Canonem inuentis, sed rertius diuersus est. Ita dato eodem a.&sumptis iisdem quadratis 36.w6 4 fient ut prius pri in us secundus ia. 26 sed erit tertius duplum summae illorum multatum hinario, nimirum 74. Huius Cancinis demonstratio integra continetur propositione decima tertia
193쪽
secundi porismatum Caeterum virilisque innotus lunul auxilio licebit propositionem extendere ad quatuor numeros, mpulcherrimum Problema a nemine hactenus tentatum enodare nia
Inuenire quatuor numeros , ut qui producitur ea binorum mutuo ductu adscito dato numero fiat quadratus. Datus esto .
Finge duos quadratos ab L -- tot unitatibus quarum, quadrati superent 3 ita ut iiteruallum earundem unitatum sit quadratus numerus Verbi gratia finge latera quadratorum i N. - rN. quorum interuallum est quadratus . iunt quadrati α- N. - .&I Q -- a
N. . 36 a quibus auset sigillatim datum numerum 3' residua divide sigillatim et interuallum laterum 4. Et statue primum quaesitorum is es I Secundum ML -- N. Tertium duplum summae utriusque multatum interuallo 4 nimirum Ἐ- IN. I; sic enim productim ex binorum multiplicatione adscito 3 quadratus fit per secundum Canonem Ponatur deniqtie quartus ipsum intexuallum laterum ' sic enim primis secundus, quartus si bini inter se ducantur in producto addatur,. fit quadratus ' primum Canonem Superest igitur ut reducto ex tertio in quartum addendo 3. fiat quadratus. Fit autem Q. -- 32. N. - s. Hoc ergo aequatur quadrato Fingo eius latus abs a N. - tot nitatibus quarum quadratus luperet scisitque illud N. to fit Ad hypostases. Erunt quaesiti numeri BL qui satisfierunt proposto. Nam ex primo intres reliquos qui producuntur, sigillatim adsumpto 3. faciunera ratos Em v. quorum latera M. E. H. At ex secundo in tertium 'uartunt , adscito, faciunt quadratos Alfi Porum Mera Denique ex tertio in quartum qui producitur adscito 3 quadratum Scit , cui clatus
Alitet. Ex quadratis qui exponuntur initio Ponatur alter quilibet quadratus mimerus maloedato numero 3 pvis & fingatur alter ab N. -- latere prioris quadrati, nimirum abi N. - . fiet quadratus I - - 4 --. Tum ab utroque quadrato auseratur 3.& residua dividantur per interuillum laterum quod est i N. .statuatur primus quaesitorum is secundus IN. - Tettius horum summae duplum multatum interuallo laterum et M nimirum I N. - . R H. h. Q reus autem ipsum interuallum laterum, nimirum 1 N. Constat itaque ex utroque Canone omnibus postulati partibus satisfieri si productus ex tertio in quartum adscito 3 faeiat quadratum. Facit autem I Q. - 8 N. - . hoc ergo aequatur quadrato. Esto latus eius I N. - 23. ωει N. IAd hytinstases. Erunt quaesiti numeri Λ qui satisfaciunt postulatis Etenim ex primo in res quos tres qui produeuntur adsumpto 3 quadrato faciunt El. . quorum latera v. a. At ex seeundo in tertium& quartum producti, adscito 3 iaciunt quadratos 'LLquorum latera Denique productus ex tertio in quartum, adsimpto, quadratum facit
ius latus Vtraque operatio elegans est, & multam recipit varietatem, ut curioso lectori considerandum relinquo. Videtur ipse Diophantus in hoc problemate haesisse, ut apparet ex vigesima prima quatri. Qua quaerit quatuor umeros, ut productas ex binorum mutuo ductu adscita unitate quadratum faciat. Nam eius operatio cuilibet nuniet applicari nequit, sed solis quadratis, ut ibi docebimus.
erit ergo productus ex secundo in ter-
194쪽
nt, eo deuantum est, inueniendi sint si vi ii ι Ariduo quadrati quorum uterque dempto Io faciat quadratum Hoc autem facile V idratu dempto io iaciat quadratum quoniam si cui numero addit r. sum in .... sita
mae dimidium in se ducitur, de a sic facto . -
quadrato numerus initio uimptu, dein
hitur, relinquitur tursum quahatus Ad Tm: iraedor ad Io. summae semiae nimirum bduco in se, a pro inocio aufero
Io. habeo quadratum xo. a lateres bion igitur primum res tertiam au-
nam terque demptorio remanet qua ' in dratus Uenio ad id quod initio quaere πι--κ. --
EA' - - diri possunt de hae quinione iue de praeredente dicta sunt operatio & solutiot idem modis potest vanar Nam infiniti quadrati reperientur pecvndecimam seeundi, qui multat misero Io quadratum' inquant. Et vltimi quadrati,stas. Q. iso latus diuersimode ungi potetit, nimirum a TτN. - quotlibet unitatibus. Caeterum Diophantus compendium Quae rem ad Meeimam seeundi, hoc utitur lemmate.
Si dato numero addatur unitas, a summa semissis quadrato auferatur datus numerus, relinquitur quadratus.
195쪽
' '' D. die quadratum ipsius x multatum numero Ara relinquere qua- . utina dratum ' Etenim quadratus aequalis est producto exin B in BC una cum quadrato ipsius DB Sed productus exis in BC aequatur pli Assii quia BC est unitas. Igitur AB, quadratus ex DB simul aequantur quadrato exin D. Quare si h quadrato exa Dauleratur ΛΒ. relinquetur quadratus ex D B. Q Dd erat ostendendum. Licet etiam per nostram analysim soluere quaestionem hac arte. Datus estorio. Quaeratur quadratus a quo auferendo is supersit quadratus puta et 4 statuantur pro priimri secundo quaesitorum numerorum, duo quilibet quprum mutuo ducau fiat 3ο sit ergo primus p. secvndus . Tum ponatur tertius quilibet quadratorum numerus, qui ductus ins undumst. quadratum iaciat, putax Q. eique adiiciantur tot unitates ut ducta in eundem secundum . faciant datum numerumeto. Et esto totus tertius I -- . sic enim duabus propositi partibus satisfit. Restat ut productus ex zm in tertium detracto 'ao iaciat quadratum, facit autem, Q -- s. hoc ergo aequatur qua-ito , estolatus illius, N. Wr fiet IN. q. sunt ergo quaesiti numeri O. .ar. .constat. Sed geminum Canonem eliciemus ex libro secundo potismatum. Quorum primus est. Datum merum addetanobus auadratis, trampis sumniann diuide sigiliarim per interualium ia-
rerum, duo quotientes una cum eodem interualis, m sitos exhibent numeros.
Vt si datus siti adde o. quadratis 6. 46 fiunt lummae 26.4 46. quas si diuidas per et interuallum laterum fiunt t3. W23. dii ex quaesitis numeris, quorum tertius est ipsum interuallum laterum a Canonis huius demonstratio in promptu est. Nam constat per constructionem ducto a. in ipsos n. ω23. fieri 26.4 6 1 quibus auferendo datum numerum o remanent quadrati r6. de 36. At productum ex D. inas detracto Io esse quadratum, odii istim est duodecima secundi,
rismatum. Secundus Canon eritinarum numerum adis Aobas uadratis , veram esummam divide per Ateruatam uterum duoauotienses. cum duplo sum otiorummiatat eadem mer Eo auasitos obibent numeros.
Itaque sumptis eisdem quadratis, duo primi numeri coincident cum duobus primis per praeee dentem Canonem inuentis Tertius aurem diuellas erit. Nam sumptis ut prius quadratis Ictrae U. fient duo primi ut supra u.'23. At tertius erit o. Huius autem Canonis demonstratio habetue
deeima quarta secundi potismatum. Porro utriusque Canonis ope soluetur huiusmodi quaestio. Inuenire quatuor numeros, ut productus ex binorum mutua multiplicatione detracto quouis dato numero, quadratus maneat. Datus esto Io.
Finge duos quadratos, steturia et M aliquo quadrato numero, puta ab I N. - . emne quadratia λων - N-16. His adde sigillatim datum numerum Ici., summas diuide per eruallum laterum A. Erit ergo primus quaesitorum Secundus si a Tertius horum summae duplum muItatum eodem interuallo . nimirum I σε Ia -- N. Quartus denique erit idem interuallum, videlicet . Sic enim ex utroque Canone constat quinque pro positi partibus abunde latisfieri. Restat, productus ex tertio in quartum detracto Io relinquatur qiiadratus. Relinquitur autem - N. Hoe ergo aequatur quadrato. Esto eius latus a N. με. fiet IN. i. Ad positiones. Erunt quaesiti numeri Gn. qui salistaeivnt postulatis. Nam ex primo in reliquos tres qui producuntur , detracto Io taciunt quadratos b. o. R. quorum latera B. P. At producti ex secundo in tertium &quartum, detracto I raciunt
quadratos 'lle Q quorum latera H -Denique productus ex tertio in quartum, detractoro quadratum facit ' cuius latus P. Aliter. Ex quadratis qui exponuntur initio ponatur alter, quilibet quadratus, putar Alter Vero fingauir ab I N. - latere prioris, nimirum ab N. -- r. erit is a N. - . Tum utriquς quadrato addatur datus numerus io. summa dividantur sigillatim per interuallum latetum I N. Et statuatur primus quaesitorum a Secundus N. - Tettius horum summae duplum multatum interuallo laterum videlicet N. - tartus denique ipsum interuallum laterum , puta I N. Itaque patet ex utroque Canone quinque postulati partibus esse satisfactum. Restat ergo ut productus ex tertio in quartum detracto Io maneat quadratus Manet autem N. A. Hoc ergo aequatur quadrato. Sit eius latus IN. f. fit IN.a. Ad postiones. Sunt quaeliti numeri. 'i'. . l. qui soluunt quaestionem Etenim ex initimo intres reliquos qui pro
ducim curi detracto Io taciunt quadrato I VI quorum latera I. At producti ex lecundo
in tertium quartum, detracto io manent quadrati quorum latera P., . Denique ex tertio in quarium qui produeitur, detractorio relinquit quadratum cuius latus Quomodo autem reperiendi sint exes numeri, ut productus ex binorum multiplicatione derr ctus a dato numero, relinciuat quadratum, nondum in uniuersum assequi licuit, sed soluo quaestionem huiusmodi, eum datus numerus vel quadratus est, vel ex duobus quadratis compositus.
196쪽
Sit enim datus acii sumatur unus quadratorum, ex quibus Io componitur , puta Icf., statuantur primus secundus quaesitorum, duo quilibet numeri quorum mutuo ductu fiat i6 puta Lis a. teritu vero ponatur talis unitatum numerus, qui ductus infecundum a. faciat datum numerum 2 est is nullaetus Io cui addatur defectus tot hiadratorum, viseeundo a in eos ducto fiat quadratus. Statuatur ergo tertius io a Ie enim duabus propositi partibus satisfit. Restat ut productus ex primo in tertium detractus aeto relinquat quadratum. Sed relinqui I Q 6o. Hoc ergo aequatur quadrato cuius latus fingetur a N. - tot unitatibus, ut per valorem Numeri resolliendo hypostases atri inminor quam s. quia scilicet tertius positus est Io. - 2 in Itaque cimi quadratus debeat esse minor quam s. oportet valorem numeri minorem esse quam a fiet autem valor Numeri quodam quadrato adsumente clo & diuiso per octuplum sui lateris. Quaerendus ergo est quadratus qui adsumens 6o de diuisus per octuplum sui lateris, det quotientem minorem quam a 3. sitis a Igitur-:- in minor est quam a in omnia dueendo in N. fili Q. - minor quam MN. Quare aequemus 8 N. numero paulo maiori quam - - so puta numer s. fiet I N. s. vel I3. Proinde oportet latus quadrati fingere 4 N. - tot unitatibus , quae non deficiantas. nec excedantis fingatur N. -τ. fiet IN. F. sivit ivtur tres quaesiti La. 2.&constat.
IN vs Ni a tres numeros ut productus ex binorum multiplicatione adiecto reliquo quadratum faciat. Quando quaerimus productum ex primo insecundum addito tertio facere quadratum, si exposito aliquo quadrato, partem il- Iius aliquam statuamus pro tertio, residuum autem pro producto multiplicationis primi Rcundi num postulatorum praestabimus Formetur quadratus ab I. N. --s erit utique Iso e N. -- o. esto itaque tertius . relinquitur ergo pro ductus ex primo in secundum - 4N. Ponatur primus IN. erit igitur secundus IN. 6. Oportet ergo productum ex secundo in tertium adsumpto primo, hoc est Iob. - aequar quadrato, praeterea productum ex tertio in primum adsumpto iecundo, nempe ION. -- 6 aequari quadrato, fit duplicata aequalitas. Est autem ipsorum interuallum o Quamobrem oportet inuenire duos quadratos quorum interuallum sit
8. Quod facile est, & infinitis modis fieri
potem est que minor Is maior 64. viri
horum aequationem accommodemus, re
periemus quantus sit et N. si enim dicamus
ε . aequari maiori puta ION. - A. inuenitur IN. r. Rursus si dicamus minorem Ies aequari Iob. - 6 fit etiam IN. i. Ad positiones. Erit primus I.secundus 7. ter lius o. soluunt quaestionem.
γωνον ἰαν eae αειμβροι τινα τετράγωνον,
197쪽
IN IVEAESTIONE XIV. BEus monet VIander hie duplicem contingere posse variationem. tim enim Quadratus
uui ponitu fieri ex producto mimi in secundum , adscito tertio fingi potest' ercis uinetis. Quotlibet unitatibus , finxit Diophantus ab I N. - s. sed fingere potui et in m. - . vel m. vi vel etiam et N. - 3. 2 N. - . c. Deinde duplicata aequalitas infinitis modo resolui poterat, sumendo scilicet duos quoslibet quadratos, quorum interuallum sit 8. adhibita tamen eautione uuam tradimus ad duodecimam secundi, ut vidclicet maiores sint sumpti quadrati numeris a.&ε verum quod praecipuum est, non attigit Xilander, quomodo nimirum positiones citiu&seeu di it instatuat Diophantus, ut tandem in utroque numero quadrato aequando reperiatur idem Numerorum numerui, puta io . Hoc enim si non curasset, inexplicabilis fuisset aequatio. Cum enim unitates s .4 6 nec aequales sint, nec quadrati numen, Oportuit numerum Numerorum utrobique eundem reperiri. Itaque cum productus ex primo in secundum positus sita M. 6 N. ex infinitis umeris quorum mutuo ductu gigm poterati Q. - - tales deligendi tueturi ut in eorum utroque idem esset numerorum Numerus, quales sumpsit Diophantus I N. - 6. nee alii proposito satisfacientes sumi potui ent, quia ut dictum est, oportet ducendo eundem tertium, in Grumlibet ipsorum, &,oducto addendo reliquum, fieri utrobique eundem Numerorum numerum, quod fieri non posset, si Numerorum numeri primi' secundi non essent
INVa Ni Ra tres numeros , V pr ductus ex binorum multiplicatione dempto reliquo faciat quadratum. Ponatur primus Im secundus I N. - 4.
Productus ipsorum multiplicatione erit IQ, N. Oportet igitur hunc dempto tertio sacere quadratum, si ergo p 'namus tertium 4m satisfactum erit uni postulatorum. Superest itaque vi&pro ductus x secundo in tertium dempto primo faciat quadratum, & praeterea productus ex tertio in primum dempto te cundo faciat quadratum. Sed productus ex secundo in tertium dempto primo est H is, aequalis quadrato. At productus ex tertio in primum dempto secundo est Q UN. - . aequali quadrato. Et occurrit rursus duplicata aeuualitas. Cum itaque interuallum ipsorum sit
rum mutuo ducti fiat 16 N. - sunt autem q. N. I. Rursus ergo vel sumismae semissis quadratus aequatur maiori,vel interualli semissis quadratus aequatur mi nori fit ib. . Erit igitur primusQ s cundus 'P; tertius sala constat propositu.
No temerὸ ut mala arbitratur Xilander, secundum numerum posuit Diophantus N. - , Nam necesse est unitates secundi numeri, quadratum esse numerum, ut 4 vel 9 vel Io.&e. Cuius rei ratio ex ipsemet operatione subtilius considerata, statim innotestit Tertius enim numerus semper aequalem Numerorum muliitudinem continet, unitatibus in secundo N. -
198쪽
vela N. -- 9.&c erit tertius N. vel 9N.&c. Quamobrem rursus ex ductu tertia tam in primum quam in secundum, in quorum utroque est Im fient totidem quadrati, ut vides in hypothesi Diophant , fieri & si secundus positus esset i N. - fierenti Q Si autem in numeris quadrato aequandis . 'os N. N. A. numerus quadratorum 4 non esset quadratus, explicari non posset duplicata aequalitas. Nam si, ut fecit Xilander, ponatur secundus I N. - Io. atque adeo tertius Im fient tandem quadrato aequandi I, -- 99 N. QIo - N. - IO Quaecun-Jue autem fingas quadratorum latera nunquam produces Io in eum nullus sit numerus qui in se uimis efficiat io unde necesse erit in aequationem complexam deueniri,in duas species, uni aequales remanere, ac proinde solutionem ut plurimum contingere irrationalem. Praeterea etiam rite laeta positione secundi numeri, statuendo scilicet in eo unitatum numerum uadratum , aduerte, posse te adhuc in easdem cautes impingere, nisi magna eum cautione seligas
uos numeros, quorum mutuo ductu fiat interuallum numerorum quadrato quandorum . Etenim in Diophantae hypothesi, ubi interuallum est IsN. - licet id ex infinitorum numerorum mutuo ductu produci possit, nulli tamen idonei sunt quaestioni bluendae praeter in N. I. ω . si enim verbi gratia, sumas a N. - &8. horum summae semissis quadratus, puta N. - . aequabitur. Q - is N. unde fiet solutio irrationalis. Itaque tales seligendi lunt numeri mutuo ductu producentes propositum interuallum, ut in eorum summa contineatur duplum lateris Quadratorum, qui in numeris quadrato aequandis reperiuntur. Vt in eadem hypothesi, ubi quadratorum numerus est cuius Iatus a N. cuius duplum m. oportet tales deligi numeros, quorum mutuo ductu fiat I N. - ut eorum summa contineantur 4 N. Quia ver patet primum illorum necessario constare debere ex Numetis Qvnitatibus, secundum autem ex solis unitatibus, sequitur initimo necesse esse constitui atque adeo ut ex secundo in primum fiant I oportet iecundum esses . Vt autem praeter 16 N. fiant etiam 4 cum totum interuallum sitI6 N. - necesse est primum esses N. - r. secundum q. Quoniam autem eodem artificio saeptin sequentibus utendum erit, tres tyronum memoriae firmius inhaereat, age alio eam exemplo illustremus. Posito primo numerorum quaesitorum IN. sit secundus I N. - - . tertiusim ducto ergo tertio in primum, unde ablato secundo remanet s. Q IN. s. aequandus quadrato Rursus ducto tertio in secundi im,vi inde ablato primo remanet ira N aequandus quoque quadrato. Horum interuallum est8 N. - . Quare sunt inueniendi duo ii umeri, quorum mutuo ductu id fiat cum cautione supra explicata Itaque cum quadratorum numerus liti Q cuius latus N. cuius duplum 6 N. Oportet in primo quaesitorum statui S. N. Quamobrem ut ex seeundo in primum fiam 8 N. necesse est secundum est , . Rursus autem ut fiat alia pars interualli, ut o euidens est primum debere esse 5 N. - . secundum I3 et Reliquam operationem absolve, si vaCat. Caeterum moneo totam solutionum diuersitatem, oriri ex illo quadrato qui ponitur in secundo numero. Nam eodem ibidem posito quadrato, licet primus ponatura N. Vel 3N. Vel AN.&c. eadem tamen semper continget solutio. Quρd uno aut altero exemplo fiet manifestum Ponatur pH- musam secundus a N. - tertius 8 N. productus ex secundo in tertium abiecto primo fit sinis 3O N. aequandus quadrato. Et rursus productus ex primo in tertium adiecto secundo fit x6Q a N. q.aequandus etiam quadrato Horum interuallum est 3a N. --.qui fit ex8 N. - I in .hi enim soli apti sunt proposito ob caiisas supra traditas.Horum sit inmae semissis quadratus est Ιωα- - 2,N. - aequalis 6 -- ω Λ fies N. l. Sunt ergo quaesiti numeri . . s. iidem quos inuenerat Diophantus. Rursus pone orimum LN secundum 3. N. - . Tertium Iam fient tandem aequandi quadrato 36 Q. s 436. Q. 3N. - quorum interuallumq8. N. - . quod fit ex IaN. - ii q. horum summae semissis quadratus est 36 ON. - qua aequatur 3ος ---s N.& fit 1N A suntque quaesiti numeri, ut prius i. F. s.
Denique animaduorsione dignum est, qualiscunque numerus Numerorum statuatur pro primo. Dum idem statuatur pro secundo aliquot unitatibus quadratis,in tertius ponatur productus ex primo in unitates secundi, semper contingere in numeris quadrato aequandis , numerum quadratorum esse quadratum , ut in Diophanti exemplo . In proxime allatis Is 4 6 Q. quod ex necesi sitate fieri, sic demonstrabitur. Est, numerus Numerorum primi. Et A. BL NJ. unitatibus quadratis esto secundus. Et tertius esto D productus exin in B. Itaque i, Nais o paxeis operationis processu ex D in fiet quadratorum numerus qui repetiis ut innumeris quadrato aequandis, sit is E. Hunc dico esse quadratum. Nam sumptis tribus numeris A. B. A. idem Efiet siue Adueatur in B.& productus D in A. siue Alaueatur in A. quadratus ipsius A in B. Quare cum Q sit quadratus, pateti productum ex quadrato in quadratum. ipsum esse quadratum. Quod erat demonstrandum. Sed de his satis.
199쪽
cautione, hoe enim maniscstae falsitMis arguitur ipso exemplo quo suam nititur eomprobare sententiam , ait enim licuisse ponere primum m. secundum m. - a tertium I. Ouod nequaquain verum est, nam productus quidem ex primo in secundus adscit quadrato tertii, facit quadratum a N. - . At productus ex secundo in tertium adscito quadrato priuri facit ista LN T. qui quadratus non est, eum innien per ipsas positioires duabiis propoliti partibus satisfieri velit Diophantus. Itaque tali artificio ipsas positiones instituemus. Statuatur pro lecundo quilibet numerus Numerorum in quotlibet unitatibus. Et ponatur primus quadrans umerorum, tertius Inrans unitatum secundi. Sic Diophantus posito secundo M. A. posuit primum IN seeu ii. Quod si ponas secandum m. I. erit primus a G. tertius a. Et si ponas secundum MN.s cia. Erit primus a N. Tettius 3 &sic de alijs. Hoc autem ne quis absque iandamento dictum putet, sie demonstratur.
1, si, Si semindus certus Numerorum numerus M unitatibus B.,portionalis inter BD, duplus sediset ad D, sub dupli Tum dueatur C in B., fiat; H certus scilicet quadrato um numerus is certo numero η .ste di. Numerorum, hisque adiiciatur quadratus ipsius D. Dico totum G ΗΚ esse quadratum. Mundu probetur, oportet ostendere ipsos; esse quadratos , ex eorum lateribus bis inuicem ductis Q. producim. Et quidem ipse quadratus estiosius D. ex constructione ' At G eum fiat ex mutuo ductu planorum similium C A quadratus est medij proportionalis E. Restat ergo probandum ipsum is nimi. . produci ex E in Diis. Itaque quoniam est A ad C, ut Bad D. qui sub extremis Am continetur. aequalis ei qui sub mediis CB. At ex Cin B fit Fq. per constructionem. Igitur ec in D fit idem Quare cum A sit duplus ipsius E fiet idem H ex Dini bis Quod erat probandum similitet si ducitur in B. unde fiat, P. certus scilicet numerus Numerorum ciertis unitatibus, hi sique adiiciatur L quadratus ipsius C dico totum LM. P quadratum esse moesiisdem probatur argumentis. Nam L. Geonstructione quadratus est ipsius C. ti qui fit ex mutuo ductu planorum similium B D quadratus est medii proportionalis F. Denique ut ostensum est M, qui producitur ex Ain D, producetur etiam ex C in B. hoc est ex Cin Fbis. Igitur ex omni parte constat propositum. Ex dictis patet duplici de ausa diuersas contingere posse solutiones. Primo prout diuersimod/instituentur positiones eum tradita cautione. Secundo prout producti ex primo in tertium adsumentis quadratum secundi latus diuersimoddfingetur ut iam saepe in simili fieri posse doeuimus. Caeterum huius quaestionis ope , licebit .sequentes absoluere.
200쪽
αUAESTIO PRIMA. AI numerum diuidere in tres nurneros, quorum bini mutuo ductu quem producunt, is adscito reliqui quadrato, quadratus fiat. Esto datus Io.
Sumantur tres numeri per superiorem quaestionem inuenti, Iatuantur in Numeris. Erunt ergo quaesitis N. 73N. 328 N.&productus ex binorum multiplicatione adscito reliqui quadrato, ita-dratum facit. Restat ut eorum si imma sit Io. Quamobrem Io, atquantur lo. fit I N. A lunt
ς γ quaesiti numeri fi atra seu 8. QU. ESTI SECUNDA.1NvENI, tres numeros, ut producti ex binprurn multiplicatione adscito reliqui quadrato quadratos faciant, inuadratorum latera datum constituant numerum.
Datus esto I. Statuantur rursus pro quaesitis, numeri per decimam sextam inuenti, nimirumsN. 73N. 228 N. sic enim producti exhinorum multiplicatione adscito reliqui quadrato, quadratos faciunt Icta I in agoas Q. 828 quorum latera 3a N. yyy N. 9IN. Restat, horum laterum summa aequetur II. Quare 37 N. aequantur as. AELIN. 4. Sunt ergo quaesiti numeri hal
IN vε Ni Ra tres numeros ut productus ex binorum multiplicatione ad simpta, eorumdem summa quadratum faciat. Enim xero productus multiplicatione duorum quorumlibet quadratorum proximorum, adstita ipsorum summa quadratum facit. Ponatur itaque primus secundus 9 v productus eorum multiplicatione quadratus, nempe 36 adscita utriusque summa faciat quadratum. Restat ut productus ex secundo in tertium , adscito utroque itemque productus ex tertio in primum utroque adsumpto faciat quadratum. Statuatur tertius IN. fitque productui ex secundo in tertium, utroque adsumpto Io 9. aequandus quadrato. At productus ex tertio in primum adsumens utrumque fit 3. N. - aequalis quadrato. Hic quoque rursus duplicata aequatio occurrit , estque interuallum N. - . Quaero igitur duos numeros,quo rum mutuo ductu fiat 3 N. - . cla Rint, hic quidem i N. - r. Ite vero . Atque ut in secundo ii Dro docuimus, vel summae horum semissis quadratus arquatur maiori vel interualli semissis quadratus aequatur minori. Et fit i N. 28. Erit igitur pri-
mus . incividus o tertius a8. satisfaciunt postulatis. Imra AESTIONEM ur II. DE MOMsTRA Nnu est Porisma quod assumit Diophantus , nimirum. Productiis ex multiplicatione duorum quadratorum , quorum latera tutate distant, adscita ipsorum quadratorum summa, quadratum iacit Pili