장음표시 사용
221쪽
T εναλλα si idem est quod reciproce, seu inverso ordine, vult enim ut quadrato 3 lateri
addendo eundem numerum fiat ex latere quadratus, ex quadrato latus quadrata Operatio euiden est 4 ex ea elicitur iste CanoΠ ..... . Sume quadratum asiquem, per eum unitate octo, ἀπιδε tuu eius mtate auctum, orieturiatus quasit quadrati. At quasitum qua tum dumto in quadratum mis sumptum,' producto aufer iam quasit quadrati, resiaum erit addenias numerara.
Σ . ,α. ω' - . n. E. quadratum si autem adiiciatur ad
Monus quo te inuenit Dioptrantus quadratum qui ad s. additus quadratum estietat,idem est prorsus eum Canon vli imo ad undecimam secundi tradito Caeterum positiones quadrii pliciter variari possunt. Primo enim cubus quaesitus statui potest quilibet euborum numerus cubicus, putar C. 8 C.
seeundo quadratus quaesitus poni potest quilibet quadratoruin numerus quadratus, puta I in Tertio addendus quadratus etiam infinitis modis variari potest , nam verbi gratia in hypothesi Diophanti, per undecimam secundi infiniti quadrati repetiti poterant qui ado additi neetent
Denique vitima aequatio institui potest cum quolibet euhorum numero ubico maiore quam cubus initio sumptus v. g. IC. - Ο aequari possunt DC. 27 C. 64 C. vel euilibe eubotum numero cubico maior quam .
222쪽
primo summam uadratorum quia pri
mus aequalis est Alobus quadrati quae A sito, Midendo qui suo secundu is p .s
tertius' duplum autem producti multi V
t esse quadratus, quare, duplum pro r
ducti multiplicationis , quadratum esse ' Oportet. Ponatur ergo Hierim alter, I si N. ut duplum producti si quadratus. Su- ' mens igitur summam quadratorum,statuo ' ' γ' D .
primum, Q Tertium vero duplum pro t stria
bus seu primustas. Quadratus seu secundus as Addendus autem quadratus, seu ter. tius ioo. manifesta est demonstratio. IN EsTIO NEM VII.
Actio artificio Diophantus suas ita institis positiones, ut tandem aequatio procedat in. tres Q. &a C. unde sequitur primum nummum reperiri cubum, ut postulatur. Itemque sumis mam secundi & terti j eubum conficeres, quia scilieet fit aequalis primo Superest igitur videte qua ratione reliquis propositi eartibus satisfiat. Nimirum, quomodo secundusis tertius si uterque quadratus,' simu additi situ aequales prim Ae demum tertius ipse primo additus quadratum eonstituat. Haec autem omnia necestario euenire operando eum Diophanto, sic demonstrabitnus. uniantur duo quilibet numeri Assi ita ut duploin producti eorum Esit quais ratus numerus. Et summa quadratorum ab ipsis Am sit C. At numerus quo C su-' ' erat Esit D. Dieo si inponatur primus D secundusa tertius satisfictum esse omnibus propositae quaestionis partibus, illa excepta qua requiritur primum Cenecubum. Primo enim D Esimul eonucium C ex constructione. Quare si C fiat cubus erit de summa ipsorum D Eeubus, ut postulatur Seeundo E quadratus cst ex constructione, nam suppono tales sumptos esse B, ut duplum producti eorum E sit quadratus, tales autem numeri qui facile inueniantur infra docebo. Tertio ipsum D esse quadratum constat ex quarta secundi porismatum. Nam ex summa uadratorum C. auterendo Uauplum producti, superest D quadratus interitalii laterum Denique additum ipsi sacere quadratum concluditur per quartam secundi Euclidis, quam ideo assumpsit Diophantus. Nam summa quadratorum 4 duplum producti E simul faciunt quadratum summae laterum. Quamobrem patet ex omni parte propositum, restat tantiim ut C cubo aequetur quod Deilε fit supponendo ipso CD Eliota Q. insignitos esse, ut sint a QAMLI6 Tunc enim et .
QIequabunt ut cuilibet cuboruin numere cubico, puta I. e. 8. c. c. Inueniuntur autem Deile duo numeri qui bis inuicem diisti quadratum saetant, si sumpto semisse cuiustibet quadrati, quaerantve duo numeri, quorum mutuo dueticis fiat. Ita Diophantus simplo a semissi quadrati A. inuenit numerosa de a quorum mutuo ductu ita Et nos in luperiore diagrammate sumptoa semisse quadrati 16. inuenimus numerosa-ς quorum mutuo dii tu fit 8. Potcramus stiam sumere . ra. Nalios infinitos mutuo ductu produeentes 3. S ij
223쪽
cundus Gai ad iaciendus quadratus, tertius. Quia igitur volo quadratum adiiciendum, additum secundo, hoc est quadrato facere cubum, faciat primum. Rurissus itaque quia volo primum additum tertio facere quadratum, id mihi oneris incumbit , ut inueniam duos quadratos, quorum summa cum altero ipsorum coniuncta quadratum exhibeat, prarierea
duo quadrati addendus scilicet secundo,& ipse secundus simul faciant cubum, via delicet primum Ponantur duo quadrati, primus quidem L ecundus . sc summa ipsorum cum altero juncta facit a Q. -- . aequalem quadrato a latere et N et fitque quadratus - - N. 4t IN. q. Ad positiones. Erit alter . alter I 6. Nunc ergo statuo quadratum addendum Icini fecundum autem . Primus ergo eriteto Q. sui volumus eum ambobus aequalem esse. Superest vieto inaequentur. C., fit 1 N. dio. Ad positiones. Erit primus 8ooo lecundus Iboo tertius addendus IN UAESTIO MEM III.
EAn g, est hae quaestio eum praecedente. Sed operatio pauid diuersa lemnia quod assumit
Diophantus ad inueniendum duos quadratos, quorum summa adscito altero ipsorum quadratum faciat, poterat reduci ad undecimam secundi cu propositum tuisset hoc modo Inuenite duos quadratos, quorum interuallum sit dii plum alicuius quadrati. Hoc enim idem Te manifestum est: Quia cum lumina quadratorum addetur alter, hoc aggregatum eontinebit additum bis,ialterum semel. Porro ex operatione formatur huiusmodi Canon. Sinna d -- ωdratos φιorum summa cum altero ipsorum quadrarum faciat Hora m ma calata ect primus quasitor vim. ιusdem summa suadrat duritus an sen to suadrato , dat retiquor
y Bs 6 θώυρα προσθε μεο α ιγ ν Uao lateri eius eundem addere Ἀριθωὸν, πω GV αὐτα. ες όχρ:σ- numerum , c eadem facere. Sit addendus numerus N. latus vero cubi Numerorum quotlibet. Esto a N. Ergo cubus es a C. Iam Tim addatur ad LX. fiunt 3 N. si ad 8 C. fit 8. C., im haec aequantur 27 C. Auserantur utrinque DC. relinquuntur ro C aequales i N. Omnia per numerum dividantur os aequan- tuo. est unitas quadratus vivo nu-
224쪽
merus quadratorum quadratus esset, ex τράγωνοι λυτο αν ηισο e. ἄλλ' αἱ δὲῆ
8 N. illum vero 3 3C. -- LN Volumus ergo hunc esse cubum, cujus latus sita . Ouare a C aequanturam C. O .
VERI A Dioptanti perspicua sunt,4 ad erudiendum aptissima. Clim enim in prima operatione positionibus ad libitum tactis, ad aequationem inexplicabilem deueniatur, ubi Is inaequantur . ωlolutio est irrationalis, repetitis analuseos vestigiis considerat unde Is prouenerit si quippe
ex interuallo cuborum 8. 47. unde reces interi quaerendos ella duos cubos quadrato distantes, ita ut Accuborum latera unitate distent. Quor tamen lemma poterat etiam uniuersalius proponi, nimirum sic. α
Duos cubos inuenire quorum interuallum iis quadratus Numerus,in quoru in latera distent etiam quadrato numero.
Sit unius latus I N. sterius m. - . ut laterum interuallum sit quadratus numerus , erit ea borum interuallum 6 in .--8 . quod aequatur quadrato Fingatur eius latus om- 8. fiet a N. S. Erunt ergo eu rum laterae 4 Ita Ipsi cubi 2Io &a oo quorum interuallum quadratus a latere 28. Huius autein lemmatis ope licebit etiam variare politionem numeri adiiciendi, nam poni poterit quilibet Numerorum numerus quadratus verbi gratia ponatur m Quaerendi ergo erunt duo cubi ut laterum interuaIlum sit 4. cuborum interuallum sit quadratus numerus. Ηἰ sunt per allatum lemma .in io. Quare ponetur quaesiti cubi latus 6 N. ipse cubus at utri- fiunt Cubus scilicet&latus eius. Carietum licebit etiam soluere huiusmodi quaestiones ad hanc materiam pertinentes.
AE STIO PRIMA. Inuenire duos numeros in data ratione, quorum cubi quadrato distent numero.
Sit data ratio dupla. Ponantur latet Cuborum m.&a erunt cubici C. 2 8 C. Auorum interuallum C aequatur quadrato. Esto is quilibet numerus Quadratorum quadratus, puta 49 in
225쪽
fiet x N. . Suot igitur latera cubotum 7. Wr in satisfaciunt proposito. V STI SECUNDA. Inuenire duos numeros in data ratione, quorum cubi distent numero quadrato is
quadrato Sit data ratio dupla Poriantur latera cuborum IN & ab Erunt cubi 2 C. 4 C. quorum interuallum DC aequatur quadratoquadrato. Est is quilibet quadratoquadratorum nucimis quadra- oquadratus, puta I QCti H IN 7. sunt latera cuborum ut prius 7. 4 .m UESTIO TERTIA. Inuenire ditos cubo quadrato distantes, quorum Iatera distent cubo numero.
Sit,nius cubi latus IN. alterius vero IN. uolibet cubocubo puta IN. - erit cuboruni interuallum 26at Iaarim. -- 9 in aequale quadrato fingatur eius latus siet. O N. fiet quadratus sal - 1 336 N. - - Σωfiet I N. 6616. Sunt igitur cuboruin latera 6616.3 6 ao quorum interuallum est cubus 6 . Sunt autem cubicio 8763 8 i W3o346 Moo. quorum interuallum 'Mois, . quadratus est a latere Ois a. Eodem artifieio inuenientur duo cubi quadrato distantes , quorum latera dissent euboeubo, erunt enim iidem proxime inuenti. Similiter inuenientur duo cubi quadrato distantes, quorum latera distent quadratoquadrato, si ponatur unius latus N. alterius I N. - quolibet quadrato adrato, putarim. Is Ae demum inuenientur duo cubi quadrato distantes, quorum latera distent quadratoeubo, si ponatur unius latus I N. Alterius ver I N. - quolibet numero quadratos mul& quadratocubo, puta IN. - O24.
Inuenire duos cubo, quorum in tetruallum ad interuallam laterum fit in ratione quadrati ad quadratum Interuallum autem laterum sit datiis numerus.
Esto interuallum laterum 3. Ponatu unum latus M. alterum M. Fa erit ruborum interualis Iulia7. - 27 N. - ρ Q. quod eum ad 3 debeat habere rationem quadrati ad quadratum, diuiso eo pera fiet N. - , equandita quadrato Fingatur eius larus 3 ram fiet IN. r. Sunt ergo cuborum latera ar4 24 insatis fit proposito. Huius ultimae quaestionis auxilio uniuersalius adhuc quam per lemmata supra tradita soluetut Diophantaeum problema. Licebit enim adiiciendum numerum ponere quemlibet Numerorum numerum , puta 3 N. sed tune quaerendi erunt duo cubi, quorum interuallum ad lateruallum laterum sit ut quadratus ad quadratum. Interuallum autem laturum sit 3 6 reperientur qui supr1. Quare ponetur latus clibi ai N. ipse Obus pa6 C. quibus si aqua sigillatim LN fient et m. ωydisi C. - N. quorum ille istius latus cubicum esse debet. Quare 382 G aequantur 6 C. -3N.&tandem Μ' C aequantur et M. AELI N. : Est igitur latus cubi dis apud Diophantum, madiiciendus numerus Ethie aduerte inuentis semetauobiis cubis, quorum interuallum ad laterunt interuallum sit ut quadratus ad quadratum, si sumantur duo alii quicunque numeri in eadem eum Iateribus ratione, interuallum quoque cuborum ab ipsis ortorum fore ad lusum numerorum inisteruallum ut qaadratiis ad quadratum. Ita quoniam rodo. 226 interuallum 78 . ad laterum io. 6 interuallum est ut quadratus ad quadratum , si loco ipsorum 6. m. iunia . o. cuborum quoque 27. 42s interuallum M. ad laterum ii teruallum a est Ut quadratus o a. quadratum t. cuius rei de ilionitiatio ex iis quae ad sequentem ostendemus, liquido constabit.
226쪽
nia per numerum dividanturn qu Π G. Pa. - mi ιτα tur . non contingit solutio rationalis,
propterea quod species ad speciem non
habet rationem quam quadratus ad quadratum. Sed n R. est summa duorum cuborum, ipsius 7.4 ipsusa unitates veros est summa laterum ipsorum. Res itaque eo deducta est, ut inueniendi sint duo cu-bi, quorum rumma ad summam laterum ipsorum rationem habeat quam quadratus ad quadratum. Sunto latera illorum coniuncta unitatum quotlibet , verbi gratia a. ponatur prioris cubi latus i N. Igitur alterius latus erit a IN. cubi illorum iuncti faciunt εχ μ 8 I2N volu mus ergo haec ad laterum summam, hoc est ad a. habere rationem quam quadratus numerus ad quadratum numerum Atquia duplum est quadrati. Quare 8 Iam duplum ponet esse quadrati. Serrussis igitur, nempe Din- ---χ N. aequatur quadrato. Esto quadrato a laterea, N. cfiti N. g. Ad positiones. Erit alteru latus a alterum et Tollo decimas tertias, semisses ipsorum capio, fiunt cuborum lateris. I. Venio ad propositum ab initio, & pono cubi latus, ocubus ergo est 11s C. Addendum vero statuo cubum a latereram minus latere prioris cubi, nimirum 3DC. - N. 4dditus quidem ad s.N.facit cubum,additus vero adus C. facit 63 N. Volumus ergo haec esse latus cubicum de si a C. Quare' N. aequantur 63 N. fiti N. I. Ad positiones. Erit cubus latus vero in numerus adiiciendus ta
Praeterea deerant multa, quae omnino flagitante sententia fuerunt adiicienda, quae omnia more nostro virgulis in elusimus Denique denominatores passim omissi erant quos restituimus. Porro mandelium est quaestionem pendere a lemmate quod assumit Diophantus, quo scilicet
227쪽
quaerit duo Cubos, quorum summa ad summam laterum sit ut quadratus ad quadratum. Quod quias euenti quoque quaestioni inseruit, multa sunt notatu digna in eius enodatione, pluribus a nobis explicabitur. Aduerte igitur primo laterum summam poni potuisse non solum a. ut secit Diophantus, sedi
quemlibet unitatum numerum puta 3. 4. I. &c. Aduerte secundo summam cuborum 6 -- 8-ra N. dimillic laterum summam a.& quotientem et Q. - aequari quadrato. Quia summa cuborumis summa laterum de tu esse
plani similes. At ex duorum planorum similium mutua muli iplicatione vendi uitione quadratum fieri manifestum est. Adverte tertio non potuisse fingi latus ipsius N. nisi vel quadratorum, vel unitatum numerus quadratus fuisset; ut in simili iam saepe docuimus. Quare videndum quomodo unitatum numerus inueniatur quadratus, ne eas non arte ceria id fieri putetur. Proueniunt autem unitates . excubo 8. diuiso per suum latus a Quamobrem cum quolibet cubo perlatus suum diis uiso, oriatur quadratus ab eodem latere, patet utique propositum. Aduerte quarto aut admodum formandum esse latus supradicti numeri , -- - N. Etenim cum alterum laterum positum sita N patet valorein Numeri debere cile minorem quama fit autem valor Numeri, a quodam quadrato subtrahendo ternarium, ter residuum diuidendo quadruplum lateris multatum senario. Quare si ponatur huiusmodi quadratus is patet 'debere esse minusquama Atyroinde 4 N. 6. minus sunt quam 2 in-6.4 laudem N. minore. esse debent quam a LAt si aequarentur fieret IN. 2. Igitur patet quaesiti quadrati latus maius esse debete quam a Quare ipsius, N. latus fingenduin erit ara, quotlibet numeris, quintum multitudo sit maior quam a. sic Diophantus finxit hoc latus & fingi posset a s . a.
Praeterea cauendum est ne cuborum latera aequalia reperiantur , atque adeo ne ipsi ubi sine aequales, quamuis enim si hoc accidat, lemma propositum nihilominus soluatur , quia quilibetectus ad suum latus rationem habet quadrati ad quadratum, cum inter eos cadat medius proportionalis quadratus ab eodem latere, ac proinde duplum cubi ad duplum lateris sit in eadem ratione. attamen per huiusmodi aequales cubo quaestio proposita nequit commode exsicari, quoniam msoluendo hypostases numerus additius inuenitur nihilum. Quamobrem non temere additum est
in textu. Ponatur adiiciendus alisu minorum num , c. Etentii ponatur verbi gratia cubus quaesitus να cuius latus a N.& ponatur addendus numerus 8 C. am patet tandem aequationem proe
dete inter 16 C. ω m. seu inter unde fit IN. t per quem resoluendo hypostases fit cubuxquaesitusi. latust. Addendus vero numerus fit 1 I. id est nihil. Idemque semper eueniet, si in additio numero ponatur idem cubotum numerus qui Ponitur procubo quaesito, ut facile est demonstrate, quia hypostasis additi numeri est semper in hoc casu numerus ille cuborum eubleus, minus suo Iatere. Quare eum ita operando cubus semper inueniatura ac proinde latus I. necesse est addititium numerum esset I. Ne igitur in hoc absurdum deueniamus, cauendum est in lemmatis solutione ne quaesiti cubi aequales reperiantur, hoc est ne valor Numeri sit aequalis semissi summae latetum, ut in hypothesi Diophanti ubi summa laterum ponitura. cauendum est ne valor Numeri sit 1. fit autem valor Numcii, ut iam ostensum est: em no ergo non debet aequari nitati, sed si ponatur aequati unitati, fient 4 N. - 6 aequales Q. q. tandei qm aequabuntur Q - . . Qua aequatione resoluta fit N. . Quamobrem ad utramque cautionem fili Prelpiciendo fingen-d im est latus quadrati Din- 6 6 .aa. tot Numeris qui excedant a dum non sint . Adverte postremo cur Diophantus inuentis cuborum lateribus adiiciat denominatorem, sumat semilias Numeratorum, eam non esse causam quam aster Xilander, hae enim ex parte nil aliud est quam manitesta petitio principis; ex parte uro nescio quid ad rem prorsus impertinens. Nam quod loco ipsorum G sumantur emisses eorum , nempe ais di eam dicit esse causam quod oporteat corum cubos aequari quadrato, quod sane non facit ad rem, non enim quaerunt ut duo Numeri , quorum cubi simul aequentur quadrato, sed quorum cubi simul ad ipsorum numerorum summam sint in ratione quadrati ad quadratum Deinde quod adiecto communi denominatore, sumantur numeratores s. ω8 eam reddit rationem quod denominator coinmunis est , ut si de eubis numeratorum constet eos ad ipsorum nil merator ut summam habere rationem quadiati ad
quadratum , abunde sit rei satisfactum. Hoc vero est petere principium , cum hoc unum sit quod eontrouertitur, non enim ostendit cubos numeratorum ad laterum summam esse in ratione quadrati ad quadratum. Atqui certum est cubos ipsorum f. ' ad unitatem quae est summa ipsorum, Ionacte diuersam rationem habere, ea quam habent ubi numerorum S. ad summam ipsorum 13. quamuis sit utrobique ratio quadrati ad quadratum. Huius ergo rei causam adaequatam asseremus
Si fuerint duo numeri, quociim cubi simul ad sumniam numerorum rationem a
228쪽
beant quadrati ad quadratum, si sumantur ali duo numeri in eadem ratione, circa illos, ipsorii tuque cubos idem eueniet.
Sint duo numeri Assi quorum cubi M. & ipsorum a sum-C Ias. r. maesto F. ipsorum Assi summa esto Esintque E plani similes, fra. a. sumanturque H in ratione ipsorum AB.& sint eorum cubi LM. R quorum summa P iplorum vero in summa est N. Die ipsos F637. si as quoque P . esse planos similes, sumatur denominator rationis S ipsorum H Κ. ad ipso. B. ita ut ducto R in ipsos in B. sane H Κ. Iooo. Hio. a. it S quadratus ipsius R. a. eiusdem cubus Patet ergo ex cubo M My6. Mi6. vin cubosco fieri etiam eubos L M. At quia ex Minina fiunt H K. ex eodem in Esummam ipsorum Assi fiet utique . summa Psoo6. Q 364. I6. ipsorum HK. Eademque de causa ex Tin F fiet P. Itaque quoniam FE ponuntur plani similes, ' cadet inter eos unus medius propor 18. OctauI.tionalis, esto is G quo ducto in S aes gitu quia FG E suu continuὸ proportionales, ripsi quoque R SI continue proportionales sunt, ex primo R. in priinum F. fit P. At ex secundo Sin secundum fit in Ae demum ex tertio Tin tertium Efit N ' eruntin ipsi P N. continue , . r. pisiis. Proportionalcs. Quare cum inter ipso P. . eadat unius medius proportionalis sum ipsi M. Plani similes Qv demonstrandum erat. oo Franc patet cut loco ipsorium 444t sumantur s. I. quia scilicet hi sunt in eadem ratione cuni
illis, quia fiunt ducendo utrumque in i3. tum productos Io. I 6 diuidendo per a. Hinc etiam constat demonstratio eius quod diximus ad quartam earum quas attulimus ad praecedentem, nimirum. Si fuerint duo numeri quorum interuallum ad interuallum cuborum ab ipsis ortorum si in ratione quadrati ad quadratum, adem eueniet aliis quibuscunque numeris in eadem ratione sumptis. Nani eadem ratione ostendetur ex R in interuallum ipsorum Assi fieti interuallum ipsorum4ΓΚ. ex in interuallu in cuborum CD produci interuallum cuborum L M., rursus ex S in medium proportionalem qui cadit inter interuillum cuborum CD. interuallum laterum a procreati medium proportionalem qui cadit inter interuallum cuborum L M.& interuallum laterum Η . Quamobrem eodem argumetuo concludetur propositum. Porro loco lemmatis a Diophanto assumpti, licebat assumere aliud lemma simile illi quo usus est ad praecedentem, nimirum.
Inuenire duos cubos, quorum summa sit quadratus numerus, daterum lumina
sit etiam quadratus numerus. Ponam laterum summa ut sit quadratus, si alterum I N alterum IN. Erit summa cu- horum 6 aequalis quadrato, cuius latus fingetur tot Numeris ut fiat valor Numeri minor quam 4 dum is non sit a. ob causas supta explicatas aduertendo quarto. Quare simili artificio determinando numerum hunc Numerorum in latere fictilio ponendum inueniemus eum maiorem et se debere quam dum non sit . Ponatur ergo latus fistitium 8 iam fiet quadratus 6ιν - Ἀ4 Q I9am aequalis 6 -- I Q. - 48N.&fit 1 N. 4 Sunt igitur cuborum Iatera AI quorum sui rima 4. Ipsi vero cubi quorum summa in quadratus a latere f. Itaque si libeat his uti cubis ad soluendum problema Diophantaeum pones cubum quaesitum: ib euius latus m. addititius numerus erit Tn C. V . quem addendo latet fit cubus C. Seeum addendo cubo fit re N aequalis P N. Quare tandem aequantur . fit IN. Est ergo latus cubi quaesith ipse cubus ri Numerus addititius d&constat. Hie etiam possumus afferre nonnullas quaestiones ad instar earum quas ad princedentem attulimus videlicet.
QV STI PRIMA. Inuenire duos numeros in data ratione, quorum cubi simul quadratum conficiant. Esto data ratio tripla , sit unus I . altera N. horum eubi simul conficiunt 28 C. quod aequatur quadrato. Sit is quilibce numerus quadratorum quadratus, puta ses it Im. I. Sunt ergo quae siti numeri 7.4 2I. quorum cubi 3 3. ω926I quorum summa 96o . quadratus est a latere M.fVM STIO GEC V Ni A. Inuenire duos numeros in data ratione , quorum ubi simul quadrato quadra tum conficiant.
Esto data ratio dupIa, sit altera N alter am horum e ubi simul conficiuntis C aequales quadrato quadrato Sitis quilibet quadratoquadratorum numerus quadrato quadratus puta infit 1
229쪽
N. o. Sunt ergo quaesiti numeris.&ia quorum cubi 29. j a quorum summa 6s6I quadrato- quadratus est a lateres.
GV sTIO TERTIA. Inuenire duos numeros cubum simul conficientes, quorum ubi simul quadratum faciant.
Ponatur summa quaesitorum Numerorum numerus cuboeubus , ut 64. ωlit alter I . alter64-im horum cubi faciunt adat I9 Ia288 . quod aequatur quadrato, cuius latus debet fingi siet. tot Numeris, vivator Numeri reperiatur minor quam 4 Qtrare per artificium traditum aduertendo quarto, inuenietur hanc umerorum multitudinem quae ponenda est in i
tere fictitio, maiorem esse debere quam I6 fingatur ergo huiusmodi latus sta I N. fiet I N. F. Sunt igitur quaesiui numeri V Q quorum summa 64. At eorum cubi sunt uin qu rum summa inci seu in minimis quadratus est a latere
is in is, M, inueniendi sine duo ubi quorum summa
αυτ m I G HΦμων , si eς laxeruim summam diuisa quotientem - δειδε, ciat quadratum. Hoc autem iam osten- sum est, sunt cuborum latera . oesi, uel his Redeo igitur ad propolitum ab initio,
OPsRA io Diopiranti facilis est, perspicua, tota innititur lemmati ad praeeedentem explicato. Caeterum codem fere artificio solvemus huiusmodi quaestionem. Inucia ire duos cubos, quorum summa ad summam laterum sit in data ratione, dummodo denominator rationis si quadratus, vel triens quadrati.
EAdem addenda hute determinationi qua in notis sequenti addidimus , o miror Rachetum non quod methodum generalem, quae fane est diffitis, non viderit sed quod saltem non admonuerit lectores hanc qua ab ipso traditur, non essegeneralem.
Sit primum data ratio' iiadrupla , euius denominator quadratus est. Ponatur unum latus M. alterui I . erit summa cuborum, C. aequalis quadruplo summae laterum , putara N. est solutio irrationalis , quia, ad II non habet rationem quadrati ad quadratum. Quaerendi ergo prius
230쪽
sunt dii cubi, quoruiti summa ad quadruplum summae laterum sit in ratione quadrati ad quadratum Potiatur lumina laterum quilibet unitatum Numerus, puta 6. sit unum LN alterum o a N. crat tun, n cuborum 2IΟ - 18 -IOMN. quae ad quadruplum summae laterum, nimirum auri . debet habere rationem quadrati ad quadratum. Quare altera summa per alteram diuiti,ficis N aequalis quadrato, Momnia ducendo in . et 36-- Q, 8. N. aequandus quadrato. Et per artificium ad praecedentcm explicatum inuenies fingendum latus c, - tot numeris qui supercia a fingatur 6 Im fiet I N. - . Sunt ergo cuborum latera M' . .sumehdominimos in eadem ratione, fient cuborum latera: as. Redeo igitur ad propositam initio quaestionem, sono quaesitorum latera cuborum m. Wrs N. fit summa cuborum' i C. laterum eta N. euius quaci rupium 88. N. aequatur 7i C.& fies N i: Sunt ergo latera cuborum s &satisfaciunt proposito. Deinde sit data ratio tripla,cuius denominator 3 est triens quadratii erunt ut prius quaerendi duoeubi, quorum summa ad triplum summae laterum sit in ratione quadrati ad quadratum. Ponatur latus unius ut supra I N alterius 6 am igitur summa cuborum 18 Q - 2r6 Io8. . ad triplum summa laterum 8 debet habere rationem quadrati ad quadratum, unde altera sun ima per alteram diuisa fit cinis ix 6 . aequalis quadrato cuius latus fingendum est N. - tot unitatibus, ut ii peret latus plius Ia ita tamen ut valo Numeri sit minor quam 5. Quare cum per arcificium ad praecedentem explicatum constet unitates ponendas in latere hesitio debere esse minores quatu . Patet fingendum latus im tot unitatibns, ut cadant intera et p.: Fingatura . -6. et quadratus L - - 36 Ia . aequalis Q. - Ia - 6 N. fit I . . Sunt ergo latcra cuborum . d. vel in mini tuis a. a. Venio itaque ad initib propositam quaestionem. Et pono latera cuborum m.&am. fiuntque, C aequales ita unde fit IN. I.& patet cubocr. ω8 soluere quaesti nom. Quod si quadrati Q. - Ιχ. - N. fingas latus I N. l. fiet i latcra cuborum quorum summa ad triplum summae laterum habet rationem quadrati ad quadratum , erunt in minimis a 43. Qiii-bus utendo pones quaesitorum liborum latera a N. 43 N. unde fient tandem aetos C aequalesquN.&fieti N. erunt ergo latera cuborum quae soluent quaestionem.
IN a Ni s ratios cubos quorum interuallum aequale sit interuallo laterum ipserum. Sunto latera a N. J. N. erit interuallum cuborum I.C. Interuallum autem laterum i N. Igituram.
aequatur Io C. Et non est numerus rationalis, quia species ad speciem non habet rationen qua est quadrati ad quadratum E itaque sum redactus, ut inueniam duos cubos, ut ipsorum interuallum ad interuallum laterum rationem habeat quam hiabit quadratus ad quadratum. Sunto latera cuborum i N. 1 N. - I. Vt c ipsorum interuallum sit quadratus, nimirum 1. quoniam unum latus est et, alterum 1 N. u. crit quidem Iaterum interuallum I. cuborum vero I N. a. Volumus ergo D 'IN. HI ad unitatem, interuallum scilicet laterum, rationcm habere quam habet quadratus ad quadratum. Igitur productum eorum lanultiplicatione oportet este quadratum. Est actim hoc productit ira 3 --,Ν. - . Hoc aequatur quadrato a laterer a N. Iti . . Ad positiones.