장음표시 사용
251쪽
- . I I uo Est primus numerorum quotlibet, pu-
τος vi ο ρ ηος π dus prodiit diuisora per productum ex
252쪽
sunt tres numeri, quorum ex multiplic ' -- Ψύ tione ortus solidus,et cubus latus habens ri a. t. s.
llumas N. est solidus sub ipsis conten αγρο b a 'tu cubus cuius latus arquatur interuallis ipsorum simul junctis Volo autem trium summam aequari dato numero A. Igitur,a . quantur 4. fit 1 N. h. Ad positiones. Erit primus K. secundus , tertius n. IN QUAESTIO NEM XXVI.
V AERRN Diophantus tres numeros quorum summa sit'. Ita ut solidus sub ipsis contentus tu cubus latus habens summam interuallorum quibus hini inter se distant seu quod idem est, Iatus habens duplum interualli maximi& minimi primuiu quaerit in uniuersum tres itumeros reliquis propositi partibus satisfacientes nulla habita ratione summae quam conficiunt, his enim inuentis , putario. 27. 23. Iam statuit quaesitos numeros qo N. 27 N. 2LN quorum summamia N aequalem faciendo ipsi soluit quaestionem propositam. Itaque totum negotium in eo consistit ut inueniantur tres numeri, ut solidus sub ipsi, eontentus sit cubus latus habens duplum interualli maximi minimi. Ponatur solidus ille quilibet cuborum numerus cubicus, putara C. Cum ergo illius latus sitam patet hoc est duplum interualli maxinii & minii ni, quare ipsum interuallum maximi& minimi eri r N. Ponendi ergo sunt maximus, minimus certi numerorum numeri unitate distante i sed quia per eorum productum diuidendo DC solidum , debet oriri medius qui
minimo maior esse debet, .minor naximo, apparet necessitas assumpti lemmatis, quo qua runtur duci numeri unitate distantes per quorum productum diuidendo L fiat quotiens minore maior, di minor maiore. In huius autem lemmatis enodatione quantum a scopo aberrarit i-Iander, qui eius commentarios legerit , facile intelliget. Nobis non vacat in refelleiulis inanibus illius coniecturis diutius immorari, quibus propositum est Diophantum explicare . non aliorum errata omnia persequi Ponuntur ergo quaesiti numeri r N.&IN. - fitque producitus eorum multiplicatione I Q. - N per quem diuidendoa fit quotiens in cis qui debet esse maior quam IN. minor quam N. - r. Iesi quis asserat Diophantum non satis accurate rem persequi nisi quid ex illius verbis exciderit i non testetur, ut puto. Nain ut utrumque quod instat, rite procuretur, omnia reducendo ad eandem denominationem patet 8 maiorem esse debere quam IC. - I Q. minorem autem quam LC. - IN B primum quidem sollicite cauet Diophantus, postremum vero negligit omnino. Atqui si hoc neglecto ad illud tantum respiciamus, saepe in absurduindeueniemus. Nam verbi gratia ut 8 sit maior quam IC. Fci Q. sufficit aequemus . alicui elibo maiori quam IC. - dum is non sit maior quam 3 Attalis est C. .. 3 -- N. - Mute
ergo aequemus 8.&latus lateri comparantes fient a. aequales IN. I.&erit N. I. Quare tuaesiti numeri erunt r. d. quod est absurdum, nam per eorum produebim et si diuidasa fiet 4 qui maior est utroque eum deberet esse maior minimo, minor maximo. Non susscit igitur ut cubus cui aequatur 8 sit maior qu in t C. - ed oportet simul ut sit minor quam I C. - , -- N.Hoc ut arte certa consequamur fingemiis cubu in quo praeter I C.eontineatur DPQ aliquid amplius,quod tamen non aequetra Quare cum latus cubi ponendum sitam. aliquot unitatibus, ac proinde quadratorum numerus in cubo contentorum sit triplum illarum unitatum, pater in latere ponendas tot unitates, ut earum triplum sit minus quam a sed non minus quam . Quare utriusque trientem sumentes concludentu , fingendum latus ubi IN. - . tot unitatibus quae sint minus quam
sed non minus quam . si Diophantus posuit hujusmodi latus I N. - quod aequans lateri ipsius 8. puta et inuenit valorem Numeri si fingas latus I N. - . hoc aequabitura & fiet
253쪽
IN. l. Erunt ergo quaesiti duo numeriq&i quorum productus V per quem diuidendo8 fit medius ς tres enim e , satisfaciunt proposito, hoe est solidus sub ipsis contentus est cubus latus habens summam interuallorum quibus bini inter se distant. Omnia reducendo ad integros, fient s. q. 7s per quos si velis soluere quaestionem propositam, pones quaesitos Numeros N. 64 N. 7 N. horum summa 84 N aequatur 4. fit i N. d. sunt ergo quaesiti umeri,nItaque ut compendiolissime propositum lemma perficiatur, cum fiat valor Numeri auferendo abinario unitates positas in latere fictitio ubi, ostensum sit unitates illas minores esse debere quam
non minores quam l. his autem a binario detractis, supersint 4 l. patet valorem Numeri maiorem esse debere quam 1 non maiorem quam . sic sumi poterunt pro valore umeri . l. maiij infiniti. Vnde constat allucinati Xilandrum, cum asserit valorem numeri esse posse nam is cadit extra limites constitutos, eumque proposito non satisfacere senties experiendo. Restat videndum cur Diophantus loco ipsorum sumat ipsos qo. 27.2s in iisdem rationibus. Quod ne cui scrupulum moueat, demonstrabitur hoc Theoremate. Sifuerint ire numeri, ita ιι solidus sub ipsis contentus, sit cubus latus habens duplum interualli maximio minimi, ct tretati quicunque in iisdem ratιonibus4dem prastabunt. Sint tres ΑΒ C. &interuallum extremorum est E euius duplum D. Atti . s silidus sub ipsis AB C. esto F cubus,cuius latus sit D.& sumantur tres GH, in iisdem rationibus cum ipsis A BG.4 sit extremorum interuallum M. cuius z I x b. duplum .in solidussu ipsis GH esto P dico P. esse eubum cuius latu 1 Octaui. 1 ου M o ς Exςnim cum latera At C. G Η Κ sint proportionalia erunt solidi Fi, oleta ι 'o' bbb similes ex definitione. Quare habebunt intc se rationem cubi ad cubum, ac
proinde cui F sit cubus, ' erit & P cubus. Quoniam vero ex hypothesi est A ad C. ut G ad . erit suidendo E ad C. vim ad X ac proinde erit D, duplus ipsius E ad C; sicut L. 1, natas duplus ipsius M. ad K, Permutando eriti ad L, C ad K. Atqui solidi similes F sunt in tripli. ii octiali eata ratione laterum K. similiter cubi FP. sunt in triplicata ratione lateris D ad latus ipsius P. Igitur est C iam sicuti ad latus eubi P. sed ut C ad K. se est D ad L, ut ostensum est. Igitur L est latus cubi P. Quod erat dc monstrandum. Caeterum eodem artificio soluetur huiusmodi quaestio.
Inuenire tres numeros, ut selidus sub ipsis contentus sit cubus ciatus habens summam interuallorum, quibus bini inter se distant, ipsa autem summa interuallorum
sit datus numerus. Esto summa interuallorum Is Quaerentur ut prius tres numeri, ita ut solidus sub ipsis contentus sit cubus summae interuallorum Sinuenientur o. 7. s. Quare ponentur quaesiti om. 27 N. 21 .4 fit summa interuallorum4o . aequalis s. unde fit i . . Sunt igitur quaesiti numeri V.
κωροσλαζὼ νον raram ποι--, αμ' eorum multiplicatione adscito primo,
NUM s Rr ubo aequandi 8 C. - Q. AN. I. latus ingenio, fingituram. a. ut cubo utriusque partis elidantur RC. a. remaneat aequalitas inter Numerosis quadratos. Caeterum positiones diuersis modis institui possunt. Nam primus quaesitorum poni potest quilibet uinetorum numerus siue cubicus, siue non, dum secundus statuatur certus quadratorum numerus
254쪽
aequatur cubo , Est impossibile. Statuo ergo rursus phimum 'I' -ο - μ α.
numerorum cubicorum aliquot addita aepto lecundo it cubus sed dempto pri 'ges λα
TE lacunas male cum repleuisset itander, non mirum est sim riHL---ἰ- C. - N addendo primum fieret cubus Ita hic ponere voluit primum MN seeundum. I
X Vt produc 8 - N. detrahendo primum, eubu, sube ea. vh et '' R et auserendo secundum relinquebatura C. 44N. i. t I; D is cubus non potest se dem H Q - N. remanent aequales nihilo. Ideireo, hoe neommodum' hiur et ius
dae muto sitiones,&primus ponendus est8N. - . secundus p resque opti a sue t. Caeterum infinitis aliis modis institui possunt positiones , dum primu ponatur ciuilibet ni morita
Numerorum in L fecundus quilibet Quadra tofum num. u, u
rorum primi cubum faciat. Ita si ponae primum m. s. r. secundum a Q. erit produz Icta a uui multatus secundo cubum relinquit. At multatus primo, manct 8 L . io MI. qui aequabitur cubo latere a N. I.&fiet M. Etunte eo qua si hum. T 'in quaestionem am productus fit M. Vnde auferendo ipso, nude
hic etiam aduerte talem statuendum Nilmerorum numerii in primo ut sit aequalis ves malo his merci quadratorum qui ponitur pro secundo. Alioquin pon turminor, non poterit detrahi terque numerus. Ita si ponas primum LN . t. secundum 8 re, lihri s - - pra '9. Sed si ponas primum a N. - . secundumqQ erit productus C. - Q. qui detracta
255쪽
seeundo eu bum relinquit, at primo detracto , relinqvix 8 - - re Trilem tabo lit te PT i., fit 1 N. . suntque quaesiti numeria. I. a quorum produci
si primum auseras, nihil remmet.
256쪽
N. Communis addatur desectus, a similibus auferantur similia, relinquuntur 3a C. aequales 36 dc fit IN. . Ad positiones. Posueram latera cuborum, hoc quidem ΙΝ. - . illud vero IN. I. Erit ergo alterum c. alterum b. Ipsi ergo ubi erunt , primus quidem . secundus autem no venio ad id quod initio propositum erat, ac quaero quomodo dentur duo numeri, ut productus eorum multiplicatioti cum utriusque summa faciat Iod idem productus detracta eadem summa faciat ii Quoniam ergo productum multiplicationis additum summa facit cubum idem productum detracta summa facit cubum . horum cuborum interuallum, nempe et est utique duplum summa Ipsa igitur summa est Q. sed productum multiplicationis cum summa facit II. summa inuenta est V et erit igitur productum multiplicationis re P. Quod reliquum est, conficiatur demonitratum est libro primo, sed explicandae causa quaestionis denuo ostendamus. Ponatur primus Im cum semisse unitatum qua summam exprimunt, hoc est secundus erit IN.&est summa illorum τοῦ Sed productu in multiplicationis est τοῦτ2 - Q. hoc ergo aequatur . ' c ,σcαψκη ' ς Ουἔυ- omnia per denominatorem 611 mes e ἡ δειξις αδεε, multiplicentur &auserantur similia a similibus fiunt et sarq . Qi aequales a socio o fiti N. n. Ad positiones erit primus . secundus demonatrato e me uidens VAESTIO MEM XXIX.
HI duo imprimis apponuntur a Diophanto. Primum interuallum cuboruli cui fiunt addita . demdit i
enim interuallum duorum B sit D. Seduorum B A. interuallum sit uisus D eisi sorie nmorum C A. interuallum eme duplum ipsius D. Quod erat propositum Secundo supponit Diophantus ipsum productum B semissem et se summae cuborum C ouo etiam euidens est, cum enim tres A BG sint in medietate arithmetica ex hypothesi est
B. semiusis summae extremorum. Quod erat intentum uine aret, quod a staphin ita dos esse duos numeros, quorum iam masti productum B. Id au Em s. p. VI; zzzz
cuius operationem hic repetit. Cum autem ex mi iusmodi operatione, vel e Carian iis Ly
constet, ut uuaestio solui possit oportere a quadrato semiis, summae iis rorid ν bd tam .im
quadratum, sequitur oportere via quadrato missis ipsius D. auferendo B relin ii, '
257쪽
quadrans interualli eorundem cuborum; rursus, ut ostensum quoque est, B est semissis sumniae cuborum A C. Igitur euidenter colligitur necessitas Iemmatis a Diophanto assumpti, quo quaeruntur
tales duo ubi, ut a quadrato quadrantis interualli eorum auferendo semissemesummae eorundem, relinquatur quadratus. In huius lemmatis explicatione multa occurrunt obseruanda. Primo aduerte latera cuborum poni IN. - I.&IN. - r. v cuborum tam summa quam inte
uallum ex paucissimis constet speciebus. Nam horum laterum cubi prorsus similes sunt, nisi quod quadrati, unitates deficiunt in cubo residui, cum adsint incubo binomij, sicut docuimus ad priniam huius, cubi genesim explicantes. Vnde colligendo summam cuborum, cum quadraal initates ob signa contraria sese mutuo elidant, fit ut rumma cuborum constet solum ex cubic& Numeris, ut in hypothesi fit summa euborum a C. - 6 N. similiter cuborum interuaslum ex duabus tantum componitur speciebus, ex quadratis scilicet, .unitatibus quia cuborum& Numerorum iidem utrimque reperiuntur numeri, sic in hypothesi est cuborum interuallum 6 a cuius quadratus est Ius -- . . Secundo aduerte quadratum huius quadrantis, necessario esse trinomium constans ex quadrato quadratis, quadratis, initatibus, ut colligere ex genesi quadrati quam tradidit Euclides quarta secundi fit enim huiusmodi quadratus Quare eum ab hoc quadrato auferri debeat semissis summae cuborum, qui constat, ut iam diximus , ex cubic Numeris, necesse est hane subtractionem fieri per signum desectus, cum in dicto quadrato non reperiantur species eorundem nominum. Itaque fiet huiusmodi subductione qui nomium constans ex quadrato quadratis, quadratis, Munitatibus , cum deiectu eu rum4 Numerorum, nimirum, DPQ - ἔ- I C. -3. N. qui aequandus est quadrato , ut soluatur propositum lemma. Sed ad vitandas flaetiones, omnia per A multiplicantur, cfit 9 in F 6χ -- L qta Iam aequalis quadrato. Tertio aduerte ita sormandum latus propositi quinomii, ut aequalitas consistat inter duas species proximas. Quare tria potissimum sunt praestanda Primo tollendi sunt quadrato quadrati. Secundo unitates quoque tollendae Tertio vel Numeri tollendi sunt, ut aequalitas consistat inter cubos, quadratos vel tollendi sunt cubi ut aequales maneant quadratiri Numeri. Duo quidem praestabum tur facile, quia tam quadrato quadratorum quam unitatum numerus, quadratus est, puta i. quare si in latere fictilio ponantur horum quadratorum latera, nimirum L MI habebitur intentum Tettium veto, ut perficiatur, adiicienda est in latere fictilio tertia speetes , qua vel cubi vel Numeri elidantvr , unde duplex aequationis ratio consurgit, quarum primam duntaxat prosequutus est Diophantus . nos utramque non grauatim explicabimus. Primum ergo si libeat abolere numeros, curandum nobis erit ut in quadrato fictilio reperiantur 4a N. Cum igitur Numeri produci non possint, nisi ex ductu Numerorum in unitates, patct in latere initio numeros ponendos esse: ut vero eorum multitudo nobis innotescat, cum latus fictilium debeat esse trionomium constans ex quadratis, Numeris, &vnitatibus ' erit quadratus illius aequalis quadratis singularum partium,&duplo producti ex qualibet parte in quamlibet ex aliis , ac proinde Numeri qui erunt in quadrato fictitio, erunt duplum producti ex unitatibus in Numeros in latere contentos. namobrem eum ut docuimus, in latere, unitatum numerus sit I. ut ex eius ductu in Numeros bis , an iam manifestum est in latere ponendos esses N. quia signi quoque ratio habenda est,in iam fieri possimi siue ex6N. in-I. bis siue ex I. in N. bis, dubitari potest utrum latus licii tium ponendum sit 3 6 N. r. vel 3 Q. - N. nam utroque modo, in quadrato reperienturi I 1 N. Sed si ponatur latus fictitium 3 Q. - N. a. fit totus quadratus, Ia N. - 6 C. Famin ubi quoniam uterque cuborum, quadratorum Numerus maiqr est numero cuborum inuadratorum numeri quadrato aequandi; manent enim 3ναί- 36 C. aequales 6 C. id tandem incommodi accidit, ut a si C. aequentur nihilo. Igitur fictilium latus poni non potest 3χ-- N. - I. Quamobrem restat, fingatur 3 Q. I N. v secit Diophantus, &aequatio rite procedit, nam fit IN. sunt ergo cuborum latera ipsi cubi te Quorum summae semissis R. interualli verb semissis Quare si inueniamus duos numeros, quorum summa sit productus vero soluta erit quaestio Inuenientur autem per rrigesimam primi, Metune quaesiti numeri in minimis ',' quorum productus . . cui addendo, detrahendo summam ipsorum numerorum , fiunt cubi N. . si ilateribus P Q. Aliam viam si libeat amplecti, iurare ut aequalitas consistat inter quadratos & Numeros, ab lendo cubos, puta C. Cum in latere sint , patet ex L ais in N. fieri unde constat in latere ponendos i N. Sedri signi ratio si habeatur aeque bene fiunt ex D n atque ex m. in a in Verum si ponas latus fictilium , -- I, M. fiet quadratus, . - C.
- χ:χ - N. unde hoe incommodi accidit, ut eam quadratorum quam Numerorum numerus, excedat numerum quadratorum Mumerorum , qui sunt ex altera aequationis parte, puta 6 Q.
1am a proinde tandem Iod N aequantur nihilo Superest igitur ut latus fictilium ponatur . I, N. -3 &fit quadratus 9-- - C. - N. -s insui aequatur QOE-
258쪽
se Per quos si propositam initio quaestionem soluere velimus , cum horum summae semissis sieri aerendi sunt duo numeri quorum summa sit L productium vero Igitur operantes per- nonem trigesimae primi sumemus quadratum semissis lummae, puta :VI: a quo auferemus productum, uelinquetur lata: cuius latus additum & ademptum semissi sumniae 3 s. dabit quat- flos numeros Ru r se in minimis Horum productus est Are'. cui si addas, adimas summam numerorum VP fient cubi qui supra. Caeterum&latera cuborum qui per hoc lemma quaeruntur diuersimode fingi possitnt, nimirum alterum poni potest quodlibet binomium constans ex Numeris Munitatibus, alterum vero eiusdem
hi nomia residuum , viam. a Wa N. - 2. ves 3 N. - a.&3N. - a Semper enim aliquo modorum quos explicauimus, ad aequationem commodam peruenietur.
ctu eorurn multiplicatione siue addita summa ipsorum , siue detracta cubiim faciat. Hac in re scias quo quolibet
quadrato diuiso in duas partes, quarum altera sit latus eius , productus harum Partium multiplicationi addita siumma illarum cubum facit. Ponatur igitur quadratus 1 diuidatur in latus suum, in id quod superest, nimirum in i N. 4Q. 1 N. productum multiplicationis eorum , utroque adscito facit cubum. Superest ut idem productum , detracto utroque sectat cubum. Atqui facit 1 C. - χαHaec ergo cubo aequantur qui sit minor quam et C. formo cubum ab M. is est; C. comnia octies fiunt C. - 16 equales 1 C. fit Im. p. Ad positiones. Erit primus ' secundus I.
HAEc quaestio eadem est eum praecedente, sed tractatio eius diuersa, inuidem facilior Lemisma quod assumitur de inueniendis duobus numeris, quorum productus adstita amborum summa eubum faciat, facile est demonstratu. Sit enim quilibet Numerus A cuius quadratus . unde auferendo ipsum A supersit C. ductoque A in Q fiat D. dieo si ad ipsum D ad- o' ' datur summa ipsorum A C. seum fieri eubum. Etenim ducendo A in suum quadra-φ' φφ' tuiti fit cubus ipsius R. Sed dueere A in B idem est, ac duceres sigillatim in ipsos A. . ex quibus B componitur productus autem ex xii est B, productus ex Linc est D. Igitur lumma amborum B D aequatur cubo ipsius Α. Quod erat demonstrandum. Reliqua sunt perspicua, nec maiori explicatione indigent. Caeterum simili prorsum artificio soluentut&huiusmodi quaestiones.
VAEs T IO R LM A. Inuenire duos numeros, ut productus eorum multiplicatione siue addito siue detracto ipsorum interuallo cubum faciat.
Ponaturalier quaesitorum numerorum LN alter I Q -- IN. nam productus eorum multiplicatione puta I C. - detracto intervallo ipsorum , cubum facie. Superest ut idem productus addito eodem interualloeubum faciat facit autem LC. - a io ergo aequatur Cubo. Esto 8 C. ωfit x N. . Sunt ergo quaesiti numeri qui soluunt quaestionem. Nam eorum prodiatus est cui addendori adimendo interuallum numerorum, puta fiunt cubi Vbi mani.
259쪽
maduersione dignum est interuallum numerorum esse semper quadratum sicutin initiore quae
stione lamnis Numerorum quadratus erat.
V AESTIO SECUNDA.Inuenire duos numeros, ut eorum summa siue addito sule detracto producto inutitiplicationis eorundem cubum faciat.
Ponatur alter Im altera in x . sie enim summa addito producto cubum saeit. Superest vea summa detrahendo productum, cubus fiat. Fit autem a Q. - 1 aequalis cubo, si cis quilibet numerus cuborum cubicus minor unitates, ut fiat valor Numeri unitate minor,is haberi possit alternumerorum qui positus est i - IN. sit ergo cubus: C aequalis et Q a C. fci N. - . sunt ergo quaesiti numeri v qui soluunt quaestionem, nam productus est e summa vero ad eandem
denominatorem redacta I reui addendo adimendo productum , fiunt cubi 'ra lateribus V. STIO TERTIA. Inuenire duos numeros, quorum interuallum siue addito siue detracto producto cubum faciat. , D tentes eodem logismo fere quo usus est Diophantus quaestione vigesima nonae huius. Sint cubi qui fieri debent A C. Dproductus moltiplicatione qi .aesitorum numerorum est D. interuallum eorundem B. Igitur ex hypothesi addendo D ad B see cubus et Mauserendo eundem D. ab eodem B remanebit cubus A. Quamobrem cuborum A Cr. t. οἰί interuallum duplum est ipsius D. At quoniamini sunt in medietate arithmetica, B est semissi x summae ipsorum A C. Eo ergo redacti sumus ut inueniamus duos Numeros, sitorum productus sit semisiis interualli duorum cuborum meorundem interuallum sit semissis summa eorundem eii ruin Atqui, ut constat ex anone trigesimae tertiae primi , dato interuallo duorum numerorum, producto multiplicationis, si quaerantur numeri, ut solutio contingat rationalis, oportet ut quadrato interualli addendo quadruplum producti quadratus fiat. Igitur quae- tendi sunt duo cubi tales , ut quadrato semissis summae ipsorum addendo quadruplum semissis interualli, seu duplum intcrualli eorundem fiat quadratus. Ponantur ipsorum latcra N. - et I&IN. Erit summa cuborum 6 -- . cuius semissis 3 in I. cuius quadratus,m -- Q. - cui si addatur dii plum interualli cuborum , ut 6 C. Iam fiet, Q - -- I. - C. Iam. aequalis quadrato. Huius latus esto in m. 4 in fiet quadratus, eto I- IDN. 36 C. aequalis se Q -- 6 in I - C. ia .vi defit I . .& sunt eu horum lateta l. ipsi cubi li semissis summae horum est j et semissis interualli H. Itaque si inueniam iis duos numerosquorum interualliam sit et productus vero soluta erit quaestio proposita. Inuenientur autem per trigesimam tertiam primi piit 74 A quorum productus' η at interuallumen eui si addaturis adimatur productus iunt eubi θη- .
Inuenire duos numeros, ut producto addendo summam, ab eodem auserendo interuallum numerorum fiat cubus utrimque.
Patet ex hypothesi, cuborum qui fieri debent interuallum componi ex summa, ex interuallo quaesitorum numerorum. Quare sint cubi qui fieri debent r. I. Igitur horum interuallum' est ag- ris gregatum ex summa, interuallo numerorum ' Quare' est duplum maioris numeri, ipse maior numerus est l. ponatur minor IN. erit productus N. cui addendo summam numerorum, puta IN. fit: -- N aequalisl vel a producto auferendo interuallum numerorum, manet M. - aequalis i. istraque aequatione resoluta fit utrobique idem valor uinerici Sunt ergo quaesiti Numeri 3:&I. Ex hac autem operatione sequitur cubos ad placitum sumi posseritii fiant huiusmodi additione, subtractione.
U. STIO VIN TA. Inuenire duos numeros ut producto addendo interuallum in ab eodem ausemendo sumniam numerorum cubus fiat utrinque. Sumantur, prilis cubi ad placitum 8.4 64 qui fiant huiusmodi additione Tubtractione. Igi-
I' - p.ris tu horum interuallum so componetur ex summa, ex interuallo quaesitorum numerorum. Qua res6 est ditplum maioris numeri, ipse maior numerus 28. ponatur minor I N erit productus a Meui si addas interuallum numerorum fit 27 N. - 28 aequalis 6 . vel si ab eodem producto auseras in mam Numerorum fit a N. 28 aequalis .&utraque aequatione resoluta fit utrobique N. l.
260쪽
Inuenire duos numeros, ut summae addendo interuallum, Uab eadem auserendo productum cubus utrimque fiat.
Sumantur cubi ad placitum dum duplum minoris non superet maiorem, sumantur ergo 8. ω64, Quia igitur summae quaesitorum numerorum addendo interuallum ipsorum, fit 6 patet ε. esse ii. i. is duplum maioris mimeri ergo ipse maior numerus est,i. Ponatur minor I N. fiet summa 3 - 1 N. a qua auferendo productium 3a . superest a QIN aequalis 8. ωfita . s. Sunt ergo quaesiti nu-niuri 32. II.
Inuenire duos numeros, ut summa addendo productum, ab eadem auferendo interuallum , cubus fiat utrimque.
Sumantur rursus cubi quicunque8. 6 . Quia erso ex summa Numerorum auserendo interual- Ium remanet 8 Patet 8 esse duplum minoris numeri. Quare ipse minor est 4. Ponatur maiori N. 3 LPor serit productus cui addendo summam fit aequalis 6 . fit IN. ia suntque quaesiti Numeri 4. 42.
QUOESTI OCTAVA. Inuenire duos numeros , ut interuallo addendo summam ab eodem interualIoauferendo productum cubus utrimque conficiatur.
Sumantur duo cubi, quorum maior superet duplum minoris, quales sunt . me, i. Quia igitur interuallo numerorum addcndo summam, it 64 erit 64 duplum maioris numeri. Ipse maior numeru 32. Ponatur minor I . erit interualluin 32 - N. unde auferendo productum, fiet 32 33N aequalis Lin fici N. a. suntque quaesiti numeri 32.4 V STI NONA. Inuenire duos numeros, ut producto multiplicationis, siue addatur summa, siue interuallum ipsorum fiat cubus.
Ponantur cubi clui fieri debent 8., 64. Cum igitur eidem producto addendo interuallum summam numerorum fiant 8.4 64 patet inter ipsos 8.4 64 eandem esse disterentiam, quae est intersum inam&interuallum numerorum, ' at haec dupla est minoris Numeri. Igitur sti est duplum minoris numeri, apse minor numerus est 28. Ponatur maior I N. erit productus 28 N. interualis Itimam. 28 quo ad productum addito fit a N. - 28 aequalisci unde fit x N. A maior numerus. Quod est impollibile, cum minor sit ad Porro 36 cli compositum ex minore cubo, ex semine interualli cuboium acas est ipse semissis interualli cuborum nitate auctus igitur inueniendi sunt duo cubi , ut aggregatum ex minore is semisse interualli ipsorum, diuisum per eundem semissem unitate auctum , det quotientem maiorem ipso semisse interualli cuborum4 seu quod idem est,oportet ut aggregatum ex minore cubo& exscinus interualli cuborum, superci productum ex semisse interuasit cuborum in seipsum unitate auctum. At hic productus aequatur quadrato semissis in te ualli eliborum aucto suo latere. Igitur oportet ut aggregatum ex minore cubois ex semisse interualli cuborum, exeudat quadratum semiuis eiusdem interualli auctum suo lateres, auserendo utrimque eundem semissem interualli cuborum oportet ut minor cubus excedat quadratum smisis interualli euborum. Statuatur maior, quilibet cubus, putari. diuidatura in duas partes, quaxum maior excedat quadratum semissis minotis. Quoniam ergo diuisoa in partes aequales A. A. contingit alteram aequar quadrato semissis alterius, patet si altera ponatur maior quam 4 altera minor, haberi quod quaeritur nam maior excedet quadratum semissis minoris. Proinde posito maiore cubo 8 talis ponendus cst minor ut sit maior quam 4 Sic enim minor cubus excedet quadratum eis missis interualli cuborum. Hoc ut facile fiat, reducatuta ad fractionem cubicam denominatama maiore aliquo cubo, puta a Mad eiusdem denominationis fractionem redueatur 4 fiet Tunisu matur cubus aliquis inter Io8. Qi6 puta ras cui lubscribendo dcnominatorem eiindem , fient quaesiti ubi eua per quos commode soluetur quaestio. Nam eorum interuallum estv euius semissis dest minor quaesitorum numerorum Ponatur maiora . erit summa I N. - productus vero zN cui addendo summam fit aequalisl unde fit i N. : maior scilicet numerus , minor autem est Iuunt quaestionem. Vt autem methodus quam tradidi ad inueniendum duos cubos, quorum minor excedat quadratum semissis interualli ipsoruin firmius comprehendatur statuatur rursus maior eubus, . qui diuidatur in duas partes, quarum maior superet quadratum semisssis minoris. Erit igitur maior pars 32Z 19 Z