장음표시 사용
261쪽
. IN. minor 3a a N. huius semissis I 6 - m euius quadratus χε -- --I6 N. debet esse minor quam 3 - N.4 addendo utrimque aqualia, tum auserendo similia a similibus, ae demum omnia pex 4 multiplicando fiunt 68 N. maiores quam 8o6 Qua aequatione resoluta fit a N. in istar, vel crete non riui nor quam I8. unde constat maiorem partem de σε iuebere esse so vel maiorem quamco. Ponatur so minor I . Patet igitur maiore Cabo post D 4. minorem sumendum esse non minorem quam In dese nnn eorum interuallum minus erit qua in I . ac proinde sevussis imternassi quadratus minor eris minore cubo, ut requiritur. Itaque reducatur 6 . ad fractionem euhiis eam, puta ad Tis ad eandem denominationem redueatur so fieto sumatur ergo cubus intre 32o . M 96 qualis est 3 37s. Huic igitur eundem denominatorem adscribendo, habebuntur cubiquaesiti Vz ω V . seu o . Per quos rursus, si libet , soluet quaestionem. ESTIO DECIMA. Inuenire duos numeros, ut producto multiplicationis siue adimatur summa, siue interuallum ipseruris, iat cubus.
Eodem set ei logismo quo suprYe eludemus, reperiendos esse duos cubos, quorum maior superet quadratum semissis interualli ipsorum Ρonatur ergo minois maior 8 -- IN. Igitur 8- IN. debet esse maior quam i Q. Qua aequatione resoluta fit IN. minor quam 8. Quare posito mmore cubo S. debet maior esse minor quam I6 redueamini. Qior ad frictionem denominationis cubi eae puta ad W P. Quaerendus ergo est eubus interis . QIa8. qualis est Ias eruntque quaesti eubi L Qitorum interuallum in cuius semissis et est minor quaestorum numerorum. Ponatur nisi x N. fietilumnia IN. - et productus veto A N. unde auferendo summam, manet ii N. Paulis 8. fit 1 N. l. Tantus est maior, minoet vero a & soluunt'iuestionem.
IN, a Ni a quatuor numeros quadratos, quorum summa cum summa laterum coniuncta , numerum imperatum faciat. Sit is tr. Quandoquidem omnis quadratus suo latere initatis quadrante auctus facit quadratum, cuius latus semisse unitatis multatum, exhibet prioris quadrati latus. At quatuor numeri quiquammtur, suis lateribus adsumptis faciunt i a iidem utique adsumentes qua tuor unitatis quadrantes, facient quatuor quadratos Atqui unitates Ia auctae quatuor quadrantibus unitatis , hoc est r. fiunt 13. Oportet igitur diuidere Ir hi quatuor quadrato , tunc si a cuiuslibee latere detraxero . habebo quaesitorum quatuor quadratorum latera Diuiditur autem Ia in duos quadratos . .in rursus quilibet ipsorum diuiditur in duos quadratos, nempe alter in si is alteri R. semens igitur cuiusque latus, nempe . . R. l. aufero ab unoquoque illorum & sunt Iatera quaesitorum qu dratorum A. n. N. Ipsi ergo quadrati
262쪽
LEΜκ quod assumit Diophantus, sic breuissime domonstatur. Esto quilibet numerus AB. semissis unitatis G sintque ipsorum quadrat D. E. Miumma ipsorum ΑΣ. D. E sit F. Dico es Fos, quadratum a cuius latere si ausetatura C resinquitur i. Etenim qua ε μνη. D 'E ba di xu totius AC aquatur quadratis D. E. producto bis ex AB in C. sed in quia BC est semis, nitatis, hie productus bis aequatur ipsi AS ut euidens est. Igitur quadratus totius A C aequatur sui nniae plorum A B. D. E. seu ipsi F. Quare F est quadratus,
cuius latus A C. a quo auferendo B C remanetini. Quod erat demonstrandu T. Quoniam vero insta docebimus quaestionem hanc uniuersalius proponi posse, nimirum inueniri posse quatuor quailratos, quorum summa adscito quolibet multiplice summa laterum , datum conficiat uinetum, necessc estri hoc lemma uniuersalius concipi, nimirum sic.
Omnis quadratus quolibet multiplice siti lateris auctus, quadrato semissis multiplicatoris , quadratum exhibet, cuius latus multatum semisse multiplicatotis, fit prioris quadrati latus.
Esto quadratus reuius latus ΑΤ. Ut multiplicatori cuius semissis C. c uiuo dratus F., summa ipsoruni EF B producti ex At in D. esto G. Ε, P ς- ςρ ς'u dratum , a citius latere si austratur B C remanet Ain etenim
quadratus totius A C. ' aequatur quadratis partium , nimirum ipsis . Fin . eciniri. producto bis ex Am in B C. seu producto ex ΑΒ in D. quamobrem . est quadratus ipsi L C.
unde patet auferendo C relinqui B. Quod erat demonstrandum. Caeterum totum analyseos Diophantaeae negotium in eo consistit, ut datus numerus unitate ait Ebis diuidatur in quatuor quadratos. Quod qui uniuersalite fieri possit non docuit Diophantus. Equidem si datus numerus unitate auctus quadratus sit, vel suapte natura ex duobus quadratis compositus, facile diuidetur in quatuor, atque etiam in plures quotlibet quadratos per octauam secundi. Sed si harum proprietatum neutra illi accidat,quomodo res absoluenda fit non constat ex Diophanto. Etenim datus mameros esto I3. Tunc numerus i diuidendus erit in quatuor quadratos. Sed quo artificio Nam 4 nec quadratus est, nec ex duobus quadratis compositus. Haec difficultas non immerito prima fronte inextricabilis appareat, quamuis rem subtilius consideranti facit euanescat. Etenim datus numerus unitat uctus etsi nee quadratus sit, nec ex duobus quadratis compositus, attamen eum ex tribus, vel etiam ex quatuor quadratis suapte natura componi necesse est. Ita supradictus numerus I . componitur ex tribus quadratis . . s. Quare uno ex illis in duos diuiso petoctauam secundi, iam totus numerus in quatuor quadratos diuisus erit. Omnem autem numerum vel quadratum esse, vel ex duobus, aut tribus, aut etiam quatuor quadratis componi suis experiendo deprehendes. Mihi sane persecta id demonstratione assequi nondum licuit quam qui proseret maximas ei habebo gratias, praesertim cum non solum in hae quaestione, sed Min nonnullis libriinginti hoc supponere videatur Diophantus. Interim libet id inductione confirmare, ostendendo proprium esse numerorum omnium ab I usque ad leto ut eonstat ex sequenti diagrammate.
a. ex I. I. 23. ex I. q. s. s.
3 ex I. I. I. 24. ex q. q. 16.
263쪽
7. ex I. I. 9 36. Vel 6.9. u. . exa 6. Io. Vel q. q. q. 36. 69. Quadratus.
Tu , si vacat Iterius experiare Iieehit. Ego sane de omnibus numeris usque adjas sumpsi. Facile autem ad quotlibet quadratos extendetur quaestio, sed si duo tantum quadrati lentur, quorum lumma cum summa laterum datum conficiat numerum oportebit dati numees quadruplum auctum binario componi ex duobus quadratis. Et si tres quaerantur quadrati, oportebis dati numeri quadruplum auctum ternario componi ex tribus quadratis. Si vero plures postulant uequaciati, uilla condit in praescribetur quia tune continget quendam numerum diuidendum esse in quatuor aut in plures quadratos, quod temper fieri polle docuimus. Denique eadem arta, 4 ipliando lemma Diophanti, ut supra secimus, inuenientur quotlibet quadrais, quo a summa a lumpto quolibet mestiplici summae laterum, datum conficiat numerum. Quoniam amem in his omnibus quaestionibus plerumque accidit aliquem numerum ita dividendum eis in duos, vel tres vel plures quadratos, ut quilibet eorum excedat certum aliquem numerum, quod rite posci nequis, nisi per artificium quo utitur Diophantua duodecima, decima tertia , decima quarta quinti . tius erit hujusmodi quaestionum explurationem in eum locum reiicere.
Is propositio Impuleberrimam se maxime teneralem nos primi deteximus Nem-ρ' omnem numerum vel esse triangulum vel ex duobus aut tribus trianguit neompositum esse quadratum H ex duobus aut ινι bus aut quatuor quadratis comi stom
264쪽
s aetnevita in ritum in hexagonis heptagonis e poligon3 qa buslιbe ena neranda videtieetpro numero angulorum generalio mirabili proposιιoneseius autem demon-srationem qua ex mulris varus es abstrusi simis numerorum, serus derivatarhi apponere nam licet, opus enim librum integrum huic operi destinare de realiamus es Arithmeticen hae in parte tira veteres es notos terminos πιιrum in modum promouere.
IN vs Ni a quatuor quadratos, quo rum summa laterum summa detracta faciat praescriptum numerum. Sr is q. Quia volo primum suo multatum latere, secundum suo multatum latere, itemque tertium&quartum suis multatos lateribus facere . Careerum omnis quadratus suo latere multatus, adsumens,nitatis quadrantem , facit quadratum , cuius latus adscito unitatis semisse exhibet prioris quadrati latus , quatuor utique quadrati quaesiti multati suis lateribus, adsumentes quatuor unitatis quadrantes, nimirum i facient xl tuo quadratos. Sed, iidem muli xi suis lateribus, faciunt unitates . adsumentes I. achmi 3. Hoc ergo mihi incumbit ut diuitadam s. in quatuor quadrato , quorum singulorum lateribus ubi adiecero inuenero latera quaesitorum quadratorurn. Diuiditur autem'. in quadrato R. s. n. Comorum sumo latera, nimirum H. addo cuilibet illorum inuenio latera ET PLI τε σαω τετρογύνοα, es minorarim se λειψαm me χολή -υς
IN RU AESTIO N EM XXXII. LEM, A Diophanti uniuersalius etiam proponexu hoc pacto. Omnta quadratus quolibet multiplice sui latexis multatus,vi adsumens quadrais tum semissis multiplicatoris, quadratum facit, curus latus adscito semilia multiplicatorii, exhiber latus prioris quadrati oportet autem latus prioris quadrati esse maius semisse multiplicatoris.1 di Esto quadratus G. cuius latus A C. st multiplieatori euius semissi, B C.
citius quadratus'. productus ausem ex inii C. sit H. Itaque auferendo retas α G. ωresduo addendo F. fiat E. Dic Equadratum esse a lateres B eui addito I 's' Α' B C. fit Ac latus prioris quadrati G. Etenim quia productus ex D in AG puta H. aequatur productis ex Din singulos AB. BC productus alitem ex D in suum semitaem B C his, risequatur duplo quadratis patet auferrem ex G. idem esse, atque avferre ex G productum ex D in ΑΒΛ duplum quadrati F. Quare eum residuo addendo Ffiat Epateti fieri si ex G anseratur productus ex D in ΑΒ&quadratus . unde e conuerso si ipsi E addantur productus ex D in ΑΒ qtiadratus F. fiet G. sed ut constar ex lemmate praecedentis, si quadrato exin Raddantur idemur
265쪽
ductus ex Dies B. &idem quadratus fiet idem quadratus G. Igitur E est quadratus ipsius AB.
Quod demonstrandum erat. Haec quaestio quoque ad quot l. t numeros extendetur, ut aliquot exemplis ostendere libet, cum hic ad propositiones libri quinti recurrere minime cogamur. Itaque.
Inueniantur duo numeri, ut summa quadratorum, laterum summa detracia conficiat datum numerum oportet autem dati numeri quadruplum auctum binario componi ex duobus quadratis.
Datus esto 6 Igitur ad s. addendo duos quadrantes unitatis, patet fi diuidendum in duos quadratos, utrique lateri addendo sent quaesitorum quadratorum latera ducantur omnia in . fiet 26. diuidendus in duos quadratos Diuiditur autem incis. Q. quorum latera I a quorum semisi sis, puta sunt latera quadratorum ex quibus mi componithr. Addo ergo unicuique ., fiunt
latera quaesitorum quadratorum . . quae soluunt quaestionem, nam summa laterum est . quadratorum Io unde auferendo manet 6. Rursus.
Inueniantur tres quadrati, quorum summa laterum summa detracta datum conficiat numerum. Oportet autem dati numeri quadruplum auctum ternario componi
ex tribus quadrati S. Datus csto 8. Igitur ad 8 addendo tres quadrantes unitatis, fiet xl diuidendus in tres quadratos, omnia per . fiet s. diuidendus in tres quadratos Diuiditur autem in I. o. 2I. quorum sera I. . F. quorum semissis . . l. sunt latera quadratorum, ex quibus 8 componitur. Quare unicuique ad dendo Hent quaesitorum latera quadratorum I. a. 3. Nam summa quadratorum fit I . unde auferendo 6 summam laterum, superest 8 Rursus.
Inueniantur quinque quadrati, quorum summa laterum summa detracta, datum
faciat numerum. Datus est 3. Igitur ad . addendo quinque quadrantes unitatis fiet 44 diuidendus in quiaque quadratos omnia per . et i . diuidendus in quinque quadratos niuiditur autem in . s. q. si duo ex illis in duos dividantur,totus 7 in quinque diuisus erit, dividatur ergo in quadratos: de & rursus o. diuidatur in duos quadratos, ' ξ sic totus I 7 diuisus est in quinque quadratos, quorum laterari. q. . . quorum semilans I. . - . . sunt latera quadratorum ex quibus componitu: et unde singulis addendo I fiunt quaestorum quadratorum latera desoluunt quaestionem. Item.
Inueniantur quatuor quadrati, quorum summa, detracto sextuplo summae laterum, datum conficiat numerum. Datus cst q.
Quoniam, ut coli stat ex lemmate supra tradito omnis qua/ratus multatus sextuplo sui lateris,& adsumens o quadratum facit, cuius latus adscito 3 exhibet prioris quadrati latus. Quatuor utique quadrati multati sextuplo laterum adsumentes quater s. nimirum 3ς facient quatuor quadratos. Quare cum quatuor quadrati multati sextuplo laterum iaciant a patet addito A. ad 3o fierisso. diuidendum in quatuor quadratos, quorum lateribus si addatur 3 sigillatim , fient latera quaesitorum quadratorum. Porro o diuiditur in duos quadratos 36. - . quorum quilibet si diuidatur rursus in duos, puta . in '.& similiter 36. in V, o dit. Iam totus 2 in quatuor quadratos diuisus erit, quorum latera . . . . quibus addendo sigillatim ternarium, hunt latera quaesitorum quadratorum Q luunt quaestionem. Rursus.
Inueniantur quinque quadrati, quorum summa detracto sextuplo summae laterum, datum faciat numerum. Datus esto Io Igitur ad Io addendo quintuplum nouenarii, nimirum 4s fiet s. diuidendus in quinque quadrato , cujus ibet lateri addendo a fient quaesitorum qisadratorum latera Diuiditur autem y in quatuor quadratos I. I. . v. Quare unus illorui putari rursus in duos diuidatur. nimirum in & sic totus s. in quinque quadratori diuisus erit , quorum laterat l. r. a. . quibus addendo sigillatim 3. fient latera quaesiturum quadratorum P. q. I. Io. soluunt quae
έ--2 συα ρογερω δεῖ τα ἀρυιθαὸν, e αισιν et μαύη νευκνωνον ἔς μ. VN si diuidere in duos numeros trique addere datum numerum, productum eorum multiplicatione facere quadratum. Esto diuidenda unitas in duos numeros, Oporte ad
266쪽
non est rationalis aequatio. Atqui 3 --αρ- έ - αα
multiplicatus, adstitisque a a faciat qua
positiones. Erit primus mi. secundus d. 'o εσα πιρρ ιθ IN MAEsTIONEM XXXII I. HI si Diophantus in solutione lemmatis assumpti ad regulas compositas devolvitur. Sed subtilis ne artihcio cauet, ne incidat in numeros surdos , cuius defeci: eautionis non arbitratus suin ad huiusmodi regulas deueniendum esse vigesima tertia quaestione libri huius. Quamuis numinproposito ibi exemplores bene veredat, Esolutio contingat rationalis, attamen non ostendis author quomodo id necessario eueniat si aliquo modo mutetur operatio, quod in hac quaestione eleganter praestitit. Caeterum quid sibi velit Diophantus, non satis adsequutus est itander Putat enim eo quod F Q. aequantur 3 N. - 48. aequationem reducendam esse ad c diuidendo scilicet Omnia per . Vndent I 'qualis N. - ueainobrem eum Diophantus est quadratum semissis deam addendum producto ex s. in IR censet Xilander sumi debere semissem nonde 3. sin pliciter, sed delio eius quadratum esse non simplicitet, sed a z de quae interpretatio nimis coacta est, Wa mente Diophanti prorsus aliena Tenebras autem effudit Xuandro, ignorantia methodi qua regulas compositas resoluit Diophantus, quam ad trigesimam tertiam primi explicauimus. Nam ad vitandas fractiones, rato Diophantus aequationem redueit ad L Sed ducto numero quadratorum in numerum unitatum, addit producto quadratum semissis numeri Numerorum, reliqua perficit, ut loco citato docuimus. Hine est cur velit s. numerum quadratocum duci in unitates 8.ac productoso addi arquadratum semissis numeri numerorum 3. Quoniam vero, ut solutio rationalis sieoportet hac additione fieri quadratum, apparet necessitas lemmatis assumpti. Cum enim numerus quadrato aequandus sit 3 N. - 48-I patet quaerendum esse quadratum, qui unitate auctus periast multiplicatus, itaque adsumonsa - . faciat quadratum. In huius quoque lemmatis explicatione insignis oecurrit difficultas, cuius tamen ne verbum qui dem Xilander Cum enim tandem a. FII aequandus sit quadrato euidens est quadrati latus commod fingi non posse, nisi vel quadratorum vel unitatum numerusa quadratus sit ostendendum ergo est necessario euenire ut unitatum numerus, qualis est h;e8I. quadratus si alioquin casu, non arte certa res succedere videbitur. Atquili est quadruplum ipsius zo. Qx re ulli. quadrat sit op ciuit usao; quadratum 4se. Porro ao. filiai addendo a . Videndum igitur unde pro-
267쪽
uenerint48. sinus est autem I 8 ex . in 6 rest quadratus semissi de 3 N aiunt autem
N addendo simul vi 6 N. - N. in multiplicatione IN. - per D am. Quare cum obsignorum contrarietatem additio in subtractionem mutetur, patet N. tandem fieri auserendo DN.ao, N. Quamobrem I8 est productus exa inis Ac rest quadratus semissis interualli eorundem . i. 1.2. Peris ' Conllat autem producto multiplicationis duorum numerorum addendo quadratum semissis interualli eorundem fieri quadratum semissis summae ipsorum. Quare patet propositum; sic vides et, seu V esse quadratum semissis duorum . i. seu ipsius I. Rursus in fingendo latere quadrati να--II. magna cautio adhibenda est, quod non vidit Xi-Iander, nec attigit ipse Diophantus Etenim si ad hanc aequationem solum respicias, suffici tui ponas
hoc latus, in tot umeris , quorum quadratus sit minor quam a Sed si ponas hoc latus, N. vel 9 aliquo numero umerorum minore qtiam o set valor umeri qui prioribus positionibus nullatenus accommodari poterit, eum enim eius quadratus aequabitur 3 N. -- 8-1 iee I. N. maior unitate, quod est absurduin, cum LN ponatur pars unitatis. Hoc igitur incommodum vivitemus, sic ratiocinandum est ia m. I 8 arasse quadrato quandus est, ut fiatam minor
unitate, in hac autem aequatione debent tandem N. - 18.aeqitari cuidam quadratorum numero at si N. ponaturaequalis unitati, utique 3 N. - Ιου aequabuntur ah Quo vero minor ponetur valor Numeri, eo maiori numeri quadratorum aequabuntur 3 N. - 18 mani testu est ut fiat im minor unitate Oportere ut 3 N. 8. aequentur numero quadratorum maiori quam r. Porro numerus iste quadratorii fit ex quodam quadrato unitate aucto, quare sublata unitate derii consequens est quadratum cui aequari debet m. I8 I Q maiorem esse quam Io. Cum ergo latus proximum ipsius 2o. sit qumani testu est,tatus quadrati a Q - ου ita ponendii esse ut fiat valor uincri maior quam fit autem in hac aequatione valor Numeri,auserendo a a. quendam quadratum, per residuum diuidendo productum e 18 in latus eiusdem quadrati. Igitur i. vla maior esse debet quam tandem re ad integros redacta I N. maiores sunt quam 3a & addito desectu, atque etiam facto parat abolisin , quia commode potest fieri, tandem a maior esse debet quam N. -- I Q. Qua aequatione resoluta cum fiat i N. 6 fere patet latus fictilium ponendum, in tot numeris, qui excedant sic Diophantus posuit, Poni quoque poterat N. vel, in aliquot Numeris, qui excedant si & quorum quadratus sit minor quam 72. Eodem prorsus artificio quaestio haec ad omnem numerum extendetur. Quod ut exemplo comprobemus. Estoa diuidendus in duas partes , ut primae addendo 3 secundae s. summas inter se multiplicando fiat quadratus. Estoirtiua pars I N. ergo secunda a 4m 4 si primae addatur, secundae s fiunt N. - 3. I N. proditi tu eorum multiplicatione est m. - 2I I inaequandusinii adrato, videlicet alicui quadratorum Numero quadrato, qui talis sumendus est, ut auctus unitate,& multiplicatus ina I. itaque adsumens 4 faciat quadratum Ponatur ici in Igitur et Q -- F quadrato aequandus est. Sed curandum ut tali bi proueniat valo Numeri, ut applicatus prior aequationi, fiat in ea i N. minor quam . quia N ponitur esse pars binarii. Cum ergo aequando N. - 2I I in alicui quadrato, tandem a N. -- r. aequentur aliquot quadratis, si autem I. N. ponatura. fiant ai. aequales O patc ut fiat i . minor quam 2 oportere 4 N. 2I aequari quadratorum numero maiori quamni. Et quia illesquadratorum numerus est quadratus unitate auctus, auferendo unitatem de ii sequitur quadratum qui aequalis ponetur 4 N. - ar a maiorem esse debere quamis'. atque ideo latus eius maius esse oportet quam l. Quamobrcinnumeri 2I Q - 23. latus ita fingendum est, ut fiat IN. maior quam Fit autem LN auferendo quadratum quendam de a I. per residuum diuidendo decuplum lateris illius allare maior esse debet quam ' qua aequatione rite praeparata, tandem fiunt naiores quam ar unde constat Im excedere debere 3. Ponatur igitur latus fictilium N. fiet quadratus as N. I 6 aequalis 2 Q - 2ς.&fiet IN. 8. quadratus o . Redeo ad propositum initio, & N. ax- aequo quadrato 6. ωfit IN Prima pars binarii. Secunda vero est II quae soluunt quaestionem nam primae addendo 3. secundae s fiunt Qui quorum mutuo ductu fit quadratus
268쪽
m. Ponatur primus N. 3. quandoquidem a debet illi addi , relinquetur
ergo secundus N. si primo addantur 3 fit 1, si autem secundo addantur s. fit, 4 N. fit eorum multiplicatione, Ν - , equalis quadrato. Esto
nes hoc applicare coner, non possum auferre 3 decim oportet igitur numerum maiorem quidem esse quam 3 minorem Vero quam 4. Atqui 1 N. factus est diuiso 9. per . Ipla autem, est quadratus, ni rate auctus. Iam si, diuisus per quadratualiquem unitate auctum facit numerulnmaiorem quam 3 oportet eum per quem
diuiditur minore esse quam 3 sed his per
quem, diuiditur est quadratus unitate auctiis. Ergo quadratus unitate auctus minor est quam 3 Austratur unitas Igitur quadratus minor est quam a Rursus quia volumus secundum diuisum per quadratuvnitate auctum, facere numerum mino- ςmquam . oportet eum per quem diuiditur maiorem esse quam Q. Is autemper quem, . diuiditur est quadratus nitate auctus , proinde quadratus nitate auctus maior est quam a Austratur,niras. Ergo quadratus maior est quam 1 Sed iam ostensus est minor quam a. EO itaque res deducitur , ut inueniam aliquem quadratum maiorem quam minorem quam et Reseluo haec in partes quadratas, nempe in sexagesimas quartas, Funtio. 428. Facile ergo inuenietur quadratus - seu T Reuertor ad id
FADε est quaestio haee eum praeeedente, sed diuersi operatio, qua videtur Diophantas rem
absoluere voluiue absque auxilio tegularum ompositarum. Nam ita suas instituit positiones, ut tandem fiat 9 N. - quadrat aequandus , quod ni per simplicem aequationem qua quadrati Numeris aequales sunt,in fit valoe Numeri diuidendos per aliquem quadratum unitate auctum. Quoniam vero altera pars unitatis posita est N. a. altera N. de re esse maiorem quam A. Igitur quaerendus est quadratus qui unitate auctus , de diuidens s. et quotientem minorem quam maiorem quam 4. Quare cum diuidendo, tum per 3 tum per .f3nti. a. ia-tet quadratum unitate auctum consistere debere interidea- ac proinde auferendo utrimque unitatem, quaerendus erit quadratus minor quam a maior quam L . Tales infiniti reperientur reducendo 2. δε ad fractiones quadratas ab eodem aliquo quadrato maiore denominatas, ut secit Diophantus qui reduxit ad sexagesima quartas. Caeterum, hanc operationem cuilibet numero applieabimus, quod iam antὸ nos praestitit Vieta noster,etetico a lib. I. Sit diuidendus 3 in duas partes, ut alteri addendo 6 alteri Ia. summas in Ra
269쪽
ter se multiplicando , fiat quadratus. Ponatur pars altera I N. - . altera ergo erit s. IN. primae addendo . secundae a. fiunt Im. 2I. - N.quorum mutuo ductu producitu IN. 4 inaequandus quadrato. Sed ex ipsit positionibus apparet quaerendum eue quadratum qui nitate auctus&diuidens ai de quotientem maiorem quam o minorem quam . Itaque cum I. diutius tum pero . tum peti det quotientes Quadratus unitate auctus sumendus erit inter 3 ω l. di ablata unitate quaerendus quadratus minor quam maior quam ii. Reducatur ut crque ad trigesimas sextas, fient i 4 inter quos sumi possunt quadrati proposito satisfacientes Imi . . si urnas vltimum seu aequabis Moerii N. a munde fieti N. l. Sunt ergo quaesitae partes ternari ii Q ἰ quae soluunt quaestionem , nam primae addendo . secundae Ia fiunt in quorum mutuo ductu fies Erquadratus a latere Sedin alia in analysi in huic soluendae quaestioni excogitauimus, Diophantae utraque non deteri rem, atque etiam faciliorem . si ta numerus diuidendus, addendi . Q. patet ergo summarum aggregaturnior Io. Quare res eo deducitur ut Io diuidatur in duos planos similes, quorum alter superest . alter excedat s. Sic enim ab altero auferendo . ab altero, remanebunt quaesitae binari partes. Porro io diuidetur in duos huiusmodi planos si inites hac arte. Sumpto minore addendo-xuma comparo illum cum residuo decio puta cum 7. quaero duos quadratos, quorum sit minor ratio quam 3 ad . quales sunt &9 velis. Iis. ωalij infiniti Dividatur ergo Io. in duos numeros in ratione 4 ad s. Inuenientur hi per Canonem secundae primi Quare si ab altero detraxero 3 ab altero s. remanebunt quaesitae binari partes . . Hi Rursus si diuisero io in duos numeros se uantes rationem P. ad I 6. erunt hi Λ Pi a primo aurerendo . a secundo s. remanent quaesitae
binarii partes ' i. Eadem arte licebit, sequentes quaestiones soluere.
Datum numerum in duas partes secare, ut ab utraque auferendo datum numerum, ex residuorum mutuo ductu fiat quadratus Oportet autem numerum diuidendum
maiorem esse semina detrahendorum numerorum. Diuidendus sit Ia in duas partes, ut altera inserendo . ab altera, ex res duorum mutuo ductu, quadratus fiat. Ponatur altera i N. - . altera ergo erit s. - N. a prima auserendo 3. a secunda . remanentam. IN. quorum mutuo ductu fit m L aeqvandus quadrato. Esto cuilibet quadratorum numero quadrato , putas in fiet I N. sunt ergo partes quaesit xl Id. soluunt quaestionem. Aliter. Quoniam summa detrahendorum sta qua ablata decia superest . oportet diuidere . in duos quoscunque planos similes, sic enim alteri addendo . alteri s. fient quaesitae partes numeri iet.
Γ 4 STI SECUNDA. Datum numerum secare in duas partes, ut utramque auferendo a dato numero, ex residuorum mutuo ductu fiat quadratus Oportet autem numerum diuidendum rim norem eis summa numerorum, a quibus partes detrahenda sunt.
Diuidendus it 4 in duas partes, ut alteram auferendo a 3 alteram a s ex residuorum mutuo ductu fiat quadratus. Ponatur altera x- IN. altera ergo erit r. - N. primam auferendo as secundam ari remanent I N. ω -im quorum mutuo ductu fit 4 N. I inaequandus quadrato, qui sic ponendus est, ut unitate auctus diuidens 4 de quotientem minorem quam 3 quia scilicet altera pars posita est 3 am. At diuidendo per 3 fit . patet ergo quadratum unitate auctum, debere esse maiorem quam ' ablata unitate, quadratus debet esse maior quam . si is se fiet x N. I. Sunt ergo quaesitae partes 2 44. soluunt quaestionem.
Datum numerum secare in duas partes, vi alteri addendo datum numerum, ab altera datum etiam numerum detrahendo, ex mutuo ductiva minae residui, fiat quadratus oportet autem numerum diuidendum maiorem esse detrahendo.
Si diuidendusa in duas partes, ut alteri addendo 3 ab altera detrahendo s. ex summa in residuum fiat quadratus. Ponatur altera pars I N. -3. ergo altera erit H-IN. primae addendo 3 a secunda auferendo, fiunt x .4 6 a N. Quorum mutuo ductu fit 6 N. et 'quandus quadrato, qui sic ponendus est, unitate auctus, diuidens . det quotientem maiorem quam 3 Quare cum diuidendo 6 per 3 fiat a patet quadratum unitate auctum debere esse minorem quam a di detracta unitate,
270쪽
sumendus erit quadratus minor quam I. Ponat audiet I N. v. sunt ergo quaesitae partes γω P. UULAESTIO VARTA Datum numerum secare in duas partes, ut alteri addendo datum numerum , alteram detrahendo a dato numero, ex summa in residuum fiat quadratus.
Hie duplex casus datur , quia numerus a quo fit detractio nunc ninor, nune maior esse potest numero diuidendo. Primum ergo sit 8. secandus in duas partes, ut primae addendo 3 secundam auferendo a s fiat quod postulatur esto secundis I . ergo prima erit 3 N. secundam auferendo a s Madclemio 3 primae fiunt Im. χ -- IN. quorum mutuo ductualdi N. -- cinaequandus quadrato qui sic ponendus est , ut multatus unitate & diuidens 6. det quotientem minorem quam s. Quare cum diuiso 6 per s. fiat . patet quadratum unitate multatum, debere esse maiorem quam; 4 addita unitate, sumendus est quadratus maior quam τέ esto, infe I N. l. Sunt ergo quaelitae partes prima V secunda ΦDeinde sit 8 secandus in duas partes, ut primae addendo 3 secundam auferendo a M. fiat quod petitur. Ponatur secundario am ergo prima est i N. I2.4 secundam anserendo arao addendo . primae fiunt M. MIN. s. quorum mutuo ductu fit Isin s. N. aequandus quadrato , qui talis ponendus est ut detracto eo ab unitate, per residuum diuidendo s. fiat quotiens minor quam O. maior quam ia. Cum itaque diuidendo, tum peraci tum per ra. fiant a de utrumque auferendo ab unitate, relinquantur patet sumendum esse quadratum maiorem quam . minorem quam sumatur rabiet ergo IN. erunt quaesitae partes. Prima r. secunda .
K vi numerum diuidere in tres . numeros, ut qui fit primo in secundum ducto , sive addito tertio, siue detracto quadratum faciat. Esto datus s. Ponatur tertius N. secundus unitatum aliquot quae sint minusquam . puta a. Primus ergo erit - N. Restant duo postulata, nimirum ut productus ex primo in secundum , tertio siue addito siue detracto faciat quadratum. Et occurrit duplicata aequalitas,nam 8 et .aequantur quadrato, S I s N aequantur quadrato. Expediri autem non potest , quia numeri inter se non habent rationem quam habet quadratus ad quadratum. Sed i N. unitatesminor est'itam a. 4 N. unitate maior eodem et Eo itaque res deducta est, ut inueniam numerum aliquem loco ipsius et ut qui eo unitate maior est ad eum qui unitate minor est eodem, rationem habeat quam habet quadratus ad quadratum. Esto quaesitus I N. erit ergo unitate maior I N. - i. At unitate minor Im a Volumus igitur hos inter se rationem habere quam habet quadratus ad quadratum sit ut . ad i. Itaque cumducto . iii N. I. fiat N. q. 6 ductor in IN. Φi fiat i N. - . ut habeant expositi numeri rationem quam habet quadratus ad quadratum.erunt. N. q.