장음표시 사용
281쪽
Hine apparet quaestiones huiusmodi a nobis persectissime tesolui, curn tamen Nicolaus artesea asserat, neque per Algebram , neque per aliam certam tegulam id fieri posse. Sed istius non contemnendus Arithmeticus, cum hane ipsam quaestione suo eadem prorsus hypothesi sibi proposuissetcnodandam, unicam tantum illius solutionem affert, eam stilicet quae primum in superiore diagrammate locum obtinet, eamque etiam non satis certa ratione inuestigat, sed illa utitur regula quam in libello nostro Iucundorum Problematum olim explicauimus, quamque ut nimis inpersectam merito reiicimus.
Qiisd si postuletur exemplum in quo unica solutio contingat in integris. Sit Personarum numerusio aureorum expensoruin summari . Qui quilibet expendat a. aureos Mulier . Puer . Puella o Ponatur virorum numerus I N. Igitur 6o IN. erit numerus mulierum,puetorum luellarum simul, N. crit reliquorum aureorum summa , quare ducendo tum: tum cinoo am fiet o rim maior quam Ioo. NAE 3 - - . minor quam N. istra
que aequatione sigillatim resoluta fient termini intra quos consistere debet valo Numeri s. 46. . Proinde cum inter eos cadat solus numerus integer 46 patet virorum Numerorum non posse poni nisi 46. Atque ideo relinquentur personae I . Aurei 3 statuatur mulierum numerus N. tandem inuenietur puerorum numerus 1 N. Puellarum ver N. Quare eum diuiso Io per irodeat . patet pro valore Numeri sumendum esse Numerum infra 6. quem terna rius metiatur ob fractione, positionibus admixtas. Itaque cum infra 6 solus numerus 3 habeat tertiam partem in integris i unica continget solutio polito scilicet valore umeri 3. merit virorum numcrus 46. Mulierum 3. Puerorum s. Puellarum 6. eodem prorsus artificio diuidetur datus numerus in quinque aut plures numeros, ita ut singulis in datos numero duelis, summa productorum datum conficiat numerum. Quamobrem ex omni parte satisfactum est proposito. Caeterum ad hanc quaestionem facile reducuntur Alligationis regulae , quarum persectam enodationem, neminem ante nos tradidisse audactet asserere ausim. Etenim cum tria rei alicuius genera proponuntur alliganda, patet vulgari resula unieam tantum reperiri solutionem, quamuis infinitae tradi possint. Qu9d ut exemplo comprobemus. Sint alliganda tria Auriaenera Primum et araduum bonitatis quos vulgo Grattos vocant. Secundum eta Karatiorum Tertium I8.4 eonficienda sit Massa librarum 6o auri Karatiorum 2o sane iet vulgarem illam iligationis regulam unicare- perietur solutio, iumendae erunt librae Ia ex auro a maratiorum. Itemque librae I 2 ex auro 22. Karatiorum. Ac denique librae 36. ex auro 18. Grattorum. Sed quaestio suapte natura infinitas recipit solutiones, quas sic indagabimus. Quoniam ducto 6o ineto. fit Iaoo patet in tota massa conficienda contineri gradus bonitatis seu Saratios letoo Quare superest ut diuidamus 6o in tres numeros, ita ut primo ducto in a . secundo in aet tertio in 18 summa productorum sit Iaoo. Ponatuerit musam. At summa reIiqitorum 6o i N. eum ducto 24 inam fiant a M. erit reliquorumprbductorum summa Iacio a M. quae continet secundum numerum bis vicesies. Tertium vero decies octies. Quare cum 6 - N. contineat secundum Ee tertium semel ducto eo in I8 fiet IMo-αN. continens utrumque decies Mocties,& si hie auferatur a Ia . a m remanet reto Em continens secundum quater Proinde ieeundus est 3ω- m. quo detracto aio am remanet tertius 3 - 4 N. quaestio indefinite soluta est. Ut ergo habeamus terminum insea quem eonsistere debet valor Numeri diuidamus o per metrio quaesitus terminus. Igitur ex auro a Karat torum sumi potest quilibet librarum numeriis minor quam o unde constat infinitis modis solvi posse quaestionem Uerbi gratia, sumantur ex praedicto auro librae I8 sumemus ex secundo libras
3. ex tertio libras 39. Rursus sumantur primi auri librae 16 secundi 6. tertii 38. Rursus sumantur, primi auri librae I secundio tertii 37. vel sumantur, primi auri librae ro secundi Ir tertii 3s vel sumantur primi auri librae 8. secundi ira tertii 3 . vel sumantur primi auri libraeo . seci Indicii tertii 3 . vel sumantur uri in auri librae q. secundi a . tertii 4. vel etiam sumantur primi ausi librae a. seeundi et . tertis 37. His omnibus modis, etiam per integros soluitur quaestio, quod si fractiones admi tere Iibeat, quae ab hoc quaestionum genere non excluduntur, infinitas alias solutiones reperiti posse marusestum est. Haec divise sufficiat, ne pulcherrimum utilissimumque inuentum posteris inuidisse videamur.
δἄbuiso metiris g viae πρωτου, δατερου, 67 του, --φοτερους εἴ τε δκκ. I 6 ρι re συι αμφο IN ani a res numero , ut quem bini producunt, is ad eorum summam datam abeat rationem. Sit productus e primo in secundum , ad summam ipsis-rum triplus, productus e secundo in tertium, Q ad summam eorum quadruplus,
282쪽
αριθμοκον μόροcν. o Πριτος - , τέ-ως ς' . γινονται υ ὀα ίωι, ψ FH ὸ μόριον οἱ 'ia P μ' . πονται φιλ λοιπος αρα ηύτω. μοῦ ,1 'ῆ e, ἡ δMξις mae amborum sit quintuplus. Statuatur secundus, . erit ex praecedenti lemmate primus . I- eodem modo tertius erit re, Restat vi productus ex primo in tertium ad summam ipsorum sit quincuplus. Sed productus e primo in tertium estri . tam semma vero primi terti estri, . ,M. quae sic habetur. Quoniam oportet addere minutias de ' S. Ipsi quidem numeri in denominatores alterna tim multiplicabuntur,verbi gratia 3 N. inde nominatorem alterius, hoc est in IN. - . clarursus N. in denominatorem alterius, puta in I N. 3. sic facta est summa 7 Q. - a b sub denominatione partis quae fit ex denominatorum mutua multiplicatione, hoc est - ΙΣ- TN. Habemus autem 'roductum ex primo in tertium, ι . Quamobrem. si quincuplum est summae. Proinde summa quinquies puta Ioaequalis est via: omnia ducuntur in
communem denominatorem, Puta I - Ι - N. fiunt Ia inaequalis 3 in 1ao N. It N. d. Ad hypostases Posueram primum illi. secundum LN tertium nrem At IN. inuentus est T. hunc si ducas in primum, eo ducto in m. fiet M. At eo ducto in denominatorem I N. 3 fient et erit igitur primus N. secvndus autem 'I non enim habebat numericam minutiam. At tertius similiter inuenietur, nam ducto e in m. fiet T. Eodem modo ducto 'ti in denominatorem IN. - . fiete Est ergo tertius v. de monstratio est manifesta.
Hic quaestio pendi a praecedente, ut disertis verbis monet Diophantus Caeterum versione Xilander multa omisit , quae clarioris doctrinae gratia posuit Diophantus, ut al
ex textu Graeco Qex nostra versione.
ex textu Graeco, de ex nostra vetitone.
283쪽
habeat rationem. Sit productus ex primo in secundum ad summam trium triplus at productus ex secundo in tertium, si summae quadruplus. Denique productus ex tertio in primum , summae omnium sit quincuplus. Quia igitur productus ex binorum mutua multiplicatione ad summam trium datam habet rationem. Quaero primum tres numeros, dc aliquem
ut cumque adscitum , ad quem producti ex binorum mutuo ductu datas habeant rationes Arbitrarius esto s. Tunc quia productus ex primo in secundum triplus est arbitrari numeri, nempe ipsius 3 utique productus ex primo in secundum erit Is esto secundus I N. ergo primus E, Rursus quia productus ex lacundo in tertium est quadruplus ipsius 3 utique productus exsecundo in tertium erit et O. At secundus est 1 N. ergo tertius erit n. Superest ut productus ex primo in tertium, nimirum T. sit quincuplus ipsus s. Proinde fiunt roo aequalesas in Hic si species ad speciem rationem haberet quae est quadrati ad quadratum, soluta esset quaestio Enim vero 3oo orti sunt exas. in ro. At is triplum est ipsius s. de ro est eiussiem s. quadruplum Volumus ergo ut triplo ipsus s. per quadruplum eius. dem multiplicato, producti ad quincuplum eiusdem s. ratio sit quae quadrati ad quadratum. Atqui, arbitrarius est. Hoc igitur mihi negotij incumbit, ut quaeram numerum , cuius triplusin quadruplus inter se multiplicati numerum producant qui ad quincuplum eiusdem rationem habeat quam habet quadratus ad quadratum. Esto qui quaeritur rN. triplus eius ductus in quadruplum iacit Iara portet igitur hunc ad quintuplum eiusdem rationem habere quae est quadrati ad quadratum Volumus ergo Ia Q ad 3M esse in ratione quadrati ad quadratum. Quamobrem altero in alterum ducto fiet quadratus. Proinde so C aequantur quadrato, sit ille Ooo ac fit Im. 11. Ad positiones, erit quaesitus s. Pono ergo eum I . Qitare productus ex primo in lecundum erit43. Atqui secundus est i N. ergo primus erit v. similiter inuenietur teritusis. superest, productus ex primo inter-
284쪽
tium, hoe est ipsius is quincuplus reperiatur. Isitur et arquatur s. fici
N. s. Ad positiones erit primus secundus 6. tertius Io Florum summa si foret is soluta plane esset quaestio Statuo itaque summam trium is Q. Ipsos autem tres in numeris, quales eos inuenimus,
primum scilicet secundum σει te tium iob Superest igitur ut trium summa sitis inest autem antN. Quare 3 ἔN aequantur 13 α& fit 1N I Ad positiones. Erit primus's l. secundus ' tertius T.
HIC restituto textu, ut fecimus, omnia sunt perspicua , nec maiore explicatione indigent: nonnulla etiam omiserat Xilande , quorum defeetu res obscurabatur, ut videre est si versio illius eum nostra conseratur.
ΙΝ, a mi in tres numero , ut compositus ex tribus multiplicatus in primum faciat triangulum , in iecundum, faciat quadratum, in tertium faciat cubum. Statuatur summa trium L Irimus autem fractio quadratica mitatum triangularium puta si secundus fractio quadratica nitatum quadratarum OΤertius denique fractio quadratica unitatum cubicarum, nimirum quidem
I in multiplicatus in primum facitia qui est triangulus, in multiplicatus in secundum facit . qui est quadratus,& rursus multiplicatus in tertium tacitra qui est cubus. Superest ut trium summa sit 1 in sed trium summa est a. hoc ergo aequatura in Womnia per L multiplicentur, fit I a. qualis 18. Oportet igitur i8. esse quadrato quadratum. Atqui 18. est compositus ex triangulo, quadrato,& cubo proinde reperiendus est quadratus, latus habens quadratum, diuidendus in triangulum,
relinquetur L -I.Hunc rursus oportet diuidere in cubum, triangulum.
Esto cubusa relinquitur ergo triangulas ET PEI macie ἀριθμους, - ο συγ
285쪽
Ic tota obscuritas nascitur ex fractionibus quadraticis, quae ut iam saepe monuimus semper ambigue exprimuntur apud Diophantum. Deerant tonnulla verba quae reposuimus, ea more nostro virgulis includentes. Numerus triangulus dieitur summa progrellionis arithmeticae ab unit te incipientis,in per unitatem progredientis, cuius ultimus terminus, qui Midem est cum numero qui exprimit multitudinem terminorum dicitur latus trianguli ut quinque terminoru I. 2 3. q. s. summa is est triangulus cuius latus s. sex terminorum 2.3. q. s. 6. summa a I. est triangulus euius latus s. Quod fusius explicat Diophantus libro denumeris multangulis. Nos quoque in appendice ad eundem librum uniuersalissime demonstrabimus Theorema quod de Numeris triangulis proset Diophantus nimirum. Omnis triangulus per odio multiplicatusis adsciscens unitatem quadratu in facit. Interim tamen peculiari demonstratione libet id ostendere, supponendo modum illum communem inueniendi summam cuiuscunque progressionis arithmeticae, ducendo scilicet summam extremotum in semissem numeri terminorum, quem etiam demonstrat Diophantus Ioeo citato. Vnde insertur in progressione cuius summa est numerus triangulus, ubi primus terminus est I maximus vero aequatur numero terminorum , seu lateri triangulI, ipsum triangulum haberi si latus ipsius unitate auctum ducatur in semissem eiusdem lateris. His positis, sic pronuncio.
Omnis numerus triangulus per octo multiplicatus, adsciscens unitatem , qu dratu in facit, cuius latus est duplum lateris ipsius trianguli unitate auctum. . Sit numerus triangillus A euius latus B D. cuius semissis B C.& sit unitas D E. ' octu plum ipsius A esto Feui addita unitate fiat G. sumaturque ΗΚ duplum U' ' ipsius BD cui addatur unitas cladi eo Gesse quadratum a latete Η L. etenimi ex is, a dicitis constat triangulum A aequari producito ex B C in totum B Rch sed hie productu; aequatur productis e B C in B C. in M.&in DE. hoe
ipsius B a praeterea unitate. Porro eum BD sit duplus ad BG.& rursus Hri sit duplus ad B D.patet Id cesse quadrii plut ipsius B C ac proinde quadratus ipsius Fre aequatur sedecuplo quadrati ipsius BC. duplum ipsius H aequatur octi plo eiusdemi C. Igitur Gaequatur quadrato ipsius Ha. dii plo ipsius H Κ.& unitati. Sedri quadratus ipsius Ha aequatur quadrato H Κ.& quadrato KL hoe est nitati, duplo producti ex H K. in unitatem Κ L. hoc est duplo ipsius Η .Ereto aequalis est quadrato ipsius L Quod erat demonstrandum. Nec resert utrum B D secari possit bifariam india uisa unitates, necne , cum haec demonstratio nitatur blum propositionibus libi secundi Euelidis, qtiae abstruliunt ab integris mafractis, ut mani sellum est. Porro hinc euidenter colligitur omnem quadratum imparem unitate multatum esse multiplicem ocionarij, nam metitur eum octonarius
286쪽
pe et numerum triangulum, cuius latus aequatur semissi lateris quadrati unitate multati. Diligenter autem attendenda et operatio Diophanti, qui positiones suas appositissime instituit ut solutio contingat rationalis Etenim cum quaerendus sit quadratoquadratus constans ex triangulo, quadrato in cubo, ponit eum L Q rum argute quadratum statuit I. - a latere 1 Q a quo ablato ab L. uperest a Q. - I. qui ex cubori ex triangulo componi debet. Hinc ergo si auferatur euhus quilibet, putara restat a in s. aequandus triangulo. Quamobrem oportet ut ductus in R/ adscileens unitatem, taciat quadratum per theorema supra demonstratum. Vnde fit Io .-ji aequandus quadrato. Hoc autem fieri minime posset, nisi is quadratorum numerus, esset quadratus. Itaque. Adverte primis in quadrato detrahendo ab I Q talem reperiri debere quadratorum numerum, ut is ad 8 habeat rationem quadrati ad quadratum, quales sim I. 8. a. c. sic poni poterat quadratus ille I -- I9 - 8 i lateret . vel etiam I QR F 236 aas a latere I Q -I6. sic de aliis. Verbi gratia si ponatur quadratus V - 16 I eo detracio ab I intestabit I6. unde si auferas cubum aliquem , ut 8 remanebit 8 in quandustii angulo, ac proinde ducto eo in ., producto addendo unitatem , fiet 6 s I9r aequandus quadrato , cuius latus si fingas I fiet I N. Ia cuius quadratoquadratus optime a tisfacit proposito. Aduerte secundo, alium etiam quemlibet cubum quam 8 sumi posse, ut in hypothesim tophanti si sumatu cubus et . fiet a Q. - 28 aequandus triangulo, quem si ducas in . producto addas T. si et i6 in ara aequandus quadrato, cuius latus si ponas b. a. ficta N. 28. cuius quadratoquadratus rursus implet postulata. Aduerte postremo in fingendo latere,uimi quadrati, talem adhibendam esse cautionem, ut va-Ior Num et reperiatur in integris numeris, cum numerus triangulus non possit esse nisi integer. Id autem semper succedet operando modo a Diophanto tradit, si quadrati latus fingatur a tot numeris qui sint latus quadratorum in numero quadrato aequando contentorum a Caeterum vix aliter
id fieri posse, satis experiendo deprehendes. Ex operagione autem Diophanti facile est elicere C nonem ad inueniendum quadrato quadratu in qui constet ex triangulo, quadrato, cubo nimirum.
Experientiam non satis exacram fecit Baehetus. Sumatur quilibet abus v g. cuiusiatus multiplici ternariisuperadda unitate Erunt .g πια-3 aquando trian
gulo ergo Is . - ars aequabuntur quadrato cuius latus singes si libet. q. - 3. Ure. Nihil enim vetat quominus generali methodo loe etiam ipsius 3 reliquos in infinitum impares surpemus , variando cubos.
Sume cubum auemlibet, tute adde nitatem, fiet iatus quasti quadratoquadrati. Quod si velis reperire quadratum cubum in triangulum , ex quibus inuentus quadratoquadratus componitur. Adde I quadratoquadrato inuento, &hinc auter duplum quadrati ab eodem latere prosecti, relinquetur quadratus quaesitus Cubus vero is est quem ab initio sumpsisti. Triangulus vero reperietur si ab inuento quadratoquadrato auferas compositum ex quadrato xcubo iam inuentis Verbi gratia, sume cubum i cui adde I fiet a latus quaesiti quadratoquadratis. Is ergo est is quem dico componi ex quadrato, libo, ariangulo. Nam adde I. ad 6. fit 7. unde aufer du-ilum quadratia latere a puta 8. remanet quaesitus quadratus s. cubus vero est is quem sumpsisti ab mitio, nempe I. Quare a quadrato quadrato I6. auferendo is I. simul, remanet triangulus 6. sed di quadratum sic aliter inuenies, aufer I. a quadrato ab eodem latere profecto, a quo proficiscitur quadratoquadratus inuentus, residuum erit latus quaesiti quadrati, ut in eodem exemplo, cum quadratus lateris a sit q. aufer hineci remanet . latus quaesiti quadratiis. Rursus aliter inuenietur triangulus hae arte Cape duplum cubi ab initio sumpti, Ilute adde unitatem fiet latus quaesiti trianguli. Ut in eodem exemplo, duplo cubici. adde I fiet . latus trian
Hoc vero lemmate soluto , soluetur&proposita quaestio huiusmodi Canone. Sume Eadratoquadratum ex tr angulo quadrato, ct cubo compositum. Tum diuide sigillatim triangulum, quadr. t it ni ct cubum, per auadratum a latere quadratoquadrati sumpti, orientur quasit numeri.
Vt in nostra hypothesi, diuide sigillatim 6.9. r. per . fient quaesiti numeri . . ἰ nam eorum suin-ma est qua dii ista in primum fit triangulus 6. Meadem ducta in secundum I fit quadratus si eadem ducta in tertium, fit cubus e.
287쪽
Dignum quoque animaduersione est, ex vi analyseos Diophanto sequi, summatum gr
numerorum cise quadratum numerum, quoniam portitur huiusmodi summam usi viaς mlium thesi summam numerorum esse SI. At in nostra .&sic de atiis.
& operae pretium suerit adnotasse, quaestionem hane eodem prorsus artificio immequossibet polygonos quassibet potestat , dummodo iis adnumerentur quadratus' triangulus.' Inueniantur quinque numeri, ut summa ipsorum ducta in primum, fiat triangulus, in secundum quadratus, in tertium cubus, in quartum Pentagonus, in quantum qu
quid reth Er Φε iendum esse quadratoquadratum compositum
cubo, pentagono,&quadratoquadrato. Is est In quadratus autem 'quo detractLbtoc reminet ac Gr. diuidendus incubum, pentagonum, quadratoquadraLum, triangulum. Esto cubus 8 pentagonum s. Quadratoquadratus . relinquitur ergo ri tangulus arti qui ductus in g. Madsumens 1 facit 6 Q. II9. aequandandum quadrato. Esto latus eius ΑΘ.
uallum maioris tedij ad interuallum medij minoris datam habeat rationem, sed bini sumpti quadratum constituant. Imperetur ut interuallum maioris S medii interualli medij minimisit triplum Iam cum summa medii& minimi sit quadratus est 4 ergo medius maior est binario esto IN. - - 2.Igitur minimus erit a IN. quoniam interuallum maximi medi , est triplum interuallimedij minimi interuallum autem medix& minimi est a N erit interuallum maximi medij 6 m. Quamobrem maximus erit 7 N. - . Supersunt duo postulata, nimirum ut maximus cum medio6ciat quadratum,in ut maximus cum minimo faciat quadratum, occurrit duis pIicata aequalitas, nempe 8 N. - .aequa les quadrato, N. . aequales quadrato, quia unitate sent quadratae,expedita est aequationis ratio. Statuo duos numeros quorum mutuo ductu fiant N. sicut nouimus in duplicata aequalitate faciendum sunto . N. fit LN I12. At ubi me ad positiones consero,non possum dea auferre N. nimirum ira Volo igitur numerum inueniri minorem quam a. atque sic etiam b. - . minores erunt quam Is nam binario in e N. multiplicato, additis . fiunt i5. Quandoquidem ergo quaero 8 N. - . aequari quadrato,
288쪽
Αfithmeticorum Liber IV. et os
tur tres quadrati, ut interuallum maximi
medij, sit triens interualli mediiω nimi, ed minimus sit . Medius aurem minor quam 16. Ponatur minimus
4. At me di latus 1 N. - . Ipse igitur erit cinis 4 N. - . Quia ergo interuallum maximi me di , est triens interualli medij minimi, at interual
is 3 N. - q. aequalis quadrato omnia novies. Ergo Isin - 4 8 N. - 36 aequatur quadrato, huius quadrans, nempe lines Iam aequatur quadrato Atqui oportet de medium minorem esse quam I6. Quare latus minus esse oportet quam 4 satus autem me dij est i N.
'a Proinde IN. a. minus sunt quam A.& sublato utrimque binario. Im minor est quam a volens itaque, . Iam. ' aequare quadrato, sermo quadratum a 3 cum defectu aliquot numerorum, fit IN. ex aliquo numero sexies sumpto, adsciscente in .nimirum Ia N arquationiS, diuiso per interuallum quo numeri quadratus superat quadratos qui sunt inaequatione, nempus Eo itaque deducta res est, ut inueniatur numerus qui sexies sumptus, adsciscens . diuisusque crinteruallum quo ipsius quadratus excedit ternarium quotientem binario minorem exhibeat. Esto quaesitus 1 N. Hic sexies sumptus adsciscens a facit 6 N. 12. Quadratus autem illius detracto ternario iacit Q 3. Volo ergo m. 12. diuidi pera Q. G. facere quotientem minorem quam . Atqui a diuisus per unitatem , facit quotientem et Proinde 6 N. - Ia. ad I i 3 minorem habet rationem quam et ad i. Quare
planus plano inaequalis est. Igitur pro
289쪽
λάγροςοὐ τριγοι re quae desunt utrimque unitates , erunt a maiores quam G. - 48. In aequatione autem hac explicanda dimidium numerorum in se ducimus, & fit, ducimus etiam quadratos in unitates, AEunt 36. addito, fiunt s. cuius latus non minus est . Adde semissem numerorum, Scdiuide per quadratos, fit Im minor . Oportet igitur 3 Ia. N. - aequam quadrato a latere 3 - N. fit m . . hoc est l. Posueram autem me di quadrati latus N. - et erit ergo huiusnodi latus id ipse vero quadratus του venio igitur ad primo propositum , dc statuo qui est quadratus, aequalem 6 N. 4.& omnia ducendo in Irr fit i N. . minor utique binario. Ad positiones quaestionis initio propositae StatueramuSmedium IN. - a minimum a - IN. Maximum vero 7 N. - . erit ergo maximust m. secundus ta minimus seu terti0s di.&quia denominator 726. non est quadratus sed eius sextans Iri est quadratusFmnium sextantes accipiamus,4 erit similiter primus Vr . secundus A. tertius AT . Quod si in integris haec desideras, ne semissis intercurrat, omnia quadruplica, erit primus 'ta secundus tertius ita evdemonstratio manifesta.
Ρωασα xv, est hoe problema, Madmirandae subtilitatis, in quo etiam eontinetur nouus modus utendi duplicata aequalitate omnium quos hactenus explicauimus, elegantissimus. Cum ergo tres operationes instituat Diophantus, age singulas persequamur, ut multa dilucidentur, in quibus omnino caeeutiit itander. In prima itaque operatione. Adverte primo pro quadrato quem conficiunt medius minimus sumi potuisse quemlibet unitatum numerum quadratum. uthor sumpsit . minimum scilicet more suo. Aduerte secundo cui inserat medium maiorem esse debere binario, causam esse quia medius debet esse maior minimo. Quare posita summa medijis minimi q. oportet medium excedere semissem
ipsius Φ.Αduet te tertio cum aequandi sint quadratos N. - Φα N. - Diophantum indicare primum, modum illain resoluendi duplicatam aequalitatem, quo saepe in simili usus est librcitertio. Quia enim unitatum numerus utrobique quadratus est, procedit aequatio, si sumantur duo numeri quorum mutuo dum fiat interuallum M. ita tamen ut in semis me summae illorum contineatur et latus quadrati . tales sunt M.&q. mare si horum summae semissis quadratus aequetur ipsi 8N. . q. vel si eorundo minterualli semissis quadratus aequetur ipsi i N. - fiet utrobique I N. Lia .Hinc autem hoc in commodi accidit,ut per hunc umeri valorem resolui non possint hypostases. VipstiZ s
290쪽
Etenim eum minimus positus sit et i N. euidens est valorem Numeri debere esse minorem quam et Proinde cum hoc modo resoluendo duplicatam aequalitatem unica solutio reperiri possit, qua luci
N. IIa patet eum hoc loco inutilem esse. Igitur.
Aduerte quarto aliud lila genus duplicatae aequalitatis tradi a Diophanto, quo in data hypothesi.& alijs omnibus similibus intinitae reperiri possinu solutiones, hac arte Consideratis tribus numeris 8 N. - . N. - . q. Quorum minimus .est unitatum numerus quadratus. At interuallum maiorum a N. est triens interualli minorum 6 N. Quaerendi sunt duo quadrati, quorum interuallumst triens interualli quo minor illorum superabit 4 quales sunt 6 .4 49. Tunc vero siue aeque o . ω8 N. - . siue s. ω6 N. - fiet utrobique idem valor numeri et Hoc autem ita necessario inuenire,ac proinde modum istum resoluendi duplicatam aequalitatem esse legitimum, sic demonota strabitur Sint tres numeri Α. B C. Minteruallum maiorum Α B.esto D. interual-
s tum minorum BV Rursus sint tres FG H. maiorum FG interuallum sic si Κ minorum L. Ponaturquem aequalis ipsi C.&sie eadem ratio Dad E. quae ad L. dico si G fiat aequalis ipsi B.4 ipsum' re aequalem ipsi A. in quo
v eonsistit vis omnis duplisatae aequalitatis Etenim quia BG ponuntur aequales, liab his demantur aequales C H. erunt residui E L aequales. Cum ergo siti ad E. ut cadi erunt ipsi DN aequales. Quamobrem additis aequalibus D. ad aequales B G fient & toti aequales.
Quod demonstrandum erat. Itaque treperiat quadratos quales sunt F. G. quorum scilicet interuallum sit triens interualli quo minor G. superat q. secundam instituit operationem Diophantus. In secunda operatione Aduert Eprimo minoris quaestorum quadratorum latus rite ponici N. Platere quadrati . puta IN. - . ut in eius quadrato in-- N. - . unitatum numerus aeque tu ipsi 4 ac proinde excessiis quadrati illius supra 4 nimirum I constet ex solis quadratis& numeris, quorum triens cum sit -- N. constans etiam ex solis quadratis numeris, eo addito id minorein quadratuin , fit maior quadratus I - N. - Α ubi unitatum numerus reperitur idem quadratus 4 quod accidit quia is reperiebatur in minore quadrato , ut dictum est, maior quadratus fit addendo minori solos quadratos numeros,unde unitates manent immutatae Necesse autem fuit unitatum numerum quae sunt in maiori quadrato, quadratum fuisses ad hoe Wilatus eius fingi potuerit. Aditer te secundo numerum quadrato aequandum puta in M. - N. - duci in p. ad tollendas fractiones, tum productum diuidi per . t aequatio reducatur ad minimos numeros, unde fit, iam. - . Quandus quadrato. Nam ut alias saepe monuimus tam quadrato in quadrat una ducto , quam per quadratum diuiso, producitur quadratus. Aduerte tertio numerum 3 Q - Iam. - s. aequandum esse quadrato cum quadam Numeridetetminatione. Etenim ut supra ostensum est, GN. - . ita aequandus est quadrato, ut fiat IN. mimi quam 2. Atiam sit minor quam a. erunt 6 . minores quam ia. Quare adiecto A erit 6 N. - . minor quam I 6 ac proinde latus quadrati cui aequandus est 6 N. - ' debet esse minus quam . Positum autem est latus illud I N. - . Igitur I N. - . minus est quam . N auferendo utrimque a manet m. minor quam et Recte igitur concludit Diophantus numeri
3 Q. -- Iam. 9. latus ita fingendum esse, ut fiat N. minor quam a Porro necesse est hoc latus fingi a certo numero Numeroruin, unde patet fieri valorem Numeri, si per quadratum numeri Numerorum in latere positorum ternario multatum, diuidatur sextuplum eiusdem numeri Numerorum, auctum numero Ia Itaque bene insertur quaerendum esse numerum cuius sextuplum auctum numero ia.&diuisum perquadratum quisiti numeri, ternario multatum, ct quotientem minoistem quam et Ad hunc ergo numerum inueniendum tertiam molitur operationem Diophantus.
In tertia operatione. Clim N. -- Ia debeat diuidi per I -3 ita ut fiat quotiens minor binarsti, Diophantus ita ratiocinatur. Quouis numero per alium diuiso, quotiens est denominator proportionis diuisi ad diuisorem, qui denominator eo maior est, quo maior est proportio, & contra. Cum isitur binario per I.diuiso fiat quoties a.& diuiso. N. --ia per L .debeat scri minus quam et .sequitur 6 N. -- II ad Isin . minorem habere rationem, quam et ad . Datis igitur quatuor numeris M. - 2. L - . a. I. Cum minor sit ratio primi ad secundum, quam tertii ad quartum, sequitur ex primo in quartum produci minorem numerum, quam ex secundo in tertium , ut demonstrauit Clauius ad decimam nonam septimi. Recte igitur infert Diophantus N. - Ia minus esse quam a QV-6.4 adiectis aequalibus 6 N. I8 minus esse quam a in Hoc autem ut sit, oportet utique ansequari numero alicui maiori quain 6 N. - Ι 8. Quod ut praestet tonsiderat prim inimici phantus qualis fiat valor Numeri si a ponantur aequales 6 N. - δεῖ quae est secunda regula compositarum, quamque modo sibi familiari resoluit, ducendo scilicet numerum quadratorum, in vistates 18. unde fit 36 cui addit quadratum semissis numeri Numerorum , putas. fit t. cuius lateri si addatur 3 semissis numeri Numerorum in summa diuidatur per numerum Quadratorum a. fit valor Numeri. Sed haec aequatio solutionem dat irrationalem, quia s. non habet latus quadratum sum;tur ergo locoqr petraxime maior quadratusq9. cuius lateri7. addendo 3. st o quo diuiso