장음표시 사용
291쪽
pera prodit, valor numeri. In hac autem aequatione 6 N. - IR ponitur minor quam a Linis a Q. fiunt aequales σει. - 2o. Eadem de causa statui potest valor Numeri quilibet numerus maior Iam I puta 6 7. 8. c. Tunc enim semperas fient aequales alicui numero maiori quanti
Haee quidem ad persectam Diophantaei Problematis explicationem satis superque lassiciunt. niam vero hic utitur author elegantissime duplicata aequalitate, unde te subtilius considerata modos aliquot adinvenimus eadem utendit etiam in dissimili easu, quibus san dissiciIlima pulcheltimaque problemata selicitet explicari possunt, minime pigebit non vulgare inuentum cutioso lectori tradere ut illo petituatur. Quemadmodum ergo in hac quaestione Diophantus docet modum quo duo numeri simul aequenter quadrato, cum tetque componitur ex umeris Qvnitatibus, iumeri Numerorum sunt inaequales, nec habent rationem quadrati ad quadratum , numeri autem unitatem sunt inaequales & quadrati sic aio modum dari posse resoluendi duplicatam aequalitatem,cum uterque propolitorum numerorum quadrato aequandorum, componitur ex Numeris Munitatibus, .numeri Numerorum sunt inaequales, nec habent rationem quadrati ad quadratum; sed & numeti unitatum inaequales sunt, siue quadrati sint, siue non Id autem praestabimus in duplici casu. Primus casus est, cum numerorum quadrato aequandorum interuallum tale est, ut eo per aliquem unitatum numerum multiplicato, vel diuisis,in producto vel quotiente a minore propositorum numerorum detracto, supersit unitatum numerus solus quadratus verbi gratia Propositi sint quadrato aequandi et N. - Ι3. ω N. - . quia horum interuallum est a N. - quo diuiso petis. fit quotiens x N. - a quo ablato decim. - . superest quadratus 4 explicabitur aequatio hae arte. Consideratis tribus numeris 3 N. I3. IN. - . dc cum maiorum interuallum, puta a N. - . duplus sit interualli minorum, puta I N. -- 3. Quaerendi sunt duo quadrati; quorum interuallum
sit duplum interualli, quo minor illorum superat . Quod facila fiet, infinitisque modis insistendo
vestigiis Diophanti. Esto enim latus minoris IN. -- latere quadrata q. puta IN. - a fiet quadratus I Q. - N. - . cuius excessus supra A est cuius duplum a tu. 8 . quo addito ad minorem quadratum, et maior 3 - iam. hic ergo aequandus est quadrato,sed prius determinandum est de valore Numeri. uia enim minor numerorum quadrato aequandorum est i N. - patet talem ei quadratum aequari debere, qui sit maior quam 7. Quare eum latus proximum ipsius . sita l. de twlatus quadrati maius esse quam ad Ablatus huius quadrati supra positum est N. - a. hoc ergo maius sit oportet, quam auserendo utrimque g. manet I N. maior quam . Quoniam igitur ut aequemus quadrato Iam. - . latus
eius ponendum est a. - certo numerorum numero, unde ne valor Numeri diuidendo quadruplum numeri Numerorum auctum numero a per quadratum eiusdem numeri numerorum multatum ternario Euidens est quaerendum esse numerum, cuius quadruplum auctum numero IL
diuisum per quadratum quaesiti numeri multatum temario, de quotientem maiorem quam l. Ponatur quaesitus numerus I N. ergo'-πer maior est quam omnia ducendo in I Q 4 fit AN Ia maior quam - . additoque desectu & Omnia rheta multiplicando, fit I 6 N. 37. maior quam et Quamobrem aequando 3 numero alicui minori quam I 6 N. - - 37 putato N. - yx cum fiat I N. 7 pronuncio quaesitum numerum sumendum esse minorem quam xl talem tamen ut eius quadratus excedat 3 sumatur 3. Igitur numeri Iam --- fingo Iarus a s N.4 fieri N. 4. Tunt quaesit quadrati roo.4 36. Nam siue aeques roo. N. - - 3 sive 36.&IN. - fit utrobique idem valor Numeri 29. Quod erat propositum. Itaque in hoc casu, ut aequatio sit explicabilis oportet ut interualli propositorum numerorum diuidendo Numeros per Numeros minoris numeri, vel contra & per quotientem dividendo, vel multiplicando unitates interualli , fiat quotiens vel productus quo detracto ab unitatibus minoris numeri, supersit quadratus. Vt in exemplo allato, Di interuallum est a N. - . minor numerus 1 N. -- . quia diuidendo a N per IN. per quotientem a diuidendo unitates s fit 3 quo detracto de . remanet quadratus ideo aequatio potuit explicari. Quod si proponantur quadrato aequandi 8 N. - s. ω N. II. quorum interuallum a N. - . Quia diuidendo sim per a N., per quotientem . multiplicando unitates interualli . fit Ia quo ablato dea I. remanet quadratus v. ideo poterit explicari aequatio, quaerendo duos quadratos quorum interuallum sit triens interualli, quo minor superat, Ponatur latus minoris I N. - . erit ipse I Q. - Qexcessus eius supers erit am quo ipsi minori quadrato addito, fiet maiora , in Φ 8 N. - o. omnia dueendo in s. fiet ian a N. - 8a aequandus quadrato,& si Numeri determinationem inuestiges,
inuenies quadrati latus fingendum esse, tot numeris qui non excedantu . sed quorum quadratus excedat 2. Ponatur 9- N. fiet M. 36. Merunt quaesiti quadrati Ioas &INI. quos si aeques propositis numeris, maiorem maiori, minorem minori, set utrobique I N. 2 o. Secundus casus est. Cum numerorum qiradrato aequandorum interuallum tale est, ut eo per ali quem unitatum numerum multiplicato, vel diuilb,4 producto vel quotiente a minore proposit rum numerorum detracto, deficiat unitatum numerus solus, qui ad multiplicatorem vel divisorem.
292쪽
Atithmeticorum Liber IV. et os
rationem habeat quadrati ad quadratum. Ut si proponantur aequandi quadrato 6 N. - 2I N. -- 3 quorum interuallum. N. - 22 quia hoc diuisci per a fit a N. - . quo detracto a minore numero superest β. tumetus 8 ad diuisorem et habet rationem quadrati ad quadratum , ideo explicabitur aequatio hac arte Consideratis tribus nunties as. N. - 3. - 8 quoniam maiorum interuallum, puta 'N. - 22. duplum est interualli minorum, quod est 1 r. Quaeram duos quadratos, quorum interuallum sit duplum interualli quo minor superat- Ponatur minora huius interuallum supra β est r*-- .cuius duplum et Q - - 16. quo addito ad minorem quadratum, fit maior 3 -- I6. Hoc ergo viaeque apte quadrato, si quaeras unieri determinationem, inuenies latus ponendum esse. tot numeris qui non excedant l. &quorum quadratus superet Ponatur ergo latus illud 4-3N fiet I N. q. erunt quaesiti quadrati 64.&tis. Nam siue aeques 64. 6 N. - s. sitie 6.&2N. - a fit utrobique i N. 6 . Itaque in hoc casu,vr aequatio sit explicabilis,oportet, interualli propositorum numeroru diuidendo Numcros per umeros minor,s, vel contra, per quotientem hunc primum diuidendo, vel multiplicando unitates interualli fiat quotiens vel productus, a quo detrahendo unitates minoris numeri, supersit numcrus qui ad primum quotientem habeat rationem quadrati ad quadratum. Ut in allato exemplo, ubi interua lum est 4 N. - a minor numerus N. - a quia diuidendo N. pe per quotientem a diuidendoria. unitates interualli fit II a quo auferendo 3 unitates minoris numeri, superest 8 qui ad quotientema habet rationem quadrato numero expressam, ideo aequario potuit explicari. Quod si proponantur quadrato aequandi s N. - o. a N. -- r. quoruin interuallum N. - 8. quia diuidendo IaN. per M. fit quotiens, Quo ducto ina fit ra a quo auserendo 3I superest r. qui ad quotientem A. habet rationem quadrati ad quadratum , ideo explicabitur aequatio hac arte Consideratis tribus
numeris I N. -- 9.I2N. - &- t. quia maiorum interuallum LN - 8 est quadrans interualli minorum quod est a N. - a. Quae tendi sunt duo quadrati, quorum interuallum sit quadransi terualli quo minor iuperat I. esto minor I Q. erit maiora aequandus quadrato, omnia in . sic aequalis quadrato, &si quaeras Numeri determinationem. Inuenies latus eius p nundum Σ - certo numero unitatum qui non sit maior quam 2I. nec minor quam ad Ponatur ergo
a cladi fiet IN. 44. ωerunt quaesti quadrati asya o736 quos si aeque propositis numeris, maiorem maiori, latinorem minori, fiet utrobique I N. I sHac arte inaequatione quam resoluit Diophantus propositione 17 lib. 3. aequans quadrato IO N. - .&yN. - . Cum ille uni eam solutionem reperire possit, nos infinitas dabimus. Etenim quia interuallum est N. - . diuidendo LN per M. fit a per quein diuidendo unitates I fit quotiens s. a quo auferendo superestri qui ad priorem quotientem I habet rationem quadrati ad quadratum, ut aequalitatis, ideo explicabitur aequatio si quaerantur duo quadrati,
quorum interuallum sit aequale interuallo quo minor superat ci. sit minor cinerit maior et Q FI quadrato quandus, sed si quaeras Numeri determinationem inuenies Iatus fingendum effeci, tot numeris qui sint minus quam a. quotum quadratus excedat a fingatur I ION.fiet I N.28 ut apud Diophantum Ruasus fingatura, i . hel IN. - eruntque quaesit quadrati primum laaeques Io N. - . secundum, N. - fietam utrobique Ti. Porro utraque regula suam vim obtinet qualicunque signo at sciantui numeri quadrato aequandi, ut constat ex sequentibus exemplis. Sint quadrato aequandi 8 N. - - N. quia horum interuallum est Is db quo diuiso per 3 fit, a N. quo de tradio iminore superest . quadratus numerus, resoluetur aequatio per primam regulam; sit minoris quadrati latus I N. - 4. erit ipse I Q - - . - Ergo maior Is N. - cuius latus si ponas a. 8 N. fiet IN. l. quaesit quadrati, quos si aeque propositi numeris , fiet utrobique idem valor umeri f. Rursus sint quadrato aequandi 3o . i7. Io . - Ia quia horum interuallum est a N. - α quo diuisopera. fit io .-3. quodetriato de minore superest A qui ad diuisorem a. habet rationem quadrati ad quadratum, resoluetur aequatio per secundam regulam sit minor quadratus x Q. erit maior 3 Q - 6 cuius Iatus esto N. fiet IN. Erunt ergo quadrati M. Mi 6. qui si aequentur propositis numeris, fiet utrobique valor Numeri l. Rursus sint aequandi quadrato an . a I ro eum horum interuallum sit is N. ra quό diuiso peta fit 8 N in quo detracio a minore superest 16. quadratus Explicabitur aequatio per primam regulam. Sit minoris quadrati latu. - N. erit ipse I - N. -- LM ergo istor erit Is-- 24 N. - , cuius latus esto N. fiet I N. 8. ergo quaesit quadrati sunt oo. aqq. quis aequentur propolitis numeris, fit utrobique valor umeri I.
293쪽
2 3.erit 3s , inuenientur ali, in infinitum uastionifatisfacientes iec di cile est regulam generalem ad huiusmodi quaestionumsoluιionem proponere, ut v3xlιmitatiosa Baeberi sit tanto viro digna , cum ad infinitos asus extendi, quod in duobus tantum adinvenit, facillime posit, imo es ad casus omnes possibiles.
quo quadratus maximi superat quadratum medij ad interuallum medi & nimi, datam habeat rationem, sed tini sumpti faciant quadratum. Porro exce sus quo quadratus miximi superat quadratum med ij, ad excessum med ij supra minimum sit triplusti Quandoquidem maximus medius faciunt quadratum 4 cianti ergo maximus est maior quam 8 inesto 8Q. -- a. quando maximus& medius coniuncti superant summam maximi&minimi, at maximus&medius simul sunt 16 Q. erit utique summa maximi minimi minor quidem quam I Q. sed maior quam x . Igitur summa maximii minimi esto , Atqui summa maximi& medii estio inquorum maximus
est 3 a. erit ergo medius 8 Q a. Tertius vero I in a. quia volo excessum quo quadratus maximi superat quadratum medij ad excessum medij supra minimuni esse triplum, sed excessius quo quadratus maximi superat quadratum
medi est 6 At interuallum medij, minimi est in cuius triplum est ac
Porro si QAiunt ex3a in x duetor incumbit ergo mihi ut numerum aliquem inueniam, qui persa multiplicatus faciatar est autem Pon igitur primum k - a Medium 8 tertium 1 I.& restat implendum unum postulatorum, nimirum ut summa medij minimi sitri, ,α- ω δ; ia' g. γενηεν -' quadratus numerus. est autem haec summatisι, μῶν πια ει αὸν νειακοντάκις, Pa. G. hoc ergo arquatur quadrato at ις My όu, πειλιε κα ες δὲ - - teres N. - s. sci, et Ad positiones. ς ταω ου Φον μὰν Μύκνυε, in Erit primus II I. secundus P. 1 tertius
294쪽
lc quatuor praestanda sunt. Primo summa maximiis medij debet esse quadratus, ideo statuitue
Ies Q , poni poterat quilibet alius quadratorum numerus quadratus. Quia vero ex duobus inaequalibus immeris, patet maiorem illorum exeedere semillam tum mar ipsorum eodem numero, quo minor deficit ab eodem semisse, ideo posito maximo 2 sequitur medium esse8 Q a. Seeundo summa maximi minimi debet quoque esse quadratus, sed quia summa maximi &-inimi, minor est summa maximiri medij eodem numero quo medius superat minimum , ideo eum posita sit summa maximi mediiis oportet utique summam maximi& minimi minorem esse quam Ιω Quia vero, ut dictum est, ple maximus maior est quam 8 Q multo magis summa maximi& minimi, maior erit quam inquare recte concludit Diophantus, pro summa maximi, a minimi sumendum esse quadratum minorem quam Is liniorem quam SQ puta ora unde si auferatur maximus qui positus est 3 - - a restat minimus I Q 2. Tertio excelsis quadrati maximi luperquadratum me di ad excessum medii supra minimum, datam rationem habere debet, puta triplam quia vero maximus est binomium constans ex quadratis munitatibus, puta 8 t . a. At minimus e it residuum eiusdem binomii, puta a Quadratus autem binomi excedit quadratum sui residui, quadruplo plani sub partibus comeretices , ut constat ex genesi quadrati per quartam secundi Euclidis, eum quadrati partium sint iidem tam in binimio quIm in residuo, ideo sequitur interuallum quadratorum maximiis inedisesse quadruplumi producti ex8 ia nimirum 6 Atinteruallum medii& minimi est in cuius triplum et inaequari deberet 6. . Hoc ergo ut per ipsas positiones consequamur, quaerenuus est numerus loco ipuus a qui quater ductus ina seu in a. semel , efficiat ar hoc habetur diuidendo at per 32. estque M. Hunc igitur sumentes loco ipsius a. erit maximus 3 Q - medius 8 Q. n. Minimus is & sie per ipsas positiones tribus postulati partibus est satisfactum. Quarto testat ut summa medii& miniim sit quadratus. Quare 9 aequandus est quadrato, eusius latus ponitur a Diophanto 3 N. - . non absque eratione aliqua Etenim talis inueniri debet valor Numeri, HI it maior quam R. quia scilicet minimus numerus positus est N. At I maior erit quam stiri sit maior unitate, ui 1 Q. maior sit unitate erit avi maior unitate. Itaque cum fiat valor umeri ex quodam quadrato adsciscente4: is sic diuiso per sextuplum sui lateris, .ut autem fiat quotiens maior unitate oportet diuisum numerum esse maiorem diuisore, quaerendus est numerus cuius quadratus adsciscens A sit maior sextuplo ipsius numeri. Porro talis est 6.& omnis 'rumerus supra 6. Quia enim quadratus ipsius 6 aequatur sextuplo sui lateris, & quadratus euiussi bee numeri supra 6 est maior sextuplo sui lateris, patet addendo ἐ. ad huiusmodi quadratum fieri semper numerum maiorem sextuplo lateris. Ideo numeri, . . latus ru ponetur 3 N. d. vel 3 N. - . vel 3 N. -8. sic in innnitum. Caeterum eodem prorsus artificio soluetur huiusmodi quaestio.
Inuenire tres numeros, ut excessus quadrati me di supra quadratum minimi ad intcruallum, quo maximus superat medium datam, habeat rationem. Sed 'ini sumpti faciat quadratum Sit data ratio tripla.
Ponatur summa minimi, medii 4 in& esto medius asia r. minimus a Q I. Tum ponatur summa minimi&maximi quilibet quadratus maior quam putas erit ergo maximus Q se . Est porro intcruallum quadratorum minorum 8 Q. At interuallum maiorum s in cuius triplum is ubequari deberet 8rabit autem y deca in quater in unitatem. Itaque quaerendus est numerus loco unitatis , qui ductus in a. quater, seu qui ductus in 8 semel efficiati . is est . hunc ergo sumentes loco unitatis ponemus minimum P medium a Q - maximum b. Superest ut summa medii& maximi aequetur quadrato, fit ergo aequalis quadrato, cuius Iatus ita fingendum est ut fiat valor Numeri maior unitate, quia minimus positus est a Q. F. Quare oportet ut Iradit maior quam quod accidit si sit maior unitate. Porro fiet valor numeri ex quodam quadrato multato numero .in diuiso per sextuplum sui lateris. Quare ut hae diuisione prodeat quotiens maior unitate, oportet L 1. - maiorem esse quam 5 N. unde tandem fit L naior quam N. - qua aequatione resoluta fit i N.maior quam 7.Igitur numeri . . - latus fingemus 3 N. - quotlibet unitatibus quae superent . Ponatur 3 N. Io fiet i N. eruntque quasiti
numeri qui satisfaciunt postulatis, nam bini faciunt quadratos r. id quorum latera H. interuallum veto quadratorum primi4 secundi est . . . smi triplus utique interualliseeundi Mertisquod est .
295쪽
in gesmetrica proportiona litate ut quiuis eorum detracto dat numero faciat quadratum. Esto datus Ιχ. Est autem geometrica proportionalitas , clim numerus sub extremis contentus habet medium pro latere quadrato. Quaero primum quis quadratus, detracticia faciat quadratum,hoc autem facile fit&est 4 Pon ergo auterum extremorum et alterum Igitur medius erit εἰ N. Restat ut horum uterque demptis a faciat quadratum. Proinde i in Ia aequatur quadrato, quadrato, 6 . N. Ia aequatur quadrato horum interuallum ex Q. - N. mensuratio. Metitur IN. per N. 6. horum interualli semissis in se , facit tae. hoc aequatur minori, seu 6 N. 12. fit IN. - Ad positiones. Erit primus Aa .
In P. Librum Diophanti commentari,
IN FAE STIO NAE M PRIMAM.RE . in v to textu, nihil lite superest difficultatis. Quadratum qui detracto Ia relinquae
quad. atum inuenit Diophantus per undecimam secundi, ut bene monet itander, tumhoe mihil aliud sit quam quinere duos quadratos interualloria differentes. Caeterum cum
- r insupporiendo stilicet Nam metient es erunt 6 ἱ-IN.& N. quorum summae semissis quadratus Est aequatur εἰ N. Ia ut prius. Hinc etiam facit Eanonem fabricabimur. Sume pro h imo' suorum cluemtibet quadratum, qui detracto uiato numero quadratum resinasin. Huiu r quadranti adde iatu uis nerum , se secundus. Hunc diuide per iam primi, oris r. Iatus reriis.
296쪽
sic ponendo primum eum Diophanto, cum eius quadrans sit Io Δ & addendo Ia fiat aa. Λ tantus erit seeundus. Quo diuisae,ero: quod est latus primi, fit latus tcrii ipse tertius V V Diophantus loco et posuit secundum more suo et exprimens eum per partes a numero
IN Walam a tres numeros in geometrica proportionalitate, ut quilibet ipsorum adsumens datum numerum, faciat quadratum. Esto datus ac Ruinis quam quis quadratus adscitorio faciat quadratum' est autem is Pon ergo alterum extremorum is alterum verbi Jgitur medius erit, N. Proinde ob ea quae in praecedente dicta sunt, restat N. - ao. aequari quadrato, Q. - o. aequari quadrato, est horum interuallum i Q. - M. Mensuratio metitur IN. per IN. - q. horum interualli semissis in se facit q. aequalem minori seu . N. - 2o. Quod est absurdum oporteret enim .maiorem esse quam O.sed unitates 4.sunt quadrans de i6. Porro I6. non est casu oblatus. Sed est quadratus qui adsciscens ro facit quadratum Eo igitur deuentum est ut quaeratur quadratus cuius quadrans sit maior quameto. adsumens ro faciat quadratum. Vtique quadratus hic maior erit quam 8o Atar.est quadratus maior quam So. Ergo si latus quadrati quem quaerimus statuimus, N. s. erit ipse quadratus rQ. - IMN. - I hunc oportet additis dio facere quadratum. Proinde I Q. - 18
tem quaesiti quadrati latus IN. q. Erit ergo quadratus,ob Recurro nunc ad id quod initio proponebatur, statuo primum ρω . tertium I Q medius ergo erit . N. eo ventum est ut quaeram quo pacto 4 Ἐ- ro. 9: N. -- a .aequenis tur quadrato Interualli semissis in se facit E quod aequatur minori, hoc est, . N. H. o. N. . . Ad positiones. Erit primus, et secundus -tertius ῆς . me ψο- γδ suin ἐφ' ἔαυσο ι νεκα μνε, ο ι - 'ς Bein re.
297쪽
Ι prima operatione occurrunt quadrato aequandi N. - ao. Is se sto sed replicari non potest huiusmodi aequatio, quia horum interuallum est N. quod fit ex IN. inci . a quorum interuallum cuius emissis quadratus A. aequari debet minori puta N. - 'o quod est impossibile, quia 4 non est maior quSm 2o Considerat ergo Diophantus unde prouenerit, est autem quadratus semissis numeri Numerorum . pro secundo positi. At secundus statuitur numerus Numerorum qui latus est quadrati pro primo positi, quia enim primus positus est 16 fit secundus M φοβη N. Quoniam ergo quadratus semissis cuiuslibet numeri, est quadrans quadrati totiusinmeri, eo quod quadrati sunt in ratione duplicata laterum, recte coneludit Diopnantus quadratum . esse quadrantem quadrati I 6. Quare eo deuentum est, ut loco I6. statuamus pro primo aliquem alium quadratum, qui adscitorio iaciat quadratum, cuius quadrans sit maior quam 2o. Reliqua plana1unt, nee maiore explicatione indigent. Sed ex ipsa operatione talis Canon elici potest.
Sume pro primo auemlibet ruadratum pG ad cito dat, mero quadratum faciat, ct cuius auadrans excedat datum mimerum. Ab huius uadrant aufer datum numerum, relinquetur se duri clauem duruis per latus primi, orietur latus terris.
ορο σε, ο - ἀυς - - δ ribus si duo sint numeri, quorum tam τετραγωνον πιόν- - δή Λγωγή Vterque, quam productus eorum multi- νωνῶ et .se e dimia in δύο . plicatione eodem dato numero adscito
tiones. Erit primusta'. secutidus tertius IK AEST IONEM III.
postis M quod assumit Diophantus , uniuersalius propositum, demonstrauimus propositione decima tertia libri secundi orismatum. Nam propositio illa hic faeile applieatur, si quod ibi uniuersaliter demonstratur de quibuscumque quadratis, adaptetur quadratis continenter proximis. Etenim cum laterum interuallum sit unitas, quae numeros quos diuidit non immutat, patet quadratos multatos dato numero, una cum duplo summae illorum , unitate multato praestate quod aic Diophantus, & reliqua plana sunt. Porro usus erit huius orismatis, quare demonstratum est Ioeo citato, si proponatur huiusmodi quaestio. Dipilige by OOQ le
298쪽
Invenire tres numeros, ut quem bini producunt adscito dato numero quadratum faciat , sed&quilibet in eundem aliquem numerum ductus,4 assumens eundem d
tum numerum fiat quadratus. Datus esto s. quilibet ductus in a.3 adsumens eundem s.fiat quadratus.Exponantur duo quadrati, quorum interuallum sua.sintque eorum latera IN. - .&IN. - . erunt ipsi quadratici Q. . CN. - IJ -I N. - s. aufer ab utroque s. residua diuide per interuallum laterum a. fient: -- 3 - . et in - N. - Io primus .secundus cluaesitorum, tertius autem erit duplum ummae illorum multatum eodem interuallo laterum a puta N. -- aa. Restatv huius duplum adscitos. quadratum raciar Igitur - . N. --9. aequatur quadrato, estolatus eius a N. -I7. fiet IN. I. Sunt ergo quaesiui numeri v. Ar qui satisfaciunt proposito.
EX ba propositiose facile deduceturfeloen quaestio Inuenire q. numeros eteon ditione, v quodsub binis producitur, a cito dato numero faciat qaadratum. Inueniantur res quaestionifatisfacientes ita misinguli dato numero aucti conficiant quadratos iuxta hanc propositionem Ponatur quartus inueniendus esse IN. - Dorietur triplicata aequalitas cuius folutio nostra method beneficio erit in promptu. Vide adnotata ad aq. quaestionem lib. 6. soluetur itaque quasi quam proposuit Bacbet sad quaesionem ia lib. 3r per hanc methodum qua eum multὸμ generalior. hoc pra-terea mptius habe quam methodus Baeheri quod tres priores numeri aucti dato numero conscian quadratos in nostrastatione. An vero ita solui possit quasi ut etiam quartus auctus dato numero conficiat quadratum , Hocsane hactenus ignoramus. In quiratur iraque ulterius.
PORIs M quoque quod lite assumitur, demonstratum est a nobis propositione decimaquarta libri secundi porismatum, sed uniuersalius , cuius etiam usus ampliari potest, eodem prorsus modo, quo ad praecedentem docuimus id fieri posse in simili porisinate.
299쪽
IN uε Ni Ra tres quadratos, ut quem bini faciunt planum, siue adsciscatamborum summam, siue reliquum , faciat quadratum. Habemus rursum in orism tibus. Quod duobus quibusque quadratis
continenter proximis adinveniri potest alius numerus, qui cum sit summae illo rum duplus, linario amplior, tres facit numeros, quorum bini quem producunt, siue adsciscat amborum summam, siue reliquum , faciat quadratum. Statuo igitur trium quaesitorum quadratorum, alterum Lines a N. - I.alterum I in- -- . tertium scinia N. -- is .Restat
mus quadrato, sed luius quadrans fit a Q. - 3M. ε 3 aequalis quadrato Formo quadratum ab IN. s. est ergo quadratus ipse I N aequalisci Q. -- 3Ν --3.ωfiti N. I. Ad positiones. Erit primus P. secundus v. tertius R'.
λάζησωυαμ φοτερον, αὐτελωτὸν ποιώ τε γανον Vnde nos, tanquam subreptilia , expunximus verba illa, geme τον ἐκηπιδυ uia να. Ipsum vero porisma demonstrauimus uniuersaliffun8 propositione decimasexta libri secundi potismatum. Itaque nihil lite superest dissicultatis.
e αὐτά - τῶ πινεας ου o Maν IN va Ni, tres numeros , v quiui eorum binario multatus faciat quadratum, qui fit ex binorum mutuo ductit, sue amborum summam abiiciat, siue reliquum fiat quadratus. Si cuiuis superiore quaestione inuentorum numerorum adiicio, sic consedi satisfaciunt postulatis. Quod itaque dicitur tale est. Ponimus unum eorum qui quaeruntur I Q. -- a. Alterum N. - 3 tertium Q - N. - 6.de fit quod iubetur.Restat Vt Q. - Ν. - aequetur quadrato. Proinde quadrans eius arquatur quadrato, nempe I Q. IN. I. Quod si latus quadrati ponamus a disterentia, erit
300쪽
IN huius quaestionis propositione, habet codex manuferiptus o δὲ re in bor cui νοι ι εαν σε οσλας σμυαμφοτερον , ἐων τε τὸν δεον , τοι τετραγωον , pro quo repotuimus , αν νελοι ψη σωυ αφηερον, - ο ρι- , c. Porro duplicem modum tangit Diophantus, soluendi quaestionem istam primus est addendo binarium tribus numeris praecedentem ibi uentibus, ubi nulla opus est operatione Algebrae. Secundus est per operationem Algebrae supponendo portim quod ostendimus propositione decima septima libri secundi Nimirum. Si sumantur duo quadrati, itemque duplum summa illorum di quadrati interualli laterum, fient tres numeri, quibus si addatur sigillatim duplum quadrati interualli
laterum, fient tres alij, quorum bini quem producent mutuo ductu, is , siue multetur amborum summa, siue reliquo, fiet quadratus. Vnde sanesoperatio Diophanti manifeste pendet, sedis primus modus hine suam mutuatur demonstrationem, ut luce clarius est. Hue pertinet quaestio quam tradidit vieta Zetetico duodecimo libri quinti. Quantuis eam imperfecte tractauerit, omittens alteram illius partem , eo quod Porismatum quae demonstrati innis propositione decimasexta & decimaseptima libri secundi perfectam cognitionem non habuit. Nos uniuersasissim propone inus hoc pacto.
Inueniantur tres quadrati, ut qui fit ex binorum mutuo ductu, additus ei qui fit ex quadrato dato, siue in amborum Rammam, siue in reliquum conficiat quadratum. Datus quadratus esto o.
Ponatur primi latus IN. secundiam. Φa erunt quadrati &ολ- IN. - , .sit teNilus duplum primi, secundi, inuadrati interualli laterum, seu Psi usi ut A Q. - iam . 36. Constat ergo perdecimam sextam secunditorismatum productum ex binorum mutuo dumi adscito producto ex quadram o siue in amborum summam , siue in reliquum , facere quadratum. Restat vestertius sit quadratus. Ergo Q Iam. -- 36 aequandus est quadrato, cuius latus esto a N. - fictam. s. Erunt ergo quaesit quadrati et r. 6 I96.& satisfaciunt proposito.
Inueniantur tres numeri, ut quiuis eorum multatus duplo dati quadrati, faciat quadratum M productus ex binorum mutuo ductu, detracto eo qui fit ex dato quadrato, siue in summam amborum, siue in reliquum, relinquat quadratum. Datus quadratus esto .
Si tribus per praecedentem inuentis quadratis addas duplum dati quadrati, puta i8 fient quaesiti numeri 3. a. at . qui satisfaciunt postulatis, ut constat ex decimaseptima secundi porismatum. Itaque non satis feliciter quaestiones istas explicauit Franciscus Vieta loco citato, cum numerorum quos inuenit proprietates penitus perspectas non habuerit.
Lemma ad id quodsequitur. INV Ni a duos numeros , ut productus eorum multiplicatione addito utriusque quadrato, summam faciat quadratum. Esto primus Im secundus unitatum quotlibet, puta r. est productus eorum multiplicationes N. summa vero