장음표시 사용
311쪽
SAT is accurate quaestionem hane explieauit Xilander, multa tamen praetermisit notatu digna, quae vi sigillatim persequamur. Aduerte primo necessariam a Diophanto hic omissam esse eonia ditionem certum est enim numerum 9- inaequari non potuisse quadrato , nisi s. quadratus suisset. Quare clim s. factus sit addita unitate ad SHimmam adiiciendorum numerorum a & 6. euidens est huiusmodi conditionem praescribi debere. Oportet autems.mmam a siiciendorum nutrierorum eonficere quadratum vntrate auctam Moneo tamen sic esse concipiendam conditionem, si non aliter quam per operationem Diophanti soluenda sit quaestio. Cum enim, ut infit commonstrabimus, quaestio aequε bene solui possit, dum summa numerorum additiorum unitate auis a conficiat numerum ex duobus quadratis compositum , poterit uniuersalius proponi conditio , nimirum sic. o. ριρ--μmmam adiiciendorum, ero ,nitar auctam conficere quadratum, vel erum emd obus quadrati compositum. Aduerte secundo in eodice manu exarato deesse diagramma descriptionis Diophantatae quod nosi estituimus, cum absque illo non possint intelligi Graeea anthoris verba. Caeterum absque huiusmodi descriptione res facilius 4reuius explicari potest, hoc modo. Cum ad a. addendo partem unitatis debeat fieri quadratus, Madus. addendo residuum unitatis conficiendus sit aliter quadratus , patet
drati latus as cum defectu aliquot numerorum, inueniemus i N. fieri ex aliquo numero sexies sumpto , diuiso per quadratum ipsius unitate auctum. Eo itaque sum redactus, inueniam aliquem numerum, qui sexies sumptus, diuisus per quadratum ipsius unitate auctum quotientem faciat maiorem quam Cis minorem quam . Esto qui quaeritur IN.Volo ergo ut 6 . diuisi per I Q. F. i. quotientem faciant maiorem quam l. minorem quam in Sed cir diuisus peror quotientem facit oportet itaques N ad Lin-FI. maiorem habere rationem quam quae est 17. ad la productus ergo ex m. in II. hoc est et, maior esse debet producto ex m. I. in 17. hoc est I Q. II. Numerorum emussis in se ducatur, fit Iroe, aufer productum ex quadratis in unitates, hoc est 28ς relinquitur Ioo7. huius latus non maius 3r adde dimidium numerorum, fit non maius 6 . diuide permultitudinem quadratorum fit 1N Similiter quandoquidem oportet , N. ad I I. minorem rationem habere quam quae est 19 ad 12 Inveniemus I N. non minorem sed ton maior inuentus est . est igitur 3 D sermo ergo quadratum a latere 3 - N. I Q --9-2 N. Haec aequantur 9 - R. unde
fit i N. Quadratus vero an is si hine
auferamus binarium , erit alterum segmentum unitatis aeg. alterum 'li: Et postulatis satisfit.
312쪽
iummam quadiatorum fore o.Quare 9.diuidendus est in duos quadratos,quorum alier eadat inter a. 3. altero.&7.emisistat. Unde cluplici via perueniri potest adaequationem.Sicut enim Diophantus, eum qui inter a.&4.cadete debet,posuit id alietum mie ille qui inter ειω . consistere debet poni potest c liter, I in& imilis prorsus erit operatio. Certum est autem hisce quadratis inuentis solui qu:estionem, nam si ab inero auferatur a. ab altero, remanebunt quaesitae partes
Aduerte tertio ut inueniat Diophantus quadratum maiorem quam a minorem quana 3 rectessumere duos quadratos qui cadant inter a. quales sunt E M ta si enim curemus via in cadat in cier hosce duos quadratos, euidens est eum iore maiorem quam a minorem quam 3. est autem facile duos quadratos reperire qui cadant inter a. a. id enim fiet, si sumatur quilibet quadratus, inter cuius duplum triplum cadant duo quadrati. Utui sumas 36. cuius duplum a triplum M. cum inter72.4 Q8 cadant duo quadratili Micio his subscribendo denominatorem 6 fient quadrati quaesit - ω- Qitare si per hos soluere velis quaestionem eurandum erit, ut valor Numeri cadat inter 28 P. Denique aduerte ut fiat valor Numeri maior quam Εἰ minor quam Diophantum uti artificio quo iam saepe in simili usus est. Quia enim, L suadrato aequandus est, fiet valor umeri, fingendo latus 3 aliquot numeris, quorum sextuplum diuideturicr eorum quadratum unitate auctum. Quaerendus ergo Numerus cuius sextuplo per quadratum ipsius inimeri diuiso fiat quotiens maior quam a minor quam n Posito ergo huiusmodi numero I N. fiet 4 , maior quam minor quam pl.& omnia per denominatores I. Qia multiplicando, fient a N. maiores quam I7 - 7. minores quam Is Proinde utraque aequatione per approximationem resoluta, hetam maior quam minor quam e solare sumetur numerus aliquis littermedius, puta 344 fingetur numeri 9-IQ. latus 3 - , N.4 caetera sunt manifesta. Porro Diophanti operatio eatenus locum habet, quatenus adiiciendorum numerorum summa unitate aucta quadratum facit. Sed si huiusmodi summa unitate aucta, eonficiat numerum ex duobus quadratis compositum, aliter operandum erit, imitando scilicet artifieium eius quam ad praecedentem attulimus ex Vieta Verbi gratia Diuidenda sit unitas in duas partes, ut alteri addendo a alteri 7 fiat utrimque quadratus Euidens est numerum Io. diuidendum esse in duos quadratos, quorum alier cadat inter 2.&3. Alier vero inter .48. Cum ergo addendo semissem unitatis utrique dat rum numerorum fiant et . o Quaerendi sunt quadrat qui ad hos numeros accedant. tuaero ergo quae pars quadrati addita ada . iaciat quadratum, ea reperietur fitque quadratus cuius latus P. Rursus quaero quae pars quadrati ad fg adiecta, faciat quadratum , ea reperitur fit quadratus'. a latere V Quamobreni o diuidendus est in duos quadratos, ita ut latus unius accedat ad 'i, Alterius vero ad seu ad i. Statuentur ergo per ad aequalitatem quadratorum latera N. a 3N. fietque summa quadratorum Io Q N aequalis Io unde fiet IN. . .& erunt quadratorum latera et in ipsi quadrati N.& quorum summa Io. si a primo inseras a. a Meundo'. restant quaesitae partes unitatis R . Haec autem quaestio extendetur quoque ad quemlibet numerum, sic uniuersalius proponeture
Datui numerum diuidere in duas partes, ut utrique addendo alterum atque alterum numerum , fiat utrimque quadratus Oportet autem compositum ex diuidendo numero, Eutroque adiiciendorum, quadratum esse, vel compositum ex duobus quadratis.
Diuidendus esto 6 adiiciendi veros. o. Cum ergo homum trium summa sit is oportet diuidere 16 in duos quadratos, quorum inersit maior quam 3 minor quam s. Alier vero sit maior quam 7. minor quam I 3. Ponatur primus L erit alae i6. Q in cuius latus ita fingendum est ut a cadat inter . i. sumantur duo quadrati cadentes interj. s. puta quorum latera a. d. Oportet igitur fictilium latus ita ponere, vi N. sit maior quam a minor quam . Porro fiet valor Numeri ponendo fictilium latus ε aliquot iamneris, quorum octuplum diuidetur per eorum quadratum unitate auctum. Quamobrem cari maior est quam a. minor quam .in tandem N. maior est quam Q. - 2. 24. N. minor est quam Q. - 8.Λ utraque aequatione per approximationem resoluta fiei N. maior quam I minor quam: Ponatur .in numeri 6 4 atus statuatur 4 sN. fiet IN. I. erunt igitur latera quadratorum ipsi quadrat et' V, 44 primo auferendo 3. a secundo . remanent quaesitae senarii partes '. ωζέ. Rursus numerus 8 diuidendus sit in duas partes, ut alteri addendo, alieri . fiat utrumque quadratus. Cum ergo ipsorum 8. s. 7. summa sit zo oportet diuidererio in duos quadratos quorum alter cadat inter s.& 3 alter consistat inter . Is sumo medium arithmerice inter utrumque erminum , puta o.&II. inurio quae pars quadrati ad utrumque addita aetat quadratum inuenio, hinc inde . sunto ne quadrati quorum latera in eadem denominatione sitiit a vi . . Diuidendus ergo inihi est zo in duos quadratos citavi unius latus accedat ad ἰ Α laetius latus sit proxi-
313쪽
nnii u erunt ergo per ad aequalitate huiusmodi latera in 7 N. Α- ι NI 'μς Iumine': Σ
I II. Quod si a priore austras F. aposteriore 7. Iemanent quaesitae partes octonari , ....dc--,.
ros, cuilibet addere datum cundem numerum, cita quemlibet quadratum facere oportet autem datum neque
binarium esse, neque aliquem eorum qui fit addito binario ad octonari multiplicem Imperatum sit ut unitas diuidatur in tres numeros, cuilibet addatur a. sic fiat quadratus. Rursus oportet diuidereio in tres quadratos, ut quilibet ipsorum sit maior quam 3. Si ergo iterum diuidamus io in tres quadratos adaequalitatis ductu, erit quilibet ipserum maior ternario, ioterimus ternario a quouis detracto, eos habere in quos unitas diuidendaeli Sumamus itaque trientem de io hoc est 3 . Et quaeramus quae pars quadrata possit adiici ad 3I ut fiat quadratus omnia novies. Iam ad 3o oportet partem a quadrato denominatum addi,& heri quadratum. Esto pars adiicienda L. omnia multiplicentur per i Q. fiunt 3 U. - . aequalia quadrato a latere MN. - fitque quadratus acines Io r. aequalis 3o Q - . unde fit IN. a. 4 Parsque quadratica . Si ergo ad 3o adiicimus adis addemus o. fit quadratus opo te igitur diuidere io in tres quadratos, ut uniuscuiusque quadrati latus sit adaequale unitatibus tr. Atqui io componitur ex duobus quadratis . de r. Diuidimus ergo I in duos quadratos Scu'. ita ut io. constet ex tribus quadratis . : . oportet igitur horum cuiusuis lateri ada qualem facere . Sed datera eorum sunt 3. . de l. de omnia per 3o multiplicentur. Et fiuntoo et . I8. Ipse vero . fit s. oportet itaque unum quodque latus adaequare ipsi sue fingamus unius latus 3 3s N alterius autemsi N. -- , Alterius denique 3 N. - fiunt ab his quadrati in
314쪽
ὀκτακι ἀοι- αν ραψαν, perperam riit dandur&ex eius versione commodum aliquem sensum recipere nequeunt. Itaque eum eorum vim non perciperet, nihil super huiusmodi limitari ne adnotauit. Certum est autem , ut quaestio tui posui oportere ut triplum dati numeri unitate au elum sit quadratus vel ex duobus, aut ex tribus etiam quadratis suapte natura compositis. Quare ut Diophanti limitatio sit necessaria, ostendendum est numeros a. io. 18. 26 34. Axin alios omnes qui fiunt addendo a ad aliquem octonarii multiplicem tales esse, ut eorum triplum unitate auctum non possit esse quadratus , neque num eius ex duobus aut tribus quadratis compositus. Et de binario quidem, mani restum est eius triplum unitate audium puta . nec quadratum este, nec e duobus vel tribus quadratis compositum. De aliis autem sie demonstrabitur.
Esto A quilibet octonarii multiplex, eui addito binario fiat Rin sematur m triplum ipsius B. cui addita unitatem . fiat Cri dico C, nee quadratum esse, ne e duobus vel tribus quadratis compositum Milba enim B. continet Ain binarium in C H triplus est ad B, patet almeontinere triplum iesius Α,4 triplum binarij, pura senarium. Sit ergo CT triplum ipsius M, erit reliquus PH senarius, in quo sumendo binarium es, elimitetur quaternarius FG. I, is cis Primum itaque C Κ non esse quadratum sietto. batur. Quoniamin est multiplex octonatij est Λx rota '' par, addito binario fit rursus B par. Quamobrem&GΗ multiplex ad B par est, ae proinde C, est impat ex definitione. Si ergo Cia ponatur qua
dratus, ablata unitate ' reliquus C in erit pariter par Quare quaternarius eum metietur. Sed δ' ε' Nidem quaternarius metitur Ci multiplicem octonarii ergo idem quaternarius metietur reliquum '' FH. sed quaternarius metietur seipsum puta FG. ergo idem quaternarius metietur reliquam binarium G H. Quod est impossibile male o non est quadratus. Deinde C Κ. non componi ex duobus quadratis sie ostendo. Etenim fi eomponatur ex duobus quadratis, non erit uterque par, nec uterque impat, alioquin ipse QK esset par eontra id quod CH est pariter par. Quare ut prius sequitu quaternatium metiri binarium. Quod est absurdum. Igitur QK non componitur ex duobus quadratis. Denique si CΚ. ponatur componi exotibus quadratis; non erit quilibet illorum par nec erunt duo impare, tertius par sie eruiti fieret ex illis compositus a par eontra id quod ostensum est. Relinquitur ergo tres illos quadratos vel impares esse omnes vel duos esse pares ciertium imparem. Atqui neutrum nossibile est. Nam primo fi ponantur duo paresis tertius impar, si a tertio auferatur unitas, relinquetur pari et par, quo addito aliis duobus quadratis itidem pari xx r. p. V. ter paribus fiet totus C si pariter par. Quare rursus interetur quaternarium metiri binarium. Quod' .poris est impossibile Deinde si quilibet trium quadratorum ex quibus m. componi dicitur, ponatur impar cum a quolibet ipsorum detracta unitate relinquatur multiplex octonarij, ut ostensum est ad
quadragesimam quartamini larii Me ii delum demonstratini se ad octivam de numeris multangulis rpatet si a composito ex tribus , nempy1 toto CX, auseratur ternarius G Κ, residuum C G, multiplicem esse octonarii r sed 3 C F. inultiplex est octona ire eonstructione. Igitur octonarius metiens toti m C ablatum C F, metietur reliquum quateriinium FG. Quod est impossibile. Non erit ergo m. quadratiis, neu mri poseus yduobns vel itibus quadratis. Quod demonstrandum erat. Ex nis liquido apparet eum esse sensum verborum Diophanti quem expressimus versione nostra,
uam ii aeniosa est, di authoredigoahumsmodi Iimisatio Caeletum quamuis, ve ostensum est, haec conditio sit necessaria, non est tamen sufficiens, nam non solum numeri oimies hac limitatione corri prehensi soluendae quaestioni sunt inutiles, sed praeterea numerus s. omnes ali, qui fiunt addito o. ad 3a vel ad aliquem eius multiplicem, quales sunt I. 3. ros. c. nam horum triplum addita unitate, neque quadratus est, neque numerus 8 duobus vel irrbus quadratis compositus. Et quidem tu i in P, patet experientia sena mei in temtum itate auctum , ut as ne quadratuς est, nec Θduo x vel uibus quas batis sn lix si tus De sim autem fie demonstratur. Esto multiplex ad a. eui addendo, fiat B cuin triplum vnitate auctum esto T. Dico C E. nee quadratum esse, nec . duobus ves tribus quadratis compositum. Quia enim B. eontinet A. novenarium , ipse C E con '
tinet vfiplum ipsius A,&triplum ipsius o. unitatem. Sit O triplum ipsius Α, erit ergo DE .ui
315쪽
plum nouenatijωvuitas, puta numerus 28. Quare cum D. multiplex pariter paKssit pariter pae ipse etiam Da, seu 28 si pariter par erit totus
poricis p xiter par, ac proinde metietur cum quaternatius, fie
illius quadrans DL, constans ex FG. quadrante ipsius. v QD,4 e Ga seu septenario quadrante ipsius D E, seu 28 in quo sumatur GH, quaternarius Η Κ binarius. I unitas. Cum ergo CD sit multiplex ad 31. quadrans ipsius et sit 8 patet FG multiplicem esse ad 8. toties contineret quoties C Deontinet 32. Quare FG. est pariter par, & multiplexod natij. Primum itaque C E non esse quadratum sic probatur. Si enim C E quadratus sit, eo per quadratum . diuiso, net&FL quadratus. Quare cum FL sit impar, constans scilicet ex pari FG. Qis impari a ablata inde unitate, residuum DK, erit multiplex octona ij per ostensa ad quadragesimam quartam quarti Cum ergo 8 metiatur totum A, ablatum FG, ut ostensum est, metietur&β. reiiquum senarium GK Quod est impossibile. Deinde QE, non componi ex duobus quadratis sic ostenditur. Non potest componi ex duobus quadratis, quorum alier sit par, alter impar, alioquin C E esset impar contra id quod ostensum est.
o. i. oris. Non componetur etiam ex duobus imparibus , nam ab utroque auirerendo unitatem, relinquerentur duo numeri pariter pares, quorum sunmia esset pariter para ac proinde totus CE, constaret ex nu- I. t. Wiia mero pariter pari, atque ex binario ' Quare C E, esset pariter impar tantum contra id quod demon- p ris stratum est. Restat ergo ut uterque quadratorum ex quibus C E componi dicitur, sit par , terque ergo erit pariter par. Quare eorum quadrantes sumendo, fient duo quadrati aequales toti I. Cum ergo Fa sit impar, necesse est alterum quadratorum ex quibus componitur, esse parem , alterum imparem ab impari auferendo unitatem cum remaneat pariter par patet D ex duobus pariter . paribus compositum .esse pariter parem tur metietur quaternarius totum Κ, sed, metietur' pitiise parem FG, ωmplum puta G H. Ergo idem quaternarius metietur reliquum binarium H MQuod est ab stirdum. Denique C E non potest composis ex tribus quadratis. Etenim non potest componi ex tribus imparibus neque ex duobus paribus di tertio impari, alioquin ipse C gestet impar contra demonstrata. Non componetur etiam e duobus imparibus, aertio pari, sic enim a quadratis imparibus concipiendo auferri unitatem, concludetur totum C E componi ex tribus numeris pariter paribus,, exi, vinario , ac proinde E esse pariter imparem tantum, contra id quod ostensum est. Restat ergo C E componi ex uibus quadratis paribus , qui eum sint pariter pares, eorum quadrantes sint qua
drati nil meri, erit FS eompositus ex tribus quadratis. Non erunt autem tres hi quadrati pares,neque duo impares erunt aettius par, alioquin totus F Lerit par eontra demonstrata. Non erunt etiam duo parcs, tertius impar, nam si a tertio impari auferatur unitas relinquetur totus Κ compositus ex tribus pariter paribus, ac proinde pariter par. Quare ut prius inseretur quaternarium metiri bin xi uni Demum non erunt tres quadrati impares , nam tunc a quolibet auferendo unitatem, relinquentur tres numeri quos sigillatim octonarius metietur per ostensa, ad quadragesimam quartam quarti ac proinde a toto F Lausetendo ternarium, relinquetur FH multiplex octonarii. Cum ergo 8 metiatur totum FG, ablatum G ut ostensum est, metietur idem 8 reliquum quaternarium G H. Quod est impossibile. Non est era C E quadratus, nee eomponitur, duobus vel tribus quadratis. Quod erat demonstrandum Caeterum an hae duae limitationes simul sussi eientes sine ita ut per utramque simul excludantur omnes omnino numeri quorum triplum unitate auditam non est ouadratus, nec duobus vel tribus quadratis compositus, non ausim temet affirmare Equidem vix adducor, aliter sentiam,cum tu omnibus numeris ab unitate usque ad 32s id sim expertus.
L miratio ipse Bacbetis infus iens, im nee istas experiensia satis fui acco
rata, nam 37 numerus cadit is limitationem, non astem in regulam.
Uera limitatio se oncipi debet. Exponantur dua progressiones quadrati altera ab I attera ob octouaris, s una alteri superponatur sic.
316쪽
Deiade eansderando feeundum terminum secunda progressioηis qui es 3 afumaior arvum numerisηperpositi qui es 4.μ .cussa a omne in eadem progressione
superiori proxime antecedentes cin hoc exemplo inuenter ursoia,nitas si .fampiis igitur duobus amerissa , . oportet datum numerum neque esse, neque superare dicto nam ero . multiplicem 3 a. consideretur mox rertrud progres3onissecunda sermι-nus qui est 28. fumatur duplum numeri superpositi qui es σ.ffa,cursi addas omnes in eadem progressione superiori proxime antecedentes qui iam funici. 4.μ 37.
sumptis igitur duo bas numeris I 28 sis oportet datum numerum neque esse 37. ne que operare dicio in multiplicem ra8. Considerato deinde progressionis secunda termino flent ex methodo numeri sta 4 49. oportebit itaque datam numerum neque esse, s. neque superare dicto I o. πιαι- riplicem si a se est uniformis se perpetua in infinitum methodus quam neque Diophantas generaliter indieauit, nec Baehetus iis detexit cuius et ipsa experientia fallit, τι iam praemonuimus, nonolum in numero 37 qui est intra linrites experientia de qua demseeit,sed etiam innumeror . se ali s.
Reliqua operatio Diophanti ex Ictis ad duodecimam perspicua redditur.Inuento: latere quadrati
cui adaequat oportet latera quadratorum in quos numerus Io diuidendus est,sumit latera quadratota ex quibus Io.suapte natura coponitur, puta 3. . i. omnia reducendo ad eandem denominationem,
fiunt haee tria latera RQ ; ipse vero Y fit 3. Posito ergo valore Numeri patet latera quadratorum quaesitorum poneda esse,ut iacit Diophantus 3 3 N. 31 N. - 37 N. - reliqua sunt manifesta. Placuit autem χωριτο me vertere cum X ilandro ad aequalitatem. Quia enim in huiusmodi quaesti nibus Diophantus,cuidam lateri adaequat proxime latera quadratorum quaesitorum, non autem aequat propriὸ voeat ille hanc comparationem πιεισο Γ, non autem ἰ π15. Nos etiam non atquesntatem sed adaequalitatem appellamus, sicut etiam παμρον vertimus adaequale. Porro solutionem quaestionis omisit Diophantus molestia tactionum se subtrahens,sed talis est, litI N. Η: per quem si resoluas hypostases, fiunt quadratorum latera 'ID II in Ipsi quadrati myrti . AER quibus si auferas sigillatim ternarium, restant quaelitae partes unitatis, videlicet zi:ρ
VI; Hrint. Haec autem quaestio extendetur etiam ad quemlibet numerum, sic eam proponendo.
Datum numerum secare intres partes, ciuilibet addere eundem numerum, de facere quadratum oportet autem', ut numerus diuidendus adsumens triplum addutiti numeri, faciat quadratum, vel numerum e duobus aut tribus quadratis compositum. Diuidendus esto, addititius numerus 3. Igitur 4 diuidendus est in tres quadratos, quorum qui libet excedat 3 sum οἱ de et . puta quaero partem quadrati quae illi addita, faciat quadratum ea inuenietur u& fit quadratus V a latere v. Diuidendus ergo est Ιε. in tres quadratos, ita ut eui uni-bet latus adaequetur V. t I . suapte natura componitur ex tribus quadratis, quorum latera 3. a. I. fingentur ergo per adaequalitatem quaestorum quadratorum latera 3 I N. - N. a m. eritque summa quadratorum 4 -- 73 Iram. aequalis q. unde fiet I N. h. sunt ergo quadratorum laterati Rul ipsi quadrati m 2 p. a quibus sigillatim auferendo ternarium remanene quaesitae quinarii partes αρ - R.
Rursus uniuersalius etiam proponetur quaestio, hoe pacto.
Datum numerum secare in quotlibet partes, ut cuilibet addendo eundem numerum, fiat quadratus.
Sit secandus 6 in quatuor partes ut euilibet addendo. fiat quadratus, oportet ergo quadruplum ipsius 4. adsumpto 6 puta aa. diuidere in quatuor quadratos, quorum quilibet excedat q. Potroaa. diuiditur in tres quadratos s. s. q. quorum primus s. excedit Φ dc duorum reliquorum summaria. excedit trisum ipsius 4. Quare superest ut diuidamiis r3 in tres quadratos quorum quilibet excedat . sumo trientem de 3 puta'. quaero quae pars quadrati huic addita quadratum raciat, ea est . .& fit quadratus euius latus E. Porro 3 diuiditur in tres quadratos quorum latera . . . Quare per ad equalitatem constituentur quaesitorum quadratorum latera IN. - .s-Is N. defit quadratorum summa I3 - . 67s in tota aequalis 3 unde fit I N. -. sunt ergo latera quadrato rum T Ipsi quadrati l .', H: quibus fi addatur quartus quadratus, habentur quatuor quaeutiquadrati, a quibus auferendo sinitatim numerum . remanent quaesitae partes senarii K. E IV . d. me nulla conditio praescribitur quia quilibet numerus in quatuor pluresve quadratos diuidi potest, ut abunde docuimus ad trigesimam primam quarti ubi etiam quarundem
317쪽
quaesti num explicationem in hune locum rete ei mus, quas iam enodare Iibe Sit ergo propalitum.
lnvenire dilos quadrat OS, quorum tum in cum summa laterum, datum faciat,
mermn oportet autem dati numeri quadruplum binario auctum diuidi posse in duos Datus est 6.
PMee ex dictis ad trigesicinna primam quarti, si ad 6 addamus duos quadrantes unitatis, puta 'sis an aequari debete duobus quadratis, a quorum lateribus si auferatur sigillatim et restant quaesitorum quadratorum latera. Porro ad vitandas minutias ducto OH in fit 26. diuidendus in duos quadratos. Quia vero 64 ita diuidendus est inditos quadratos, ut quilibet excedat . patet erus quadruplum 26. ita diuidendum in duos quadratos, ut quilibet excedat i est ut qui et si maiorq iam . minor quam 2y. Sumpto ergo medio inter s. ωas .put II, quaero quae pars quadrati huic addis iaciat quadratum ea est . neque quadratus , a latere. -. Ergo latera quadratorum adaequari debent ii Quare sumptis lateribus quadratorum ex inbus 16 componitura. ως fingentur per adaequalitatem quaesitorum latera I N.&j- N. fit summa quadratorum 26 -- ω - N. aequalis 26. unde fieri . h. sunt igitur latera quadratorum s . Quoru in semisses putam asune latera quadratorum ex quibus componitur. Quamobrem a quolibet auferendo remanent quae .sitorum quadratorum latera i , nam horum summa eum summa quadratorum conficit 6.
V STI SECUNDA.Inuenire tres quadratos, quorum summa cum summa laterum, datum conficiat nureaerum. Oportet autem dati numeri quadruplum auctum tranλrio , diuidi posse
Ergo diuidendus est in tres quadratos quorum quilibet excedata omnia per A se Is diuidenisdus in tres quadratos quorum quilibet excedat I. Diuiditur autem Io in tres quadratos quorum primo retento, supereri, residuum de Ist putato diuidamus in duos quadratos, quin rum quilibet cedat . myro partem quadrati quae ad s. addita quadratum faciat, ea est ii &fitruadratus; a latere . fingo ergo latera quadratorum per adaequalitatem P. IN &3- fitque imma quadratorum,o N. aequalis Io. unde fit Im A. sunt igitur latera N . sic totus I p. duiisus est in tre quadratos, quorum laterati l . - quorum semuses quI Plunt latera quadratorum ex quibus . . componitur. Proinde a quolibet auferendo; remanent quaesitorum quadra tum latera ' quorum sui mna cum summa quadratorum conficit A.
a V sTIO TERTIA. Inuenire quotlibet quadratos, quorum summa cum summa laterum datum conficiat numerum. Hie nulla conditio praeseribitur, quia quilibet Numerus inquatuor vel plures quotlibet quadratos diuidi potest. Sufficit ergo, si datus numerus tot quadrantibus unitatis audius, quot quadrati postulant , diuidatur in totidem quadratos, quorum quilibet excedat L seu quod idem est; si dati numeri quadruplum auctum tot unitatibus quot quadrati postulantur, diuidatur in totidem quadratos, quorum quilibet excedat I. Qu9d perficietur eadem arte.
U.AESTIO ' QUARTA. Inuenire quotlibet quadratos, quorum summa adscito quolibet multiplice suis mulaterum conficiat quadratum. Sint inueniundi quatuor quadrati, quorum summa adscito triplo summae laterum, faciat 3 Qv niam per Iemma, aerialiter demonstratum addeeimam tertiam uarii. omnis quadratus auctus
triplos lateris, o numero a piscit quadratum , tu ius latus detracto Ira exhibet prioris quadrati latus. A qua te conficit . 8 volumus quatuor quadratos eum luis lateribus efficere a patet adiscito 3 ad meo deuentum esse ut numerus II. diuidatur inquatuor quadratos, quorum quilibet ea cedat at nam si a latere cuiustibet auferamus restabunt quaesitorum quadratorum latera Dividialli autem a. in quatuor quadratos . . q. quorum erem primi satis congriiunt proposito, eum quilibet excedat a , . Quartus vero minor est. Qitare oportet rursus diuidere ia in quatuor alios quadratos proposito satisficientes Sumo . quadrantem ipsius Ia., quaero partem quadrati qua illi addita quadratum iaciat, ea est i , fitque quadratu aleta lateres Ita igitur fingam quadratorum latera, e quotlibοι per adaequalitatem et unx aecedat ad F. Et quia inuentorum latera ad can. Dipilige by OOQ le
318쪽
dem redacta denominationem sunt : . 'sed R. sumo differentias numeratotum a 26. ωfingo latera quaesitorum quadratoruma --N.a-4N. N.; DIN. fitque quadratorum summa I Ioo Q IN. aequalis . unde fit IN. m. seu . Quare latera quadratorum sunt II. Vt . Proinde a quolibet auferendo i supersunt quaesitorum quadratorum latera P. z. . t et M suntquin ipsi quadrati Q. ,τ' ... V . quorum summa cum triplo summae laterum quirit est facit
VNi diuidere in tres numero , addere cuilibet ipsorum alium atque alium datum numerum, facere, mimquemque quadratum. Sunto dati a. 4. Rursum eo res rediit ut diuidam io in tres quadratos, ut primus ipsbrum sit maior binario , secundus sit
maior ternario , tertius sit maior quaternario. Si ergo unitateimbifariam secantes, cuilibet datorum adiiciamus et oportebit quaerere num quadratorum maiorem quam . minorem vero quam a . Alterum maiorem quam . minorem quam 3 4 tertium denique maiorem quam . minorem quam . . Eoque omnia deducuntur vicio ex duobus conflatum quadratis, rursus diuidam in alios duos, ut unus eorum maior sit quam riminor quam et . Et ab hoc auferamus a. inueniemus unam partium unitatis Ru sus alterum quadratorum diuidemus in alios duos quadratos, ita ut unus ipsorum sit maior quam 3 minor quam 3 in quo item si detraxero . inueniam alterum quaesitorum Eadem etiam ratione inueniemus tertium.
FX adnotatis ad duodecimam& decimam tentam pendet quaestionis huius enodatio, Qverba Diophanti satis sunt perspicua, sed totam operationem, quam ipse praetermisit, in tyronum gratiam subiicere non grauabor. Quoniam Io diuidendus est in tres quadratos, quorum primus sit maior quam a seeundus quam 3 tertius quam . Diuido primum Io in duos quadratos quorum alter eadat inter a. id fiet per ea quae attulimus ad duodecimam, eruntque huiusmodi quadran 'quorum latera l: Habeoque iam unum ex tribus quadratis quaesitis, puta f. qui maior est quam a minor quam 3 unde si auferatur a remanet viis ex quaesitis partibus unitatis , puta Restat ergo ut reliquum quadratum diuidamus in duos quadratos quorum alter cadat inter 3. A. Id fiet per ipsam operationem decimae tertiae. Quaero primum ducis quadratos qui cadant nistet .&4. quales sunt V ωB quorum latera e Tum posito altero quadratorum I in altero posterioris latus ita fingendum est ut fiat Im maior quam minor quam fingi autem debet hoc latus minus aliquot Numeris quorum duplum ductum in .diuisum per ipsorum numerorum quadrarum unitate auctum fiet valor umeri. Quare posito numero Numerorum I N. fiet , diuisus per I . . maior quam . minorqvim . . Et utraque aequatione per approximationem resoluta fiet I N. maior quam minor quam A. Ponatur e ad. fingatur numeri et: -I Q latus, i ad N fiet I latus
scilicet primi quadrati, eritque latus seeundi pl. suntque ipsi quadrati muri iram' a priore
319쪽
si auferas 3 Aposteriore 4 remanent reliquae partes unitatis PQR QMd E. quibus simam iam inuentam 3 - ut idem sit denominator tvr h. soluta erit quaestio. Pollet etiam aliter institui operatio, ingendo scilicet simul, semel tria latera quadratorum, e dem artificio quo iam usi sumus ad decimam tertiam. Quoniam enim io diuidendus est in tres quadratos quoruin primus superet a secundus, tertius Diuido unitatem in tres trientes, Meuilibet datorum numerorum addo: fiuntque ali. 3 . . . Iam quaero partes quadrati quae singulis additae quadratum faciant, eae sunt in is . . di fiunt quadrati ζ', τοῦ T. quorum latera pthisv ormnium sit idem denominator Oportet igitur ita fingere latera quadratorum, ut primum adaequeturi: secundum adaequetur tertium adaequetur z. Porro numerus Io dividitur in tres qua dratos, quorum latera . . et quae ut reducantur ad eandem denominationem eum lateribus adaequalitatis , erunt haec se in vero A g Itaque fingentur per adaequalitatem latera primum I67 N. secundum : -- 86m tertiuina I66 N. fitque summa quadratorum iob 897io quam aequalis Io unde sitam. τε suo igitur quaesita latera , primum V , . . secundum tertium Ipsi vero quadrati diem V in E . Et si auseras a. a primo, 3 a secundo, . a tertio, remanent quaesitae partes unitatis est iri in B M : Caetetum non est dubium, & hie requiri huiusmodi conditionem.
Patet etiam eodem artificio quemlibet numerum diuidi posse in tres partes, ita ut euilibet addendo alterum atque alterum numerum fiat quadmius. Et rurius tam unitatem quam numerum quemlibet diuidi pone in patres quotlibet, quibus addendo datos quoscunque numeros, fiant quadrati. Quae omnia iacitet mihi esset exemplis commonstrare, sed huic labori, ne sim prolixior, supersedebo.
-Nou, 'res' quorum hini coniuncti quadratum
OP et v Diophanti Deilis est. ex dictis in praecedentibus pendet Certam est autem eum
tres numeri surrumtur bini hini, unumquemque bis sumi, quare posita summa numerorum o necesse est summam quadratorum quos bini conficiunt eis in. Igitur oportet diuidere Io in
320쪽
tres quadratos quorum quilibet sit minor quam Io tum vero singulos quadratos ab ipso Io detrahendo, remanebunt tres quaesiti numeri meonstat ex Cano deeimae-sextae primi. Quoniam vero Io. diuiditur suapte natura in duos quadratos A. ωI6 quorum primus minor est quam Io ac proinde congruit proposito Restat ut diuidamus Id in duos quadratos, quorum quilibet litisinoe quam Io maior quain 6. quia scilicet Io. με. conficiunt46. Hoe autem fiet Per operationem decima tertiae hac arte. Sunio duos quadratos inter s. ωIo puta o. SV quorum latera . . . Posi-roque altero quadratorum quaestorum ira altero I - L fingo huius latus νε- eo mimeris, vesat Im maior quae, . minor quam a fiet autem valor numeri, si octuplum numeri Numerorum diuidatur per ipsorum quadratum unitate audivin. Quare posito numero Numerorum a N. fiet e ri maior quam . minor quam 3 unde utraque hac qitatione resoluta, inuenietur IN. maiotquam a. minor quam l. ponatur V. Igitur quadrati Io - In latus statuetur 4 π. ., et i N. latus scilicet unius quaesitorum quadratorum, estqtie alterum Quamobrem tres quaesiti quadrati sunt rper Urere quos si auferas sigillatim a denario, restant tres denari quaesitae partes Hine colligemuie quoque quaestion praescribi debere huiusmodi conditionem. Oportet dari numeri duplum Luid posse in tres vitisatos. Potest; iam alite institui operatio, fingendo simul demel trium latera quadratotum Mimitando artificium deeimaequatiae hoc pacto. Quoniam Io diuidi debet in tres quadratos, quorum quilibet sit minor quam Io sumo trientem dero puta l. quaero Partem quadrati quae huic addita quadratum faciat, haec est Q. fitque quadratus a. a latera est. nngenda ergo sunt latera quadratorum , ut unumquodque adaequet . Porro nuine rus o diuiditur in tres quadratos, quorum latera . - . . quae redacta ad eandem denominationem cum numero adaequalitatis, fiunt et O. R. Ipse vero adaequalitatis numerus fit . Quamobrem fingentur api latera quadratorum ' s N. estque summa'iiadratorum 2 -- 7yos in asam aequalis Io unde
fit IN. sunt ergo latet quadratorum . m. Ipsi quadrati lins RSim. ω m. quos si auferas sigillatim a denario, rema tu utique quaesitae denari, partes g.
erit uterque ipsorum minor qu/m o ristes, e c
Proinde si utrumque eorum de io avis R