장음표시 사용
301쪽
-οι-οιἀe m et minis . rium inuinarium umere, facient numeri qui nascuntur, id quod iuberis. IN FAESTIONEM VII.
Hle triplex varietas contingere potest. Primo mimunitatum Deinde primus etiam pori potest quilubet Numerorum numerus. numeri quadrato aequandi diuersimode fingi potest. Restat probandum quod ait Diophantus, nimirum. Si dentur duo numeri quaestioni satisfacientes, duo alij quicunque in eadem ratione sumpti, soluent quaestionem. Sint Assi propositum im- Ε o. plem sint videlicet eorum qua i CD.&productus multiplicationis E. G. se Dis summa CED. sit F. quadratus numerus. Tum sumantur GH in ratione ipsorum' in B.&sint eorum quadrati Κ M,&productus is ipsorum KLM. summa sit in D. M.A N. Dic M. esse quadratum. Quia enim ut constat ex constructione undecimae
ra septimi cad L&Lia M., permutando erit C ad M, E ad L. , D ad M. Quare, antecedentium summa puta Pad summam consequentium , puta ad N est ut unus anteeedens C ad viquentem K Sed uterque C AE quadratus est. Ergo F ad N rationem habet quadrati ad i. .a M. Ac proinde cun F sit quadratus invi quadratus erit. Quod demonstrandum erat.
Ex ipsa autem operatione formatur huiusmodi non. Dιωι de quadratum Nemlibet nitare multarum, per durumsui lateris nitauorum, duo iMicumque in ratione quotientia ia nitatem, satisfacient proposito. ceterum eadem arte soluetur hae quaestio.
Inuenire duos numeros , ut summa quadratorum , detracto producto relinquat
quadratum. Esto primus N. secundus I fit productus IN. summa quadratorum I M. I. unde auferendo IN. maneta N aequandus quadrato. Esto latus N. 3. fici N. . est ergo primus Ps eundus '. abiecto denominatore fit primus 8 secundus F. satisfaciunt postulatis. Hine etiam elicietur iste Canon. Divide quadratum aemlibet nitate miratum, per duplumsui lateris nitate multatum,quotiens
ad unitatem habebit rationem quaesitorum numerorum.
Vbi hoc animaduersoneus gnum occurrit, si sumantur duo numeri huie quaestioni saetissacientes, maior quoque illorum4 eorum interuallum quaestionem soluunt. At minor illorum4 interuallum, soluunt quaestionem Diophanti. Contra , si duo numeri soluant quaestionem Diophanti, summa ipsorum , malteruter eorundem , nostram hanc quaestionem soluunt. Sic sumptis λ, .m stram quaestionem soluentibus nam summa quadratorum detracto producto facit quadratum maiora. interuallum 3 eandem solvunt quaestionem iam ruinis summa quadratorum de ratio producto faei, p. t minor s. interuallum soluunt quaestionem Diophanti, cum summa quadratorum adsumpto producto, rursus iaciat M. Huius rei demonstratio, ab huiusmodi theoreis
Si numerus secetur in duas partes, quadrati partium, una cum producto multiplicationis earundem, aequantur quadratis a toto aqualibet parte, multatis produciqmultiplicationis ex toto in eandem rartem.
Sit numerus V sectus in Ara BC dico quadratos exin B. c. vna eum ' producto et B in B C aequar quadratis exin multatis producto exin Cinin B. Itemque quadratis ex A C. Bu multatis producto ex AC in B Quia enim quadratus ex . . ., aequatur quadratis ipsorum A B. B C in duplo producti exin B in B C. addito quadrato ex B erit summa quadratorum exin C. B aequalis quadrato exin B. bis ex B C semel, duplo producti et B in B C. At quadratus exin B eum producto ex x in B C. aequatur 3 C in B. Quare auferendo a summa quadratorum ex A C.
302쪽
risi productum exin C in Assi, seu quod idem est, quadratum exin Bis productum ex x in BC, remanent quadrati exin B. B C, una eum producto ex Assi in Bu Eadem prorsus ratione ostendemus auferendo a quadratis exin C. BC productum exin C in B C remanere quadratos ex Assi C. una cum producto exa C in Bu Igitur ex omni parte constat propositum.
Ao, A te verborum laetura facta erat in textu Diophanti, ut bene animaduertit Xilander, o nos eam resarcire conati sumus, Verba reponentes quae virgulis inclusa vides. Itasue nil superest difficultatis, nisi ut demonstretur trium triangulorum restingulorum, modo quem tradit Diophantus inuentorum, aequales esse areas, quod praestabimus more nostro, si prius hoc veluti lemma praemiserimus.
Si duobus quadratis addatur sigillatim productus ex mutuo laterum ducti, erit compositorum eadem ratio, quae&laterum ipserum.
Sint quadrati Α Β quorum latera C D ex quorum mutuo ductu fiat G. Dico summam duorum AG ad summam duorum G B se haberes, ut C ad D. etenim vi constat ex undeci- n mas a L, A Gi sunt continue proportionales in rationes ad D. Quare eum sit U A ad G ut G ad B erit meomponendo summa duorum Λ G ad G sicut summa duorum Gi ad B.4 permutando,erit summa duorum Λ G ad summam duorum G B.sicut G ad Rhoe est sicut C ad D. Quod erat demonstrandum. Hoc posito sint numeri ΑΒ praecedenti quaestioni satisfacientes, sint videlieet eorum quadrati Elin productiis mutuo illotum ductu G. Tuinina ipsorum Ea G. sit quadratus H. cuius latus C. summa vcro ipsorum Assi siti cuius qua- 49. 9 v I st giatu, Κ Tum ut vula diophantus ' brmetur triangulum a numeris a. ' , is
74 us4 '' te formetu triangulum a numelis C B sitque hypotenus P. summa 33 s iadratoiuni H F. At si basis o interuallum eorundem ac demum cathetus' sit duplum producit ex C in B. Rursus ibimetur triangulum a numeris CG sitque hypo- tenus S summa quadratorum ΗΚ. sit basis T interuallum eorunden'. mst cathetiis V dupluin producti ex C. in D. Dico tria triangula LMN. PQR STU praestare quod requiritur, hoe est areas eotum aequales esse, seu productos ex cindi ex Qs R. exa in V aequales esse, se enim sequitur areas aequales esse cum sint semisses huiusmodi productorum. Itaque quoniam idem C ductu, his in ipsos A BD producit ipso, R erit N ad R. ut A ad B.&tursus Rad . Vt Bad π 3 D. Quoniam veto M est interuallum quadratorum ΗΕ.&H est summa ipsorum EFG patet M i. isti t. aequari ipsis FG simul. Rursus qui Q est interuallum quadratorum H F. patet aequati ipsis EG. Est autem summa duorum E G ad summain duorum G p. sicut A ad B per Lemma amimptum. Igitur est ad M. sevi A ad B. Clim ergo ostensum sit esse N ad R., A ad B. patet essem ad R. vi Q ad M. Quare ' planus sub extremis NM. aequatur plano sub mediis M a proinde triangulorum 1 . MN PQR aequale sunt areae Praeterea cumqstensumsit aequut duobus EG quadiato
303쪽
3 mini stulae ipsius A. producto ex xia B. aequabitur idem producto ex summa duorum Α Ε, Me, est ex uina in iam vero Melt quadratus luminae ipsorum Α' . patetri aequar ipsis EF xdu- plo G insere ex causerendo H qui continet ipsos EI G semel, patet reliquum T aequalem esse ipsita ae proinde fieri ex A in B. Itaque cum idem A ductus in B. Qin D. producat TAE Q. erit Tad utra ad D sed rim ad D. si ostensum est esses ad . Igitur utra ad . sie Tit ' septimi Quare ' rursus qui eontineta sub extremis RQ aequatur eontento sub mediis V T. unde sequitur triangulorum H R. Sas aequales esse areas, ac per consequens tria exposita triangulaeis, lam hocstiaremn habere moderat demonstrandum.
N ,er inueniripossunt aut etiam plura in infinitum trianguia aquasi area nihil videi, Obstare quo minus quaestio si possibilis inquiratur itaque νινersus.
Nos hoe problema Onstruximus imo es data qualibet trianguli area in ita tria guia eiusdem area exhibemus v. g. data areάε. trianguli 3. q. s. en aliud ιriangulamelos dein area fi autsi placet eadem denominatio ' -- .Pevetua se Ossans metBodus hac est. Exponatur quodlibet triangulam evitas ἔγ-pothenus bases'. perpendiculum D. ab eoμformatur aliud triangulum dissimile eiusdem area, nempe formetur abso quadrato ora in D. bis, septinulana ieribus ilia avtieentura in B quadratum bis Z in D quadratum bis socia otium irra gutu hadiebat aream aqsalem area praecedentis,ab hoc fecundo eadem mathodo formexueteritum, a tertio quartum, a quarto quintum flent'rianguia in in uom dis ilia eiusdem area se ne dubites plura tribus dari posse inuentis tribus Diophanti o. 42.38. 24.7 o. q. 913. Ia ii 3 quartum adiungimus disimile eiusdem tamen area. hypothe. ηἱs basis ira perpendie. Et omnibus in eamdem denominaurem ductis flens 4 trianguia cincinι agris aqua tis area qua sequuntπr.
304쪽
Id autem iam iam utatum est, iunt triangula M. M. 8. , . o. q. I. III ire Nunc ad propositum ab initiorediens, statuo tres in numeris hypocenus rum triangulorum, erit primus 38 N. secundus 7 m. tertius rum summam vero trium pono in quadratis quadrupli areae Proinde 33ως aequantur, 3 N.&fit 1 N. Ad positiones. Erit primus secundus et tertius v. να. - 'η sia . s. oey- ιε- νοῦν ταω a 'ων - το καρχης - τρεδεκ εω ὀ π κἰτο α ῖ οδάτεεροeeria'. o τρίτος λιξα δὲ συγκε υδρον - ὁ Φρούν
EX dictis ad praecedentem facilis redditur hale quaestio Quod assiimitur de quadrato hypotenusae trianguli rectanguli, qui assumpto vel dempto quadruplo areae, quadratum facies, iam a nobis demonstratum est ad vigesin a te cundam tertii, ubi etiam usurpatur a Diophanto.
Ex supradictis patet posse nos construere generaliter problema insenire quotcum
que numeros ut unius cuiasque quadratus summa omnium siue additU ue δε- tracta quadratum Deiat. Hane quasionem forte Bachetus ignorauit Diophantum
quippe promouisset visura si quastione lib. . alijs in locis3aastionis huius fa-lutionem deraxisset.
DAris tribus numeris quadratis, ris I sim τε ραγαπων --Θἔπιων possunt inueniri tres numeri, quo VH-ατόν ει α ρε τρει ἀειθμους.
in tertivi faciat 26. atqui productus exsecundo in tertiu est Q. Hoc ergo aequatur16. riti N. 1 Ad positiones. Erit primum t. secundus a l. i. tertius o. sed ut hoc etiam methodo exponatur Inueniaequalia I 6. omnia per Lmmultipli- Cando fiunt Isinaequales 36.4 fucis cuius Iatus . atquis fit ex mutuo ductu laterum ipserum . , hoc est primi
305쪽
OP a RATIO Diophanti iacilis est,&Canon quem tradit ab ea depromitur. Ponet tamen breuius facilius explicari Cano iste hoe pacto. Numeras amo producunt dati numeri , dum inter se bini est bini viripi eantur , diuid per res
quum , suoιientum tera suasitos exhibent numeros.
Vt in exemplo Diophanti producium ex 4. iiiis puta 36. Divide per reliquum I6 fiet . euius litus xl est unus quaesitorum. Rursus producitum ex 4 inis putas . diuide per reliquum s fite euius latus i. est secundus quaesitorum Denique productum ex s. in Id. puta I diuide per teliquum 4 fit 36. cuius latus est tertius quaesitorum. Porro uniuersalius etiam proponi potest ipsa quaestio in hune modum.
Datis tribus numeris , inuenire tres numeros, quorum bini inuicem ducti, datos producant numeros oportet autem solidum sub datis numeris contentum esse qua
Sint dati 6.8. ra. Ponam primus m. secundusitellius ex Restat ut ex secundo in tertium fiatia. fit autem et hoc ergo aequatur ra. Mam. a. sunt igitur quaesiti numeria. 3. ε
IΝva Ni Ra tres numeros , ut qui fit ex binorum mutuo ductu , omnium summa siue detracta quadratum faciat. Rursum primo uaerantur tria triangula aequales areas habentia. Quibus inuentis sumemus quadratos hypotenusarum. Est autem primus 336 . secundu 3 76. tertius ia769. Hos naeti, inueniemus, vitain traditum est , tres numeros, ut producti ex binoruin mutuo ductu faciant datos quadratos, qui sint ii quos exposuimus autem istos quia quivis ipserum siue .addas ei, siue ad imas et so facit quadratum. At 336o est quadruplum areae singulorum triangulorum Ea propter nunc in numeris pono primum c. N. secundum I. N. tertium KF N. quorum bini inuicem ducti faciunt supradictos quadratos Restatvthi tres aequentur 336 QVS omnia tunius fiaflt denominationis , reducantur adraret q. erit primus N.. recundus 'ni m. tertius I lax. N. fit trium summa VI. N aequalis 336o Q. 4mnia in Iara ρ fiunt 328a 8oes N aequales
306쪽
HAE quaestio, ut bene monet Xilandet, a duobus praecedentibus pendet omnino, inperatio Diophanti plana est, sed tota minutiarum tractatio in textu Graeco scatet mendis QuamObtem malui in inea versione rem subiicere per vetos numeros modo nobis consueto , quam in verbis in numeris Diophantaeis omni ex parte restituendis diutius animum torquere. quae maioris sunt momenti interim progrediemur. i
quaero quam partem possim ad 6 adiun-
faciat quadratum sit par apponenda Tn '
307쪽
ΡV LAE HAE R RUM , problema, sed miserrime affectum, ita ut medicantis manum vix admittat, cuin in eo enodando multum desudauerit Xilander, id tamen quod potissmum est praetermisit, accuratam scilicet appositae conditionis explicationem. Quam enim sit necessaria conditionis huius cognitio, manifestum est ex eo quod in hypothesi Diophanti tota vis aequationis consistit in diuidendo numero I 3 in duos quadratos , quorum quilibet sit maior quam 6. minor quam . Nullibi autem traditus est modus diuidendi numerum aliquem in duos quadratos, rusi numerus ille sit quadratus, vel suapt natura ex duobus quadratis compositus. Itaque cum euidens sit, ponendo latera quadratorum II. N. - 2 8 3 -s N arquationem succedere non posse nisi quadrati plorum a. s. simul efficiant i3. Necesse est utique 3 componi ex duobus quadratis. Atqui 3 est duplum dati numeri . unitate auctum. Certum ergo est conditionem a Diophanto allatam requirere debere, ut du.plum dati numeri unitate auctum , sit quadratus numerus , vel compositus ex duobus quedratis. Q i' etiam valide confirmatur ve ibis illis. Oportet autem datum neaue imparem esse. Nam si datus numerus sit impar, nullo modo duplum eius unitate auctum potest esse quadratus, vel compositus ex duobus quadratis ut facit est demonstrare. Sit enim numerus impar B cuius duplum esto
h cui addita unitate i. fiat A D. dico primo A D. non esse quadratum. Si
enim ponatur quadratus; ciun numero paria C. addita unitate GD, fiat A D est. Misis D impar. Ergo a quadrato imparia D, detracta unitate Ci reliquus AC est pariter par. Quamobrem illius dimidium ΑΒ est numerus par, contra hypothesim. Rursus dico numerum D, non componi ex duobus quadratis. Etenim cum AD ostentiis sit, impar, necesse est e duobus qua- ,. sis drati ex quibus componi dicitur , alterum parum esse, alterum impatem. in omnis quadratus . par est pariter par. Et ab omni quadrato impari auferendo unitatem relinquitur pariter par. r. - . Igitur a tot, D ablata unitate, reliquus x componetur ex duobus pariter partibus ac proin. x periis de A C. pariter par est Quamobrem illius dimidium A B, par, est contra hypothesim. Reliqua vero vetba. Neque duplum eius, e adeo vitiata sunt, ut nullam commode recipere possint explicationem. Non dubito quidem Diophantaim respexisse ad aliquam numerorum non vulgarem proprietatem, qua definitur quis numerus par deligendus sit, ut duplum eius unitate auctum sie quadratus numerus, vel compositus ex duodus quadratis. Sed quid sibi velit in tantave horum eati sine diuinare non possunt. Id oneris relinquam illi qui in codicem aliquem emendatiorem inciderat. Suficiat nobis appositissimam attulisse conditionem , cum qua necesse est conditionem Diophauti coincidere si recte praescribatur. Sanesquod ait ilande verba illa corrupta, id ri velle, debete eum qui datur esse duplum numeri primi, id utique futile est,in nulli undamento nixum, quodque ipsa statim experientia refelli potest, nam si datus sit Io is est duplus numeris,rimis. ωtamen quaestioni soluendae minime repetitur idoneus, nam oporteret diuidere in duos quadratos numerum 21. Quod quidem impossibile est, ut reor, ciun is neque quadratus sit, neque suapte
natura compositus ex duobus quadratis.
Vmerus at non potest diuidi in duos ast adrisios infractis me autem Deillime demonBrare possumus, se graeteratius omnis numerus cuius triens non habet trientem non potest diuidi in duos quadratos neque in integris neque in fractis.
Aliquando mihi venit in mentem Diophantum voluisse duplum dati numeri paris unitate
auctum esse numerum primum , quandoquidem omnes fere huiusmodi mimeri omponuntur ex duobus quadratis, quales sunt 3. 3. 7. 29. I. aliique primi numeri qui sublata unitate relinquunt numerum pariter parem. Veruntamen neque haec explicatio sustineri potest. Nam priativim hae ratione per huiusmodi conditionem excluderentur omnes numeri, quorum duplum unitate auctum est quadratus numerus , quos tamen aptissimos esse soluendae quaestioni patet, quia quilibet quadratus diuidi potest iu duos quadratos per octauam secundi seduc insta
308쪽
exemplo id eomprobabimus. Deinde excluderentur etiam muli numeri, quorum duplum unitate auctum eomponitur ex duobus quadratis, quale in II 18 6a mali innumerabiles. Nam dupli horum unitate aucti sunt s. l7. III. norum talus est primus numerus, cum quilibet mulintos habeat metientes; unusquisque tamen E duobus quadratis conflatu, primus cilicet ex quadratis 26. s. secundus ex quadratis 3I.ω36. tertius ex quadratis Ioo. 4s.Itaque satius erit conditionem a nobis allatam amplecti, donee aliquis ex emendatiore codice restituat Diophantum Solum hoc
VEra limitatio hae es, generatis nempe se omnes numeros inutiles excludens.
Oportendatum numerum non esse imparem, neque duplum eius unita ι auctum permaximum quadratum ex quo mensuratur diuisum diu ι di a quouι numero primo vnitate minoriqua multiplex quaternary. Porro quoniam operatio Diophanti subtilis est,i non vulgaris artificij, placet eam explicare,
quoad potero breuiter&dilucide. Primum itaque cum a. diuidendus sit in duos quadratos, quorum uterque maior sit senario, rect quaeritur pars quadrati quae ad on addita faciat quadratum , sic enim diuidendo postmodum 3 in duos quadratos, quorum quilibet proxime accedat ad inuentum quadratum , satisfactum erit proposito, nam quilibet illorum non multum distabit . 6'. Reducita tem Omnia ad integros more suo Diophantus, multiplicando per unde fita 6. Nam inuenta parte quadratica quae ad 26 addita quadratum faciat, illius utique quarta pars addita ad OQ. faciet quadratum Ponitur ergo pars huiusmodiri. quia scilicet pars quadratica fit diuidendo nitatemper aliquem quadratum ivnde sequitur 26 aequari quadrato; ut autem rursus ad integros fiat reduetio , ducuntur omnia in I &fit 26 Q. . I. aequandus quadrato cuius latus in fingendum est,et valor umeri sit madot unitate,si enim ut unitate minosipatet, sore pleruque maiorem unita. tela troinde non sere proprie partem quadraticam, unde sequitur inuentum quadratum, tota unitate, vel etiam maiore interuallo superaturum numersi a.Verbi gratia si fingatur latus supradicti quadrai N. r.etit quadratus I QUAE a N. - Iraequalis ab Q. - I. fictam d. Quare erit ' euius quadratis Padditus ad 6 quadratum facit qui excedit ipsum ς plus quam 39. unitatibus, ac stoinde quaestioni soluenda prorsus est inutilis. Igitur ut arte certa, non fortuito fingatur huiusmodi xtus, ita ut valor Numeri superet unitatem,etim fingi possit huiusmodi latus vel x tot numeris, quorum quadratus sit minor quam 26. vela, tot numeris quorum quadratus sit maior quam 26. Primo modo fiet valor Numeri, auserendo quendam quadratum a 6. set residuum diuidendo du- pili lateris eiusdem quadrati.Vt ergo quotiens sit maior unitate repeti edus est quadratu, quo detractoaa 6 relinquatur numerus minor duplo lateris eiusdem quadrati, ponatur ici Q. ergo a N. maior est quam 26 et in& tandem ab maior est quam 26. Qua aequatione resoluta, fitam non minor quam 4 Fingetur ergo latus quadratici tot numeris qui excedant ob dum eorum quadratus sit minor quam 26. sic Diophantus posuit hoc latus et N. poni posset vel x l N.AE sic aliis infinitis modis. Secundo vero modo fingendo latus quadrati, et valor Nu- meti, a quodam quadrato auderendo Io, & per residuum diuidendo duplum lateris. Quare ut fiat valor umeri maior unitate, posito illo quadrato L erit am maior quam Lin ΣΟ. tandem Din. maior erit quam a N. - 26. Qua aequatione resoluta fit Im minor quam fingetur ergo latus - aliquot Numeris infra dum eorum quadratus excedat 26. Verhi gratia fingatur L 6 N. fieta N. &pars quadratica ado, diicienda erit τα. fietque quaciatus a latere E. Vnde collige partem quadraticam hic non sumi strictE pro fractione quadrata cuius numerator sit . Sed tantumpto traiti ne quadrata quae minor sit uniinte, idest cuius numerator sit minor denominatore. Inuenta porro parte quadratica quae aius addita facit quadratum euius latus Fre 2ὸ infert Diophantus numerum v. ita diuidendum erra in duos quadratos, ut latus utriusque proxime accedat ad ἱ sie enim uterque quadratus proximὸ accedet ad 6 l. Vt autem n diuidatur in duos quadratos per operationem decimae secundi debent sum a. a. latera quadratorum , ex quibus a.
suapte natura componitur,in alteri addi oportet certum numerum Numerorum, ab altero detrahi.
Vt ergo utriusquequadrati latus adaequetur numero necesse est ad a. addi auferri Quare si N. supponatur essetaeritvliqueri. N. . aequalis x. Itemque 3-9N. sic autem quadrati horum laterum aequari deberent i3 Quare si aequentur ipsi 3 fiet utique m. paulo minor quam A. ac proinde IN Ws N paulo minus erunt quam: de unde sequetur utrumque latus
non multum dii Iaae pnis a leti ae per consequens utrumque quadratum fore proximum numeros
atque adeo proposito rite satisfacturum. ine satis colligitur, quod supra diximus, in conditionis
309쪽
explicatione nimirum, suus necessarium numerum I3 eomponi mariobus luctatis Qua de causa res etiam opti succedet, si datus numeri uis sit, ut eius duplum unitate auctum sit quadratus numerus, quandoquidem omnis quadratus in duos quadratos potest diuidi per ocrium fecundi. Hoe autem ut manifestius fiat,4 simul artificium Diophanti magis illustretur talis quaestio proponatur. Unitatem se rein data partes, ve vrea re aduendo a. a quadrarati Patet numerum si diuidendumene in duos quadratos, quotum interuallum sit unitate minus, hoc est tales, uterque
superet . Quare sumendo semissem ipsius s. puta l. quaero quae pars quadrati huic addita faciat
quadratum in ducendo in fit IR Pomaque parte quadrati j fit I - aequandus qua drato, omnia ducendo in fit IS aeqvandus quadrato , esto latus N. - . fiet I N. 4. Igitur est na . cuius quadrans puta, additus ad a facit quadratum cuius latus . Quare s. ita diuidendus est in duos quadrato , ut utriusque latus adaequetur ipsi . Diuiditur autems in duos quadratos per octauam secundi, puta in ' QT quorum latera t. Video ergo quid addendum sit ad i. de quid detrahendum ara ut fiant 7.4 inuenio hincubinde Quare fingo quadratorum laterat ε 3 N.&V-IIN. fitque summa quadratorum 29oα - - 6 N aequalis, unde fit I N. suntque latera quadratorum ipsi quadrati xta
, .nde si auferas sigillatim 4 supersunt quaesiuae partes unitatis : QEq.
Possem etiam in huiusmodi quaestione artifieium imitari decimae tertiae sequentis, hoc pacto. Ponatur alter quadratorum L erit alter, x Q. qui aequari debet quadrato, ita tamen ut Q. inueniatur maior quam 4 minor quam 3 Sumantur ergo duo quadrati inter quales sunt X: quorum latera Quare curandum ut valor numeri cadat inter fit autem va-lo Numeri, diuidendo sextuplum alicuius numeri per quadratum ipsius unitate auctum. Oportet igitur . tam maiorem esse quam e minorem quam tandem ob maiores sunt quam a M. -- a I minores quam a Q. - a. Et utraque aequatione per approximationem resoluta, fit IN. maior quam E. minor quam ponatur ergo ad. ev quadratis a Matus statuatura , IN. fiet IN.A. erunt quadratorum latera g.&:: ipsi quadrati mri In a quibus auferendo sigillatim .
remanent quaesitae partes unitatis ἔγνω s. ut supra. Animaduersione quoque dignum est, eodem prorsus artificio Numerum quemlibet ira diuidi posse in duas partes, ut utrique adiiciendo eundem datum numerum fiat quadratus, dummodo diu. plum addititi numeri adsumens nutrierum diuidendum, faciat quadratum, vel numerum E duobus quadratis compositum Verbi gratia. Sit diuidendus I in duas partes, ut utrique adiiciendo . Me quadratus Patet numerum is diuidendum esse in duos quadratos, quorum quilibet sit maior quam 4 sumo ergo semissem de Io putas. quaero quae pars quadrati huic addita iaciat quadratum , pona. tur ergo . - aequatur quadrato. omnia per L multiplicando, fit 3α-- I aequandus quadrato. Esto latus illius I -- am fit x N. 4 est ergo pars quadrati a qua addita ad s. fit ouadratus cuius latus: Diuidendus ergo est Io in duos quadratos, quorum latera proxim accedunt ad tDiuiditur autem Io suapte natura in quadratos quorum latera sunt I.4 3. Quare imitando artificium Diophaim fingemus latera quaesitorum quadratorum I N. ω N. fiet summa quadracorum Io Q. 8 N. aequalis Io. metam Sunt igitur quadratorum latera di . ipsi
quadrati A Q. a quibus si niseras . sigillatim restant quaesitae binarii partes de , a.
Denique, non dissimulanduin eadem arte solui quaestionem quam tradidit Vieta Zetetico . lib.
Datum numerum ex duobus quadratis compositum , rursus diuidere in duos quadratos, quorum alter consistat intra limites praestitutos.
Sit diuidendus s. in duos quadratos, quotum alter sit malae quam L minor quam a. sumo medium in arithmetiea inedietate inter I. ri puta tu quaero qua pars quadrari illi addita, quadratum faciat, inuenietiit modo supra tradito m. . fitque quadratus M. cuius latus Ita ergo fingendum erit latus praefiniti quadrati ut accedat ad i. Quoniam vero volumus ita diuidere se in duos quadrato , ut alter proxima accedat ad I S.&cistracto M. ab ipso s. superest L euidens in alterum quadratum a cedere debere ad 3 . Rursus ergo quaero quae pars quadrati ad . . addit taciat quadratum inuenietur modo tradito fitque quadratus T. a latere . Itaque diuidendum est, in duos quadratos ita vehuius latus adaequetur seu o alterius vero P. Sunt autem latera quadratorum e quibus s. suapte
natura componitura. n. Quare cum unitati desint. quominus aequet & binarius superesse. teruallo ι. fingo quadratorum latera I -- N.&2 om. estque quadratorum summa - e-Io . aequalis s. Mittam . . suntque latera quadratorum I. ipsi quadratia: & l . qu
rum summa f. alter putavi: L maior est unitate, minor binarici ut postulabatur. Rursus diuidendus esto an in duos quadratos quorum alte maior sit quam si minor quam Io. sum medium arithmetice inter . 'o puta 8.Λ quaero partem quadrati quae illi addita quadratum faciat ea est fitque quadratiis P a latere Quia vero detrahendo g. ab ipso o superest II. aer riirsus partem quadrati quae ad ra addita, taciat quadratum,inc fitque qui ad ratus is cui uslatus L Itaque diuidendus est o in duos quadratos ita ut unius latus accedat ad P. alterivs vero Iatus adaequeturi seu g Componitur autemeto ex duobus quadratis suaptE natura, quorumdatera
310쪽
VN VA AE M secare is adiicere utrique segmento alium atque aliu
datum numerum, itaque quadratum con
ficere Imperatum sit, unitas secetur, adiiciatur alteri segmento et alteria ut fiat utrimque quadratus Exponatur,nitas Α'. secetur in G. ipsi AG ad i-ciatur binarius A D. At ipsi Gl addatur senarius BE uterque igitur ipsorum G D. E. est quadratus. Et quia A B est,nitas. At summa duorum A D. E. estra. tu utique D E erit o. Et hunc oportet diuidere in duos quadratos, nempe in ipsos GD. E. Sed quoniam quadratorum alter maior est binario A D.& minor ternario Di eo res rediit ut datum quadratum o diuidam in duos quadratos nempe ipsos GD Gi ut alter ipsorum G D cadat medius inter binarium, ternarium. Nam inuento ipso G D cum A D. binarius sit, dabitur etiam reliquus A G. Est autem A B. unitas. Quamobrem, reliquus B G datus erit, sed dabitur G. inouo secanda est unitas. Iam descriptionis ductum sic exequamur. Esto alter quadratorum, is qui inter a. de 3 cadere debet ro alter ergo erit o. - quandus quadrato. Et ouidem hunc aequare quadrato. facile est, sed oportet talem inueniri ut cadat inter a.&3. Sumamus duos qua dratos, alterum maiorem quam a. alterum minorem quam 3 sunt autem Iam si Vcita adornemus ut inter hos duos quadratos incidat, solvemus quaestionem. Oportebit ergo Latus etiam 1 Q. hoc est tN. maius esse quam S minus vero quam R. oportet igitur 9- Q. aequante qua erato, Inuenire M. maiorem quam in
minorem quam Quod si, is qualem quadrato statuamus, fingemus qua-