장음표시 사용
331쪽
eum per quadratum alterius laterum circa rectum, minuenio quadratos, unum
alterum C. intertium p. sc quilibet ipsorum cum L facit quadratum. Restat ut solidus sub tribus contentiis aequetur et in Est autem selidus ille ἰCC hoc aequatur I sc omnia adeundem denominatorem reducendo, Vi
liaci de latus lateri aequatur , fitque inaequale . Est autem unitas quadratus. Quod si etiam quadratus esset, soluta suisset quaestio. Non est autem Eo igitur redactus sum Vt inueniam tria triangula rectangula, ut selidus sub perpendiculis ductus in solidum subbas-bus faciat quadratum,' cuius latus sit
numerus multiplicatione ortus laterum circa rectum unius triangulorum. Et si omnia diuiserimus per productum ex lateribus circa rectum inuenti rectanguli, orietur qui sit ex producto laterum circa rectum secundi, in productium laterum circa rectum alterius triangulorum. Et si unum ipsorum statuamus 3. q. s. Eo deuentum est ut inueniantur duo triangula rectangula, ut productus ex lateribus ci ca reetum producti ex lateribus circa rectum stet a N. Proinde Marea areae Ia. si autem Ia dc 3. Hoc autem facile est, & est simile huic ρ. o. r. Alterum S s. II. IHabentes ergo tria triangula rectangula, reuertamur ad initio propositum. Et statuamus trium quaesitorum quadratorum, alia letum . alterum 23. tertium 8i. si solidum ex his aequemus I Q. fiet i N. rationalis.
Ad positiones. ει IN UAEsTIONEM XXIV.
VI x scio an elegantiora ivbtiliora problemata, tribus quae sequuntur, recogitari possint, ex
tamen tam miser eorrupta sunt, ut hie omni ex parte restituere Diophantum , humani, ut aris bitror, vires superet ingenii, nisi suis emendatiorem proserat codicem Equidem satis apparet ad huius quaestionis solutionem requiri ut inueniantur tria triangula rectangula, ut solidus sub perpeniadi eulis ad solidum sub basibus habeat rationem quadrati ad quadratum. At in duabus sequentibus invenienda esse tria triangula reddingula, ut solidus sub hypotenusis ad solidum sub basibus habeat rationem quadrati ad quadratum. Quomodo autem haec lemmata expediat Diophantus percipere minim potui. Qiloniam vero nos ea persem demonstrauimus libro tertio porismatum, &reliqua Diophanti operatio perspicua est , verba illius quae sanitati restitui poterant, reposuimus, reliqua vi erant relinquere malui, quam in iis eorrigendis diutius animum torquere Moneo tantum verba illa. In εμριον, o F.ia ρια in Vatieano e iee sic haberi,eao 3ψιον IS M. M. Quam lectionem ut pote probabiliorem, sequutus sum in mea versione, ver enim numeri s. 4o. I. eo stituunt triangulum rectangu lum, quod non accidit ipsis s. o. M. Porro multa sunt hic observatione digna Primδ, ut inueniat quadratum qui adscita unitates etat quadratum, sumit Diophantus latera trianguli rectanguli, inuadratum baseos diuidi me quadratum perpendiculi ut expositis . . s. diuidendo, per Ics fit A quadratus quaesitus, nam
332쪽
illi addendo I. fit l. item quadratus. Cuius rei causa satis est euidens. Nam quolibet numero per seipsum diuiso, quotiens est unitas. Quare propositis quadratis, acris quorum summa quadratum
facit, puta 27. si alter per alterum diuidatur ut r6. per o fit A. cui addendo seu unitatem , quadratum fieri necesse est. Cum enim stactiones sint eiusdem denominationis, suffcit addere numeratores, denominatore communi retento At numeratores ex hypothesi iaciunt quadratum. Quare cumin denominator sit quadratus erit tota fractio quadratus, ut patet. Adverte autem si velis
tres diversos quadratos, quorum singuli adscita unitate saeiant quadratum sumetida esse tria triangula rectangula non similia, qualia reposuimus intextu Diophanti nam si luinantur similia triangula, Qquadrati laterum homologorum dividantur per quadratos homologorum laterum, fiet idem quotiens , ut sumptis triangulis 3. 1.3 6.8. Io. diuiso s. per I 6. 46 per ψ aeqv lςs fiunt quotientes . xl . v accidit ob similitudinem proportionum. Secundo expositis tribus triangulis 3. q. s. s. Ia .i3. I. Is II diuiduntur basium quadrati per quadratos perpendiculorum, fiuntque quadrati d. .. h. qui nota Q. insigniti statuuntur pro tribus quaesitis numeris, quia sic quilibet adsumens I Q. facit quadratum. Porro solidus sub iis con
tentus , fractio est, euius numerator I44oo fit ex mutua multiplicatione numeratorum . F. 64.
At denominator si8 oo fit ex denonii natorum46. 44 ars mutuo ductu. Est ergo huiusmodi l. Iidus Quia vero numeri ex mutua quadratorum multiplicatione orti, quadrati sunt, quorum latera fiunt ex mutuo ductu laterum quadratorum eorundem , patet esse quadratum numeri Iao qui fit ex mutuo ductu basium trium triangulorum expositorum , nempe'. . 8 simili tersi 84oo est quadratus numeri zo qui continetur sub perpendiculis q. Ia. Is unde cum tandem aequentur unitati, &euidens sit ut solutio contingat rationalis oportere ipsum V. esse quadratum, hoc est Iaci ad Io rationem esse debere quae quadrati ad quadratum Redie insert Dio-lhantus rem eo deductam esse, ut inueniantur tria triangula rectangula, ut solidus sub basibus adblidum sub perpendiculis sit in ratione quadrati ad quadratum. Tertio lemma propositum se absoluimus propositione undecima libri tertii porismatum. Exponatur quodlibet triangulum rectangulum 3. 4. s. effingantur alia duo triangula ab hypotenus exispositi trianguli, Ma quolibet laterum circa rectum modo quem tradidimus quinta terti porismatum, fietas. ω . triangulum 9 4o. I. At vero xy. formabitur triangulum 6 3o 3 . Tria ergo haec triangula satisfacient proposito, nam solidus sub perpendiculis 3 9. I 6 puta 432 ad 48oo. Ddum sub basibus rationem habet quam s. ad Ioo. Licetque ut monuimus in scholio underim rtertii potismatum, loco cuiuslibet inuentorum triangulorum , sumere aliud simile ut loco ipsius Io. o. q. sumi potest8. Ie. 7. quod sane eum aliis duobus propositum absoluit. Denique his inuentis triangulis sie explieatur ciuaestio Diophanti, diuido quadratos basium petquadratos perpendiculorum 4 quotientibus addo notam in fiunt quaesiti numeri : . Wret Q 8 solidus subiis contentus, puta C C aequatur I in eandem ita et Q in aequaturi ae proinde& latus lateri aequale est , hoc est seu in minimis aequatur unitati. Quare fit Im. ' sunt ergo quaesiti quadrati P. et, quotum mutuo ducti fit solidus cui si addant ut ligillatim ipsi quadrati, uiri rursus quadrati quorum latera H - .
niam primum riangulum est a. q. s. o rectangulum sub Iaseribus is eo deuentum est, inquit Diophantus , ut inueniantur duo triantula ut productus ex lateribus circa rectum producti ex lateribtis eirca rectum sit duodecuplus se ratio est quia tune produciam ex lateribus nias in productum ex lateribus alterius producet numerum qui erit planus similis et atque ideo eorum mutua multiplicatione se quadratus , auod vult propositio ) equitur Diophantus , proinde se area area Ia. quod perseelarum est. Deinde si autem a sic quia diuidendo '. per quadratam semper in multiplicatione oritur quadratum , nam quadratum diuisum per quadratum facit quadratum. Reliqua Diophanti non praestant propositum , sed ita
restituemus. In hoc casu fingatur triangulum abs 7. a. alterum vero abs s. sa. primum triangulorum erit tr/plum adseundum, se duo proposito satisfacient. Regula autem generalis inueniendi duo triangula rectangula in ratione data hae est. Sit data ratio R. ad S. maioris ad minus , maius triangulum formabitur absis bis FS R. a. sinus eν abs R. -- S. bis se R. I. atiter. Formetur primum trianis
gulam absis bis cou -- . fecundum abs ibis in s x. a. aliter. Formetur
333쪽
primum triangulum absis series Et Lbis 4,secundum absis quater in Sorquater - S. bis, aliter formetur ramum triangulum abs R-- . quater is bis S quater, fecundum abs S. sexies R- bis, Ex iam dictis deduci potes methodus inueniendi
tria triangula rectangula in proportione trium datorum numerorum modo duo dati
numeri reliqui sint quadrupli , t v. g. dati tres numeri R S. se sint ipsi R. T. Mi quadrepti .formabuntur se tria triangula.
Primum abs R S. quater o Lbis Ἀ quater, secundum ab S. exies in abis, teri um absu quater in ista quater et bis sumpsimus autem Resse maiorem T. Hine etiam elicieta modus inueniendi tria triangula rectangula numero quorum area constituant triangulum rectangulum, e enim deducetur quasi vicinaeniatur
triangulum eatur basis se notenus sint quadrupta perpendiculi. Hoc autem es Deileor erit triangulum smile huic 7. Is 8 tria ver triangula si formabuntur, primam abs y se a secundum abs 7. o a tertium abs i.
Hinc etiam elicietur modus inueniendi tria triangula quorum area sint in ratione trium quadratorum datorum quorum duo sint quadrupti reliqui ac proinde poterunt eίdem via inueniri tria triangula ei dem area. Imi infinitis modis possumus construere duo triangula rectangata in data ratione ducendo num ex terminis aut trumque in quadrata data se.
svi ρά δεον, ψ ες τὸ ι μοι νῶ ιβ Ἀγ. IN Wa mi in tres quadratos, ut solidus sub ipsis contentus, quolibet ipserum detracto, faciat quadratum. Ponatur solidus sub ipsis contentus rursus quadrati qui quaeruntur , sumantur ex triangulis rectangulis onus aris alter ain tertius a ta statuo eos in quadratis, manet 1 1 quolibet ipsorum detracto, faciens quadratum. Superest ut solidus sub tribus contentus aequetutas est autem Blidus ille isset: , Cc. hoc ergo a qua tura in& omnia per ob dividantur, nuntnetetri equalia I. Est autem unitas qil adratus,latus habens quadratum. Ergo Oportebat etiam G. esse quadratum latus habentem quadratum. Rur sus itaque res eo est reducta ut inuenianiatur tria triangula rectangula , ut solidus sub perpendiculis ductus in solidum sub hypotenusis faciat quadratum, qui latus habeat quadratum 'st. Et si omnia diuidamus per productum ex hypotenusia in perpendiculum unius rectangulorum, Oportet oriatur qui fit ex producto hypotenulae, perpendiculum, alicuius rectanguli in productum ex hypotenus in perpendiculum alterius esto unum rectangulorum 3- S. Eo itaque deuentum est, ut inueniantur duo triangula rectangula, Vt
numerus hypotenusaris perpendiculi,
334쪽
lidus sub tribus, aequetura omnia
in i aliisque latcri aequetur, cinuenietur IN. 63. Ad positiones DIN vi EST IOVEM XXV.FODa sere logismo utitur hie Diophantus, ae in praecedente. Nam ut inueniat tres quadratos qui ab unitate sigillatim detracti quadratum relinquanti sumit tria triangula redi angulavi prilis in diuidit quadratum perpendiculi cuiustibet trianguli per quadratum hypotenuis. Verbi gratia sumpto triangulo 3. 4. s. diuidit i6. per as unde fit . quadratus qui ab unitate hoe est a detractus relinquit quadratum cuius rei ratio ex adnotatis ad praecedentem satis innotescit. Hi ne ergo patet solidum sub tribus huiusmodi quadratis contentum feri ex solido sub quadratis a tribus perpendiculis, diuiso per solidum sub quadratis a tribus hypotenusis Quamobrem latus quadratum diuiusmodi solidi eonstat ex solido sub ipsis perpendiculis dii iis per solidum sub hypotentiss ut e cci Iatus hoc sit quadratus numerus ut requiritur, necesse est inueniri tria triangula rectangula, vesolidus sub perpendiculis ad solidum sub hypotenusis sit in ratione quadrati ad quadratum. Quomodo autem inueniantur tria huiusmodi triansula, non satis mihi constat ex eorruptissimis Diophanti verbis; sed illorum iacturam aequo animo terre possumus, quandoquidem problema istud Persecte a nobis demonstratum est propositione decimaquarta libri tertiiporismatum, ubi tradidianus illius constructionem hoe pacto. Exposito quolibet triangulo c. q. 3. Ita ut 8 duplum baseos sit maius perpendiculo et inueniatur per duodecimam tertiiporismatum aliud triangulum ut planus sub perpendiculis utriusque trianguli, superet planum sub basibus quadrato numero, erit illud a. F. Ia Iaina duobus triangulis 3. 4. 3. 3. s. a. effingatur tertium per decimam terti porismatum. Cuius hypotenus 61 fiet ex mutuo ductu hypotenusarum 3. s. Basis autem 63. erit summa productorum ex basi euiustibet trianguli in perpendiculum alterius. Denique perpendiculum 6. erit disterentia productorum ex basi in basim, is perpendiculo in perpendiculum. Si habebimus tria triansiua quaesita puta s. q. 3. 6s. 63 16. Nam planus sub perpendiculis est 1 6. planus sub hypotenusis ars quorum uterque quadratus cum sit, eorum utique ratio est quaequa.
Hoe expedis lemmate facile soluitur quaestio Diophanti. Sit enim solidus sub quaesitis quadratis conteirius ira Ipsi vero quadrati statuantur ij qui fiunt diuidendo quadratum perpendiculi euiussi-bet inuentorum triangulorum per quadratum hypotenuis, ut 4 Q in En infitque solidus sub ipsis contentus i ἰυ' CC aequalis me ri quatur I. Quare&latus lateri, hoc est eas aequatur i. Ibi N. g. Ad positiones. Erunt quaesiti quadrati T. P. solidus sub iis contentus est ta. quo si quilibet eorum auferatur, remanent quadratis ii quorum la
elueidationem, explieationem quaestionis s. iuxta methodum Diophan- quam Baehetus similiter praetermisit quaerenda sunt duo triangula νε- aan ruta ut productum sub γρο tenus es perpendiculo unius ad productum sub , potenus es perpendiculo alterius habeat rationem datam. siqua sane quasti diu nos torsit se ver diffillimam quilibet tentando experie. 1ur, sed tandem patuitgeneralis ad ipsus solutionem methodus.
335쪽
varantur duo triangula, rectangulum sub notenu πηiu sperpendicati, rectangulisub notenus altoris se perpendiculos duplum. Fingatur unum ex triangulis ab OB alterum ab A se . Rectangulam fabbrpo tenus prioris o perpendiculo erit in cubum bis cub. 3 A. bis, rectan Llis xj, sub τροienusa poterioris perpendicato erit D. in .C.b3 - D. C.sn A bas, eum irim B in A.C.bis 6.C. in L bissit duplu rectanguli Di A. bis D.αin A.
hi Met B in A.α-B.C. in A.aluabitur D.in A.C.bis-αC.in A.bisse omnabus ab Adiuises fiet B in . quadratum in B. C. aquale D in A. bis in D. C. brs per antιιhesin D. C. bis B. C. aquabiιura. Λα-D.in A. α bis,sigitur D.C.-Rbis C. diuisum peris Dbis aquetur quadrato fotata erit quaestio. Etiarendi igitur duo numeri loco ipsorum B ct De conditione, duplam ubi unius alio diuisum vel multiplicatum eodem enim res recidis per duplumposterioris primo faciat quadratum ponatur unus esse IN I Alter I cubus duplus pr3oras cubo aposteriore taei I-6N-63- a C duplus autem posterioris- priore facit -IN.ergosi ducasi 1 in i - N--ε - a Cfex quadratus roἡuctu illud aquatur in N a C a disod aquandu quadrato ab N-i-τq. omniaflatim constabui, propositio autem ad omnes rationes extendetur si loco nius ex quaerendis numeris ponatu A- exeefus maioris rationis termini supra minorem .s oco alterius ille Ue ex effos i iam a nobis in ratione dupla essectum. Hac quippe ratione semper nitaiam numerus euadet quadratus se aquatio erit proclisis. Hoc peracto inuenientur duo
numeri qui ipse Bo D representabunt se ad primam quasionem et reditus. Retractanti qua hucusque do quastionem scripsimus Uum erat flatim omnia delare quia abductio ad p.roblema quod perfecimus non conuenit quastioni nostra quia tamen ηaastionem aliam ad quam male praesens problema adduxeramus recte constraximus, non tam operam perdidimus, quam male collocauimus , ideo manea scriptura mari
Asastionem apsam sophantaeam nouo iterum exam1ns subiicsentes methodum nostram sedulo consulentes tandem generaliter se tuimus. Exemplum tantam fabii ciemus con si numeros ipse satis indicaturos nonforti, sed artistationem deberi. in propositione Diophanti quarenda duo triangula rectangulaea conditione γ πο-duhum sub 'ροtenus unius perpendieul ad productum sub Notenus ope pendiculo alterius habeat rationem 3aam, ad I. u.- ιιla r angula primum cuius hypote usa 83 3669ioq. basis 36o837793o'. perpς 4iculum Pa=7227 38o fecundam cuius Θpotenus i53673r938 basis Mysto 69 Uo. perpes4 cuium 396aooo38.
cte quadratum. Super naequeturi in undecim quam 3.&constat. μὴ, , - cit quadratum. Superest ut solidus ille
336쪽
SA I apparet ex lemmate ad praeeedentem explicato pendere quaestionis huius soluilonem, nam ut prius inuenienda sunt tria triangula tectangula o solidus sub hypotenuses ad solidum sub perpendiculis habeat rationem quadrati ad quadratum. Et sicut ibi ponebantur quaesti quadrati ita Hauserendo quemlibet ab Lin remanerent quadrati, puta PQ Q. PQ Ita hic numeratoribus in denomi rores mutatis,&Leonuerso statuuntur quaesit quadrati v taxi in via quotlibet auferendo I remaneant quadrati Q fitque solidus sub tribus quaesitis contentus CC aequales Q. Qtandem aequatur unitati. Vnde fit m. n. Sunt ergo quaesiti numeri. E. Nam solidus sub iis contentus est M. quem auferendo sigillatim a quolibet ipsorum, remanent quadratio ' quorum latera I,. .
cundum addita unitate facere quadratum, νον -- ὸ σὸν τρίλοντα τετραγωνον.
omnia ducantur in tertium qui est qua --ο - μω,ου, V ρου dratus. Itaque oportebit productum ex Φὸν πίωον, νου- σον εὐ νειών -- primo in secundum , ductum in tertium, - ποιῶν απι-- . hoc est olidum sub tribus contentum, is 6 --, το - - . Cum tertio facere quacliatum,ncut etiam a . - Docum primo secundo. Id autem ante de monstrauimus. Igitur illi numeri hanc quoque soluunt quaestionem. IN MAESTIONEM XXVII.
RE νηκτ' hae propositio ad vigesimam quartam,& iidem prorsus numeri utramque quaeis stionem soluunt, ut recte inter Diophantus, quod tamen ut euidentius fiat, sic demonstro. BG. C ρ. inx xx 'uvir x in B C soluentes vigesimam suartam, ita ut solidus sub ipsi,' si L contentus quolibet adiecto quadratum faeiat; dico eum qui fit a duobus quibus.' uis addita unitate re quadratum Ducto enim xina fiat D. cui addita unitate fiat . probandum est G esse quadratum. Itaque quia ex rpochesi ducto D in C. de producto addendo ipsum Q fit quadratus. t dueeteo in C produgo addere C. idem est atque ducere Cin numerumunitate maiorem ipso D, hoc est in ipsum G, sequitur ex Cino fieri quadrarum. Ergo um
C G sunt plani similes ' Quare cum Q sit quadratus ex hypothesi, oportet ipsum G quadra 14. Mia. tum esse. Quod demonstrandum erat. Sunt ergo quaesiti quadrati V. Nam ex binorum mutuo ductu fiunt numeri V. . . .
quibus addendo sigillatim unitatem, fiunt quadrati re V quorum latera sunt . . p.
ctus ex binorum multiplicatione detra M oras ποιω- λώ - 4 α ποι τετρα-cta unitate, faciat quadratum omnia in ,παν - τα ἰή νον ρωον με ο ὐποtertium. Itaque productus ex primo in se υήλ ,- - νον ρσον τουτε ὁ α
eundum ductus in finium, hoc est solidus eid λώ- νον- νον πω νε- sub tribus contentus, detracto tertio qua --ον. - , ἐ-- νον τι δεο edtatum facit sicutin idem solidus sub Gὸν f. ωλοί- οβατ νειών εοιο misi tribus contentus, facit quadratum detra i=ώγωνον ἀσο ---- -- cto secundo tertio. Hoc autem supra eu serim e fi demonstratum est. Igitur illi numeri hoc quoque praestant. I iij Disilire by Orale
337쪽
HEC etiam refertur ad vigesimam quintam iidem numeri utramque soluunt quaestionem. Nam a solido sub tribus quadratis contento auferte, verbi gratia, tertium idem ei atque ducere planum sub primo & seeundo unitate multatum,in ipsum tertium.Quare cum solidus sub tribus con-ζentus, detracto tertio sit quadratus necesse est& planum sub primo' secundo detracta vinate esse quadratum, alioquin eo ducto in tertium qui quadratus est, non posset fieri quadratus boluitur ergo haec quaestio per quadratos inuentos per vigesimam quintam , nempe per quadrato, '. Etenim plani sub binis contenti sunt, . . A quibus auferendo sigillatim unitatem, rem nent quadratis; P. . . . quor n- .a . ,
νάδες μι- - τετρα νον παλιν η-nt tractus ab unitate,faciat quadratum. Ruria νον λ po iam ο- αρ - - Φονα iste sus quaerentes eum qui a duobus quibus-
sum eo deducimur ut inueniamus tres nu-
- λ meros , e quibus consectus solidus si tol-
g- α Iatur a quouis, relinquat quadratum. Hoc autem supra est demonstratum. IN FAESTIONEM XXIX. ΡEN Da rursus haec propositio a vegesima sexta in iidem quadrati utrique quaestioni satisfa-eiunt. Ratio est, quia solidus sub tribus contentus detractus, verbi gratia, a tertio relinquit quadratum per egesimam sextam. At idem quadratus fit si planus sub primo di secundo deuahatur ab unitates, ela residuum ducatur in tertium. Ergo necesse est planum ex primo in secundum detractum ab unitate relinquere quadratum, ut scilicet eo in tertium qui quadratus est, ducto, fiat quadraturuQuod autem si planus ex primo in secundum detrahatur ab unitate, residuum ducatur in tertium, idem fiat numerus, atque si solidus sub tribus auferatur a tertio, ne quis scrupulus maneat, sic demonstro. Sint tres quieunque numeri Aa C. Tolidus sub ipsis D. quem auferen-Α, do a tertio remaneat Κ. Tum ducto A in B fiat inuo detracto ab unitate recita: linquatur H Dico sim dueatur in C fieri . Quia enim . est solidus sub tribus contentus, G planus, sub duobus Aa patet ducto C in G fieri solidum D. Aeduo G H aequantur unitati ex constructione. Quare eum ducendo in nitatem, fiat ipse producti ex C in ipsos G H. puta D Κ simul aequantur ipsi C. At ex C in G fit D ut ostensim est. Ergo ex C in H fiet K. Quod erat ostendendum. Itaque sumptis quadratis et per vigesimam sextam inuentis, ex binorum mutuo ducta fient mi. h. quos auferendo sigillatim ab unitate, remanent quadrati, ἐἴ quorum latera . . t Caeterum hae tres quaestiones pauid uniuersalius proponi possunt, quod exemplo vigesimae septimae docuisse sufficiat.
Inuenire tres quadratos, ut qui fit ex binorum mutuo ductu, addito quouisquadratoquadiato faciat quadratum. Datus quadratoquadratus est Iedi.
Sumo quadratos soluentes vigesimam septimam, puta . quos sigillatim multiplico prelatus quadratum ipsius i6. puta per .i, fiunt quaesiti quadrati in I: . quos satisfacere proposito perspicuum est. Nam primo quadratos eos esse eonstat, quia fiunt ex quadrato A intres quadratos sigillatim ducto, idemque semper eveniet, quia latus quadratum cuiussi bet quadratoquadrati, quadratus est. Deinde cum sint quadrupli priorum quadratorum at ex quadruplo numeri ita quadruplum alterius fiat sedecuplum producti ex numero in numerum, patet productos ex binorum inultiplieatione esse sedecuplo priorum productorii ni Quare si his addatur 16 puta sedeeu-plum vnitatis, fient numeri sedeeupli ad quadratos qui fiunt si numeri per vigesimam septimam inuenti bini inter se multiplicentur,& productis addatur unitas. Ac proinde cum ex eo quadrato in quadratum fiat quadratus, patet propositum.
338쪽
D Aro numero tres ad inuenire quadratos, quorum bini sumpti, adscitoque dato numero, faciant quadratum. Esto datus s. sit unus quaesitorum,. Quaerendi sunt ergo alij duo , ut quilibet illorum cum et . faciat quadratum Mambo simul cum is faciant quadratum. Oportet ergo quaerere duos quadratoS, quorum Uterque cum et . faciat quadratum Sumamus numeros qui metiantura . sint latera circa rectum trianguli rectanguli. Esto secundum R. oppositus, erit 6 N. utriusque horum semissis est&3 N. Rursus esto secundum oppositus erit kN utriusque semissis est N. Sit ergo unius quadratorum latus ab interualles A.&3N alterius vero latus ab interuallo N. sic enim uterque quadratorum cum et . faciet quadratum. Restat ut lambo iuncti cum is faciant quadratum. Fit autem assinis. Igitura aequantur quadrato. Esto quadrato as inde fit 1 N. Adpositiones.
Ηρομ ε stionis beneficio, sequentis quasionissolutionem dabimus qua alioquin diffleillima fana videretur.
Da ι numero , quatuor inuenire numeros quorum bini sumpti adsitoque dato numero faciant quadrarum. Si datus numerus is es primum per hane quotionem reperiantur tres quadrati quorum bini sumpti a citoque dato numero faciant quadratum. Et sint illi tres quadrati as . N. D'. Ponatur primus quatuor numerorum quasi torum Σ-- IS.
Secundus Ioed --as sauia 23. est unus ex quadratis, Io N autem es duplum lateris in . Tertius eadem ratione ponatur N - . . quartus denique fim, Ita quippe institutis positionibus tribus propositis partibus falis', quilibet enim numerum vnό cum primo adscito is secis quadratum. Superest ut fecundus es tertius additoris, item tertius es quartus addito is denique seeundus, quartus , eodem additor cfaciant quadratum es oritur triplicata aqualitas euius folutio in promptu cum ex constructione eulas artificium ab hae 3uastione desumpsimus in quolibet terminoa quando reperiantur unitates tantum quadrata se numeri. Recurrendum igitur ad ea qua diximus ad quaestionem uesimam quartam libri sexti.
339쪽
SV set iis τε Diophantus posito uno quadratorum ad placitum , putas inuestigat reliquos.
Clim enim, additus dato numero is faciatis . certum est reliquorum quemlibet adsumpto a . debere eonficere quadratum, quia quilibet ipsorum addito c. os debet esse quadratus. Sed cuterque simul adscito is debet facere quadratum. Reliquum ergo est viduo quadrati reperiantur, quorum quilibet cum 2 . faciat quadratum, Meorum summa adiumens is sit quadratus. Hic sane mirabili artificio ponit latera quadratorum N. - Λ.&4 N. 'bunde fiant quadratio Q. - Ι - 44 6 Q Ia quorum uterque adsumens a . quadratum facit, puta sue - Qi Q - lateribus 3 N. - N. - I. Equidem eertum est si quadrati duo fingatur ab aliquo binomio, d residuo quod ei respondet, interuallum quadratorum fore quadruplum plani sub partibus comprehensi, ut quadratorum a lateribus IN. - 3. IN. I. interual- Ium est iam quadruplum producti exam in . Quare Diophantus quaerens quadratum cui addendo a . fiat quadratus, ponit pro latere residuum tale, ut planus sub partibus sit quadrans de a puta 6. Id ut consequatur sumit duos numeros quorum mutuo ductu fiat a . puta 6. - ωvtriuiaque semissem capit, putas. n. nam ex semissi in semissem fit quadrans producti ex toto numero in totum numerum Formandum ergo est residuum a r. 4 ponendo stitieet alterum eum signo N. putas, ex altero vero formando fractionem numericam , ut ni fit residuum 3 N. R. in quo patet planum sub partibus esse in atque adeo duplum illius esse Iet cui addendo a fit, 1a sola signorum mutatione tacta. Eadem arte fingit latus tertiiquadrati, sumendo S. s. quorum mutuo ductu fit a ., capiendo semisses eorum, puta unde Armatur residuum m. ubi etiam eontingit planum subpartibus esse - . eadem de causa. Porro non temere sumendi sunt duo cuicunque numeri mutuo ductu producentes a inuales sumpsit author 6. 6 a.& rursus 8. 3. sed tales esse debent, ut duo 6. I. Itemque A. 3 constituant latera circa rectum trianguli rectanguli, ut infra docebimus. Ideo sumit Diophantus duos quoscunque numeros 3. qui sint latera cire rectum trianguli rectanguli, ter eos diuidendo paris a . nascitur alios duos . Sis qui sunt etiam latera circa recium trianguli rectanguli, quia eorum eadem est proportio, quae ipsorum ut constat per decimam nonam septimi. Vnde etiam sequitur morum semuses, puta I .&a. Itemque 4.&3. constituere latera circa rectum trianguli recianguli ob identitatem rursus proportionis. Necesse est autem huiusmodi numeros coiistituere latera eire rectum trianguli rectanguli, ut summa quadratorum ab ipsis ortorum sit quadratus numerus , quia oportet summam quadratorum
fictiliorum adscito Is puta as Q. - - esse tinomium cuius quaelibet pars constet quadrato numero Atris inest summa quadratorum a lateribus M. ω M. Drursus est summa quadratorum a lateribus V., unde patet oportere ut 3 N. N. Itemque . cii sint latet ei rea rectum trianguli rectanguli. Vnitates Voro ' s. aequantur quadrato qui positus est pro primo quaesi
Ingeniosa itaque laterum fictione assequutus est Diophantus, ut quaelibet pars trinomii quadrato aequandi , constet quadrato numero, quod ni foret, qua quaeso ratione aequaretur quadrato Sanessi velis fingere illius latus N. - vel certo unitatum numero, nil effetes. neque si ponas latus illud L plus vel minus certo Numerorum numero, nam utroque modo vel incides in absurdum , vel in complexam aequationem , alemve ex qua non prodeat solutio ratio analis. Itaque huiusmodi aequatio rite nequit explicari, nisi aequando propositum numerum , veleumat vel eum P sic enim ablatis utrimque aequalibus remanebunt s. aequales vel D vel asQs res optimessueeedet, quia trumque extremum aequationis reperitur quadratus. Posuit Dio
aequales mirer . estu. Ad positiones sunt latera qu dratorum lim: . Sunt ergo tres quaesiti
ptius continget solutio , quia tune concipiendum erit latera quadratorum fuisse -am. N. quae per valorem Numeri resoluta , erunt ut supra Η b.
340쪽
D Aro numero tres ad uenire qua A OENTI rei, mo sa
cto dato numero , lamant quadratum. - Φόν Esto datus 3. Ponatur rursus quaesitorum ..,e,.
quadratum, ambo vero simul detractis it , de , PT
faciant quadratum. Rursum sumitu 'TI f '
mensionem secundum numeroso. fitque prioris quadrati latus ab interuallo s
Hoc ergo arquatur quadrato. Esto
Quo arti i insuperiore quastione Usumus ut quatuor numeros inueniremur quotru bini sumpti adscito dato numero conficerent quadratu semili in hae quasione
tipossumus, ut inueniatur quatuor numeri quorum bini sumpti detracto dato numero conficiant quadratum Ponendus enim primus numero dato. Secundus quadra
rus primus ex inuentis in hae quastione υna cum dupu ab Vsius utere in N. Oreliqua patent.
IN VAESTIONEM XXX LV X dictis ad praeeedentem satis intelligitur hae quaestio Ponit primum quadratum s. unde T. Nil auserendo 13 aay supersiti. patet quaerendos duos quadratos, quorum uterque adscito Ia. faciat quadratum, ita ut amborum summa detracto 3. faciat etiam quadratum. Inuenit autem duos quadratos, quorum uterque adscito a faciat quadratum eodem artificio quo usus est in praecedente, & fingit eorum latera a lateribus eiica rectum trianguli rectanguli, quorum mutuo ductu fiat 3 quadrans ipsius Ia. Et ponit unum latus a N. Q salterum LN unde quadratorum summma detractis i3. fit si as di aequanda quadrato, putat, Quare tandem aequantur as&fitIN. a. sunt ergo latera quadx torum quaesitoruma. Q . Wriunt ues quadrati quaesiti s. q. quorum bini detracto I3 relinquunt quadratos l6. II. Caeterum moneo&hanc, praecedentem infinitas recipere solutiones ex duplici capite. Primo enim primus quadratus poni potest quilibet unitatum numerus quadratus. Deinde latera seeundi, terti varie fingi possulit , a diuersis ei licet numeris qui sint latera circa rectu in diuersorum triangulorum rectangulorum non similium. Vetbi gratia loco ipsorum .' sumi poterant 8 dccis vel s. cir mali infinit , ut in hac quaestione si libeat uti numeris s. Wra sum numeros oppositos qui scilicet in hos ducti producunt et hi sunt i ex momnium capio semisse , puta . . q. fingo ergo latera quadratorum m. - 1 6 N. Q. & patet quemlibet quadratorum adscito Ia sacere quadratum. Restat ut eorum summa detrahisI3. faciat quadratum, faeit autem Qinasse hoc ergo aequetur a fiet e stiaequalis as unde fit IN. ; suntque quadratorum latera in is que tres quaesiti quadrati suns Dissilireo