장음표시 사용
381쪽
Aci erit is Q - 24 denominatione paris aequari oportet quadrato. Et
min fra. ρας , -- peo rediit inueniatur quadratus
νο --ον ιβ autem 1s est Q. est as. IN. s. Igi tur quasi ontes aequare quadrato N aequabimus quadrato a Q fit 1 N. Λ, Ut ergo triangulam, ciba; dc constat.
, 'Nius totum speciei trians. Diothantus, exhibet propositum adimplentia, V s. at ex 'a matbia superun infinita diuersa specie triauuia se ex
Diophaaeea par ora a derivantur.
Si igi/ur insemum triangulum 3. 4. . cuius hac est proprietas, aut fir mutuo da iterum irca rectam adscito solido is maiore ateram eirca rectum interuallo eo rudem, O arerconteas faciat quadratum. Ab eo dedueendam aliud eiusdem proprietatis sit maius ex uteri a circa rectum trianguli quasit 4 minus vero 3-PIN. Rectangulum sub lateribus circa rectum adscit solido se maiore terum et ea rectum isreruatio orandem se area ostento , facit 3 - 1 v. - .ae qua ideo deben aquari Paήraro. Cum autem latera N. sint latera errea rectumrriangati rectanguli, debeat etiam eorum quadrata iuncta aquari quadrato Eua Mar8uia iuncta Dei.Mas qua idcire etiam aquanda quadrato. β oritur duplicata qualitas nam 36-I2. N etram a s -- 6 N -- Ladeboat . 1 uariauadrata. Eis aquatiosis duplicara solutio es in promptu.
1 viri A sine hie obseriise dignissima sed evin tres operationes iustituat Dioptantus eas IH sigillatim me re o . omnia diluculabimus. In prima petat, rieiuni quemlibet triangulumdatum specie putar N. Iam ram fitque rea ci 4 eui addendo sigillatim latera circa tectum fiunt o h - Ia N. 3o Q N. fimillaequandi quadrato Non est autem Iocus duphcatae aequalitati, quoniam quadratorum numerus
382쪽
non est quadratus. Quamobrem alio,, sane mirabili artificio utitur Diophantus. Sumit enim alterum nurnerorum quadrato aequandorum , puta 3- - Iam quem facit quadrato aequalem. I. intem facillimuin est uinendo quemlibet quadratorum numerum quadratunt, maiorem quam 3o ut 36 Q. unde tit i N. a. sane per hune Numeri valorem resoluendorio in Iam fit quadratus. Sed ut valui alit aequatio, oportet ut pereundo valorem Nuineri resoluendo quoque 3 o - - fiat quadratus. Quod non accidit, nam cumam sit a quadratus est . atque adeo 3o Q. sunt iaO cui addendo, . seu to fit iso qui neutiquam quadratus est. Necessita, ergo secundae operationis hinc innotescit. Nam viaequemus quadrato 3- -- Ia N. sumimus aliquem quadratum maiorem quam 3o a quo auterendo go. per residuum diuidendo Ia fit valoria umeri. Quare ut alter numerus 3- - sit aequalis quadrato oportc ut quotientis illius quadratus tricies sumptus, adscito quincuplo eiusdem quotientis, fiat quadratus. Ponit itaque qilaesitum quadratum I in unde auferendo 3o fit I 3o per quem diuidendo ia. fit quotiens Q r: huius quadratus est cuius tri cliptum est cui avidendo quincupluin ipsius lateris - . . puta. m. fit fit autem hae additio reducendo tisii. ad denominationem alterius numeri cui additur, nempe ducendoso tur in 3 o. unde fit 6, - isoo quo addito ad 432o fit numerator fiactionis quae est summa numerorum additoriim puta 6OR - - 2yao manetque idem denominator , puta Q. - o. Igitur ut consequamur tu ad hac secunda operatione intenditur, oportet ut et&2. G. aequetur quadrato, qui deni di nominatorem satis constat esse quadratum, cum factus sit a latere i- eto. Numerator autem restat aequandus quadrato, quod quidem optime fieret per lemmata ad praecedentem tradita, si summa ipsorum 6o Masao effet quadratus, vel si reperiretur quadratus per quem multiplicando ubi diuidendo 6o. producto,quotientive addendo asao fieret quadratus. Quod eum fieri non possit, apparet necessitas tertiae operationis. Sed prius considerandum est,nde proueniatu o. 4 ao. quidem manifestum est fio produci ex mutua multiplicatione laterum circa reetiam, nempe ex ra in c. Atlasao ait Diophantus esse solidum sub maiore laterum irea tectum, sub ipsorum interii allo laterum, iubarea contentum quod quidem ita se habere non
titim apparet. Quare id demonstrandum est. Hoe autem nil aliud est, quam huiusmodi Theorema.
Datis duobus numeris inaequalibus, de tertio quocunque, si tertius ducatur in Ξuadratum maioris duorum datorum, fit numerus aequalis solido sub tribus datis romento, solido sub maiore duorum datorum , interuallo eorundem, & tertiolato a
sint dati numeri A maior eum minor,in tertius quicunque C. ipsorum autem Ara interuallum n .. esto Ἀ&ipsius A quadratus sit E. Quo ducto in C fiat F. Tum ducatur Λ in
C, A si V K Modu in C. fiat G. solidus sub tribus C A B. Ducto autem
, i86om ob so iura fiat H. quo ducto in D fiat L solidus stibilibus A D. die Faequa- i .. lem esse duobu, solidi, GL Nam sumptis tribus nummis Α bis, C semel
idem fiet numerus , quouis Ordine ij inter se dueantur. At in in AMR . t. νωψω. ii ducto in infit F. ergo idem Ffet ducendo A in C. productum H in Α. Quare ex mino fit lolidus item G. sub tribus C A B contentus , fiet ducendo C in x productum H in B. larem fit ex H in B. At ex onstructione ex eodem H in D fit solidus L. Cum ergo B D. ii nul aequentur ipsi A. ' nil meri GL producti ex H in ipsos BD aequabuntur produet ex Hin ip o feci A. .uit A. At ex Hin ploducitura ut ostensuin est. Igitur solidi Ga simul aequantur ipsi F. cubod:rat demonstrandum. sHinc porro sequi quod ait Diophantus manifestum aest, si operatio illius diligenter consideretur
scini statuantur latera irca recti in trianguli & C ponatur area. Itaque in tertia operatione quaerendum est triangulum rectangi iluin, ut planiis contentus sub lateribus circa rectum , adiecto solido sub maiore laterum, interuallo eorundem laterum in area contento, sit quadratus. Sic autem ratiocinatur Diophantus si eoncipiam iis tam planum, quam solidum supradictum dividi per maiusatus . orietur inde ni inus latus, hinc vero planus sub area&interuallo laterum contentus. Quare L maius latus ponatur quadratus , sufficiet ut summa minoris lateris, plani sub intervallo Marea contenti, si quadratus, sic enim ex quadrato in quadratum, fiet quadratus Igitur oportet consituere triangulum rectangulum , ita ut maius laterum circa rectum sit quadratus, praeterea Ilanus sub interii allo laterum intea contentus, adscito minore latere faciat quadratum , vel certὸ
quod omisit Diophantus hidem planus per aliquem quadratum diuisus , de quotientem eviati ieiendo minus latus, fiat quadratus. Id autem praestabit, quod uis triangillum per praecedentem mentum, namin maius laterum, circa rectum erit quadratus , ipsum interualIum laterum, adcitiis erit; latea adscito minore latere faciet quadratum. Quare cum planus sub area Minteruallo laterum contentus , diuidetur per quadratum illum qui est inteluallum laterum, quotiens et ipsa
383쪽
area quae seiscem minus latus faciet quadratum ex hypothesi ae proinde per lemma quod Hibnavinatiuum ad praecedorum, planus sub area Minteruallo laterum contentus, adsciicens minus latus, infimias modis aequari poterit quadrato.
Haec ad memem quaestionis huius intelligentiam dicta suffruerent sed libet praeterea in tyronum gratiam, in Diophanti operationem , quam ille breuiter perstrinxit, fusius explicare. Sunio triangulum perstaecedente in uiuentum, di constituo illud in Numeris, putas N. m. 3m fitque area 6 Q cui addendo sigillatam lateta creea rectum, fiunt 6 dc 6 Q - N. aequandi quadrato. Quare per ea quae diximus de neeessitate secundae operationis, oportet inuenire quadra. um, a quo miscendo ci.&pet residuum dividendo fiat quotiens, cuius quadratus sexies sumptus, adsumens triplum tui lateris faciat quadratum. Quadratus ille est,c u dempto 6. per residuum diuidendo fit. . cuius quadratus umet et iocinus sextuplum inc' εα--c
addendo triplum lateris, pura oti vel sub eadem denominatione . Hemis fit utique summa res L. quar aequare oportet quadrato, & eum denominator sit quadratus, superestri aequemus Padiat, aineratorem Quod tacite fit quia Ia diri . simul efficiunt quadratum 36. Quiendum terrimate quod ad precedentem attulit Diophantus. Quia enii quadratus
quaesitus debet essenia et quam 5 ut aequari possit o. α-4 - . oportet quaerere quadratum maiorem Mam 6 qui ductus in ta in adsumens, . tactae quadratum sit eius latus I N. I fiet quadratus ductus in II. .actamen 24. I - . a m -- 36 euius cuius latus esto 6 - fiex A. Ergo latus quadrati est 3. ipse quadratus as. Quare 6 4N aequantur ac &AELI N. m. inque Tiangulum quantum fit Q area cui addendo sigillatim latera circa rectum, fiunt quadrati bi re, lateribus :.&E. Possunt autem infinitae dari solutiones, utendo eodem triangulo 3. 4. et Quia per lemma praecede is loco as inveniri possunt alii infiniti quadrati, verbi stati si inmetiri N. ε 362. ponas latus 6 fiet IN I tritque latus quadrati , ipse quadratus 36r. Quare 6 - aequabit ut si is fiet N erunt igitur latera triam
'li Area Am; cui addendo latet cito tectum , fiunt quadrati, a
. Ceterum morem , casia accidere in hypothesi Diophanti, ut planus sublateribus, putaria ad sumens 23 solidum sub maiore laterum , interuallo laterum Marea contentum, taciat quadratum quodaecidit quaa interuallum laterum 3. d. . est unitas; sed si aliud sumatur triangulum praeeedenti satis faeiens, id non continget. Quare ut uniuersalis reddatur operatio Diophanti, in alio triangulo libet rem experiri. Sumatur triangulum per praecedentem initentum 63 N. 48 m. 6os N
que oportet aequare quadrato. Quare inueniendus est quadratus a quo detrahendo g is de perefiduum diuiden iacis . at quotiens, cuius quadratum ducendo in 8 8 6.& producto addend. quostfitem eodem quotiente tum fiat quadratus. Et ut rem compendio absoluam, eo redacta mous Mucis quadrano 17 69 - - si3I4 et numerus auadratorum est planus sub latet, a cirea rectum 48 .4 363 eontentus. At numerus unitatum eu solidus sub inaiore latere sh interias Iola erum i in sub axe 8 8 6 eontentus. Porro utriusque numeri summamini Mquadratum fae ita Sed quia quadrato per quadratum diuiso fitinii adratus, diuido utrumque numa rumper maius laterum circa rectum, puta per 84 qui quadratus est ex lege praecedentis,is et 363 -- Iodan66 aequandus quadrato. Vbi quoque quadratorum munitatum numeri similadditi non conficiunt quadratum. Sed quia quadratorum numerium est minus laterum circa rectum , at unitates offa 93M conficiunt planum sub area 378 6., sub interuaIlo laterum a L qui quadratus est ex lase praecedentis 4 summa areae minoris lateris, conficit etiam quadratum ex eiusdem praecedentis sege Patet cum 363. 878 6. simul faciant quadratum , si quadratus Iriducatur in utrumqne,, productorum summam bre quadratum , at ex Iai in 878 6 fit to6ay365.t die iam est. Igitur ii 'al dueatur in 363. irraducto adiiciatur,o62R66. fit quadratus. Quar per Iemma praecedentis a nobis ampliatum 363 - - Io629366 infinitis modis aequari poterit qua.drato se autem aequari debet quadrato, ut valor quadrati exceda 878 6. quia quadratus illi
aequari debet 878 6 -- N. Ponatur ergo quadrati latus IN. II fiet ipse et . a NL Quo ducto in363. producto addendo Io6as366 fit ro673289 - - N. - 363. Q aequandus quadrato, facilὸ fit, quia ni intes sunt quadratae. Ponatur ergo latus illius 326 1 m. fietam 38o8a cui addendo II fit latus quadrat 1 99. ipse quadratus 337M6 8r. Igitur 8 8 N aequabimus 3374 6 G δε fieri N. lan per quem resoluendo latea trianguri Quae positi erant in m. 8 N. 6os N. net quaesitum triangulum re m. IM ., R. a. eius area est,ntitan a Quae adsumens sigillatim latera circa rectum, tacit quadratos Hil et Dis
384쪽
v numerus areae multatus alterutro laterum cire rectum, faciat quadratum.
Rursum si constituamus id datum specie sicut in praecedente, eo res redit ut inueniendum sit triangulum rectangulum simile huic 3. - .Ponatur ergo in numeris, fit 3 N. h. 1 N. Et ες,-- .aequantur quadrato. Et si statuamus quadratum minorem quam oc fiet I N. sub denominatione partis excessus quo or superat quadratum aliquem Et si ponamus quadratum, inopus erit tali existente numero, a quare etiam quadrato 6 in ἈN.&rce'. sexies sumptus est oes sub denominatione partis Ia. Q ateris autem triplum est a sub denominatione partis 6. I Q hoc est a fra in sub denominatione partis eiusdem, si hoc auferamus a que sub denominatione eiusdem partis , relinquuntum Q. Ha . sub denominatione partis I QR. -- 36-ia L est pararuadratus Proinde oportet aequare qua-rat Ia & est IN. i. Pono igitur 6 N aequales R&fit N. s. Erunt igitur quaesiti rectanguli latera & si nolis uti unitate , statue
quadrati latusa N. - r. Itaque triplum quadrati adscito ε fit 3 Q. m. - '. aequandus quadrato. Hoc autem facile est inuenietur i, non maior quam . At uadrati latus quod est i N. - - . non erit maius quam . Et inde ortus quadratus sublatus de . faciet
IN RUAESTIONEM XIV.F adnotatis ad praecedentem, omnium quae hie utimur rationem reddere sicillimum est Mirum fortasse alicui videre possit, cum in hac quaestione utendum sit subtractione loeo additionis qua tendum erae in praecedente, cur tamen ad extremum maneat idem numerus Ia. aequandus quadrato. Huius autem sumptomatu eausa est, contrarietas additionis, sub raetionis una cum ad uione contrariorum signorum pluris fle minoris. Nam in praecedente opportebat ad-cere a M a Mops in hae autem oportet deis subtrahere a-ra Q. Quare evideris est, summam illam,' hoc residuum . eundem essicere numerum, pura Ia in se a vade satis au- Par demonstrationes ad praecedentem allatas is Me eum habere.
E ς' UIRUdum quadrat' a quis pomat mrere quadratum qui ductus in n.' adsumens γε faciat quadratum, sumit Diophantus pro huiusmodi quadrato unitatem, quod
385쪽
fieri posse docuimus ad duodecimam quia a. o . simul confietant quadratum, 'uia talis quadratus sumendus est minor qualia 6 ut aequati possit 6 N. sic posito quod ω - N aequen tur I ii N. l. sunt latera quaesiuittiangulis. v. q. estque area unde auferendo sigillatim latera circa rectum , superiunt quadrati R. Quod autem ad exircinum, ait Diophantus Ioeo unitatis, sumi posse alium quadratum, verum est implorando auxilium lemmatis ad duodecimam allati. Id tamen caut agendum, quia quadratus ille debet esse minor quam . Quare si ratiocinatur Diophantus Imprimis loco , - - q. suinii 3 Q. - . cuius rei duplex si ignati potest causa. Prima est quod plius I, - - tum it quadrantem , -- 6 suo more, ut rem in minimis conficiat, & euidens est si L - - s. atque tur quadrato, tare vi&eius quadruplum ain sit quadratus. Secunda causa, quae mihi magis arridet pendet ex dictis ad duodecimam. Quia enim ra est planus sub lateribus trianguli per duodecimam ii uenti, atra . est solidus sub maiore laterum, sub interuallo eorundem, &sub area contentus, diuidendo utrumque per maius laterum circa rectum , puta qui est quadratus ex lege duodecimaeo fiunt numeri s. s. Quorum prior est minus laterum circa rectum , posterior est planus sub area Minteruallo laterum, quare hoc diuiso per interuallum laterum quod etiam aequatur quadrato ex lege duodecimaeo oritur ipsa area, quae rursus per duodecimam adscito minore latere facit quadratum. Quamobrem ex ultimo lemmate quod ibidem attulimus , constat , - aequati posse infinitis modis quadrato. Ponatur eius latus I N. H. I. erit quadratus I Q --Ἀμ- i. quo ducto in . producto addendo 6 fit 3. - N. -- 9 aequandus quadrato, cuius latus fingetur 3 - certo Numerorum numero, sed quia quaesitus quadratus debet esse minor quam o cum latus proximum ipfius 6 sit oportet latus quadrati quaesiti esse minus quam . Quare cum ponaturnoc latus I N. - I. si a auferas unitatem , remanetri . quo patet minorem esse debere I N. Proinde cum aequando quadrato L. 4 6 N. - s debeat fieri valor Numeri, a quodam quadrato multato ternario, diuidente sextuplum sui lateris auctum senario , si ponatur huiusmodi quadratus iudiet - minorin Mim α. tandem fies N. --ΠΦ minor quam 3 in a aequatione, ut par in per approximationem resoluta, fit Im maior quam 3 Quare numerus Numerorum in latere fictilio ponendus excedere debet, Ponatur verbi gratia latus illud a. - N. fiet N.
Quare latus quadrati quaesiti, quod positum eratam. I. erit t. ipse quadratus I. Proinde . - N. statuemus aequalem in Q &fiet IN. t. Quamobrem erit quesitum triangulum ae '. aes fit area unde ausetelido sigillatim latera circa rectum , manent 2 '. Q -'.
aequaletum, fiet 363 - Io629366 aequalis quadrato. Quod fieri potest infinitis modis, quia ducendo in 363. quadratum Iac interuallum scilicet laterum circa rectum produento addendo Io629366. fit quadratus. Quia vero oportet quadratum quaesitum minorem esse quam 87846 sumemus ipsum Iar vel inueniemus alium eodem quo stipta artificio. Quod si sumamus a I fiet 878 6 L-48 N. aequalis ni Q. unde fit x N. Sunt ergo quaesiti trianguli latera ': . '' estque area qua detrahendo sigillatim latera circa rectum, manent quadratilliis otii. quorum latera ET.&
gulum rectangulum ut alterutrum laterum circa rectum multatam area faciaι
386쪽
quidem impossibilis est aequatio,initia is γλ in οὐ λέαι IQ,χα in απι,αεόν in duos non diuiditur quadratos. Non γοί autem omnino impossibile est quod initio μώ - M--γων ierat propositum oportet ergo determi ἐλάω ν, is Ἀώa αδω, α nare de triangulo Facti sunt enim r3 ρί is AP ν ά . . .. , ex quodam quadrato minore quam in . .uti ianumerus, ducto in productum ex hypote' a. - nuia ita unum laterum circa rectum At --α.
perat idem latus Eo itaque res deducta est ut prius oporteat inueniri trian illum
Productum ex hypotem,sa monum late erum circa rectum , detracto solido on
tento sub area , praedicto latere, Minter ' - χει ηυ πεινου- -
latus, quaeremus rursus alium queredam ἄ-πνατετραγωον πολλ- τηεὸν - β
H quod attinet ad prinum operauionem 44m ea similis se omnino operationi duatum praeis cedentium, nihil em quod nos moretur. Quod intem ait Dioplininus to in solidum contentum sub area, uno lateriam cisca rectili., interitium Frum hoc meenissura, idem est Forsus cum theoremato faecimam textiam deuicinstrato Denique quod auris Q. - . aequari non pone quadrato quia Ic non diuiditur in duos quadrato , pendet ab iis quamo olienι uris
387쪽
reus. Neeessitas autem secundae operationis euidenter e Iligitur ex defees uidioris. Nam ad hoe viret Q. 46 possit aequari quadrato , Oportet inuenire quadratum quo ducto in s. 4 producto a stere, do, maneat quadratus. Et clim quadratus inueniendus aequari debeat 6 Q - eurandum est, si sit minor numero areae . Quia ergo is est planus sub hypotenus & altero laterum, ata . .
est solidus sub area, taedicto lateres, de interuallo inter idem latus & hypotenusam, euidens est quaerendum esse triangulum, inuadratum minorem area trianguli, ut quadrato ducto in produraum ex hypotentisa in unum laterum circa rectum , fiat numerus a quo detrahendo solidum subatea praedicto latere, de interuallo inter idem latus de hypotenusam, relinquatur quadratus. Equidem triaugulum fingendum esse ait Diophantus a duobus numeris qui sint plani similesώsed qua ratione id colligat, munde sumendus sit quadratus, non constat ex conuptis Timis illius verbis quae idcirco asteri seis inclusimus more nostro. Quorum tamen deiectum ut ego suppleam, Pronuncio , quadratum illum, eum esse qui fit ex quadrato interualli dictorum planorum similium, an quadratum qui fit ex mutua eorundem multiplication: Quod ut demonstrem do simul rei obia curissimae lucem asseram , aliqua prius suppono. Primum suppono, in iolibet triangulo flicto per methodum a Diophanto traditam,quam- me demonstrauimus propositione quinta Lib. tertispo ita hypotenusam superare quadrato numero latus illud quod ni bis ex ut naultiplicatione numerorum a quibus effetiim est triangulum. Quod euidens est, quia hypotenuia est summa quadratorum, a quasi auferatur duplum multigu-cationis laterum, superest quadratus interualli laterum per quartam secundi potismatum. Meundo suppono, interuallum duorum quadratorum esse maius quadrato interualli laterum, quod ipsum iam demonstrauimus ad sextam seeundi. Tettio suppotio, in Hangulo efficto a duobus plaias simillibus, si excessus hypotetiuis superi , latus illud quod aequatur interi inllo laterum , ducatur in alterum latus fieri
qu drat' m. Sint enim Plani similes Ai quorum quadrati M. quorum summam, .i interuallum F. tum ex A in B fiat Fl cuius duplum G. eritque DFG trian
' ' quia E est summa duorum C D. At F. est eorundem interuallum, detracto F exE. 4esiquus Κ erit duplus ipsius D. Cum ergo G. Κ sint dupli quadratorum H D sequitur Gad chabere lationem quadrati ad quadratum, Vae proinde GK sunt plani similes, et productus ex
eorum mutuo dumi puta L quadratus est. Quod demonstrandum erat.
His positis, totum quod supponi ura Diophanto, sic demonstrabitur. Sint plani similo. R. si a quibus finga, triangulum CD ita ut Esit duplum quadrati K. quiei in B. At D i interuallum quadratorum ab ipsis A B. Ductoque ΚΘ in D fiat area M. Rursu interuallum ipsorum C E sit a quadratus me
et V 'U primum suppositum quo ducto in quadratum K fiat quadratus Ire
o. Item ducto C in E axi quo ducto ini fiat P. Wrursus ducto LM6o Noao mihi iam quo ducto In a fiat , Dieo sim solidus sub area
VADO, 3 Q. εω , Hiero lateriim citra tectum R, sub Sinteruallo inter idem lat in hypotenusiam, auseratur ab ipso P. qui fit ex quadrato mina planum sub hypotenus C depraedicto latere Eeontentum, residuum esse quadratuin, ipsum quadratum H esse minorem area M. ae dentque ipsum Leomponi ex duobus quadratis. Primum sie ostendo. Exa in D producitur N.&exinteruallo ipsorum CD in E. fiat Fquadratus per tertium suppositum. Tum eonsideratis Ytibus nummis D E K. Quia ex D in K fit M. quo ducto in Est R. 4et idem R. sim ducatur in D.&productus N in K. Igitur fit ex N in . Rursus eadem de causa eonsideratis tribus G ς Quia ex X in N. fit ut ostensum est, ex Ran G fit solidus Q idem es fiet ducto Κ in .ad producto Hin N. Igitur Q. producitur ex rein N. At per construetionem ex eodem mina fit P. Ergo P supera. numeroqui fit ex H in interuallum ipsorum LN Atqui eum ex eodem Eria ipsos Co fiant L N patet etiam L superare N. numero qui fit ex E in interuallum ipsorum C D. Me est quadrato F. Igitur P. superat producto ex Hin F sed hic productus est quadratus, cum uterque re quadratus sit. Ergo P superat quadrato numero,quod erat intentum Deinde qum diatum H minorem esse area M. probatur. Etenim cum ex eodem in ipso G D. produeantur I fit maior quam Giet secundum suppositum, constatvi ipsum M maiorem esse quis H. Quod erat propositum. Denique Leomponi ex duobus quadratis constat ex septima tertii porismatum, quia selliere producitur ex C in E quorum uterque componitur ex duobus quadratis , puta C ex quadratis ipso. rum ΑΒ. At Eex duplo quadrati X. unde etiam per Scholium propositionis citatae apparet ipsum Geomponi tantum semel ex duobus quadratis, quia Unon componitur ex quadratis inaequalibus.
Sunt autem quadrati ex quibus L componitur , ipse H qui fit excin inis quadratus qui fit ex
eodem cin quadratum lumma amborum Λ B. Ex
388쪽
xx iis sane quae eum neredibili labore commenti sumus, ausa omnium quae peragitii phantus fit manitesta. Reliqua operatio nil habet difficultatis, eum sit penitus similis operationi duarum praecedentium Eam tamen in studiolorum gratiam non pigebit adiacere. Ormatur tria gulum a &I. ει constituitur specie puta 7 N. II N. 8 N. fit alea multata tum hypotenuia tum ter tertio Ooc i7N.& in 8 N. Quare utrumque aequare oponet quadrato, quod si fici N aequemus quadrato, quaerendus erit quadratus quem auferendo aio. per residuum diis uiuendo' fiat quotiens cuius quadratum ducendo in Oo. a producto auferendo quod fit ex I in supradictum quotienoem, remaneat quadratus. Esto quaesitus quadratus Iu hunc auferendo a clo.
pet residuum diu idendo β. fit quotiens cuius quadratus . quo ducto in clo. m. i. . . . Q Set Indus user ir ductum ex 27 in puta . eu sub eadem denominatione aed. - . remanet,zz-m - aequandus quadrato. Quare cum denominator sit quadratus, superestri numerator δοα-63ao aequetur quadrato, quod facile fit, quia ex supra demonstratis quadrator 6 ducto in 136. a producto auferendo 32o remanet quadratus. Est ergo I 6. Quamobrem 6o '8N. aequalis erit et6 4 fiet m. i. erunt igitu trianguli Iatera , T v. fit area . unde auserendo tum . tum remanent quadrati re seu . P se 1. . . um quaestio infinitas recitit solutiones, tum quia loco ipsorum 4. r. sumi possunt uuiis libet alii planismiles quibus iungatur triangulum. Tum quia sumptis iisdem 4, i inueniri possunt infiniti quadrati loco ipsius 36. vel minores ipso 26. vel etiam maiores, qui talmi non excedant aream μ. quibus ductis in 36. de producto auferendoq3ao. relinquatur quadratus, idocebimus ad sequentem. I
altero de producto subtracto, at qua ψαι ρ μι- dratus inuenietur&alius quadratus ma- - τήγ-κ----
dratus a laterea.oporteat inuenire alium diu o
sum praestet. Esto latus quadrati IN. - o
Hie omnia sunt perspieua Catterum quod vult Diophantus quadratum quaesitum maiorem esse Quadrato expolito, id agit ob se uentem quaestionem, in qua tale quid postulatur,4 ad quem haec ei veluti lemma. Sed hoe non est se aecipiendum , quasi vero fimili sere operatione, non possimus etiam inuenire quadratum minorem Sint enim iidem 3. Z II. dati numeri, quadratusas. duetus in 3. faciat s. unde auferendocii supersit quadratus σε volo reperire alium quadratum minorem ipso s. qui hoc idem praestet. Pono latus eius 3 - 1 N erit quadratus as Io N. quo ducto in 3. ex producto auferendo II superest 6 3o . - aequalis quadrato cuius latus ita fingendum est, ut fiat im minor quam, fiet autem Im ponendo latus fictilium g tot Numeris, de quorum quadrato auferendo . per residuum dividetur sedecuplum ipsorum Numerorum multatum numeroso. Quare si ponatur quaesitus Numerorum numerus a N. fiet mi nor quam .in tandem Is . minores quam sin-- y quod per se mani iustum est, quia quadristus semissis numeri numerorum puta 64 minor est quam productus ex quadratis in unitates, putaquarii s. unde patet nulla hie opus esse Numeri determinatione, sed poni potest latus fictilium g quotlibet umeris, quorum quadratus excedat 3. Ponatur 8 2N. net IN. 2. Quare atus quadrati quaesit quod positum erat x- IN. erit 3. satisfacit proposito nam eius quadrato, ducto in 3. fit a7. unde si austratu Iti remanet quadratus Io.
389쪽
Hac ratione, ut iam monui, applicabis hoc lemma praeeedenti quaestioni. Nam primo expositi, numeris 36. -3ao quorum altero ducto in quadratum 6 altero de producto iablato, relinquitur quadratus s76. inuenies alium quadratum minorem quam 36 qui pratio idem. Esto latus illius 6- N. huius quadratus ductus in I36., multatus numero 32o ne Π6-263 N. - 36 Q. aequandus quadrato verum latus quaesiti quadrati non solum debet esse minus quam . sed etiam quia quadratus talis esse debet ut eo ducto in I36 a producto possit aurerri ΑΠΟ. cum diuis 432o. per 36 fiat i. I. cuius latus sere est, et oportet utique latus quadrati non esse minusquam 3 . at illud positum est 6 - 1N quare eum auferendo Ham supersit - - IN. curandum est utique viam sit minor quam . Igitur numeri 376-I' N. - 36 Q. latus ita fingendum est ut prodeat et N. minor quam . Quamobrem si modo lἔepe alias a nobis usitato, deternunationem qua ras numeri Numerorum in latere fictilio ponendorum , inuenies latus fingi debere 24 tot numeris qui sint plus quam 34. Ponatur ergo a - a N. fiet Im quo detracto a 6. manet latus maliti quadrati Ipse ergo quadratus est 'aeret quo ducto in I36 fit unde si auseras 32αves sub eadem denominatione unam' manet quadratus I. . , latere t V. Deinde si velis adhuc quadratum maiorem quam sed minorem quam εο pone latus illius . t N. quadratus ductus in I36.4 multatus numero 'Po fiet 376 -- Io I36 aequandus quadrato. Sed quia valor quadrati debet esse minus quam o cum latus proximum ipsus Δαst I. ab hoc auferendo latus quadrati quaesit quod positum est 6 -- LN.supersit x K i N.patet N. minorem esse debere quam iet. Quare si quaeras determinationem numeri Numerorum inra tete fictilio ponendorum, inuenies Iatus illud fingi debere tot Numeris qui excedanes cet. P natur ergo 24 F6 N. fiet I N. -n. Quare latus quadrati quod positum est 6 erit ipse qua-
et qui utique minor est quam εο eoque ducto in I3 4 de producto auferendo 432 O rein quadratus 'I '' a latete
INvs Ni κε triangulum rectangulum, ut
numerus areae tam hypotenuis quam alterius laterum circa rectum numero adscito, iaciat quadratum. Si statuamus illud datium specie, rursum cogimur determinare quaerere triangulum rectangulum, quadratum numerum maiorem areae numero, ut quadratus ductus in productum ex hypotenuia in unum laterum circa rectum, detracto solido contento sub area , praedicto Iatere circa rectum, interuallo hypotenusae supra praedictum latus, faciat quadratum. Formetur ergo triangulum 4. I. st quadratus 6.Sed is non est maior areae numero Habemus igitur duos numeros, alterum quidem qui hi ex hypotenus in unum laterum circa rectum , nempe uo. alterum vero , solidum contentum iubarea,vno laterum circa rectum, cla excessu hypotenusae supra praedictum latus, nempe Mao. Quoniam igitur quadratus aliqui , ut 36. multiplicatus in 136. detracto 43ao facit quadratum, quaerimus autem quadratum maiorem esse quam 36. si statuamus ipsum I Q. a N. --36. superiorem sequamur de monstrationem, inueniemus infinitos quadratos quaestionem soluentes. Quorum unus erit
390쪽
T Entetur benefici nostra methodi sequens quasti alioquin diffluima. In ut ira
triangulum rectangulum vitam hypatenus quam num exiteribus detractάareά Deiant quadratum.
Exadnotatis ad duas praecedentes, omnium quae hie aguntur causa fit manifesta. Quare suffetet integram subiicere operationem Ponatur triangulum datum speete 8 d. LN Irm fiet area 6o. cui adiiciendo tum hypotenuam 7 . tum latus 8 N. fiunt εὐα- armis o in I N. aequandi quadrato. Quod ii instituamus aequationem respectu fio. N. ut etiam valor Numeri alteri numero rite applicari possit, opportebit inuenire quadratum a quo auferendo do. per residuum diuidendo 8 fiat quotiens, cuius quadratus sexagesies sumptus , adscito latere suo decies septies, faciat quadratum. Esto quadratus quaesitus L detractouo fit o. per quem diuidendo L fit in .euius quadratus ' - . .... qui si ducatur in si Mimis io cui si addatur decies& septies 'do.. hoc est sub eadem denominatione et et Mi.... utique, et obcipiet aequandus quadrato. Quare cum denominator fit quadratus, restat, ut numerator 336 Q, 3ro aequetur quadrato. Quod facilὸ fit elim ex demonstratis ad decimam quintam quadrat, is ducto in I3 .in de producto auferendo Mao supersit quadratus. Verum quadratus 36. hic usui esse non potest, quia non est maior quam o quod necesse est, cum quaeramus quadratum aequandum eum μα- N. Igitur implorandum est auxilium praecedentis lemmatis, Minueniendus quadratus maior quam 36. immo quam o quo ducto in i 6. de producto auferendo 63ao. relinquatur quadratus. Ponatur latus quaesiti quadrati fiet quadratus 36 iam. - linquo ducto in 36. de producto auferendo ais fit; o, --I63am. Iet maequandus quadrato. Quia autem quadratus quaesitus debet esse maior quamiso sumpto quadrato proxima maiore quam so putas . cuius latus' a quo auferendo . remanet a patet ita fingendum latus quadrati viam non sit minor quam . Quare si quaeras Numeri determinationem inuenies latus fietitium poni debete a tot numeris, qui non excedant 2I. ita tamen ut eorum quadratus cedat 36 quales sunt omnes numeri a tet usque ad 2I inclusi . Ponatur ergo' - 46 Ni fiet M. 2o. Quare latus quadrati est 26. Ipse quadratus 6 6 aequemus ergo 676 cum scis F M. fiet I . si.&latera quaesiti trianguli erunt n. l . Area fit ita evim adiiciatu eum hypotenuis. tum primum latus, fiunt quadrati s . 'irmum laterat . cll.