장음표시 사용
401쪽
interualli interuallorum ΒΚ. BH. vi constat ex Corollatio lemmatis quarti Quare eum interis
dus quadrato,in facilis quidem est aequationis ratio, sed oportet prius determinare de Numero. Quia enim volumus triangulum ABC esse Oxygonium, ne celle est quadratum cum ilibet lateris, minotem esse aggregato quadratorum a telliquis duobus lateribus , leu quod auum est, oportet semissem aggregati quadratoium a singulis lateribus, maiorem esse quadrato cuius ibu lateris. Cum ei sosmatia latera IN. N. - o. m. t 6 erit aggrcsatum qua ratorum ,
32 8 glli quidem ut apparet maior en quadrato primi lateri, sed de aliis duobus non statim apparet oportet ergo a8 sit maior quam N. - GO qua aequa tione resoluta fit I . maior quam . . Rursus oporte viqi Q - η N. - 28. st maior quam Q - N. - Ἀσα qua aequatione resoluta , fitam minor quam . Oportet ergo ita fingere latus quadrati Q. - ut fiat IN. malo quam . minor quam V Porto fiet valor Nunierisi a quodam quadrato auferatur I. ωpet residuum dividaturcio Ponatur ergo quadratus quas tus quocum instituenda est aequatio I Q. fiet rem maior quam alia minor quam P. Quare utraque aequatione resoluta constat quadratum quaesitum maiorem esse debere quam 3 i, minorem: Ponatur verbi gratia sint ao N aequales Mo fiet i N.A. latus scilicet Ara erit autem C item. H. segmenta BD: D C. fient ἱ - 1 segmenta vero B E. EC erunt Pως. Ipsa ED: Quamobrem a quadrato ipsus AC hoe est Dux auferendo quadratum ipsius D puta se remanet qiuulta tua perpendicularis A D. cui si addas quadratum ipsius E D. puta sub eadem denominatione II fit seu ct . quadratus lineae Aa Ae proinde ipsa linea Α E. H8.& rationalis ut requirebatur. Quod si omnia latera per 3 multiplices , habebis omnia in integris , eritque Λ B. M. Aulao B C. 8o. T. 2'. SCHOLIV M.
Non curamas verum perperdicia ris A D. μυιionatis, an non; eumsusscia utera triauul via cum linea in facere rationalia. Porro inlisit a reperiri possunt hae arae rianguia, ct quorum Iatera Auersas seruent ratione , tum quia pro interualli B x. G. νει sumi possun tres proportionales diuersi a ipsi as. o. ιε. ct in Huersa ratione,unde iures eantingent solutiones, tam etiam quia quadratus ' o. N diuersis
PROBLEM SEXTUM. Triangulum amblygonium constituere in rationalibus, ut obtuso angulo bifariamst ita, numerus angulum secantis sit rationalis.
Esto triangulum ambivgonium ABC perpendicularis D angulum secans x intervallum segmentorum B D. D a perpendiculari factorum sitim interuallum autem segmentorum B E. EC. secante angulum factorum esto B H. ac denique interuallum laterum AB. AC sit BG. igitur ob demonstrata lemmate quarto sumemus, ut supra tres numeros proportionales , t s. o. 6. statuemus ΒΚ. 23. BG. 2o. H. I 6. tum posito A C. im fiet veprius A B. N. --cio.&BQ N. - 6. Quare tandem inuenietur quadratus ipsius E -- N. Qitare omnia ducendo inas. tum diuidendo per s.fiet I Q. - ao N. aequandus quadrato. Qitoniam ver voIumus angulum B AC. esse obtusum , oportet vi quadrati simust laterum A B. C. sint minores quadrato vastos BC Qtiare a Q. - odi. - oo minus esse debet quam et Q - N. - 216. unde tandem IV. minor esse debet quam 2 in N. Wre in integris ad minimos deducta fit Do minor quam αμ. - . Qua aequatione ut decet resoluta, fit Im maior quam s. portet igitur aequantes quadrato linis Io N. efficere N. a Iorem quam o Quamobrem cum fiat Im quodam quadrato unitate niuuato, per residuum diuidendorio si ponaturqilaesitus quadratus Q fiet. d. maior quam .& tandem 29. maior quam Quare onortet quaesitum quadratum, minorem esse quam L . Ponatur il ergo I Q - 2ON aequatur A.&fit x N. - . latus stilicet Λ C. Quare ΛΒ. est B Q segmenta BD. DC. et in M'.
402쪽
ratum alia uot'iradratarum cum desectu IN. Esto I IN. cum ergo posuerimus μά. . . ia
aream N qui fit ex lateribus circa rectum erit a N. Atqui a N. producuntur exam in a. si ergo alterum circa rectum statuamus a. erit alterum m. fiet cir cum serentia i 8 qui non est cubus. At i8. ortus est quodam quadrato, initatibus a. portet itaque inuenire quadratum aliquem, qui binario adiecto cubum faciato ita ut cubus quadratum superet binario Ponatur igitur quadrati latus N. At cubi latus N. i. fit quadra. tus quidem Q - N. - . At cubus i C. 'IN. 3 Q - I. volo ergo cubum superare quadratum binario. Quare quadratus cuin binario , puta N. s. aequalis est -- 3 N. 3 in i. unde inuenitur IN. est igitur quadrati latus s. cubi vero 3 ipse quadratus s.cubus et . Transmuto itaque rectangulum , dc ponens aream illinc N. sta-ruo hypotentiam s. - N. Manet auistem baiis a. cathetiis 1 N. Restat ut 3 i ira a Tινο πιτωγώνου
403쪽
AN autem alius in integris quadratus praeter ipsum a s inueniatur qui a Iumpto binario cubumjaciat. Id sanὸ diuellis primo obtutu idetur disquisi)rionss. Certissima tamen demonstratione probare possum allum alium quadrarum praxe as incintegris adiecto binario facere cabum Infractis ex methodo Bae,eri superunt in iii , sed doc Dinam de numeris integris qua sane pulcherrima
subtilissima est, nee Baehetus nee alius quiuis cuiusscripta ad me perseuerint, hactenus calluit.
TRIA te postulantur. Primo ut exhibeatur triangulum rectangulum in numeris rationalibus. Seeundo ut area euin hypotenus faciat quadratum. Tertio ut ambitus trianguli, hoe est summa trium laterum , sit numerus cubus. Primum autem, ultimum est quod curat Diophantas, aequando quadratos laterum circa rectum, quadrato hypotenuis. Reliqua duo postulata praestae ipus positionibus ingeniose tactis. Nam ut area cum hypotenus faciat quadratum, posita arear N ponit nypotenatam quadratum aliquem nil merum unitatum cum defeetu I. . puta IF-t N. Tum vero quia area est semissis plani sub lateribus circa rectum contenti, sequitur planum sub lateribus circa rectum esse a N. Quare ut habeantur ipsa latera circa rectum, sumendi duo numeri quorum, mutuo ductu fiant a N. Ex infinitis autem huiusmodi numeris eliguntur IN & a. quia in hypotenus positus est cum signo detreetus . ac proinde addendo simul tria later eliduntur umeri, ac manet summa laterum, solus unitatum Numerus, compositus scilicet ex quadrato illo qui positus est in hypotenuia, Wex binariolari ponitur pro altero laterum cito tectum. Cum ergo summa haec debeat conficere cubum , apparet necessitas secundae positionis,qua inuestigatur quadratus qui adsumpto binario cubum creet. Hoc isne loco deuoluimur inaequatiouem omplexam in qua dua species, duabus speciebus aequales sunt. Cum enim I α-- a N. - et aequentura C. -- 3 N. - - I fiunt tandem I C. - . m. aequales ης -- . Nec vero sciri potest qua ratione huiusmodi aequationem resoluat Di phantus, cum in libris eius qui extant, nusquam id docuerit. Certe regula generalis, perfectanactenus ignoratur Particularis autem quae in hoc eas loCum habet, traditur a multis est
huiusmodi Si IC. - N aequentur cuilibet Quadratorum unitatum numero, quorum tamen multitudo si aequalis, fit Im. ipse Quadratorum , vel unitatum numerus. Quod facile demonstra istur. Etenim ut se habet eubus ad quadratum, sic Numerus ad unitatem. Quare duo antecedentes simul nempe i C. Dram se habebunt, ad eonsequentes simul, nempe ad I Q sicut et madi. Quare si quatuor proportionali uiri sumantur secundiis quarti aeque multiplices, verbi gratia quadrupliees , erit dira C. HI N ad 4 Q - . sicut IN. ad 4. Ac proinde si IC. HIN. ponanditur aequale erit4am aequalis . Quod erat propositum. Eaciem de causa si a C. I aequentur certo Numerorum munitatum numero erit I Q. aeqtialis ipsi numero Numerorum vel unitatum , ae proinde si numerus ille sit quadratus, erit m lutio rationalis Ut sit C. HI onantur aequales s N. - s.fiet Iris Q N. 3. de ratio est
quia I C. adci . se habet via in ad I. Neresse igitur sui tam aptὸ fingere latus quadrati, & latus eubi, ut tandem prodirent DC. - aequiaes quadratis unitatibus multitudine aequalibus , utpote 4 α - . sed qui ratione certa id seeerit Diophantus , ita ut modus ab illo usurpatus alijs huiusmodi quaestionibus applicafipossit, non constat ex eius verbis, & vero perdisseile arbitror id diuinare. Sit enim propositum quaerere quadratum, cui addendo fiat cubus , quomodo quaeso fingenda sunt latera quadrati& cubi ut commoda proueniat aequatio, solutio sit rationalis Fateor equidem me ignorare& ei qui tale quid docuerit, non paruam habebo gratiam. Sane quod propositum est, non est prorsus impossibile, nam non unus, sed plures quadrati quaestioni satissaeientes possunt inueniri, quales suli 4 4 rii. quorum utrique si adiicias fiunt cubit. Me sortuita ergo videtur Di phanti operatio , nisi quis firmiora ad eam sulciendam ponat fundamenta. Et hae ratione operando unica tantum repetitur solutio, cum tamen quaestio sit de earum genere quae plures solutiones admittunt.
404쪽
IIuic autem ultimo incommodo nostra subueniet industria, tali expedito lemmate
Dato quadrato qui adsumpto dato numero cubum faciat , inuenietur alius quadratus idem praestans. Sit datus quadratus s. qui adsumpto a cubum facit, puta 7 inueniendus est alius quadratus, qui praestet idem.Fingatur eius latus 3 - N. fiet quadratus s.-IO N. - cui addendo 2.fit a 'IO N. - aequandus cubo. Cuius latus fingo, tot unactis , ut ducti in triplum quadrati ipsius 3 nempe in 7 efficiant Io habebo autem talein Numerorum numerum diuidendo Io per 27 estque si fingatur ergo latus cubi 3 N. fiet cubus 27 N. - R . C. aequalis a7-ION. I Quare tandem . aequantur a . . fili N. X E est ergo latus quaesiti
quadrati agri ipse quadratus . .: :: : eui adiiciendo binarium fit cubus nata. Vel in mi
Simili ratione si datus sit quadratus eui adiiciendo fit ubus 8 inuenietur alius quadratus idem praestans. Etenim pone latus quadrati a V m fiet quadratus a uetusqtiaternario 8 N. -- cinaequandus cubo. Cuius latus fingat ut a -- tot Numeris, ut ducti in triplum quadrati ipsius a. puta in Ia faciant . erit ergo numerorum numerus ἰ.4 fingatur latus cubi a -- LN fietque cubus 8 N. - aequalisa -- N. -- L se tandem p aequatur α.4 fit IN. 9. Est ergo latus quadrati II ipse quadratus Iar qui adsumpto . iacit cubum ras. Hie autem posui Iatus quadrati a - N. non autem a- Im quia si posuit se a cim oportuisset latus cubi poni a j N. Tuncque in ubotam Numeroruin quam cuborum numeri an etifuissent signo minoris. Quare ut in praecedenti exemplo, unitates quidem QNumeri se mutuo elisissent. At C. in alteram aequationis partem concessisset ob appositum signum desectus. Quamobrem I Q -- C. mansissent aequales in Quod est impossibile, quia i in maior est quam C Ad simile vitandum incommodum contraria ratione positiones institui in superiore exemplo, quia videlicet I Q. minor erat quam Q. unde etiamsi dato quadratocia I aluim quaereremus qui adsumpto Taceret cubum, poneremus latus quadrati H - N. &eubie vi N. Qinueniremus adhuc alium quadratum diuersum ab ipsis iar. Porro examen operationis Diophanti tale est , fit I N. . Ergo sit hypotenus quaesiti trianguli ra. - . basis a cathetus raci . Estque summa laterum cubus 27. At hypotenus cum area quae estiae: . facit quadratum 2r.
405쪽
PAR v disteri huius quaestionis tractitio, a praecedentis tractitione, ut satis indieam ipsa
phalui verba Pendet itaque Iulio ale miliate illo, quo quaeritur cubiis qui adiecto binario, quadratum taciar. Vbi subsiti sane artiseio ponitur cubi latus I N. -i ut in cubo reperiatur icui adiiciendo binarium fit -- I. Aliter enim nili incubo binari aucto numerus unitatum ellet quadratus, non posset aequari quadrato Ponitur autem latus quadratia in tot numeris qui sine dimidium Numerorum in cubo eontentorum, puta ' N. dimidium de r. Not stilicet duplum ill Ium aeque Numeros in cubo contentos, sic cum Munitates Mumeri multitudine aequales utrimque te mutuo elidant, manet aequalitas inter cubos Quadratos puta inter C. in Porro accidit, cubo adiiciendo binarium fiat quadratus, quia a componitur ex cubo eu ex quadrato. Quare licet pulchrum problema uniuersaliter proponere.
Dato quovis numero composito excubo, Me quadrato, reperietur cubus qui adsumpto dato numero, quadratum faciat.
Si datus 37 eompositus ex eubol. Me quadrato, quaero cubum qui adsumpto I . iaciat quadratum. Ponatur latus cubii N. a. fiet cubus I C. - N. - Q. I. cui adiiciendo i . fit i - N. - ω - . s. aequandus quadrato, cuius latus, pono 3 - tot numeris quorum duplum per 3 multiplicatum , hoe est quorum sextuplum aequet Iam in cubo contentos Fingetur ergo latus quadrati P . m. fiet quadratus, N. - Αα aequalis I C. Ia .- Q. - .&fit et N. o. Est ergo cubilatus Reubus cis cui adiiciendo 17. as quadrasus a latere 23. Idemque in similibus eadem semper ratione perficietur. Netu semper latus cubi ponetur N. - latere cubi, ex quo datus numerus componitur,&sic incubo huiusmodi binomij reperietur earumdem unitatum cubus affectus signo minoris, cui addendo datum numerum , fiet unitatum numerus aequa. lis quadrato, ex quibus datus numerus componitur. Posset autem lemma Diophanti mutata paulum operatione aequὸ bene solui. Ponatur latus quadrati N. I. erit ipse quadratus L - a N. I. Vnde auserendo binarium Manet rin. a N. I. aequandus eii , cuius latus fingam in Numeris a. ut eorum triplumaequet a N. pomtos in quadrato Fingam ergo latus cubiam. a. rae I N. Quare latus quadrati ut prius erit V latus cubi Riperest ut integram quaestionis solutionem exhibeamus, quam omisit Di phaneus ob molestas tractiones. Quadratus hypotenuis fit 3ΗΡ. - - P. N. aequalis quadratis laterum circa tectum, puta I Q - Quare tandem manent . N. aequales &fitIN. aequalis areae, itemque uni laterum circa rectum , alterum vero est hypoteianus denique linit . quae addita areae facit cubum At summa laterum est quadratus a lateres.
cito uno laterum circa rectum racla qua
406쪽
pWce, a st, tuu M problema in rarae subtilitaris, quod, persem explicetur aliqua sunt se
Primo datis duobus numeris planus. bir sub rpsis eontent , mram in dratoriis , se interualis tum eorundem , aequantur simul producto ex duplo formia minerorum is maiorem menerum. st , sint duo num et in mori maior duplum summω illorum est C at qua drati eorundex D E quorum sumina F. xerualium . Ac demum it H duplumi, sub A. B. eolrient l. lo tres mimeros . . . limuri aeq.ui producto ex, Cium moniam enim Festsumma duoriam DS&''n2 4 L simu1 aequales duplo maioris E. cim ergo exi in semirum fiat si satis e. B. - Τ' 'r' duplum sui, steti numerum aequalem *s DG simul Ar ex eodem A. in duplum p. sius A fit H. Ergo ex B in duplum summae iptorin xv. hoc est in C. fit mi meis aequiat tribus
F. G. H. simul. Quod erat intentum. Secundo Datis duobus numeris unitate distantibus, interuallum quadratorum ab ipsis aequatur summae datorum numerorum Etenim 'ex Interuallo numctotum, in summam ipsorum, fit inter i. νω, is uallum quadratorum. Quamobrem si interuallum numerorum sit unitas, patet ex unitate in sum-naar numerorum, produci summam ipsam numerorum, pro interuallo quadratorum. Terrio. Datis duobus numeris unitate distantibus, fi maiori eorum addatur planus in ipsi et n- tentus, nee quadratu maioris sint enim duo numeri A B. A C. quorum interua1-lum sit unitas radi si Iano sub A B. A C. addaturis C. prodaci quadraiunt prasius A C. Etenim inuadratus ipsius A aequatur planis sub Α B. sub Ana C. 'ntentis - - Αι Ianus sub A C. sub unitate dita aequatur ipsi xc ergo An eum plano sub ΑΓ Λ B.
aequatur quadrato ipsius Λ C. Quod erat demonstrandum. arto In similibus triangulis si area primi multiplicetur per quadratum denominatoris proportionis laterum , producitur area secumlti laenam ' area sunt in dupli Larao atione late lum sed de L. Asis nominator rationis quae alterius is duplinta est quadratus denominastoris pristis intoni quo i ζία arvin quadrati sunt tu ratieme duplicata laterum tutu patet propositum. His positis nudio negyrio explisatur operatio Diopbanti. Nam tangatur triangulum ab LN Ze 1 N. . i. est hypotenus summa quadratorum, nimirum dira N. - Alierum Iarus in inter uallum eorundem quadratorum, nemp. 1 N. - Alterum denique est duplum producti, putas in se a N. Quorum summa fit in N. - a. quae si diuidatur peram. H. I maiorem numerorum quibus emictum est triangulum, fiet quotiens dumim urinnae numerorum, puta main a per primum suppositum. Vt igitur numerus aequandus cubo sit simplicior Qexpeditiora natis, ab inuento eriasignto matur aliud si utile . diitulando scilicet sugrula illius latera pectN. - . sic infim summa in m latera xi N. - aequanda cub Me ver per mitntis sappotisorus, fiet fi area munis uianguli puta α - να- 4 M. di-l idatur perql adratum' Nu videlicet per D es 4 N. - . hine est quod huiusmodi aream Gai Diophantus eni ut adda cauerum latus, nempe omnia facienta eiusdem denoetet moni--LVM M a m a M. M. t. quo ad'
407쪽
dito supradictaea sub denominatione eiusdem partis, fit in stri ae autem stactio
reducitur ad integros , quia denominatur metitur numeratorem. Quod ita probo. Numerator componitur ex duobus numeris, puta ex a C. - N area prioris trianguli, N. - . qui factus est ex a N. - . in IN. - . Prior itaque numerus, nempe area prioris trianguli , fit ex interuallo quadratorum a numeris a quibus tormatum est triangulum, in planum sub ipsis numeris eontentum , hoc est ex a N. - . in I Q - N. Posterior vero numerus fit ex eodem luteruallo quadratorumam. I in maiorem numerorum a quibus ei fictum est triangulum puta in I N. I. et ergo totus numerator ex am. I. in summam ipsorum IN. NIN. I. At eum I - - sit planus contentus sub numeris unitate distantibus,, horum maior sit IN. - . patet per tertium suppositum, horum summam aequar quadrato ipsius maioris, puta I R. a N. - I. Quamobrem constat supradictum numeratorem produci ex a N. - . in ipsum denominatorem N. - Quare diuiso numeratore per denominatorem, fiet quotiens, N. - . aequandus utique quadrato, est autem hic quotiens subduplus ad priorem quotientem 4 N. - . qui aequandus est cubo Etenim N . a. ut supra ostensum est, est duplum summae numerorum N & N. . r. atam. est interuallum quadratorum ab ipsis. Porro interuallum quadi torum aequatur summae numerorum per secundum suppositum, quia numeri unitate differunt. Ergo duplum summae numerorum est duplum interualli quadratorum. Iam igitur eum habeamus N. - aequandum cubo , rami aequandum quadrato, patet quaerendum esse cubum quadrati duplum , cuiusmodi infinitos reperiri posse docuimus ad pH-mam huius. Sumit Diophantus cubum 8.& quadratum 4 aequatque N. -- a ipsi 8 velam . I. ipsi . fit utrobique I N. . Quare latera prioris trianguli fiunt V . sed cum omnia diuidi debeant per i N. - . puta per . fiunt utique quaesiti latera trianguli - . . estque area eui addendo latus . fit quadratus . . stat A. At circumferentia est v seu 3 cubus. Caeterum posset prius triangulum fingi etiam a a N. 4 N. I. vel a 3 N. N. -- I. AEEa quolibet umerorum numero, Waltero, unitate illum superante Sed eadem semper solutio eomtinget, eubus, quadratus quibus cum ultima aequatio instituitur, iidem semper sumamur. Possunt autem aliseubi inuadrati infiniti reperiri in eadem rationea ad I pet Canonem traditum ad primam huius , dum observetur, cubum maiorem esse debere quam a. di quadratum maiorem esse oportere quam I. quia scilicet cubus aequandus est 4m, quadratus aequalis faciendus a N. . I. Id autem eontingit, si operando per dictum Canonem , sumatur quilibet cubus minormitate, per quem diuidatura denominator rationis datae verbi gratia si sumas . . per eum diis uidas a. et re, latus quadrati quaesiti, nam quadratus est, 16L cuius duplum fra est cubus. Vnde
apparet ex hoe capite quaestionem infinitas recipere solutiones. Nam si loco ipsorum 8.4 4 sumas 3Ia. 416 fiet IN. diuersa continget solutio, ut potes experiri.
OMN4 A ex dictis ad praeeedentem sunt manisesta. Et uti potm Canone ad primam huius
tradito ad inueniendum cubos infinitos quadrati subduplos, diuidendo scilicet I denominatorem rationis subduplae per aliquem ubum habebis latus quadrati quaesti obseruandum autem Me est, ut cubus per quem diuidetur i. si minor unitate , ut proueniat quadratus maior binario Verbi gratia si diuidas, per se fiet quotiens 4. latus quaesiti quadrati I6. quo utitur Diophantus inod si diuidas l. petra et quotiens cuius quadratus duplus est cubiU . sie de alijs.
408쪽
Caeterum tam hae quaestio , quam praecedens extendi potest ad quassibet duas speetes proximas , vel etiam ad non proximas, dum non sint quadratae, quia ut monuimus ad secundain huius, datis duabus speciebus non quadratis, licet unam reperire alterius duplam. Itaque poterunt eadem facilitate solui problemata quae sequuntur. Inuenire triangulum rectangulum, ut ambitus eius sit cubus, area vero cum altero laterum circa rectum faciat quadratoquadratum vel e conuerso, ut ambitus sit quaadratoquadratus, area vero cum altero laterum faciat cubum.
h Inuenire triangulum rectangulum , ut ambitus eius sit quadratoquadratus, area vero cum altero laterum faciat quadratocubum velia conuerso. Item Inuenire triangulum rectangulum, ut ambitus eius sit quadratocubus, area vero cum altero laterim, faciat cubocubum vel e conuerso.
Inuenire triangulum rectangulum, ut ambitus eius sit quadratus, area vero cum altero laterum faciat quadratocubum vel ε conuerso.
Inuenire triangulum rectangulum, ut ambitus eius sit cubus, area vero cum alter laterum faciat quadratocubum vel e conuerso. Et sie de aliis.
N. ex binario diutis per i in a. At cu- ό - γί,inia, c; -ίω τις bus fit 8 sub denominatione partis quae isto. s. . 3M οἱ - -- sit cubus a laterer in-a.&duo quadrati 'πάγωνοι , γίνονρα ιλῆ ἐν-- -- fiunt 8 sub denominatione partis quae ina . s. Pa re, γοί,ω. P quadratus est a latere LM a. Ipse vero Ca, ... I. A..c.... ad My ψnumerus est a. sub denominatione partis is ta a - - , , Ο Θ1R- r. si omnia ad eandem partem iaci, e
reducantur, fiunt a Q. sub denomina ta . . . . . . ... iis, Di
Et si ponamus aequales unitati bicis, inueniet uicim cubi alicuius dimissili
409쪽
--- dueitur, ut quaerere opus sit cubum, Ut
-- νελα oram, ἀρη - Ο iniit binarium diuuamus per hunc bi- ς' - OG γγ natio multatum, inueniemus I N. zi: poterit ab illius quadrato vestas auferri. IN FAEsTIONEM XXIII.
Tor operatio Diophanti sie habet Fingatur triangulum ab IN Wabo erit hypotenvia IQ. - alioum laterum L - r. alterum vero am. Quare ambitus siue summa trium late rimu erit Σα- aequanda quadrato Area verbem C. IN. euis adiiciatur ambitus sis PQ-2 --1N aequandus cubo Et quidem facile est aeriare quadram a Q. N. si adhoesbiam respiciamus , nam poterit aequari cuilibet quadratorum a umero quadrato maiori quama ac fiet valoe Numeri, ab huiusmodi quadrato inserendo a &iet residuum diuidendo a Talis autem debet esse valor umeri, ut per eum resoluendo hypostases I C. - IN inueniatur eubus. Quare apparet necessitasseeundae operationis , qua quaeritur quadratus, qui multatus binario &- - binarium deiquotientem, cui aduriendo is euhum, de duplum ui quadrati, fiuIα secures intur operatione ponitur quadratus quaesitus Leb viae au-doea. per aesitauim diuidendo a L enius ubus est e meta eo dup- autem quadrati eiusdem ea --. Quareve haec omnia simu addantur reducantu ad maiorem denominationem, ec
, reex τε - aequamirus eu . cum denominator sit cubus, ut constat ex pla constructione, gesta viaequemi is cubo mineratorem, puta araca Quod tactu fiet, nam aequar potest eui. Iibet numero cuborum cubito, eritque simplexaequatio , cum sint duae sp te proramat, quae redueetur aditimam simplicium, diuidendo omnia pedit C. ve innuit Diophantus. Eris itaque valoe Numeri in hac secunda operatione semissis alicuius eubi, cuius utique quadratus aequabitura Q. - Aebin duo curanda sunt Pthnum, rhuiusmodi quadratus sit maior quam a. ut euidens, est. Secundum, ut idemquM-ustalis sit, ut multatus hinatio, diuidens a. det quotientem ma icipem unitate, ut scit et i insit etiam maior quam x eo quod unum laserum circaerucium posituni est BQ I. ut autem in diuisione prodeat quotiens maior unitare, oportex diuisommminc diuidendo. Igitur Q. a. debet esse minor quam a Maddendo utrimqu a. Q. de hece quam . Constat rigo, quod ait Diophantus, quadratumme debere maiorem quam a. crvam . Cum a item quadrat huius latuvsit semissis si euius cubi ut dirivm est,&quadratum missi leuis numeri, sit --isquadrati totius numeri , rect infert Diophantus , qua illum eo eubum, o quadrans quadrati qui ab eo fit maior sit qu m a minor quam . e ideo tertiam
In tertia operatione ponit e um quaesitum DC euhn quadratus CC mui quadrin.: CC. debet D maior binario, minoiquaternario mare LC C. debet esse maior quam 8 minor quam xs. Quomodo autem inueniri possint talas quot quis vraluerit eu cubi constare potest ex iis quom simili adhorauimu d secundam huius Reducantur enim L&I6. adi actionem cuboc meam iura ad eam cuius denominato 64 fient T. -inter quas eum cadat cuboetibus qis optimὸ satisfaciet proposito. Porro eius latus quadratum putas esteubuxquaesitur,aequandus
410쪽
am. unde fit in secunda operatione I N. I l. euius quadratus nota quadrari insignitu aequabitur in prima operatione cum a Q - N. Reliquam operationem omisit Diophantus molestiam subterfugiens , nos in gratiam nudiosorum , eam persequemur in se a N. aequantuae basi&fitc.. - l. e ram. ab
Caeterum tota ratio diuersitatis in olutione, pendet ex eo quod a N. qui debet aequari cubo,potest diuersis aequati eubis eum infiniti reperiri possint ad hoc idonei. Nam quod attince ad primas possitiones, vix reor eas aliter institui posse , ita ut in commodam incidamus aequatione in.
IN W nain a triangulum reclangulum, ut numerus circumferentiae sit cubus, ex adscito areae numero,iaciat quadratum. Primum inspicere oportet datis duobus
numeris, quomodo inueniatur triangulum rectangulum, ut circumferentia quidem aequetur ni datorum numerorum, area vero aequetur alteri Sunt duo numeri ra. d. iniunctum sit ipsum Ia. aequari circumlerentiae , ipse vero . areae. Qui fit ergo ex mutuo ductu la erum circa rectum , erit i . Et si ponamus ipserum alterum erit alterum 1 m. Est autem circumserentiara. Quamobrem hypotenus erit Ia - ψ-i . N. Restat ut huius quatiatum, quod quod est re et His QE-- 72 notN aequetur quadratis laterum circa rectum , hoc est.ὰ - δερ Communis addatur defectus, 4 similibus auferantur similia, de omnia incim ducantur fiunt, a N aequales 336-- a . non possibile est hane aequationem abselui,nisi dimidium numerorum in seipsem , detracto producto ex quadratis in unitates, faciat quadratum. Et sunt numeri qui- deiu compositi ex quadrato circumserentiae N ex quadruplo aream productum vero ex quadratis in unitates, fit coctu. plo quadrati circumserentiae in aream ducto Quamobrem si huiusmodi dentur numeri, soluetur quaestio Esto numerus
areaeram circumferentiae vero numerus
euhus simul ela quadratus, puta 6 . Et veconstituatur triangultum, oportet ut dimidium compositi ex quadrato ipsius M.&ex . . ducentes in seipsum, aufer muscicide quod sit octies ex quadrato cir-