장음표시 사용
391쪽
le nulla sere est disseiatas. Nam quod ait Diophantus Cathetum ad alterum baseo semenis tum eandem habete rationem, quam habe hypotenus ad alterum eiusdem baseos segmentum, id maniteste insertu ex tertia sexti Euclidis. Sit enim triangulum rectangulum AB C., dueatur Λ D s cans angulum acutum bisariam. Quia ergo, ut ostendit Euclides loco citato se habet Alia , ve BD ad D C. erit, permutando A B ad O. sicut C ad CD. Quod est propositum. Itaque sumit Diophantus latera trianguli re tanguli 3 4 3. Saran stituens illud datum specie , applicat lateribus tria.-N. Neeesse est autem Ai statui maiorem quam BD. qui enim est Bad B D. v. C ad C D sed A C maior est quam C D. io in quam tota C B erit Am maior quam BD. Tum vero tota basi Cmponitur quilibet unitarum numerus qui habeat trientem ad vitandas fracmones . puta 3. Quare fit reliquum segmentum C D. 3. 3 N. At hypotenus AC - N. cuius quadratum aequando quadratis laterum circa rectum stri . Quare B est ' BGη AG C. seeans vero A in ii i omnia multiplises per a fient in M. aos. 3 .hoe enim licere eonstat ex prima terti porismatum. Quod si loco trianguli s. et sumas aliud non simile, aliam reperies solutionem, in altera proportione invenies latera triangulatum AC BADB ut manifestum est. Caeteram non doret Diophantus quomodo inueniri possit triangulum rectangulum . ut numeruso illum .inum G GH si ration iis . quia id est Dossibile. Quod se demonstratur.
iangulum rectangulum AB rationale, dui diuidens angulum tectum A bifariam Dieo Esto trianicat in DAD non et e rationalem. Dueatur enim a angulo D linea D E perpendicularis ad latus AC haec sane cadet
intra triangulum MD C quoniam anguli Dinus sunt aeuti. Itaque ' quoniam est ad Λ Q simit D ad G erunt componendo Ba Λα simul in Q sicut tota BG ad D C. sed AB AG sunt i tionales, &tota BC rationalis ex hypothesi ergo
quarta proportionalis DC rationalis est. Quoniam vero triangula BQDEC sunt aequangula. cum in utroque sit angulus tectus in angulus Ceommunis, ' erit BC ad A. sicut DC ad C E. -- lare cum B C. in D C. sint rationales, eritis quarta z rationalis, ae per consequens &4eliqua E A. ouia vero ex hypothesi angulus D AE est semirectus, Nangulus rectus, Ceae te- . misi liquus A D Eserni recius. Quare cum anguli Din E A DE sint aequales, ' sunt di aequales lineae AE ED. Ae proindequadratus ipsius A in duplus est quadrati ipsius Assi quare eum Assi ostensa sit rationalis , non erit A D rationalis, alioquin dabitur in numeris quadratus quadrati duplus. Quod est impossibile Vel eum fit diameter quadrati a latere Aa, ων fit lationalis, no erit , rationalis per ultimam deeimi. Quod erat demonstrandum. Si libet in numeris rem experiri, ponaturin 18 ABaI. Bors reperietur per regulam trium BDis. DC o. rursus Car6. AEra. Quamobrem maerit Ia Quadratus ergo angulumaeantis A D. inea88.& ipse A D. uam QDniam vero pleraque non iniucunda problemata proponi possunt ad inueniendum quotlibet triangulum inrationalibus, ira vives perpendicularis a quolibet angulo in latus oppositum dueia vel etiam linea diuidens basim vel angulum bifariam , fit rationalis , opere pretium tore duxi, ea hoe loeo explicare. Equidem aliqua horum iam tentauit vir doctissimus Christophorus Clauius ad du decimam. ad deeimam tertiam secundi Elementorum, sed praeterquam de sola egit pernendi. eulari , in uniea tantum proportione propositum absolvit, nec ullam profert demonstrationem. Nos autem uniuersaliorem methodum proferemus,4 omnia demonstrando persequemur, non vel anguluin secante bifariam nondum vulgata pro
392쪽
hismata subiiciemus. Sed quoniam, ut professi sumus , nihil quod ab Euclide democistratum non sit supponere nobis propositum est, ne alio lectorem amandemus, demonstranda sunt in primu
In omni triangulos duae perpendiculares a qua bullibet angulis ducantur ad opposita Mera, erit ut latus ad latus, ita reciproce perpendicularis ad perpendicularem.
Esto triangulum AB C. ab angulis in ducantur in latera opposita A n. i. perpendicu C lares Cet in E ineo esse ut latus AB ad latus BC- ita reciproce perpendicularemissi ad perpendicularem C D. Nam vel utraque perpendicularis cadit intra triangulum, initima figura vel altera eadit intra, alier extra ut in secunda figura. Vel utraque eadit extra ut in tertia figura Vel secunda perpendiculatis eadit in ipsem angulum, unde demittitur prima, ut in quarta figura. in duobus prioribus easibus unica est demonstratio. Quia enim triangula C BAEB sunt aequangula, cum in utroque sit a sulus tinis Wangulus B communis, ' erit AE ad Λ E. 4, Hu. fieu CB ad CD.&permutando, erit AB Iatus , ad latus CB. sicut perpendiculatis ΑΕ ad perpendicularem Cis.
Quod erat pr P siluin Atintertio
r casu, quoniam etiatriangula C DAE. AEB.sunt aequiatogula , eo quod in utroque sit angulusos. mm . rectus , , anguli
adverticem CID AB sint equales, sequitur ut prius esse Aa ad E sicut C ad CD. Q u re& permutando et ii Aa latus ad latus i. sicut perpendisularia Λ E ad perpendieaarem D. inamobrem patet propositum. Denique si perpendicularis A C. eadat in ipsum angulium Q unde demissa est perpendiaulatis C D. ut accitangulo erit ob similitudinem triangulo eidit in trian tum C A B. gula rectangu AD ut latus C B ad latus BA, si perpendieularis D. ad perpendicularem Q in Rursus ob similitudinem trianis gulorum C AB CD B erit ut latus C ad latus ΛΒ sie perpendiculatis CG ad perpendieularem C B. Quod ipsum metiam demonstratum est ab Euclide octau sexti. Quam brem ex omni parte patet propositi coRO LLARIUM.
Hinc sequitur si omnia trianguli latera sint rationalia, isna perpendicularium rationalis, & reliquas perpendiculares a reliquis angulis demissas, sere rationales.
Quia cum quatuor proportionalium . tres sint rationales, necesse esto quartam esse rationalem.
LEMMA SECUNDUM. Si a quouis angula tianguli demittatur in basim perpendicularis , interuallum quadratorum a lateribus angulum comprehendentibus aequale est rectangula sub tota basi 4ntetuallo segmentorum basis i vel sub tota basi aggregato segmenitorum basis
ABC sit demissa in basim BC perpendicularisini quae prim ead3 int man- gulum, die interuallum quadratorum a lateribus i. Α C. aequaste M lectangulo sub tota BG. Qinteriisti segmentorum BD. C. eomprehenso. Quia enim ' quadratus ipsius AB. aequatvr quadratis ipsarum A D. DRAE quadratus ipsius A W' aequatur quadratis ipsarum A D. 2. erit excessus q-dra, tiram super quadratum M aequalis excessui quadratorum ab ipsis A D. Di supet quadratω ab insis M. Q auferendo utrimque communem quadratum ipsius A D.
393쪽
erit interuassum quadratorum ab ipsis BD. DC. aequale interuallo quadratorum ab Ipsis A B. Αα 3. a. oris. Porro interuallum quadratorum ab ipsi BD CD ' aequatur rectangulo sub tota BC. et interuallo ipsorum BD: M. Igitur de intervallum quadratorum ab Jpsis A B. Λ C. aequatur est ingulo sub totam C.& sub interuallo ipsarum BD CD. Quod eratyropositum. Deitide cadat perpendieulatis D extra triangulum. Dico interuallum quadratorum ab issis B. Λ C aequari rectangulo sub basim sub aggregato segmentorum B D. CD. Nam utiti . . a. mi in ' qu uir itu aequatur quadr xi ipsarum v D. A uis quadratus A C aequatur quadratis ipsarum A D. M. ablato utrimque comi nunt quadrato ipsius D. interuallum quadratorum ab ipsis AB AC aequale est. interuallo quadratorum ab ipsis B.D. CD. Abinteruallum qua. dratorum ab ipsis B D. M. aequatur rectanguo sub BC interuallo ipsaeum BD CD., sub aggregato earundem BD. D. Igitur intervallum quadratorum ab ipsis AS A C aequatur rectangulo sub basi C. Maggregato segimentorum BD. CD. Quod demonstrandum erat.
CORO LLARIUM.Hine manifesti sequitur si omnia latera manguli sint rationalia, segmentacuo-
quei sis a perpendicular facta , esse rationalia η'
Nam cum latera angulum comprehendentia erunt rationalia, erit, interuallum quadratorum ab ipsis rationalis numerus , quo diuiso per basim rationalem, prodibit vel interuallum, vela ' ERin sementorum basis rationale. Ouare, in V o-- , i: ς φα ς basis rationale. Quarevi ipsa segmenta rationalia erunt.
LEMMA TERΤIVM. Si ab angulo acuto demittatur intra triangulum perpendicularis in basim, erit minor proportio cujustibet segmenti baseos ad perpendicularem, quam perpendicularis ad aliud segmentum. Sed si ab angulo obtuso demittatur perpendicularis erit maior proportio cujussibet segmenti ad perpendicularem, quam perpendicularis ad aliud
segmentum. Esto triangulum AJ C. 'angulo aeut BAC demittatur intra triangulum perpendieulatis A D. dico minorem esse proportionem BO ad D A quam Din. ad DC. conuerso minorem quoque esse proportionem DC ad
quae sane cadet extra triangulum, quia angulus BAC ponitur acutus.
394쪽
si i autem angulus Ba C. obtusus, dico maiorem esse rationem BO ad D A. quam D. Λ ad D Q ωρ eonuet . Nam ducta ad B A. perpendiculati Λ G ea quidem cadet intra triangulum ob angulum rectum B AG minorem obtuso ΒΛ sed tamen eadet inter D. ω quia scilicet angulus Bini acutus est, ac proinde minor recto B G. Hoc autem
posito eadem est prorsus demonstrandi ratio. Quia enim est BD. ad D A. vii A. ad D G. sed Din. ad D G. ' maior est proportio, quam D Aad D Q erit& BD ad feti
A maior proportio quam Α. ad C. similitet qui estis DG ad Α. si DA ad 's' 'DR sed DC. ad D A maior est proportio, quam Dd ad Da erit quoque D Q ad D A maior proportio, quam a. ad BD. Quod demonstrandum erat.
LEMMA QUARTUM. Si ab angulo acuto vel obtuso demittatur intra triangulum perpendicularis in basim itemque linea secans angulum bifariam 1 interuallum laterum angulum com Prehendentium , est medium proportionale, inter interuallum segmentorum basis a perpendiculari factorum, inter interuallum segmentorum quae fiunt ab angulum
secante linea. Sit triangulum AB Cin in eo angulus B A C. aeutus vel obtusus , a quo demittatur perpen- dicularis A D. itemque linea A E secans angulum bifariam. Et in maiore latere Ara sumaturis G aequalis minori lateri A C. ita ut G sit litteruallum laterum , sumatur etiam in segmento BD, linea D aequalis ipsi DC, ita ut BK sit interuallum segmentorum a Perpendiculari factorum Denique sumatur in B E lineam E. aequa lis ipsi E C. ita ut Binsit interuallum segmentorum a secante an gulum factorum , die B esse mediam proportionalem inter B. Hi hoe est esse B ad BG ut BGad B H. Quin enim in- Η E teruallum quadratotum a lateribus A B. A C. aequatur rectangulo rema' iar sub BC. BK. At idem interuallum quadratorum aequatur rectangula sub aggregat laterum 3.1.4 ris B. A C. Minteruallo eorundem BG. erit rectangulum sub aggregato AB A C., sub BG aequale si sexti. rectangulo subau& ΒΚ. Igitur est aggregatum ipsarum AB AG ad BG. eut K. ad BG. e . Guyniam veto est ΑΒ ad BE sieues C. ad C E, erunt antecedentes simul ad consequentes P μ' hoe est aggregatum ipsarmis B. A Q ad totam B C. sicut A B.ad B E. vel sicut Λ Q ad C E. Igitur es B ad N vel Ata ad CH se est BL ad BG. Cum ergo A G.sit aequalis ipsi R C. ME. ipsi Eaeeit AG .ad HE sicut AS ad B E&Mut BK. ad BG. Cum igitur sicut tota Α .adio . . tam BE, sic ablata AG ad ablatam HE. ' erit&reliqua BG ad reliquam B H, seues di ad BE 'uti BK. ad BG. Quamobrem est B Κ.ad BG. sicut RG ad B H Quod demonstrandum erat. c OROLLARIUM. Hi sequitur primo interuallum segmentorum a perpendiculari factorum, maius esse intervallo eorum quae fiunt a linea secante angulum, nempe S maiorem esse quam B H. Quia est BAE ad BG - - Vt A B. A C simul ad BC sed AB. An simul sunt maiores quam B C. ergo rari maior est quam BG ae proinde BG maior est quam B H. Quamobrem multo magis Κ maior est quam ΒΗ.Seeundo sequitur maius segmentum eorum quae fiunt aclinea secante angulum, puta et, minus esse maiore eorum quae nunt a perpendiculari puta ipso B D. eontra E maius esse quam C. Quia enim B cmaior est quam B H. erit reliqua μα minor quam reliquam C. quare motum semittis sumendo Petit Du minor quam E QIgitur E cadit intela M. ac proinde B Eiii-nor est quam D. Tettio, sequitur interuallum Et 'uo BD superat B E. vel quo να superat in esse dimidium ipsius HK interualli interuallorum. Quia enim Hest inta ad E C. sie ablatus C. ad ablatum Dunam utrobique est ratio dupla, P eritis reliquus HK ad reliquum ED. in eadem ratione in
dupla. LEMM QVINTVM. In triangulo rectangulo, si ab angulo recto ducatur linea diuidens hypotenulam bi. fariam, erit ducta linea aequalis dimidio hypotenusae
In triangulo rectangulo Ain ab angulo rectora Ac si ducta linea A Ddiuidens Bra bifariam. Die AD aequalem esse ipsi BD vel D C. Nam sint primo A B, C aequales. Ergo anguli ABC ACB aequales erunt, quilibet eorum dimidium erit tecti, cum BAC sit rectus. Sed&angulus B A D. est dimidium tecti eadem de causa. Igitur eum in triangulo BAD. anguli BAD A BD sint aequales,' erunt clatera B D. M. aequalia. Quod erat propositum.
395쪽
Deinde B. A C.sint inaequales sit Aramaior quam ΑΤ. Qitia ergo latera A D. D C. trianguli , C aequalia sunt lateribus ΑD. Datrianguli ABD.& basis A C. basi maior est, . erit angulus Aouangui, Da maior. Quares DG obtusus est, ae proinde perpendicularis Λ G. cadit inter Bini ne in eodem triangulo alter ansulus sit tectus, altet obtusu, incites anguli trianguli sint duobus rectis maiores. Itaque quia B C Diuisa est bifariam in D minaequaliter in quadratus semissis Duaequalis est tectangulo sub BG. G Q4 quadrato ipsius G D. At quoniam 'in G. est media proportionalis inter BG. G C rectangulum sub BG. GC aequatur quadrato ipsius G. Igitur quadratus ipsius D C. aequatur quadratis ipsarum A G. G D. sed eisdem quadratis aequatur quadratus ipsius A D. ergo quadrati ipsorum A D. D C aequalas sunt inter se, ae per consequens A D. aequam tu ipsi Q Quod erat demonstrandum.
LEMMA SEXTUM. In oxygonio triangulo, linea quae ducitur ab angulo acuto diuidens basim bifariam maior et dimidio basis. In triangulo oxygoni, B Q ab angulo acuto Ba Q ducta sic D diuidem
basim Bra bifariam die, D maiorem esse ipsa BD. vel D C. Nam primo sine B A C aequales, erunt igitur tanguli di aequales. Quare cum A C. Cinaequales fini ipsis A R BD. anguli BC aequale erunt reliqui anguli triangulorum A B D. AD C. aequales, languli ad D.rem. Itaque si A D.non est maior quam BD. est utique vel aequalis, vel minor si aequalis, erunt &α anguli DB A. Dina aequales, eadem ratione angulus in Q aeuualis eritu primi. r. primi.
angulo C. Quare totus angulus Brin aequabitur duobus angulis dita ac proinde cum tres anguli trianguli ita ementur duobus rectis , erit angulus in etectus contra hypothes m. Si autem A D. ponatur minor quam B D. V etit angulus Bisinoe angulo B A D. Meadem de eausa angulus C. minor angulo DAo Quare totus M C. maior erit utroque R C simul ac proinde angulus idem B AC maior erit recto, contra hypothesim. Quare D. non est aequalis ipsi BD. nee minor. Igitur maior est. Quod erat propositum.
quam B. Clim ergo D DC snt aequales ipsis A D. a.di basis C. sit maior basi AB. erit angulus V C. maior angulo A BG ac per eonsequens angulus Α D Q obtusus est. Quare perpendicularis A G. cadit inter B&D. Itaque quoniam BC secta est aequalite in D. Minaequaliter in . erit quadratus ipsius DC. aequalis rectangulo sub BG. G C. inuadrato G D. sed ob angulum acutum minor est ratio BG ad AG quam ipsius G.
ad G C ae proinde quadratus ipsius AG maior est rectangulo sub
BG. C. ut ostendit Clauius ad vetesimam septimi demonstratione, quae non minus lineis competit quam numeris. Igitur quadrati ipsarum Λ G. GD. maiores sunt quadrato ipsius DC. Atqui quadrati ipsarum G. D. V aequantur quadrato ipsius A D. Ergo quadratus ipsius A D. maior est quadrato ipsius inta ac proinde Απι maior estquam D C. Quod demonstrandum eratis CHOLIUM.
Non miams vrea es hae propositis in trianguia rectanguis vel ambaeonas, dum linea A D duca-em ab uno acutor- angulorum. Si enim angulus ABC reEtus vel Attis , iactasis A D. ditia deus Bebifariam, duo nihilomin, A D. niariarem . quam BD. est quidem manifestum est, ' c. A D. μισrem anguis
LEMMA SEPTIMUM In amblygonio triangulo , linea quae ducitur ab angulo obtuso diuidens basim bifariam, minor est dimidio basis.
In amblygonio triangulo Amra ducta sit ab obtuso angulo linea Am diuidens BC. bifariam. Die Αυ minorem esse quam B D vel D C. Nam primo A B. A C. po-
namur aequales, ' erunt ergo anguli B. Q aequales, wri supra ostendeturi angulos ad D. esse tectos. Itaque si i non est minor quam O. eritae Vtique Vel aequalis, vel maior. Quod si ponatur ergo angulus B aequa G lis erit angulo B AD vel maior de angulus C. angulo DA C. Quare terque BC simul aequabitur toti BAC. vel maior erit qui ΒΑ C. Quare eum in C sit obtusus, erunt tres anguli trianguli AR C aequales duobus obtusis , ae proinde maiores duobus rectis ' Quod est impossibile. Igitur AD non est aequalis ipsi BD. neque maior. Quamobrem relinqiii- t. Quod est propositum.
396쪽
M A C maior quamini. Igitur, prius ostendetur angulum A DC obtusum esse, ac
proinde perperiaicuIaris AG cadet inter BQD. Quoniam itaque BC. lecta est aequaliter in D. O inaequaliter in G. erit quadratus ipsius D aequatvrcetangulo sub BG. di quadrato ipsius M. At quia ' inaior ei proportio BG ad AG quam A G ad G C. quadratus ipsius RG nnnorcst rectangulo sub BG. M. ut ostendit e materii M.
Clauius ad vigestinaria septimi , demonstratione cuilibet orantitati conueniente. Igitur quadrati ipsarum LG. O. minores sunt quadrato ipsius D C. sed quadrati iplarum Α . G D. aequantur quadrato ptiui D. ergo & quadratus ipsius A D. minor est quadrato ipsius DG ae proinde A D. minor est qu mi C. Quod demonstrandum fuit.
LEMMA χCΤΑ v v M. 47. mae Si a quolibet angulo trianguli ducatur linea diuidens basim bifariam, erunt quadrati laterum dictum angulum comprehendentium, simul dupli quadratorum, tam ex dimidia basi quam exducta linea ortorum.
In triangulo AB Q quolibet angulo A. dueatur AD. diutis densi C. bitariam, dico qlindratos simul ipsaruni AR A C. du-pIos esse quadratorum ab ipsis A D. B D. Nam ducta perpendiculatiis E erunt quadrati ipsarum AB AC aequales quadratis segmentorum B E. Ec una cum duplo quadrati Α E. 1ed quadrati BE EC inaequalium segmentorum, ' dupli ianv qua itatorum dimidia BD. Qin intermedia DE. Igitur quadratilin Em ML sarum AB. C. dupli sunt quadratorum ab ipsis BD DE AE.
in D. - adrat issarum B D. Di aquais sunt, patet quadratos laterum
AR A C. duplos esse uadratarum ab usi A D. i. se uoces r
B E. E. duplis a Madrasorum ab ipsis i. a. patea σκώ - ' νει te B. A C. vias esse quia forum P. D E A F. at duplum auadratorum Din. a. aquatur Apis quadrati ipsius A D. Igitur quadrati te B. C. uti sunt quadrasorum ab Urae D. A D. Ae proinda ex omni parte pater protositum. His ramissis sequentia problemata demonstrabimus, omne triangulorum species persequentes, seisire Lusona tum fecundum tera, tum sectindum anguis considerata.
PROBLEM PRIMUM. Triangulum I sceles constituere in rationalibus, siue oxygonium, siue ambIPgonium, ut perpendicularis ab angulo a lateribus aequalibus contento ducta in
tertium latus inaequale fit rationalis.
Sit rimo eonstituendum triangulum Isosceles oxygonium At C. euius omnia latera Τnt rationalia & perpendieularis quoque Λ D sit rationalis. Ponatur quodlibet aequalium laterum A B. AC quilibet numerus, putas. Qipli iri 3 quadratus as dividatur per cista ua seeundi Diophanti in duos quadratos puta I 6. i. quorum latera . Et quoniam ut constat exprima parte demonstrationis temmatis sexti A D. maior est dimidio basia. ponam A D. . DC erit ergo tota balis B; 6 factum est quod proponebatur, ut manifestum est. Rr
397쪽
Deinde sit constituendum eriangulum amblygonium I soles ABC.
Cuius omnia latera sint rationalia, Be perpendicularis D fit rationalis. Ponatur ut priusini vel Λ C. quilibet numerus, putas. ipsius s. qua Matutae clividatur in duos quadratos I 6. s. quorum latera A. s. Tunc quia per primam partem demonstrationis lemmatis septimi Λ D. minor
est dimidio basis, pone tutini, DC erit tota basis B C. S. Tacitam
Non agimus ae r avgulo aequilatero, quia in eo persic non potes problema. Si entia triangulum a Malaterum in C. Heos latera illius ponamiurrarionalia perpet H Iarem, O D. esse non posse ratιonalem qua enim A D. Haidit E C. ι eram,cum
AC.sit via ipsius D C. , quadrati sint in ratione duplicata laterum,erie quadratus Utar et quadruplus quadrati Masi C. Guare eum amadrati riserum A D. C. sint aequales quadrato ipsius AC eri quadrarus ipsius D. : quadrari ipsius A C. ac proinde quadratus ipsius A c. ad quadranon possunt simia esse rationales , est ungitudι--ommensurabiles. Non agimus et am de triangulo rectanguis sesceis, ob eandem causam. Etenim si latera A B. A C. ponantur aquatia es angulus B A C rectus , erit perpendιcularis A D.aquatis iumidi basis DC., constat ex prim parte demonstraι--nis lammatis Pinti. Mare eum quadratus ex A C. si quadrati ipsarum A D. C. qualis quadrarus ex A C. duplus est quadrati ex A D. ct C est ut ι. ad a. Maare si A D.
quadrati ad quadratum, quadratus ex A D ad quadratum ex A
ae proinde .m, si quadratus ' erit O a quadratus suo est absurdum. Via eum A D. Duams evius A C. est diameter iam erit eommensurabile casta. Modest surabile casta. Quod est Nossbile
Porro sic constituto triangulo x Ionio vel ambi goni , nansos m A D. Messa ab angulo a lateriis, est rationalix, sedis qualibet aha perpendicularis, ducta ab atio angulo, pura B E. t constat ex Coreoliari lemmatis primi. Est enim ut A C. ad B C. si A D. ad B E. Quare posita A C. s. B C. b. A P. . inuenietur per regnis iam trium a. in triangulose Ionio Acin ambi gonio posita A C. s. E C. ff. i. s. inuenietur rursus per regulam proportionisis, E E semet monuisse sufficiat, ut deinceps quotiescumque eon tuerimus trianguum quodlibet in rationalibus , er ostenderimus nam perpendisularium esse rationalem , intelligaturis alias perpend eulares esse rationales. Quod si lubea σIatera Omnia rianguli, inperpendiculares exhiberi in numeris integris, opseret omnia multiplicare per communem denominatorem fractionum qua anterueniant. Ut indaro exemplo, si omnia ducas mis fient in ovgonio triangulo AB. AC a1. c. so A D. ao Ba. a. At in ambi gonio, erit in vel A C. as P C. O. D. II. Ba a . Attamen Ba. telligetur eadere extra riangulum. Potest autem quadrupliciter construthoe problema. Primo si praseribatur numeras unius aqua tum
Secundo si prascribatur numerus baseos V si ponatur basis S C. o. Tun enim sumpto semiP0 suo putas cuius quadratus 1 qua ram pro quadrato perpendicularis , quadratum numerum qua adas adiutus quadratum faciat. Sed si ovgonium triangulum est conmt Mena,m oportebit huiustmodi quadratum maiorem esse quamus insiditaris canone ad νndecimamsecundi Diophanii tradito in- sinitos latis quadratos peries. Nam quaerendi erunt duo numeri, quorum mutuo acta falcis uta tamen ut inre. Ilum eorumst maius quam to quos si arte reta consequi velis, pone minorem N. erit maior horum interuallum δει - maior est quam O. est omnia ducendo in 1 N. sv lendo defectum, se tandem is maior quam ι - N. sua quatione per approximationem resoluta,' non maior quam a. sumes ergo pro minore quemtibet numerum qui non excedat a quatis sunt . I l. r. . a. or insi iri alii Verbi ratia sum ι erit maior ay quorum interualium a ciuius semissis
sta erit even euiaris A D. nam eius quadratus additur quadrato se si C. pura ipsi an faciaris quadratum Uur . V. Quare A C. vel a in est II. BG. o. i. ra. Sed si ambi tonium friangulum eonstituendum est, posita, prius VC. o. quarendN erit quadratus minor quam s. qui ad as additus quadratum faciat. Sunt ergo inueniendi duo numeri quor- mutus dActu fiat 1. itave eorum interualumsit minus quam ιo quar si ponas vi priui N. siti Mismos
398쪽
Cat iam non agimus de segmentis basis a perpendi larifactis, quia ekm triangulum est ratio D. Ostimenta illa sint rationati a per corollarium secundi lemmatis.
PROBLEM SECUNDUM. Triangulum Oxygonium scalenum constituere in rationalibus, ut perpendicula cularis ab angulo acuto demissa sit rationalis.
Ponatur latus A C. quilibet numerus, ut pote Io cuius quadra intus Ioo dividatur in duos quadrato , ut pote in 64. 46 quorum later 8. i. d ponaturin D maius horum laterum, puta . . C. minus puta 6 Metam D. I . quadrati ergo ipsarum B D. A D. putar 'in aequantur quadrato ipsius A B. Quare varia sit ration lis oportet I Q - aequari quadrato. Quoniam vero angulus Rponitur acutus ' est ratio DC ad Am minor ratione A D. ad BD. M proinde produetus ex BD in D C. puta di minor est quadrato p. sus A D. qui est 6 . ut ostendit Clauius ad vigesimam septimi. Ergo eum diuidendo 6 . per . fiat Io. l. patet I . minorem esse debere quam Io . liter reperietur Numeri determinatio, hac arte scilicet. Quia ut trianguli omnes anguli sint acuti oportet quadratum cuiussibet lateris minorem esse aggregato quadratorum ab aliis lateribus Hoc autem ut sit,oportet quadratum cuiustibet lateris minorem esse semisse aggregati v quadratorum a singulis lateribus, sumo aggregatu quadratorva singulis lateribus, est autem quadratus Α . I . quadratus BC.tΟ -- 36 iam. quadratus Ai quorum summa, in μao N. cuius semissi. Q Ioo. - N. quem euidens est maiorem esse tum quadrato ipsius C. oo tum quadrato ipsius Ri I . - , . Restat ut etiam I - Io - - . tu maior quam Q. - -- M. Quare ablatis utrimque aequalibus, oportet ut 64 sit maior quam 5 N. Quare diviso OP . perin fit IN. minor quam Io e ut prius. Itaque quoniam fingentes latus quadratici Q. - ponemus illud 8. tot numeris, a quorum quadrato auferendo 1 per residuum diuidatur sedecuplum ipsorum numerorum oportebit hunc quotientem minorem esse quam Io Ponatur ergo numerus Numerorum Im fiet unta minor quam Io ., omnia ducendo in tri .. rursus in i fient tandem N. - 3a minores quὶm eu 3 N. - . minores quam a Q. qua aequatione resoluta eum fiat IN. a. patet fingendum latus quadrati 8. ro Numeris qui exeedant2. Ponatur L-s N. fiet IN. 33. tanta erit BD. Quare ΑΒ est L A CIO BC. O . AD LsCHOLIUM. Hla etiam Leo nia laterum,n Eribi posset Usa perpendicularis A D. ut puta ra. Tune ergo quare duas quadratos qui additi ad quadratum resus faciant quadratum, hac tamen lege ut vel viri que quasitorum tussi minus quam ta velsi alterum si maius alterum minis1 maioris adta.sii minor ito, quam ipsius a. ad minus, videlicet constitu tu triangulum Oxygonium. Quadrati quorumiatera minora sun quam ιa. Funt ιι. as. Posita ergo i ιa erit B O. . D C., atque adeo rota να
399쪽
. PROnLEM TERTIUM. Triangulum amblygonium scalenum constituere in rationalibus, ut perpendicularis ab angulo obtuso demissa tu rationalis.
Ponatur Λ C. ut supri quilibet numerus o. Cuius quadrato in duos quadratos diuiso, ponatur C. alterum latus o. in D. alterum S. It B Da . et ergo ut prius I in F 64 aequandust lenium. Λ quadrato. Sed quia ob angulum obtusum maior est rati BD ad D quamini ad D C. productus ex BD in D C. puta om. rhaior esse debet quadrato ipsius A D. 64. Quare im debet esto maior quem Io . si ergo quaeras ut supra determinationem numeri Numerorum in latere fictilio ponendorum, inuenies fingendum D C esse latus illud 8. tot Numeris qui sint minus quam . sed opor tet etiam ut sint plus quam r. vi videlicet eorum quadratus excedat Pone ergo 8. - N. fiet N. tanta erit B D. ergo tota BG. 34. A B ao l. A C. Io. D. 8. Vel ponaturam quilibet numerus utpote ra. quaerantur duo quadrati, ut quilibet additus ad I quadratum piliis Ia faciat quadratum, ita tamen ut cujussibet quaesitorum quadratorum
latus sit maius quam ia vel si alterum sit maius, alterum minus, maius ad Ia maiorem habeat rationem , quam Ia ad minus, ad hoc ut angulus B Λ C. constituatur obtusus per lemmatertium, sumi possunt maiora latera 3s.&46. nam addito quadrato ex3ς. ad quadratum ex Ia fit quadratus ex
37. eidem addendo quadratum ex I 6 fit quadratus ex ro. Posita ergo A D. Ia erit B D. I 6. D C. 3s tota B C. I. A B. o. C. 37. si autem sumantur latera ν ως quia maior est ratio s. ad Ia. quam Ia. ad 9 erit BD. 9. C. 3y tota BG. q. A C. 37. Α B. II. Vel denique si sumas lateia 3 s. ως quia etiam maior est ratio s. ad la quam Ia ad s. fiet O. s. c. s. totam C. O. A C. 37. AB. I 3.
Animaduersione dum m est, posta perpendiculari a. formari posse sex riuersa trianguia in integris,
quoram o sunt xuonia/η in scholio precedentis exposuimus, nimirum I. ι . s.cta . o. s. iria sunt ambi goma ρο εἰ attulimus, primum II 3 . o. secundam AE. 37. 1 tertium O. 3Z. 3. Restae num rectangulum, cuius latera as. ao. 33. A videlicet segmenta ποre seponanturis. σιε.
ἱnte qua perpendicularis a. est media proportionalis per octauam sexti. Ceteram non propos mus mens reorianorum rectangurum scalenum inrationalibus , τι perpen- A lapis ab angulo recto demissa si ratio δει Maia id aeridit euicum' triangulo rectangulo rationa-5. ιι eonstat ex Coraliari lemmati primi , vim fluam minante a quarta parte demo nitrationis ipsius Iemmatis.
PROBLEMA QUARTUM. Triangulum scalenum , Oxygonium, vel amblygonium constituere in rationalibus, ut ab angulo acuto, vel obtuso ducta linea diuidens basim bifariam, sit rationalis. Sit trianstulit oxygonium A BC in quo ducta sit A D. dividens
basim B C. bifariam Sume quemlibet numerum ex duobus quadratis compositum, ut I3 compositum ex s. quorum laterat. a. minus latus a tribue dimidio basis D C. maius vero 3. tribuer ααίρ, . - lineae A D. ' quia sciliret ob angulum acutum M. debet esse ma-
ι -- .a,.a or quam D C. Tum veto quia quadrati ipsarum A B. A C. sunt
dupli quadratorum ab ipsis A D. Q cum sumina quadratorum ab ipsis A D. D C. ponatur is erit summa quadratorum ab ipsis B. G. 26. Porro quia 3 componitur ex duobus quadratis, ν LDris quorum latera 3. 4. duplum ipsius 3 puta 26. ' componetur etiam ex duobus quadratis , quorum lateras ruri aequalia scilicet tum summae tum interuallo laterum quadratorum ex quibus a componitur. Sed si tribuas y ipsi Assi mi ipsi KC.manifestum se queatur absurdum. tria enim ΑΒ ponitur summa ipsorum .in a. in C. eorundem interuallum. At BC ponitur duplum minoris a puta . patet addendo duplo minoris interuallum numerorum. n. primi fiet summam numerorum, ac proinde latera AC. B C. simul aequalia re reliquo AB. Quod est absurdum. Superest ergo ut numerum 26 eompositum ex duobus quadratis s. a. rursus di ui damus in duos alios quadratos per decimam secundi Diophanti. Ponatu alterum latus N. alterum I m. fiet luminaqii adratorum 26 - - - N aequalis 26. unde fiet I N. sunt
ergo quaesita latera ,:. 4 . Posita igitur A D. . erit AH. 3: A C. 3 4 B C. q. vel omnia ducendo ins fiet A B. Is Λ C. i . BC ao ipsa A D. Iy.
400쪽
Contrariat: tione in triangulo amblygomo ABC. -- aus C. Q D. a. ' quia i iiiino est quam O C. Tuua . . ut priua quia quadrati ipsarum AD, DC ponu M 3, ' crunt linia .uia 'quadr ti piarum A B. A C. a F. qui cum sit duplus numeli ei
duobus quadratis composui, componetur de ipse ex duobus quadratis, sed maius latus s. est summa ipsarum A D. BC. mi T. v. oris nus laeus est interuallum earundem puta I. Quare si Ai ponas s. Λ C. I. cum maioris duatum A D. L C. lupi sit B C. si agoreiarto earundem A D. V. puta ipsi AB addas earundem inteluallum A C. sic aggregatum ip-um AB A CL aequale iplia D. Qia' est absurdum. Quare rursus 26 diuidendus est in duos . in alios quadratos, ut factum est supra, sint ergo eorum latera v. Posita ergo ΑD. a. fiet BC. o. Hαι. 6. A B. Cet vel omnia ducendo in s. crit I9. A C. II. BG. 3O A D. Ia.sCHOLIUM. Emdem est tam in x rems, aruam in am gomo ipsas A D. C. poni posse in qualibet propom
Dei asini prius praeserim-m ipsa A D. D C. ita vi in prius ipsa A B. C. praeseribi, va
surdum quadratorum quam mmes in applicari lateribus trianguli. Quare ruitus erit huiusmodi numeros diuidere per arrisioum uoiscima quinti, in duos suadrator , quorum exi nam sit meruallum , sic
enim in auuncommodum nunquam incurretur.
Caterum proposui triangulum scalanum, non tem sescetis munire, ania eum in triangulo Iose is tinea svidens insim bifarιam, si perpendicularis ad basim non disserret uissimari problema
Non proposui etiam de trian uis rectangulo solano, quia in omni trianguli rectanguis νεινenali problema perficitur, cum linea Amrins hypatenusam bifariam si si ιν aquasi dimidia . po e sa
Supersunt elegantis pro blemata quibus quaeritur triangutam tum Oxuantum, rum, bis Ionium, ut acuto vel obιus angulo bifariam scis, numerus angulum secantis sit rationalis qua sane magι accedum ad quaestionem Diophanti, quamuis sint longe subtiliora.
PROBLEM QUINTUM. Triangulum Xygonium inuenite in rationalibus , ut nume s angulum acutum hi iam in secantis sit rationalis.
Esto triangulum Oxygonium ABC.4 ducta perpendicularis A D.4 linea DE. semos angulum B A C. bifariam , oportet faeete omnia latera trianguli rationalia , .lineam Ata rationalem. Sumatur segmento D aequale DAE. ut B. fit interuallum seginentorum a Perpendiculari factorum. Item segmento C E sumatur aequale EM. ut Hi sit interuallum ementorum a secante angulum factorum Denique sumatur AG aequalis ipsi A C., BG sit interualbim laterum AR A C. Quoniam ergo ut est ΒΚ ad BG. te est BG ad NH. sumanturos Picitiaque numeri Lemma uansi. Proportionales , puta u. o. res de ponatur Κ.as BG.ao B H. I 6.& saeuatur Λ C leu AG. N. erit ergo tota AB i N. - o. ae proinde interuallum quadratorum ab ipsis AS A C. est o . - oo quo diuiso per interuallum segmentorum basis a perpendiculari factorum puta per as ' prodit tota basis B C. m. - i5 cui si addatur Madi- matur interuallum segmentorum , puta u. seimili summae de refidui ostendet ipsa segmenta Fiet ergo minus segmentum D C. N. q. cuius quadratus P - - - N. qui si auferatu a quadrato lateris A C. puta ab et Q remanet quadratus ipsius perpendicularis A D. nimirum ' αε m. r. cui si addatur quadratus ipsius ED. puta V. etenim Em est semissis ipsius Hia r iij