장음표시 사용
81쪽
. . . Dia. E ponam triang. reeting. quodcumque A. B. C. ita ut D duplum perpeα--. . dic ut C sit in ius basim. ab eo formetu aliud EFG, ita ut planus subb Uin. Ei pa G i, perpendiculis superet planum sub basibus numero quadrato Tum a duobus Miri. xu L ό hisce triangulis formetur tertium HKL ita uti sit productus ex Min E Atm basis fiat adesto producto ex Grini ad productum ex F in C. Denique M Oas N, is perpendiculum L fiat auferendo productum ex Pini a producto ex G in C.
Dico tria haec triangula satisfacere proposito , nimirum M solidum sub hyp tenusis addi solidum sub perpendiculis esse in ratione quadrati ad quadratum. Quia enim ex Α, in fit H ex eonstruct patet solidum M factum ex H in messe quadratum ipsius H. Quia vero ut probatum est ia huius ex C in Giue quadratus ipsius D. At L. est quadratus ipsius B ex onstruct &peris huius Patet solidum N. qui fit ex quadrato in quadratum esse quadratum cuius latus scilieet est productus ex B in D. Quare eum uterque Minm sit uadratus, patet propositum. decima litet exposito triangulo At C. ita, D duplum perpendiculi sit minus basi Bosormetur aliud erita, - EFG, ita ut planus sub perpendiculis eum plano sub basibus faciat
' quadratum. Et ab ipsis duobus. efformet ut tertium H L. ita ut hy-
- 'Τ potenus ii fiat ex A in B. basis K sit, quod testat a producto ex Bin G
ia ψι' ' detrahendo productum ex C in F Denique perpendiculum L sit summa ad i 'λ , pioductorum ex B in Fin ex C in G. Etit igitur L quadratus ipsus B. '. Quare eum eonstet etiam et decimam tertiam ex C in G produci quadratum ipsius D. patet solidum sub ipsis CG L. productum ex quadrato in quadratum esse quadratum , cuius stillicet latus est productus exi in D. At solidus sub hypotenusis, ut prius ostendetur aequalis quadrato ipsius H. Igitur eum uterque solidus sit quadratus, constat abunde propositum.
ua hactenus tradita sunt rati superpis sufficiunt ad absolutam Diophantaeorum problematum enodationem. Ceterum placuit his subnectere seauentia Theoremata non inutilia de triangutis rectangulis, qua protulit primus Franciscus Vieta in sibris raemiorum, quamuis ea θnthetice minimὸ
In triangulo rectar*ulo, quotlibet laterum circa rectum, est medium proportionale inter aggregatum interuallum alterius laterisin hypotenuis'. Et e conuerso, si tuerint tres inaequales numeri, quorum unus sit medius proportionalis inter summamin interuallum aliorum, constituent triangulum rectangulum ipsi tres numeri.
Sit triangulum rectangulum ABC. alterius lateris Λ Hypotenus Criniari tet uallunt sit D. aggregatum E. Dico reliquum latus B esse medium proportio δ' nile inter ipsos DE sumpto enim . quadrato ipsius B, patet ex hypothesi quadratum ex Meum quadrato G aequari quadrato ipsius C. Quare Gest interuallum quo quadra-Hε ita, i tus ex C. superat quadratum ex A. Quamobrem G fiet ex D in E ex interuallo scilicet in sum- αι te Mam. Igitur B est medius proportionalis inter D ME. Quod demonstrandum erat. V, 7 E eonuerso ponatura medius proportionalis inter D interuallum, summam ipsorum M. . - Dico tres A BC constituere triang. reo Quia enim sunt proportionales D UE ex D in E fiet G-. quadratus ipsius B Atqui ex interuallo D in summam Efit interuallum quadratorum ex Ain C. i. tia. i. Constat ergo G esse interuallum quo quadratus ex C superat quadratum exin Ae ideo G seu qua-Dri dratus exicum quadrato ec aequatur quadrato ex C. Quamobrem ΑΒ constituunt triangulum terungulum. Quod demonstrandum erat.
In triangulo rectangulo quadratus unius laterum circa rectum, aequatur quadrato interualli inter alterum latus hypotenusam, una cum duplo producti ex eodem interuallo in idem latus, Me conuerso. Sit triang. recl. A BC. .siem interuallum inter hypotenusam C. de latus B, ipsius indupuis esto Dico quadratum alterius lateris A aequari quadrato Α- ' ipsis, D,4 produetoe2Gin Quia enim BD simul aequantur ipsi C. Cerit 2 quadratus ex C. aequalis quadratis ipsorum BD, duplo producti exi in D. hoe est quadratis ex ΒΛ D. producto e G in B. At rursus ex hypothesi quadratus ex C aequatur quadratis ipsorum B. Igitur quadrati ex ΑΛ B. aequantur quadratis ex R&M4 producto ex G in B. Quare ablato
82쪽
utrimque communi quadrato ex B. remanet quadratus exin aequalis quadrato ex D, producto ex Gin B. Quod demonstrandum erat. Conuersum eadem facilitate ostendetur. Sit enim quadratus ex A. aequalis quadrato ex D intervalli ipsotum B C. &producto ex Gin B. Dico Λ BGeonstituere triang. rect Nam ut prius quadratus ex C aequatur quadratis exi ivi producto ex G in B. Ergo loco quadrati exi, producti ex Gin B. sumendo quadratum ex Α illis aequalem, erit quadratus ex C aequalis quaiaratis ex Λ i. e proinde Ret constituent etiang. re Quod erat propositum.
In triangulo rectangulo, si duplum interualli lateris unius mypotenuis ducatur in hypotenusam, ni numerus aequalis quadrato reliqui Iateris, una cum quadrato eiusdem interualli Sc e conuerso. si Sixe dem figura quae prius dico productum ex in C aequasi quadratis ipso . ...i-
rum Quia enim quadratus exin aequatur producto ex G in ΒΛ quadrato Lis.... ex D si addatur utrimque quadratus ex D, et unt quadrati cx A i simul aequa risi 'les producto ex G in B duplo quadrati ex D sed quia Gest duplus ad D, productus ex G in Daequatur duplo quadrati ex D ergo quadrati ex A aequantur productis G in Bin in D, seu b, iis,. i. producto ex G in C qui componitur ex ipsis B D. Quod erat propositum. conuerso ponantur quadrati ex A maequales producto ex G in C. dico ipso ABC constituere triang. reet . Quia enim productus ex in C aequatur productis ex G in B&in D.&pto ς prim i ductus ex G in D aequatur duplo quadrati ex D constat quadratos exin minaequari producto ex G in B& duplo quadrati ex D. Quare auserendo utrimque communem quadratum ex D remanet quadratus exin aequalis producto ex ciniis quadrato ex D. Quamobremini inconstituunt triang. rect Qu9d demonstrandum erat.
Si duplum compositi ex uno latere 4ypotenus ducatur in hypotenusiam , productus aequatur quadrato eiusdem composui, & reliqui lateris quadrato. Et e conis
uerso. Sit triang. rea ABC. si H summa latetis B&hypotenuis C.&sit duplum ipsius . dico
productum ex K in C aequari quadratis ipsorum Nam quadratus ex H cit . aequatur quadratis partium B. C. producto bis ex a in C. Quare addendo 'utrimque quadratum ex A. Quadiati ex &H aequantur quadratis singulorum & producto bis ex a in C. Quia vero x eontinet bis utrumque a C. ducere crinis idem est ac ducere C in seipsum,&ina bis. Ergo productus ex x in C aequatur duplo quadrati ex C, iroducti exa in C. Proinde loco unius quadrati ex C. sumendo quadratos illi aequales ex A Wa fiet productus ex x in C aequalis quadratis singulorum A a C. Wproducto bis ex in c. hoc est quadratis ipsorum A. H. Quod erat ostendendum. E conuerso si ponantur quadrati ex AN H. aequales producto ex xi C. Die AEC eonstituere triang. re est. Nam ut prius ostendemus quadratos ex A&, aequari quadratis singulorum ABC duplo producti ex cine unde sequitur ex hypothesi productum ex x in C. aequari quadratis singulorum AB C.& producto bis exis in C. fit ut prius productus ex x in C ostendetur aequalis duplo quadrati ex Cis producti exis in C. Igitur quadrati singulorum A sae, eum duplo producti ex Bini aequabuntur duplo producti ex in cin duplo quadrati ex C. Quare auserendo utrimque duplum producti ex a in C., quadratum ex semei rei innent quadrati ex Ain t aequales quadrato ex C. Ae proinde a C conlatuunt triangulum tectangulum. Quod demonstrandum fuit.
His subiicere libet alia non iniucundum , neque imui theorema, quod i commoti flumιιI.
In triangulo rectangulo quadratus summa laterum aequalis est numero qui fit bis ex aggregato hypotenusaeri baseos in aggregatum hypotenuis ierpendiculis dera conuerse.
83쪽
64 l. asparis Bach. Pori sim Lib. tertius.
Esto triangulum rectangulum, a C. cuius hypotenuia a summa laterum D agis.,,--,, 'h gregatum ipsorum AJ L E. F aggregatum ipsorum BC. Dico quadratum p. p. si . . tius D. aequari duplo producti ex E in F. Etenim quadratus ea D aequatur quadratis singulorum A c&duplo producti ex quolibet in quemlibet ex aliis. At ex hypothesi quadratus ipsius B aequatur quadratis ipsorum A C. Quare loco quadratorum ex c& c. sumendo quadratum exa. erit quadratus ex aequalis duplo quadrati ex s.& duplo producti ex Ain c. ωexa in ipsos Am Rursus autem quia, continet ipsos A s. ω eontinet ipsos me duplum producti ex cinis continet bis quadratum ipsius B, duplum productorum exis in C. Meca in ipsos C. Igitur duplum producti ex cinis aequatur quadrato ex D. Quod erat demonstrandum. Deinde sint tres numeri AB C. quorum summa D. aggregatum ipsorum sit E Waggrega- κ;via, tum ipsorum s C. sita.& duplum producti ex E in aequetur quadrato ex D. Di eo ipsos cac., mi .eonstituere triangulum rectangulum. Nam V prius quadratus ex D. aequatur quadratis ipsorum Aa c.& duplo producti ex quolibet in quemlibet ex alijs. At duplum producti ex scies aequatur duplo quadrati ex avi duplo producti ex quolibet in quemlibet ex aliis. Quare auferendo utrimque duplum producti ex quolibet in quemlibet ex alijs, manet duplum quadrati ex B aequale quadratis singulorum, a C. rursus auserendo utrimque quadratum ex , remanet adhue quadratus ex . aequalis quadtatis ipsorum A C. Λc proinde As C. constituunt triangulum rectangulum. Quod erat ostendenduta
84쪽
obseruandissime mihi Dionysi) studio discendi
explicationem quaestionum earum quae in numeris proponuntur tener, a grcssus sum eius rei viam rationemque fabricari, ex ipsisque fundamenti S, quibus tota res nititur, initio petito, naturam ac vim numerorum constituere Quod negotium ut videatur fortasse diseficilius sequippe ignotum adhuc cum
animi incipientium ad bonam de re dcxtre conficienda spem concipiendam nequaquam sint procliues tamen cum tua alacritas, tum mea demonstratio cinciet, ut facile id comprehendas. cleriter enim ad discunt, quorum ad discendi cupi 1itatem doctrina accedit. Ηm εοκνιν Via τοιev se aves Minos s
I, primum Lurum Diophant commentari .
V ECUNQUE ante primam quaestionem praemisit Diophantus, a definitionum kprincipiorum locum obtinent. cd velut ad altiora sestinans, haec mira breuitate perstrinxit , vi non tam a explicar voluiis videatur, quam indicare ivroneique admonere, ut nonnisi horum cognatione iam probe instrueti ad hos cc libros uol- uendos accedant. Quod sane non obscuris verbis professus est, delinitione decima
undecimsque, cum ait eum qui hoc negotii suscipitis additione , iubduction
specierum iam exercitatum csse debere, necnon in aequationibus rite praeparandis apprime vertatum. Sed, itander hic nuitus est,is istamina definitionum obscuritatem minime dissimulam, diaborem eas explicandi declinet, lectorem ad suam Algebram attiandat Scholiastes autem Graecus, more suo, multa, sed ea plerunque utilia, vel a scopo Diophanti prorius aliena nobis obtruci t. Ego media incedem via, quae obscuriora videntur breuiter nodanda luscepi nccramcn Ulia, ves trita passim obuia persequi statui, praesertim cum omnia quae bis definitionibus imita in omnibus quotquot a quocunque authore extant de logistica libris, reperiantur quod moneam in Graeco sine ulla distinctione hasce definitiones haberi , quas go distinguet u numeris putaui, ut sic facilius explicari, citarique commodiu possint.
85쪽
παννα τοι ααθώου συKεἱωνου genti tibi omnes numeros compo- ωινά - Θ e πινο , φανερον --ηκεν sito esse uadam multitudine unitatum, se απειρον ἔχειν τα ἀπ τυ αγον rin liquet eos augmentum in infinitum ca-οῦ ω τουτοι , - - τετραγωνα ο' εἰ- α pere. Cum ergo in his quidam sint qua-
, VAM v I speetes, vel , alij voeanto potestates, quibus velut elementis utitur Io stim cin infinitam multitudinem excrescant, nec earum certus sit& determinatus numerus, tamen Diophantus de quinque prioribus tantum tractationem instituit, quae sunt Quadratus,cubus, Quadratoquadratus, Quadratocubus4 cubocubus, ratus scilicet has sufficere ad implicatissi mas quasque quae hactenus excogitatae sunt, quaestiones dissoluendas. Harum igiturale affert definitiones. Et Quadratum quidem cubumque definit, Euclides. Reliquas vero tres, per ipsam nominum impolitionem. Nam quadratoquadratum vocat, numerum qui fit ex quadrato in quadratum , idest in seipsum. Quadratocubum vero , qui fit ex quadrato in cubum ab eodem prosectum latere. Denique eo cubum qui fit ex cubo in cubum, hoc est in seipsum Vbi aduertendum a recentioribus omnibus quotque ante Diophantum editum logistices rudimenta tradidere, Quadratocubum voeari nunc supersolidum , nune surde solidum nunc etiam Primum Relatum. Cubocubum vero, ab iisdem dici Quadrato bum, quia videlicet est quadrari cubus, vel cubi quadratus, quod adis notan operae pretium duxi, neque in authoribus legendis nominum ambiguitas remoretur.
ρον αὐγου πλιυμ πολλαπλαmἀγεννοὶ fit ex quadrato in suum latus cubus est, Go, of --ονα ---νεχν, cuius nota ex , superscriptum habens Q. - - Η γων is αυσὶ πολλα Phoc pacto S. Qui autem fit ex qua- --σων me δυναμοδυνα cie,s is estina dram seipsum multiplicato, quadrato-σκυωον δὲ δυ -- υ, ἐρδη δυναtio quadratus est , cuius nota est geminum
86쪽
eodem latere prosectus est, ducto, quadratocubus nominatur, nota eius δῶ Ω- perscriptum habens 9 sic δεῆ. Qui excubo in seducto nascitur, cubocubus V catur, est eius nota geminum ac superstriptum habens. hoc pacto κόοῦ. Cui vero nulla harum proprietatum obtigit, sed constat multitudine unitatum rationis
experte, numeruS Vocatur, nota eius e
Est, aliud signum tinmutabile definitorum, nitas, cuius nota s superscrip tum habens Iesu
IN DEFINITIONEM ILHIT ad verbui exprimenda esse arbitratus sum potitis quam eum itandro nescio quis aliud comminisci. Quamuis enim in veliqua versione nostra notis ab eodem Xilandro exeo-etatis libenter usus sim, quas tradam infra. la tamen ab ipso Diophanto longius tecedere noui, quod hac definitione notas explicet quibus passim libris istis utitur ad species omnes compendici designandas, inui has ignoret ne quidem Graeca Diophanti legere possit. Porro quadratum Dynamin Vocat, quae vox potestatem lonat, quia videlicet quadratus est veluti potestas euiusibet Iineae is passim ab Euclide, per id quod potest linea, quadratus illius designatur. Itali, Hispanique eadem sere de causa Censum vocant, quasi dicas redditum, prouentumque, quod a latere seu radice, tanquam a seraci solo quadratus oriatur. Inde fructum ut Gallorum nonnulliis Gemmanorumcorrupto vocabulorienEum appellarint. Numerum autem indeterminatum, ignotum, qui aliarum omnium potestatum latus esse intelligitur Numerum simpliciter Diophantus appellat Alii passim Radicem, vel latus, vel rem dixerunt, Itali patrio vocabulo Cosam Caeterum nos ita versione nostra his notis N Q. C. QQ. C. CC designabimus Numerum , Quadratum, Cubum, Qii adratoquadratum, Quadratocubum, Cuboeubum. Nam quod ad unitates certas laeterminatas s eviat, eis notam aliquam adscribere superuacaneum duxi, quod hae seipsis absque ulla ambiguitate sese satis indicent. Ecquis enim cum audit numeruin . non statim cogitat sex unitates 'Quid ergo necesse est sex unitates dicere, elim sufficiat dicere, sex λ Demum legendum in Graeco censeo, . θος μοναμήλων , flagitante sententia, potius quam ἄλογος ἀριθμ- ωλει- , ut habetur in codice manu exarato, di per multitudinem unitatum rationis expertem, intelligo numerum indefinitumi indeterminatum seu potius ignotum, quemque statim opponit,tισιών seu unitatibus certisin determinatis.
similem ipsis numeris denominationem ortiuntur Cetenim a ternario triens, a quaternario quadrans dicitur ita nunc quoque denominatis numeris partes cognomines, ipss numeris similem habent denominationem, nam a numero pars numerica dicitur , a quadrato, quadratica a cubo cubica a quadratoquadrato,quadratoquadratici; a quadratocubo, quadratocubicat acu
cubo , cubocubica Habebit autem quaelibet pars a sibi cognomine numero notam , cliteram superscriptam quae speciem a specie distinguat. nai PQ αρβιδντα Ουωνυαα-
87쪽
IN DEFINITIONEM III. SVA male aeceperint hanc definitionem Graecus Scholiastes, Illander, si vacat, videre poteris. Manifestum tamen est nil aliud velle Diophantum, quam ut fractionibus,ricis notae specierum a quibus sumunt denominationem , adscribantur , docens ipsis fractiones non minus a qualibet specie denominari, quam numerum quemlibet unitatum integrum. loe autem huiusmodi similitudine explicat. Quemadmodum, inquit, stactio quaelibet absoluta ab aliquo numero sumit denominationem, velut triens a ternario, a quaternario quadrans, &sic de alijs ita& quaelibet seactio Algebrica a specie euius nota ei affixa est, denominationem mutuatur, verbi gratia: N. dicetur semissis unius Numeri, dicetur triens unius Quadrati, C. dicetur dodrans unius Cubi, sie de alijs, ut superuacaneum sit in re manifesta diutius immorari. Porro ilandri coniecturam seeutus , duobus in Iocis loco πω--, reposui πουονυμως.
αμις πωνυμαν επι γους πολ merorum denominationes expo-πλ-οπμυς αυτί ι Γλ α ι.ε πω δέ uerim, ad eorum multiplicationes me ι καταφανδ διά το --εδ Θα χεδον consero , quae tibi facile patebunt, e νο-σιας. cum peripiam nominum impositionem, Αειθῶ ουν ἐπὶ πολλαπλαmαθειρ, fere unciam ante declaratae.
ποιεῖ δύναμιν - δὲ δύναων, κύβον. Ergo numerus in numerum multipli-κύζον, Θαα ωαων. 3 γαυουσία ν, catus, quadratum producit in quadra-δ-μAti,cor. ἀλδυνα unocis, χυ κυζια tum cubum, in cubum, quadratoqua- δυναμ λ ἡ ωῖ δολωνά πω vi δυναμδω ratum in quadratoquadratum, qua ναμο. - θ κυζον , δυναυάκιζον. Η 3 dratocubum in quadratocubum, cubo δυνα δυναων, κυακιζον κυcies, κυ26 cubum. Quadratus ero in quadratum, κυ κυζον gigni quadratoquadratum in cubum, quadratocubum in quadratoquadratum, cubocubum. Cubus autem in cubum ductus, cubocubum producit. IN DERI NITIONEM IV. HL specierum multiplicationes explicat, quarum aliquae quidem ex definitione prima, 4psa
nominum impositione manifestae sunt, reliquas vero demonstrare facile est, tali expedito
8uadratus, cibus, euadrato quadratus duadratocubus, tui oculus
una cum communi eorum latere sunt ab initate continue proportionales.
n Dii. i. definitione multiplicationis A ad B, uti ad C. similiter quia ex B in C, fit D. erit eadem de causa Defixit. i. is ad B, ut C ad D. Quare ipsi Assi aD sunt continue proportionales. Rursus quia ex C in seipsum fit E erit ex definitione multiplicationis A ad C, sicut C ad E. Quare eum intera vita cadat unus a. .aris medius proportionalis B, ' cadit etiam unus in eadem ratione inter C&E, sed in rationes ad B, vel B ad C, ostensus est C ad D. Igitur inest ille medius, ae proinde est C ad D, i Dad E. Rursus Desinit. r. quia ex C. in D producitur F, erit A ad C, ut D ad F. Quae rursus cum inter C eadat medius η. σε M. proportionalis', ' eadit munus medius in eadem ratione inter D T. Vnde eum in illa lationebo. ostensus sit mei ad E erit E ille medius Mideire erit D ad , via ad F. Denique' quia ex D in seipsum fit G,etit A ad D, ut D ad G unde sicut inter Ain D cadunt duo medi proportio. r. acta. nates BC, e Minter D G cadent duo in eadem ratione. Sed in eadem ratione ostensi sunt esse Dad E, ME ad F. Igitur EF sunt illi medij, ae proinde est E ad F,ut Fad G.& omnes Assi Cm EFG.
sunt continue proportionales. Quod demonstrandum erat. Hinc porro specierum multiplicatio . - rio demonstratur. Primo enim ex umero B in seipsum fieri a. q. d. 'ο τ 3 - 64 quia itum C, it simque ex Numero in quadr tum C. fieri cubumi, patet ex definitione prima Seeundo ex Numero B in cubum D, fieri quadratoqu-
88쪽
dratum probatur. Quia enim per praecedens theorema ipsi ABCDE sunt continue proportionales, erit ad B, ut Dad E. Quare qui sub extremis E continetur, aequatur ei qui sub mediis BD sed ex unitates in Erit ipsemet E ergo idem E fiet exi in D. quod erat propositum Tertio s. septimi dico ex umero B in suum quadratoquadratum E fieri quadratocubum F, quia erum est Aad B ut E ad F, numerus qui fit exin in F, nempe ipse F aequatur ei qui fit ex B in E. Quod erat propositum. Quarto dico ex Numero in suum quadratocubum , fieri cu cubum G. Nam ut prius cum sit A ad B ut F ad G fiet idem Gec in G, vel ex B in F Quod erat intentum. Quinto ex quadrato C in seipsum, fieri quadratoquadratumi, patet ex definitione prima, sicut & ex eodem quadrato Cincubumi fieri quadratocubum E. Sexto ex quadrato C in quadratoquadratum E fieri ubocu-hum G sic probatiir. Quia ob eontinuam proportionalitatem, ut Mad C, sie est Ead G, idem G fiet ex Acin G , vel ex C in E Qusd erat propositum Denique ex cubo D in seipsum, fieri cubombum G patet ex definitione prima. Quamobrem ex omni parte constat propositum.
IN DEFINIT IONEM THIC praeclare nugatur scholiastes, cum putat in hae definitione Ioqui Diophantum de fractionibus absolutis, nulla speciei alicuius nota affectis, quasi docere velit ex in . vel ex Piri . fieri unitatem, quod quid ad logisti eam conserat, non video, sed san vulgo Arithmeticorum notum est, atque ipsis lippis tonsoribus, ut seometrica demonstratione opus non fuerit ad id confirmandum. Caeterum non id voluit Diophantus, sed potius fractiones Algebricas illas, in quibus unitates per aliquam speciem diuisae intelliguntur, ductas in speciem a qua denominantur, producere unitates absolutas , ut si ta ducatur in m. fient et unitates absolutae, ita ducanturin 6. Qisent . unitates absoluta, viae ducantur in io C. fient, unitates. Et hane esse Diophanti mentem ex dcfinitione octava manifeste colligitur. Cum enim ibi multiplicationes huiusmoci fractionum tradat, non docet quid producatur ii fractio ducatur in speciem qua denominatur, quia stilicet id ista definitione iam coinprchenderat.
ENiMvεκ cum unitas immutabilis Im ου μοναδο αναθήγου ζ e, sit, semperque maneat species quae I καὶ κώ ς mu' πολ απλασιαζομNυον libet in eam multiplicata, eandem gene ris αυ ὐτὸ ωδα rat speciem. IN DEFINITIONEM VI.
No, melius accepit hane definitionem Scholiastes,quarn precedentem sequentes duas,quod semel atque iterum monuisse lassiciat. Existimauit enim in isti quatuor definitionibus D.-phantum loqui de numeris Tractionibus absolutis,'iiod a scopo illius prorsus alienum est. Hic itaque docet Diophantus, unitates ductas in speciei 'quamlibet , ipsammet speciem producere, ut si a ducantur in . . fient 6. N. Et si A. ducantur in s. Q fient o. inde sic de aliis. Causam autem assignare videtur, quod unitates absolutae, unitatis ipsius naturam sapiant. Quemadmoduni ergo unitas in quemlibet numerum ducta, producit ipsum eundem numerum, sic Munitates in quamlibet speciem multiplicatae, eandem speciem gignunt.
AT partes denominata si inter se t Ἀδείμανυμ μοεια- ωτα πολλα multiplicenturi partes producunt a πλασ1αύομα, πειν, ὁμώνυ--ομα ipsis numeris cognomines Verbi gratia τοῖ - ῶν δ αριθμοῶν--
89쪽
numeracam, partem facit, quadratoqua -ον, κυόοκυ ς ν' raticam in quadraticam , qu drato cubicam, in cubicam, cubocubicam. Sed pars quadratoquadratica in numericam, partem facit quadratocubicam, cin quadraticam, cubocubicam. Denique pars quadratocubica in numericam, partem gignit cubocubicam.
HAE c definitio a quarta pendet. Quemadmodum enim ibi numerorum integrorum a speciebus denominatorum multiplicationes docuit, ita 'te fractionum ab iisden speciebus denominatarum multiplicationes tradit, quarum eadem est prorsus ratio. Nam sicut verbi gratia a N. in . N. faciunt 6 Q. ita FN. inum facit. ' sicut . . in aciunt in Q sic m. in Q Miunt 'ista se de aliis. Itaque quae demonstrata sunt ad definitionem Quartam, hie etiam locum habenti
niast metum in quaiatocubum, quadratum
επι - αμ ιον , H αιωη πον. H, numerum in cubocubum, quadratum. lύναμιν ' Hυν--υναικον H ην ς' quadratocubica in numerum du- κακόν. lx Θααοδμα , H -- cta, fractionem facit quadratoquadrati v. 9 His oκυcον, eam in quadratum, fractionem cubicam; in cubum, fractionem quadraticam Lin quadratoquadratum stactionem numericarmin cubocubum, numerum. Fractio cubocubica in numerum ducta, fractionem gignic
90쪽
quadrato cubicam , in quadratum, fractionem quadratoquadraticam, in cubum, stactionem cubica 3 in quadratoquadratum iactionem quadraticam i in qua.dratocubum, fractionem numericam.
TANotet hic aliud genus fractionum, quae fiunt eum numerus a specie inserioli denomin tus diuisus intelligitur, per numerum ab altiori specie denominatum , ut unitates per Numems dividantur, fit fractio Numerica, qualis e si ij. Et si unitates per quadratos dividantur, fit fractio quadratica, vidi is se de aliis. Disserunt ergo re tacitones illae ab iis de quibus aetiim est superiore definitione, quamuis utrasque iisdem nominibus appellet Diophantus. Nam in illis speciei denominatio asscit Numeratorem, in istis denominatorem, verbi gratia si dicas m. intelligis a. N. diuidi per . At si dicas intelligis a. diuidi ner . N. utramque tamen fractionem Diophantus uti mei vocat, similiter α&Hi voeat μαμοςον communi nomines, me de aliis Ratiovem niultiplicandi fractiones istas, tota pendet a ratione diuidendi species inter se. Porro diuisio multiplicationi contraria est, quamobrem, ut monet Diophantus desnitione decima, cognitis specierum multiplicationibus, cognoscuntur diuisiones sicut enim verbi gratia Numeius in Numeis rum ductus producit Quadratum, ita si Quadratus per Numerum diuidatur, orietur Numerus αsicut ex Quadrato in Cubum fit Quadratocubus, ita si Quadratocubus per Cubum diuidatur,orietur Quadratus, rursus si Quadratocubus per quadratum ciuidatur , orietur Cubus, &ie de alijs. Hinc patet si fractio numericaa ducatur in a. Q fieri numerum, nam fit seruata utraque denomin tion quia veto diuidendo Quadratum per numerum, oritur numerus, hoc idem est atque a N. Simili argumento rationem reddes omnium quae hae definitione complectitur Diophantus.
multiplicatum, producit minus. Et de μαρξιν - - εὐν, κα τῆς λειψεωe-ειον fectus nota est litera decurtata,&deor po πὶ καms ἐυον sum vergens, sic IN DEFINITIONEM X.
YIIAPA1N μιιν, abundantiam de desectum vertere poteramus Placuit tamen recentioribus omnibus usitat, vocabuli diccre Plus, Minus. Et Diophantus quidem ut significet Plus nulla utitur nota, sed conjunctione tantum copulativa. Nos vero in versione nostra eos qui ante nos Latine scripserunt, imitati Plus hoc signo denotabimus . . Minus vero isto . Ceterum sicui miruin videatur quod Minus per Minus multiplicatum, efficiat, Plus,4 huius rei demonstrationem requirat, legat Petrum Nonium parte a suae Algebrae, cap. q.
titiones propositarum specierum. Equum 6κε - μα UMI iam sitaque est eum qui hoc negoti suscipit, me -- ας, συνεια, εα ομινα, in additione, subductione d multipli πολλαπλα --χ σοι QN --γρου catione quae speciebus accidunt, exer- ναοῦ α κω τοῦ ωδη - , πὸλ νον citatum esse, nimirum qua ratione spe - , Μ, -- cies quae adsunt , quaeque desunt non ,α- μα visis, ψο-;-- --κ
eiusdem multitudinis, alijs adiicias spe λ-n.e - - - - ωδ misciebus quae vel adsunt, vel itidem adsunt λα-., h, μοι --5 ηatque desunt. Et quomodo a specie s e --- έ quae adsunt, aliis quae desunt, auseras γ' alias quae vel adsint, vel itidem adsint atque desint.