장음표시 사용
61쪽
est ipsa unitas: Produstas autem ex unitatem uini bis est duplum ipsius B C. Patet ergo quadratum G aequata quadrato Λ S. v natati, di duplo ipsius BC QIou demonstr/ndum erat. SCHOLIUM.
Eadem prorsus rationesi cuia bet quadrato addatur quadruplum sui lateris est pratere a. ostendetur fer quadraium lateris banarι maιονι s. Ersi quadrato addai AHI Ampsimis Ialers , est Irater eas. flet quadratus lateris ternam maioris , sic in infinitum multiplicando latus per omne n meror piares ordinate dispositos, ct assumendo quadratos itiis collateratis seu q/adratos semissum eorundem . mer rum parium. Nee ad hoc demonstrandum requiratur aliud quam quarta a.
Si a quolibet quadrato auferatur numerus unitate minor duplo lateris illius , relinquetur quadratus a latere unitate minore.' Sit A quadratus , cuius latus B cuius duplum C, unde ablata nitate relinquatur δ' u.' i&sit Eunitate minor ipso B. Dico sim auferatur a quadrato Α, clinqui quadra- 9 d 4 tum ipsiuιε sumpto enim F duplo ipsius E, cum B E disserant unitate, patet eo
tum dupla CF distinebinario. 1gare idem fiet numerus siue auferatur unitas ex C. siue addatur unitas ad F, nempe idem D. Atqui si ad quadratum ipsius E addatur duplum eiusdemi unitate au- deeima uni nempe D. fiet quadratus ipsius B nempe A. Igitur si ex A detrahaturi residuum erit qua . J - dratu, ipsius . Quod de inon strandum erat.
omnis numerus quadratus aut impar est, aut pariter par. Sit numerus quadratus Α, euius latus B. dico A vel imparem esse, vel pariter parem. 'i'I Etenim veli impar est, vel par. Sit primum impar. Quia ergo ex imparem in imparem a. - B. fit . erit A impar.' Deinde siti par. Quia igitur ex patia in paremi fit A, erit A pariter par ex definitione. Quamobrem Λ vel impar est, via pariter par. Quod demonstrandum erat.
G- Nullus numerus pariter impar tantum est quadratus.
Patet, cum numerus pariter impar tantum , nec impar sit, nec pariter par.
Quilibet quadratus impar, excedit numerum pariter parem nitate. Sitin quadratus impar, cuius latus B N ab ipso A detracta unitate supersit . dico CA pariter parem, Sumatuti numerus unitate minor ipso . si ergo B est impae, a. h. nam si messet par, ex ductu illius in seipsum fieret par contra hypothesim heri evi a Diar. Atqui duplum ipsius D una cum quadrato eiusdem , aequatur numero .Quadratus autem LM, ' cui et paris . est pariter par. Duplum quoque numeri paris D est pariter par cum sat ex bina rio pati numero, in D paremu igiturin C compositus ex duobus pariter paribus , est pariter pat
aer, inod demonstranduin era ζ.
Duorum quorumlibet quadratorum interuallum, aut impar est, aut pariter par. Sim duo quadrati A maior&B minor, quorum interuallum C. Dico C esse parite e dis pilem vel imparein Sumat ut ipsius A latus DF,in latus ipsius B sit E ita ve is arta, Cusi DF sit differentia didiorum laterum. Itaque E F vel par est , vel impar. Sit primum E Cu .n iis itur interuallum quo quadratus A superat quadratum aequetur qua- drit,idissu, EF de producto ex D E in E iis, erit C aequalis quadrato ipsius EF producto κ' aisu D E in E Fbic, in quadrat is paris nil neri EF est pariter nar. Nec non' duplum producti ex Diomu iri GF est paritet pit, ecuritannidium eius, nempe productus ex Di in E parem , sit par. Ig,-- ' i C eon Hsita ex duobus patitet racibus , est pariter par. Quod erat proposivum.
62쪽
Deinde sit EF impar Tune quia quod fit bis ex Da in E est numerus par habet. e ,' ' enim dimidium quod fit semel exicini p. 4 ei adiiciatur quadratus imparis ma,hmis . - qui impar est, ' erit C. compositus ex pari di impari, impar. Quamobrem ex omni, sches. M 'n' ' parte patet propolitum. Σ
Numerus pariter impar tantum, non potes esse interuallum duorum quadratorum. Intellige unitate indivisibili manente, aliter enim quilibet numerus statui potest interuallum duo rum quadratorum , ut ostendit Diophantus lib. a. sedis vigesima propositio,is hae etiam intelligendae sunt de numeris integris, nam fracti numeri nec pares urat nec impares.
Si duorum inaequalium numerorum summa addatur adimatur eorundem inter uallum , aggregatum quidem, maioris numeri, residuum vero, minoris dii pili inest.
Ea v Sint inaequales numeri Ara minor diuam maior in maiori abscindatura C minori A B aequalis ita ut reliquus C D litiueruallum piorum. Dic primo, si tot AD addatur EA aequalis interuallo CD aggregatum Em esse duplum maioris nu- nera a D. etenim eum aequalibus, a s C. addantur aequales ΕΛ. C erunt toti a a BD aequales, atque ideo totus a ipsius En duplus erit. Quod erat propositum. Dico secundo, si a toto AG auferatur interuallum C D, residuum A C minoris A B duplum esse,ac patet cum c ipsi Aa sit aequalis Quamoblena ex omni parte constat proposuum.
Si semissumma duorum numerorum adda ιur se adimata semissis interualli eorundem aggregatum quidem maiori numero residuum vero minori aquale eis.
si quotlibet numeri continue proportionales, in totidem alios continue proportionales ducantur, primus in primum, secundus in secundum, tertius in tertium ita deinceps, producti continue proportionales erunt. 16. a. Dis Sint quotlibet numeri continue proportionales a B meta. 41 F1RGi H xidpin ali ductisque, in E B in . e in a. in M. fiant R1i8 . a. ys. 118. L N Diς ipsos LM esse continui proportionales.
Etenim ex Ainc& expino fiant Pa quadrati ipsorum BF v νε sumaturque etiam, productus ex in M. Itaque quoniam ex A in ad excino fiunt x, ex x in M' , 7. sit, patet' produci ex mutua multiplicatione quatuor numerorum A C EG Quaruobrem idem . Produeetur quomodocunque iidem quatuor numeri inter se ducantur, nimirum si a ducatur in is '' c. N E in producti P Quntet seducantur. Igitur ex Pin Giet R. At productus ex mutuo ductu qtaadratotum p ad aequatur quadrato plani sub lateribus a 4 ex acini sti ex hypothesi. Ergo, est . .. in inadratus ipsius V tae proinde tres ara sunt continue ptoportionales. Eadem ratione ostendemus m 8. tres LMm esse continue proportionales. Quamobrem patet omnes x L M, esse eontinue propor u visui-tionales. Quod erat dei nonstrandum.
63쪽
CLAUDII ASPARIS BACH ET SEBUSIANI
SI numerus secetur in uuotlibet partes. Quadratus totius arquatur quadratis par. tium, & numeris qui fiunt bis ex qualibet parte in quamlibet ex altis.
D Numerus Assectus sit primum in tres partes A D. D C. Cis. Dico quadra. tum totius AB aequam quadratis partium AD. DC. Cf.& numeris qui fiunt bis ex qualibet parte in quamlibet ex aliis, nimirum productis bis ex At in C a ex D C in οὐ ex νεπε in D C. Etenim eoneipiendo numerum diuisum in duas partes a C. Cv. erit quadratus totius ιμ- qu lis quadratis partium A C. CB.& producto bis ex e in C s. Sed productus bis es A cin. iam si s quatur productis bis ex singulis A D. Dae in Cn. Quadratus autem ex A C. aequatur quadratis, partium A D. D C. ε producto bis ex Am in D C. Igitur constat quadratum totius A a aequari quadraris ipsorum A D. D C. ca de numeris qui fiunt bis ex quolibet in quemlibet ex aliis. Quod est propositum. A. E. m. indesse ζtu in quatuor parte C. CAE. Dico nil iliciis minus sequi propositum. Nam si totus ara concipiatur diuisus in duas. -- partes a c. erit quadratus totius aequalis quadratis partium ADC produsta ex A C in C ab ν ,α , bis. At productus exin C in Calis P aequatur productis bis ex singulis AE E D. D C. in C a. Et qua- ratus et a C aequatur per iam demonstrata quadratis singulorum AE. D. D .in productis exqiiolibet illorum in quemlibet ex aliis. I itur quadratus totius A n aequatur quadratis singulorum 1 voca. productis bis ex quolibet in quemlibet ex alijs. Quod demonstrandum erat. Similiter si numerus leeetur in quinque partes , idem ostendetur assumendo quod demonstratum de sectione in quatuor partes . Ue in infinitum. Igitur ex omni parte constat propositum.
Datis duobus numeris inaequalibus, productus ex mutua eorum multiplicatione una cum quadrato semissis interualli ipsorum , aequatur quadrato semissis summae
eorundem. Haee propositio eadem est eum quinta a. Euclidis mutatis tantum verbis. Etenim sint numeri in auales Aa maior minor, Et totius A C emissis esto Evel ac, in seia' ' missi Aa sumatutis aequalis ipsi Es. Tunc ab aequalibus 1 EC auterendo aequale F .s , erunt reliqui Ap. ac aequales. Quamobrem a est intervallum inaequalium numerorum a R. a C. ων est lemissis eiusdem interualli. Itaque per quintam a constat quadratum pissius ac semissis summae aequari producto ex Allina c., quadrato an semissis interualli. Quod demonstrandum erat.
Duorum inaequalium quadratorum interuallum , aequale est numero qui fit ex
summa laterum in interuallum eorundem. Hν etiam non differt a sexta a. etenim sint inaequales numeri A c minor, MCD maior abia in re in datur ex P numς 3 C aequalis ipsi Ac erit ergo D interuallum duorum A v x xe ei. Dieo itaque quadratum ex CD superare quadratum ex A C. numero qui fit ex An summa laterum .in a D interuallum eorundem. Cum enim Aa sectus sit biistiam me. hi adiectus sit a D, erit per sextam, a quadratus ex D aequalis producto ex a D in si de quadrato ex C. Quare quadratus ex cra superat quadratum ex ac producto exa Dura D. od deia monstrandum tuit.
Duorum quadratorum summa, aequatur duplo plani sub lateribus, una cum qua .drato interualli eorundem. Hae C
64쪽
Haec quoque aliis verbis idem pronuneiat, quod septima a. Etenim sint inaequales mi meti ac A m maior aera minor, abscindatur, C aequalis ipsi CE ita ut A sit in.
tervallum ipsorum A C. a. Dico summam quadratorum ab ipsis A C. Ca. aequari duplo plani sub Ac. Ca una eum quadrato ipsius A D. Qigia enim numerus A sectus est icumque in D, per septima a quadratus ex A C cum quadrato ex C. idest summa quadratorum ab ipsis a. aequatur duplo plani sub A c. c. seu sub A C. ca una cum quadrato ipsius D. Quod demonstrandum erat. PROPOSITIO V.
Quadratus summae duorum numerorum, aequalis est quadruplo plani sub ipsis numeris contenti, una cum quadrato interualli eorundem. Haec rursus eadem est eum octaua a sint enim inaequales numeri Aa maior, ara minor, δ abG n cind xu aequalis ipsi si, ita ut A C sit interuamim ipsorum AB. 3 D. i.
co quadratum totius A D aequari quadruplosam sub A B. BD una cum quadrat interualli a C. Cum enim numerus Aa sectus sit vicumque in C. per octauam a quadratus compositi ex AB. CB. nimirum totius D, aequatur quadruplo plani sub AB. a. seu sub As BD, cum quadrato ipsius A C. Quod demonstrandum proponebatur.
Duorum inaequalium quadratorum summa, dupla est quadrati semissis summae laterum, quadrati semissis interualli eorundem.
Elaee non differt a nona a sint enim inaequales numeri A D. D s. totius A a semissis est, C. vel
C m B rgo per ostensa secunda huius cmerit semissis interualli ipsorum AD. Da.
Itaque dico summam quadratcirum ab ipsis AD, B duplam esse quadratorum ab ipsis CB. i. Quod ipsum enunciat nona et Quamobrem e stat propositum.
Quadratus summae duorum numerorum , Qquadratus interualli eorum simul, dupli sunt quadratorum ab ipsis numeris.
Haec quoque coincidit eum decima I. sint enim inaequales numeri AC minor,is CD maior . . . Q maior abscindatur cra minori AC aequalis, ita ut a Di interuallum ipsorum, C. i. Dico Quadratum totius, meum quadrato interualli a messis duplum quadratorum ab ipsis A c. m. Cum enim a sectus fit bisatiat in c. & adiectus si et D. per decimam a Quadrati Ipsorum AD ED simul dupli sunt quadratorum ab ipsis A C. m. Quod erat ostendendum. COROLLΛRIUM.
Cuiuslibet numeri ex duobus sadνιιι is compositi tam dimidium quam dulum componitur se imum ex Gobus quadratis.
Colligitur maxis . hoc oro rium eae bis duabus postremis prvositionibur, o verum si rei numerosin pari u impari siue integro . efracto, eum ha due demonstratioine omnibus num σπηδηior, ut apparet, unde constat issum esse Cardanum v. a. sua Arithmetica regula Iao ubi , nc Proprietaιem numeris fractis eo anire negar Natantas etiam error Nicola Tartalea tib. 6. sec-' par is quas. l. vbsatis numeras ex duobus euadratis compositussi dupis alterius ex duobus ει em quaisati compossi, semper Aenire viminωs in subduplorum sit interuallum inter maius iatus σorundem re minua duplorum it quia quadrati 64. A. visum dupli quadratorum as ct s accidis 3. I tu i m s. esse iusserentiam terum s. oris Etem eam uterque numerus ex duobus quadratis compositus, in iis modis componatur ex Δοbus quadratis, o ostiis, Diophantus uast decimatib. 2.sane uter e infinitis modis diuid poterit in duos quadratos inpiabis non eueniet quod semper σμenire asserit artatia, quod nie exempti probaresus iciei. Q adrati iet I ct o at dupos ηι qua aera strum 64 era cum aliorum flumma sit 3o horum os Attamen eum latera illorum sin Ir cis 3. Borum S, I manifesam est, minus horum nempe r. non esse interuallum ipsorum l. era. Rursus 3o. Componitur ex duobus quadrinisai in o. Los componitur e duabus 9 I6 ct illorum te sunt serum 7 est 4.vbir ne q. non est interualism 0serum . O . Verum quidem est Ra5torco grentur hi quadrati, euenire quod ait Tartalea nimirumsi uadrati Ia I. isti. comparentur jsis AP ct 6 vrisiquadrati gr. 49. comparantur ipsis 4 cti Hoe igitur Astinguere debMis Gna-ιe sed doctrinam vi numeris e duobus .adratis compositis perseet non cauuit. Hinc etiam colligere licet. Nullum numerum pariter narem tantum componi posse ex duobiis quadratis integris&inaequalibus. Nam si hoc ponatur, facilesconcludetur ex quibusdam propositionibus lib. r. porita.&ex sexta huius illius quoque dimidium componi E duobus quadratis integris cinaequalibus. Quia igitur numeri pariter patis tantum, continue dimidium sumi potest, &dimidium dimidij donee ad binarium Mad unitatem deueniatur per trigesimam quartam 9 Euclidis, patet sequiae ipsum binarium & ipsam unitatem componi quoque ex duobus quadratis inte gris cinaequalibus. Quod est impossibile.
65쪽
Differentia medi proportionalis a quolibet quadratorum inter quos medius est, aequatur productis ex interuallo laterum in quodlibet latus. itf ὲ
Sint quadrati A C. quorum lateram F, quorum interuallum Ein medius proin
D in singulos D E. Atqui ex D in D fit quadratus Α. Igitur si productis ex D in D & in E hoc este numero Mauseratur productus ex D in D, nempe quadratus A restabit productus ex in Epro differentia inter ipsos A B. Similiter quia ex Fin F fit C.&Faequatur ambobus DE, fiet idem Cex Fin singulos D E. At ex Pini fit B ut dimim est. Igitur si a quadrato C. auferatur B restat productus exi in E pro differentia inter B C. Quamobrem ex omni parte constat propositum.
Si a duobus quadratis, Ma medio eorum proportionali auferatur sigillatim quilibet datus numerus, tria residua per differentiam laterum sigillatim dividantur, medius quotientum superat minimum latere minoris quadrati,4 superatur a maximo latere maioris quadrati, summa maximi & minimi superat duplum media, eorundem laterum interuallo. . e. s Sintam duo quadrati, drum latera F. quorum interuallum E.& medius proportionalis sit Q ab ipsis A. C. B. auferendo sigillatim datum quem iis q' numerum G. supelsintvi K. L. quibus diuisis sigillatim peri, fiant quotienti o Y tes M. N. P. Dico primo N. superare ipsum, numero D, meundem N. ' superati ab ipsol numero . Etenim cum a singulis AC B. ablatus sit idem φ 3 G patet residuorum ΗΚ eadem esse interuau quaeJpsorum ACB a Atqui C superat A. producto ex D in E. ω supera C producto ex In F. Igitur, interuallum duorum Η Κ est productus ex D in E Winteruallum duorum Ra est productus ex E in . Quoniam veto diuisis HKL per , prodeunt MN P. constat duorum, minis ustum fieri diuiso et E interuallo ipsorum H K. seu producto ex D in E similiter duorum N P. interuallum fiet, diuiso per E interuallo ipsorum K. L. seu producto ex E in F Atqui diuidendo per Uproductos ex E in D, ex E in F, fiunt quotientes ipsi DF. Igitur duorum M N interuallum est D. ducitum NI intctualium est F. Quod erat propositum. Deinde, dico summam ipsorum M P. superare duplum ipsius Nisumero Emam per ostensa P. aequatur ipsis N F. Igitur summa ipsorum M P aequatur tribus numeris, T. Atiaequatur virique D E Igitur summa amborum M. P. aequatur quatuor numeris D E M N. Verum per ostenta ambo D inaequantur ipsi N. Igitur ambo M P aequamur duplo ipsius N,4 numero E. Quod eis
Si duobus quadratisin medio eorum proportionali addatur sigillatim idem numerus, ires flammae per interualdum laterum sigillatim diuidantur, idem quod prius quotientibus accidet. . i. sint iidem qui supra DEF. ACB.&ipsis ACB addatur sigillatim numeritarve, Α Τ' , unde fiant'. K. quidus diuisis sigillatim per E finiit quoirentes M'.
'AE' Die primo superare ipsum numero Lua eundem N Luperari ab ipso P. numero . Etenim cum singulis AC B additus sit idem S patet summarumis MLeadem est, interualla, quae ipsorum ACB. Atqui C superatis affuis γ' et ' , inantur reliqua omnia verva praecedentis demonstrationis , multa quidem
ino. N Io P ID mutata liter propositum concludetur.
Si a duobus quadrati auferatur idem numerus sigillatim,d residua per interuallum laterum sigillatim dividantur, qui fit ex quotientum mutuo ductu .adscito numero qui a quadratis detractus est , quadratus euadit.
66쪽
PROPOSITIO XII. , - -δddδtur,' sentinae per interitalium Iu μ3γμ' Risi P mutuo diictu multatus numero
qui quadratis additus est, euadit quadratus.
G, tiente M P. Dico productum ex M in P detracto numero G euadere quadra- o Zi, Vm Pum tu enim N qui fit si medius proportionalis inter Aini adicito G
67쪽
o 'i' quadratus interualli duorum Κ H. patet numerum qui fit quater ex Din H. adstito A esse quadratum summae duorum M. Igitur inest talis quadratus. Denique ducto Lin M itoducto addendo G, si fiat in simili prorsus argumento ostendemus esse quadratum summae duorum H L. Igitur ex omni parte patet propositum.
Si duobus quadratis addatur sigillatim quilibet datus numerus, summae sigillatim dividantur per interuallum laterum, duo quotientes, una cum duplo summae illorum multato dicto interuallo exhibent tres numeros, quorum bini quilibet si inuicem
ducantur, Ea producto detrahatur datus numerus, fit quadratus. D ti Sint quadrati A B quorum latera C E,4 horum interuallum D. Mipsis
addendo sigillatim , fiant numeri qui diuisi sigillatim per D denti '' quotientes L quorum duplum multatum numero . sit M. Dico tres M. efficere quod proponitur. mi is , sis , N primo ducto Sis L. ' producto auferendo G supersit N. fu-' IV milui H quotien, qui fit fi medius proportionalis cadens interis B
das detι auctus numero G diuidatur peti. constat igitur . esse quadratum ipsius Η. η εν νε Secundo ductori in Min a producto detrahendo G supersit P. . Quoniam ergo Κ L simul aequan- tui duplo ipsius re numero D patet duplum ipsorum KL detractoc nempe numerum M. aequari quadruplo ipsius Η,4 numero D. Quare qui fit ex K in M. aequatur ei qui fit ex X in inquater, in D semel. Ergo detracto mimque G. numerus qui fit ex Κ in laetracto G nimirum P aequatur eis qui fiunt ex K in AEquater, in D semel detracto G. At numerus qui fit excin Ddetracto G aequatur pi per constructionem. Igitur P. aequatur ipsi in producto ex K in F quater. Quod et a niam igitur Ara est quadratus interualli ipsorum M. numerus qui fit ex K in inquater adscito Α, . m. est quadtatus summae duorum M. Igitur P. est talis quadratus. Denique ducto Uin Λ a producto detrahendo G supersit Mimili prorsus argumento probabitur ra. quadratum summae amborum Η L. Igitur ex omni parte constat propositum.
Differentia quaelibet duorum quadratorum a medio eorum proportionali, itineis dia proportionalis inter eundem quadratum, quadratum interualli laterum. si c, 4 Sint lumirati A C. medius eorum proportionalis'. sintque, L. quadratorum is latera, quorum interuallum Κ. euius quadratus M. Et differentiae ipsius Ba qua- σι 'o ratis A C. ι n. D. Diem esse medium proportionalem inter ' M. Item - ' que Dintei C, M. Etenim differentia a fit ex K in . Quamobrem ait est . h. medius proportionalis inter quadrato ipsorum Η Κ nempe inter Λ Μ Simi- ω. liter differentiam fit ex K in D Igitur est medius proportionalis inter quadratos ipsorum ML. nempe inter Mis C. Quamobrem eonstat propositum.
Datis duobus quadratis si sumatur duplum summa illorum, inuadrati interualli laterum habentur tres numeri, quorum bini quem producunt mutuo ductu, is si adsumat productum e quadrato interualli laterum, sius in amborum summam, siue in reliquum, quadratum facit.
Sint dati quadrati A B. ωsit Equadratus interualli laterum sumaturque duplus summae ipso. rum B E. Dico tres A B C. praestare quod proponitur. Die g. Primo , enim ducaturi in B& fiat H ducaturque E in s. Bae. χνε. summam ipsorum Amin fiat Κ, sitque L summa ipsortim ---- Κ. Dico Lesse quadratum Sumaturi medius proportio- 684 irili, inter ipsos Λ B. qui utique fit ex mutua laterum mul-R Q tiplicatione. Igitur H qui fit ex Λ in B est quadratus ipsius inrici metas. M aae. ε, - 6r. 11M io, . v 8 . D. Sed&summa quadratorum A B aequatur duplo ipso, M. Na, D&ipsi E. Igitur productus ex E in summam ipsorum A B G 684. 3 .l Isto ari oo. puta Κ aequatur duplo producti ex Din Ris quadrato p-V o ac rix sius E mare addito AEquadrato ipsus D summa L aequa- i, bitur quadratis ipsorum DE.& duplo producti ex D in . , Ergo L quadratus est cuius latus est summa ipsorum D E. Quod erat propositum.
68쪽
Seeundo, dueatura in reliquum C unde fiat M. Mamborum H M summa esto N. Dico N. esse quadratum Sumatur F duplum ipsius E. Quia ergo C aequatur duploi piorum AB E erit productus ex E in C. puta M. aequalis duplo producti exi in AB de duplo quadrati ipsius E. Et quia AB simul cui ostensum est, aequantur ipsi rebis, in semel productus ex E in Λ B bis, aequatur producto ex Dini quater,in duplo quadrati ipsius E. Quare totus productus exi in C. putavi aequatur producto ex Sin inquater, quadruplo quadrati ipsius Eseu quod idem est duplo producti ex Dm F. quadrato ipsius . Quare addito, quadrato ipsius D. fiet, aequalis quadratis ipsorum Fin duplo producti ex D in F. inc proinde N est quadratus latus liabens summam ipsoru in Di
Tertio, ducaturri in C. &fiat G dueaturque E in summam ipsolum AC & fiat P. sitque amborum G P. summa Q. Dieodesse quadratum. Quia enim C aequatur dupl ipsorum A BE erit productus ex A in C puta G aeqtialis duplo quadrati ipsius A. duplo producti ex A in B seu duplo quadrati ipsius D,4 duplo producti exin in E. t duplum quadratorum ab ipsi AD aequatur quadrato summae ipsorum MD,4 quadrato interuallici plorum. Quia vero interuallum hoe est septima, medi uim proportionale inter A ME, quadratus illius aequatur producto ex Acin E. Igitur G aequa . eur quadrato summae ipsorum Am, alipio producti ex Acin E. Rursus productus ex E in x puta . 'P. ostendetur aequalis triplo producti ex in A, duplo producti ex E in B, duplo quadrati plius . . . E. Quare compositus ex ipsis P. aequatur quadrato summae amborum ni sextuplo producti l .eΤ-ec in A, duplo producti ex Diu B.4 duplo quadrati ipsius E.& loco eius qui ne bis ex Minisi iva, .sumendo illi aequalem quadruplum producti ex E in D, una cum duplo quadrati ipsius Ebi ostensum est in seeunda parte, erit Q aequalis quadrato summae ipsorum A D. quadruplo producti ex Ei, D,4 quadruplo quadrati ipsusE.& loco quadrupli ex Elarii sumendo duplum ex Fin AD, loco quadrupli quadrati ipsius E sumendo quadratum ipsius F. fit inaequalis quadrato summae Ai,in quadrato F.4 duplo pioducti ex Pin A D. Quare Q est quadratus summae ipsoru in DI. od erat propositum. Quarto , ducatur E in B. Eata quo addito ad G fiat S. Dico S eis quadratum. Quia enim vi ostensum est Geontinet quadratum summae ipsorum MD, triplum producti exin in E huic addendo; productum ex Et B. fiet S. continens quadratum summae ipsorum A D. triplum producti ex E in A. productum ex E in B. Quare loco producti ex Minisi sumendo duplum producti ex in D eum quadrato ipsius E patet S aequariqiiadrato summae amborum Ai,, quadrato ipsius E, duplo producti ex E in Λ D. Λ C proinde S. quadratus est summae ipsorum Λ Da. ε sana.
Quinto, ducatur B in C fata ducaturque E in summam ipsorum B Λ fiat V. summa ipsorum T esto X. Dico X esse quadratum. Quia enim Q aequatur duplo ipsorum DB E erit productus ex B in C. puta T. aequalis duplo quadrati ipsius B duplo producti ex B in Α, & ex B in E. Et loco producti bis ex Bin Λ sumendo illi aequalem duplum quadrati ipsius D. Tum pro duplo quadra-
Dcit E . torum ab ipsis B D. sumendo quadratum summae ambo istphia, s B et s. rum BD eum quadrato interualli eorundem, Wpro hoc uiat. -- quadrato interualli ipsorum B D. sumendo productum ex Hetas.
B in E fiet totus T aequalis quadrato summae amborum BD, ro triplo producti ex B in E. Rursus autem productus ex in BC puta , aequalis est triplo producti ex Mium duplo 36i v*9. J Jo pq productio Ein Α, & duplo quadrati ipsius E. Quare X compositus ex utroque TV aequatur quadrato summaeam in borum BD, sextuplo producti ex E in B. duplo producti ex E in &duplo quadrati ipsius E. Itaque loco eius qui fit bis ex Ein AB sumendo illi aequalem quadruplum producti ex E in D, una cum duplo quadrati ipsius E erit X aequalis quadrato summae ipsorum B quadruplo producti ex in B D.&quadruplo quadrati ipsius E. Quare rursus loco quadrupli ex E in BD sit mendo duplum ex F in B D, & loco quadrupli quadrati ipsius Ε, sum eo, quadratum ipsius F. fiet X aequalis quadrato summae ipsorum B D, inuadrato ipsius F,4 duplo producti ex Fin D. Proinde X quadratus est summae ipsorum B D F. Quod
Denique ducatur Siva fiata quo addito ada fiat Z. Dieo Tesse quadratum. Quia enim se ostensum est, reontinet quadratum summae ipsorum B in triplum producti exi in E hui addendo productum ex E in Assieta continens quadratum summae ipsorum BD, triplum producti Ein B,& productum ex Sin A. Quare loco producti ex E in Ai lumendo duplum producti ex in D vnaeum quadrato ipsius E, patet Zaequari quadrato summae amborum B D., quadrato lysius E. duplo producti ex E in BD AC proinde quadratus est, cuius latus componitur ex x sam, linam ipsorum BD E. Quamobrem ex omni parte constat propositum. .
69쪽
Datis duobus quadratis, si sumatur duplum summa illorum, quadrati interualli laterum habebuntur tres numeri, quibus f addatur sigillatii duplum quadrati interualli laterum, fient tres alij, quorum bini quem producunt mutuo ductu, detracto eo qui fit ex quadrato interualli laterum, siue in summam amborum , siue in reliquum
remanet quadratus. Sint hio quadrati A B. 8 quadratus interualli laterum E. .duplum ipsorum iri esto C. addaturque singulis BC duplum ipsus E puta F. Dico tres ΑΤ. I. I. praestare quod dictum est. Primo enim ducatur ΛFin BFmsia G. Ductoque Einteliquum CF. fiat H, quo detracto ex , maseat . Dico esse quadlatum. . Quia enim ducete A in B Fidem est, atque duceres in ΒΛ F in F ωvetumque Aa in F patet acontinere eroductum exa in B. & produci me Fininio seu ex Ebis in B. - quadratum ipsius riseu quadratum ipsius E quater Rursus, quia C eontinet duplum ipsorum AB E. productus ex E in C F, putam. G 16I
continet productum ex E in x bis me Erinde ipsum s aequatur producto ex xin B, seu quadrato in edi proin , iosi qualm tu re detracto Hex G. reliquus - portionalis D. Quod erat propositum. Secundo, ducatur Ei uimmam ipsorum A RAE R fiat L. quo detracto rursus ex G. supersit M. Dic, esse quadratum. Nam ut ostensum est, G continet productum ex A in B,4 productum ex Ubicinina. quadruplum quadrati ipsius E. At productus ex E in A. F. I, puta L. eontinet productum ex Sic B.4 ex E in sui quadruplum , seu quadruplum quadrati ipsius E. Igitur detrahendo Lexu reliquus inmanet aequalis producto exin in B.4 producto ex Dii B. Quamobrem M. quadratus est per primam partem praecedentis, cuius latus est summa amborum D E. Quod erat
Tettio, dueatur AF in CF.4 fiat N. tum duratur Ein summam ipsorum A CFQfiae P. quo detracto ex N. superfit Dieo Q. esse quadratum. Quia enim dueeres Rin I idem est atque ducerea in C. ωFin F. ac demum Fin ipsos Λ C. patet N. continere productum ex Λ in C. Nproductum ex F in F seu ex E in seipsum quater, productum ex Pin A C. seu ex Ebis in A C. Ruse sus moductus ex Din AI CF puta P. continet productum ex Sinin C. semel, ac tu seipsum quatet. Quare detracto P ex . reliquus Q anet aequalis producto exin in C producto ex E in ipsos A C. Quare Q. quadratus est per tertiam partem praecedentis cuius latus componitur ex ipsis
Quarto, Dueatut E in reliquum B F fata quo detracto ex eodem N. maneat S. Di a qua diatum esse. Quia enim ducto Dii F. CF fit P.& ducto eodem Ein BF fit R. patet P superare R. producto qui fit ex E in interuallum quo AR C superant B F. Atqui loco ipsius C. sumendo duplum ipsorum A B E. Interuallum quo AF CF superant BF reperitur contineres tet Fbis.B semel. Igitur P superat' producto ex Tin xter, in F bis, in B semel. Porro quia P mimulia conficiunt eundem N. quem M S simul conficiunt, sunt in arithmetiea medietate P ad R. vi S.
i. - . ad Q. Igitur s. superat o producto ex E in Arier, in F bis in B semel. Et loco producti ex Ui Aa vitare a semel, sumendo productum ex Ein Dbis, in seipsum semel, fiet interuallum quo S superat, equale producto ex Elis in ipso. Ris quadrato ipsius E. Quare cum πιstensus sit quadratus, cuius latus eomponitur ex ipsis D A F. quadrato Q addendo quadratum ipsius Eae duplum . iam ploducti ex ipso Sin latus ipsius Q fiat S. Vtique . quadratus est latus habens compositum eisip. s. sis Da PE seu ex D Ain triplo ipsius E. Quod erat propositum. Quinto Dueatur BFin CF.& fiat T. tum ducatur Ein summam ipsorum B F. CF., fiat V. quo detracto exa supersit X. Die X esse quadratum. Quia enima producitur mi F. in C F. patet continete productum ex B in C, productum ex Fin F, seu ex E in F bis,in productum e Ria BG, seu ex tabis in B C. At productus exi in B F. F. seu V. continet productum ex E in 'BC.
semel 4 ex E in F bis. Igitur detracto; exa reliquus X continet produc tum ex B in C. de productum e Tin B C. Quare X quadratus est et quintam partem praecedentis, cuius latus componiis eur ex ipsis BD F. Quod erat propositum. Denique ducatur E in reliquum AF fiat V. quo detracto ab eodem T. supersita. Dieois i sum T quadratum esse. Quia enim ex E in B F. CF fit V.&ex eodem Eina Ffit Y, patet superare
70쪽
vprodueto qui fit ex E in interuallum quo BI CI superant A F. Sed eodem quo supra, ductu utentes inueniemus hoe interuallum eontinere ipsum Uter Ubis A semel. Quare V superatre producto ex Sin B ter, in F bis, in A semel. Et loeo producti ex E in Am semel, sumendo illi aequalem produerum in E in rebis,& in seipsum se mehfiet interuallum quo V superat Taequale producto 'a' ex E in ipsos D BF bis in quadrato iosius E. Quoniam vero V X simul, aequantur ipsis et simul, c. sunt inaequalidissilentia V . et X Ergo interuallum quo Z. superat'. aequatur duplo producti . .eiis ex E in ipsos D B F. quadrato ipsius E. Quamobrem eum nostensus sit quadratus, cuius latus componitur ex ipsis BDF patet ad ipsum . addendo quadratum ipsius E & duplum producti ex . . ipso Sin latus ipsius X. eompositum Z esse quadratum cuius latus constat excipiis D B DE se ex V ΒΛ triplo ipsius E. Quare ex omni parte eonstat propositum.
Si planus sub duobus numeris contentus, ducatur in compositum ex ipsis, idem fiet numerus, atque si quadratus primi ducatur in secundum quadratus secundi ducatur in primum. ii Sint duo numeri A B. planus sub ipsis contentus C. quo ducto sigillatim In ipsos
g in B. fiant Da. patet ergo summain ipsorum D E aequalem esse producto ex C in prim' compositum ex ipsis A B. Hanc igitur summam dico aequalem esse productis ex quadrato ipsius A in B, ex quadrato ipsius B in A. Nam sumptis tribus numeris A. B& rursus, idem gignetur numerus quomodocunqueis quouis ordine inter se ducantur. Quare e toti ..i. ducto A in A producto, nempe quadrato ipsius A ducto in B. et idem , qui fit ducto A in Bisariis. producto C in Α. Eodem argumento probabitur numerum Efieri ducta quadrato ipsius B in Λ.
Si numerus secetur in duas partes, cubus totius aequalis est cubis partium . numero qui fit te ex toto numero in planum subpartibus comprehensum. sit numerosa sectus in duas palles VC. B. Di eo
A. . - eubum totius AB aequari ubi partium AC CB M numero qui fit ter ex toto in planum sub ipsis A C. B comprehensum. Sumatii D quadratus ipsius A B. qui eum sit aequalis quadratis ipsorum Λ C. B de plano bis sub ipsis comprehenso, esto D quadratus ipsius Λ C. ωG quadratus ipsius CB., ΚΜ planus bis sub ΑC. B contentus. Itaque patet ex definitione cubi ex toto A B in totum in produci cubum ipsius Aa i Ergo idem cubus producetur ductis singulis partibus ipsius AB in singulas ipsius D M. Ducto autem C in suum quadratum a fit cubus ipsius A C., ducto C B in suum quadratum GK fit e serit. cubus ipsius C B. Ergo iam habemus ubos partium. Restat ut ducamus C in Κ, C in G, tum utrumque A C. CAE in M. Atqui dueere ipsos C. Ca in M. idem
est atque ducere totum Axii K M. Quare cum x M. fit planus bis sub partibus AC CB contentus, b Hmcx. patet ducere A C. C in x M. idem eis atque ducere totum A a in planum bis sub partibus comprehensum Rulsus autem ducere AC in GAE &C in D G, idem est atque ducere totum Acin planum subpartibus comprehensum. Quamobrem harum omnium multiplicationum producta simul iis .isa seu eubus totius AB aequantur cubi ipsorum A C. B, numero qui fit ter ex toto AB in pla acta. . nuin sub ipsis A C. C a comprehensum. Quod erat ostendendum. M.
Si numerus secetur in duas partes, cubus totius aequalis est cubia partium, iume-meris qui fiunt ex qualibet parte in quadratum alterius ter. c .. 3ix 'v M in duas partes s C . Dico cubum totius A s aequari cubis
ipsorum A c. CAE, numeris qui fiunt ter ex quadrato ipsius A C in C s,in ex quadrato ipsius cra in A C. Etenim L eubus totius A B aequatur cubis ipsorum A C. CAE, numero qui fit terri inlisae Aa in planum sub A C. CAE. Sed numerus qui fit ex Ara in planum sub An C B. aequatur productis uisa his. ex qualibet parte in quadratum alterius. Quare numerus qui fit te ex a B in planum sub partibus, M. aequatur eis qui fiunt et ex qualibet parte in quadratum alterius. Igitur cubus totius A n aequatur cubis partium& numeris qui fiunt ter exqualibet parte in quadratum alierius. Quod demonstran-