장음표시 사용
71쪽
Duorum cuborum interuallum, aequatur cubo interualli laterum, numero qui fit te ex eodem interuallo laterum in planum sub lateribus comprehensum.
R: Juales numeri AB. BC quorum interuallum DB, ita ut A D. C. A diis sua ' sint,quales Et cubus ipsius A cesto a cubus autem ipsius a sti. Dieo' interuallum ipsorum a v. aequari cubo ipsius Da & numero qui fit ter ex in planum sub A Etenim ' cubus totius, a, nimirum E aequatur eubis partium A numero qui fit ter ex xa in planum sub A D. Da quare clim Ai sit aequalis a C. & ideo cubus ipsius D sit, patet a aequar ipsi, cubo ipsius, in numero qui fit ter ex Aa in planum sub A D. D B. Sumptis autem tribus numeris B. A D. a. idem producetur numerus quouis ordine ij inter se νω .. ' ducantur. Quare idem numerus qui fit ex An insanum sub A D. Da fiet etiam ex DB in planum sub Ara. A D. seu sub A B a C. Quam o h rem eubus, aequatur cubo, cubo ipsius D B, numero qui se ter ex dira in planum sub A E E C. Itaque a cubes auferendo cubum , remanet interuallum cuborum aequale cubo interualli laterum Ra,& numeroqui fit ter ex eodem p in planum sublat ribus a B a C comprehensum. Quod demonstrandum erat.
72쪽
CLAUDII ASPARI BACH ET SEBUS IANI
1 Ri-ngulum rectangulum in numeris onstitui dicitur, cum tres exhibenturnumςri, ita V maioris quadratus, quadratis reliquorum simul sumptis aequalis sit.
Vt tres numeri . . s. dicuntur eonstituere triangulum rectangulum quiam loriso quadratus s. aequalis est quadratis, de I6. reliquorum . A. Cuius rei ratio pendeta quadrastesima septima I. Euclidis . Nam verbi gratia, si sit triangulum rectangulum ΑΒ cuius angulus rectus B demonstrauit Euclides quadratum lateris A C. aequari quadratis ipsorum A R
Maius latus trianguli rectanguli, dicitur hypotennia. Reliqua duo latera circa rectum, 'orum alterum , basiis: alterum vocatur Cathetus seu perpendiculum.
Si in superiore diagrammate Mavocatur hypotenuia seu subtendens, quia subtendit angulum rectum. Reliqua vero latera A B. BG dicuntur latera circa rectum, quia rectum angulum comprehendunt. Et horum alterum puta BC dicitur bass. alterum dicitur perpendiculum, littiangulum concipiatur inniti later B C. vel e conuelso B C dieetur perpendiculum, O basis, si triangulum ipsi x niti concipiatur.
Ateittianguli rectanguli est semissis plani contenti sub latetibus circa rectum.
t sie positis lateribus circa rectum Α B. BC. 3. με. cum planum sub ipsis si ia erit area trianguli reetanguli ΑΒ C. numerus 6. Et ratio est euidens. Nam si perficiatur parallelogrammum rectangulum A BG D patet eius atram fieri ducto latere Aa in B C. Quamobrem cum triangulum D C. triansulo ABC sit aequale, manifestum est ipsum Assi C. esse dimidium totius parallelogrammi atque adeo eius aream esse dimidium producti ex Λ B in B C.
Similia triangula rectangula dicuntur, quae latera habent proportionalia.
Cum sellicet est hypotenua unius ad hypotenusam alterius, sicut basis ad basim, eulum ad perpendieulum, qualia sunt triangula . q. s. dcua. 6. 2α
A duobus planissimilibus formari dicitur triangulum rectangulum, cuna ex eorum summa, & eorunde interuallo, duplo med ij proportionalis,constant latera trianguli.
Sie a planis similibus4.ωIa dicetur mari triangulum. F. si Ia quia II, similium , 9 interuallum eorundem, Ia duplum medi proportionalis.
73쪽
duobus quibuscunque numeris formari dicitur triangulum rectangulum, cum ex aggregat, ex interuallo quadratorum ab ipsis 4 ex duplo plani tib ipsis numeris contenti, constant latera trianguli. Sic a duobus numeris a. 3 formati dicitur triangulum 3. I. Ia. Quia I3 est aggregatum quadratorum ab ipsis a. a. u. est eorundem quadratorum interuallum inua est duplum plani sub a. a. contenti Hos autem duos modos sormandi triangulum rectangulum legitimos esse demon strabimus hoc libro, propositione tertia di quinta.
ATribus numeris in proportione Arithmeticipossumus formare triangulum sseeundum hane desilitionem sextam formemus illud a medio fidissereAtia, Nam solidum sub iribus actum in disserentiam facienaream diei trianguli atque ideos disserearia fit unitas, solidum sub tribus erit area trianguli.
A duobus datis triangulis rectantulis tertium efformari dicitur, cum productus ex hypotenusia r. in hypotenusama . ni hypotenus 3 . At aggregatum productorum ex basii . in basima .cu ex perpendiculo 1 . in perpendiculum a fit alterum latus circa rectum Denique productorum ex hasLi'. in perpendiculum a . ex basi 2 . in perpendiculum i . minus de maiori subtrahendo dit alterum latus s.
Si edatis duobus triangulis 3. 4. 3.&I3. II. 3. fiet tertii hypotenuia produc um ex F., 3 nen peos alterum latus circa recium erit aggregatum numerorum 48. os qui fiunt ex bas in basim4 ex perpendiculo in perpendiculum Tertium vero latus erit quod relinquitur auferendo productum ex q. iis nempe Io a producto exa in Ia nempe a 36. Erunt igitur latera omnia tertiitrianguli. 61. 63.i6. Hic modus etiam demonstrabitur intia, propositione decima.
Si latera trianguli rectanguli pereundem numerum multipliuentur aut dividantur, fit aliud triangulum rectangulum simile priori.
Hane& sequentem propositionem omnibus triangulis si initibus in uniuersum applicatam demon. strauit Euclides libro exto sed ex propriis numerorum prinei piis eruto demonstrationis medio,libethle utramque triangulis reciangulis singulariter applicare Sint trianguli recianguli latera circa re- ti. ctum ΑΒ,& hypotenvia G. Whorum quadrati DEF ita ,--. ut sit aequalis ambobus D E ductoque eodem numero Go in ipso. B C. fiant .m L. quorum quadrati M. Ni Di eo SL Q. Μ β, 64 P 00 rex L eonstituere triangulum retaangulum simile priori, nimirum quadratil mi ambobus M N esse aequalem, datera Hai esse proportionalia lateribus AB C.& quidem hoe ultimum patet' elim fiant HAE L ex eodem G in ipsos Α BG. Primum autem 'T.., ι pro Mur. Quia enim rationes ipsorum D EF ad ipso MN P sunt duplicata rationum ipsorum , BG ad ipsos lincia eum ut ostensum est, fies ad H, ut B ad ΚΛ ut C ad L, erit etiam D ad Muttaiam & ut Fad P.& permutando erit D ad F ut ad P.&a ad vim ad P. Cum ergo sit D. - primus ad secundum , seu intertius ad P. quattum, rursus sit Equintus ad F secundum, eueis sextus ad P quatium . Erunt m E simul irimus scilicet, quintus ad F secundum , sicut in simul, nimirum tertius sextus simul ad P quartum. Sed DE simul aequantur ipsi Rex hypothesi. Ergo&Mm simul aequant ut ipsi P. Quare ΗΚ L eonstituunt triangulum rectangulum simile priori. Quod demonstrandum erat. Eadem porro diuisionis ratio est quae multiplicationis rimanifestum est. Igitur constat provositum.
Areae similium triangulorum rectangulorum sunt in duplicata ratione homo logo
Sint latera triangulorum rectangulorum similii . A BC. D EI. Int Λ m hypotenusat B C.
74쪽
valli eorum K aequatur quadratis ipsorum BC. Manifestum est quadratos singulorum ABCD des a aequari quadratis ipsorum H Κ. Eadem prorsus ratione, quia quadratus ab G aequatur quadrat II -- partium B. C. plano bis sit B G. seu sub ΛωD.4 planus bis sub Α ω una eum quadrato , interualli eoruin L qaatur quadratis ipsorum AD, sequitur quadratos abs σε Laequatiturius ' ' ' 'quadratis a singulis ABCD. Quamobrem constat propositum.
Si numerus ex duobus triaequalibus quadratis compositus , ducatur in alium compositum quoque ex duobus inaequalibus quadratis, qui non sint proportionales iis ex quibus prior componitur, producetur numerus qui componetur bis, duobus quadratis. Sic compositus ex duobus quadratis ii qualibus D E. item quem com- pofitus ex alijs quadratis inaequalibus FG qui non sint proportionales ipsis Di duetoque A in B. fiat C. Dico C eomponi bis ex duobus quadratis Etenim quadratorum D. E. F. G latera sunto in L M. ductoque L. in ipsos Η Κ fiant Ni. ducto, in eoiderum K fiant QR. 4rit e victaea igitur tam ad P quam ad R sicut H ad K. Quare ipsi P. t. sunt proportionales Quia vero ducere A in B idem est ac dueere singulos DE in singulos PG rit ex sin gulis quadratis DE .in singulos quadratos FG. fiunt quadrati quatuor quorum lata ra sunt ipsi N. P. 'Q. R.qui fiunt ex singulis lateribus ΗΚ in singula latera LM. patet C aequalem esse quadratis ipsorum N P. Q .R. sed quadrati ipsorum, P. QUR. aequantur tum quadrato summae extremorum NM. quadrato interualli mediorum P Q tum quadrato summae mediorum P in quadrato interualli 'extremorulum R. Igitur 6 C aequatur tum quadrato summae extremorum 4 quadrato interualli mediorum tum quadrato summae mediorum, quadrato interualli extremorum , ac proinde componitur bis ex duobus quadratis. Quod erat demonstrandum.
Hi dua Ullut eouditiones apponώntur. Prima vi uterque A B componatur ex quadratis inaequalibus Secundave quadrati componentes A non sin proportionale componentibu B cuarum cond2-
.. νionum, necessita appareat, ponatur atier, oram puta A compona ex L 's . quadrati aqualibu FG. Igitur oriatera L. M. erunt aqualia. Quare
, s o si 4 M. Patet igitur extremorem Nin summam equar summa mediorum virorumque etiam idem esse interuallum. Mare C. non exinde
componetur bis ex duobus quadratis, sed tantum semet, nimιrum ex quada ισι summae extremorum, vel maecorum,' ex quadrato inter II eorundem.
c. Iaran vero quadrati Dasin proportionale quadratis FG. Erg. Va-
A. ipsi P. uamobrem c. mediorum P. . nullu- sit meruallum, non Na. QR pqtςr Ἀρης με numerum C compon ex a bur quadratis, eo quod qualis sit quadrato summa extremorum N R quadrato interualli mediarum P Sed tantum ostendi poterit Ceomponi semes ex daibus quadrati , quia aequatur quadraro summa mediorum est quadrato interuaui extremorum N. R. Set hinc constas Usum Cese quadratum, aquatim sci5cet quadrιu summa extremorum N R. uades inum aliunde arguitur. κια enim est D ad Ota ad G aries uterque Di u seu Aa virumquc' sinis seu ad B sicut T ad F. Quare .m D F sint quad ait, est A ad B in ratione quaarati ad quadraium Mae i proinde AEd sunt plani similes ι ct ex eorum matu diaeta prorictu C en quadratus P. Attamen in propositionis ranssiliane disi potius quadraros ex quibus A componitur non debere inas ita, esse proρortionalis quadrati componentibus R. quam is non debere esse plano similes auia . plan similes non omnino exeiadend eran , sed tantum quatra i ex quadraιi protorιionatibara eoru i ponuntura nam sisntur plani similes qui componantur ex quadratis mimis proPortionatibus, is ορ- time fati acient proposito quati sunt s. ct s. quorum rue componitur ex quadrati t. im . ista e=o ex quadratis s. qui non sunt illi proportionaler Unde hil obstat quo minus per hane Πορθμι Ionem concludamas pro EZiam ex s. in s. eomponi iis ex duobus qua Tatii, nimirum ex as.
75쪽
Si duorum triangulorum rectangulorum latera circa rectum proportionalia si rint, similia erunt triangula. Sed I fuerit hypotenus primi ad alterum latus eiusdem, si cui hypote nutar. ad alterum illius latus, similia erunt ipsa triangula.
Demonii ratur hoe ab Euclide in omnibus triangulis lib. 6. prop. sexta& septimae Sit triangulum G, Hic a ς; ngulum AB C. viii hypotenus A. Itemque triangulum rectangulum cuius hypotentis D. N primo sic ad E sicut C ad F. Dico iii angula essebi, milia Sumantur G M, quadrati ipsorum A BAE. Itemque MN. quadrati pia et deci Lib. Mου forum D F. Cum ergo sit Bad Evt Cadis, erit m ad muta ad N cum utraque' ratio sit et iisdem rationis duplieata. gitur antecedentes simul, x seu G ad νή φής i eonsequentes simul M, seu ad L. erunt vim ad M vel x ad N. Quare cum sit G ad Lot H ad M velit' ...... , ad N. erit A ad D ta adis ut C ad F. Atque ideo tota triangula similia erunt ex definitione. ina, Qui d erat propositum. Deinde sit cadi via ad s. Dieo rursus similia esse triangula Etenim quia est A ad nota ad s, erit& G ad L vim ad M. Quare permutando erit G ad invia ad M. diuidendo erit cadi vim ad M. ivt-sus permutando erit, adi vim ad M. Igitur est&C ad F ut cadis vel ut A ad D. A moinde similia sunt triangula. Quod erat demonstrandum
A proportionalibus numeris sermata triangula, s milia sunt.
sint proporrionales numeri A B. i. quorum quadrat Eo.
ἡ .iistis, et ti quibus sormentur triangula rectangula, si videlicet
Atis eorundem interuallum. duplum medii proportionalis. Dico triangula, C M. esse similia. Quia enim est, ad solae ad D. erit x ad, ut G ad H4 eomponendo erit uterque hi si inui, nempe ad p. sicut ambo G in nempe, adi. Rursus quia est cadis ut G ad A, diuidendo & conuertendo istiti ad L, seu es ad p. Cum ergo sit, adi vim ad H, rursus, ad L, vim ad p. erit ex ε in aequo ad L. ut, ad P. Quamobrem similia erunt triangilla, M. N P es. Quod erat propositum. Eademque erit demonstratiosi sormentur triangula a planis similibus proportionalibus ut traditum est prop. tertia Nam si ponantur huiusmodi plani Ep. G H. ab eis formata erunt triangula x . po quae ostendentur similia ut prius.
ΡRoΡOSITIO problema 3. datis duobus triangulis non similibus, et formare alia duo.
Sit triangulum rectangulum, a C. Maliud non simile D EI, quibus oporteatri ' enormare alia duo, ducatur basis A in basimi, perpendiculum g in per- Uri pendie ulum sin fiant, o Tum ducatur basis D in perpendiculum, lassκ in pζxpendiculum ε danes L. Deinde additis W simul fiat M. Ἀκυ duobus io minor de maiore auseratur .supersi N. Similiter addanturio. fiat os ex ipsis, L minor de maiore detrahatur,4 supersit P. Denique du- eatur hypotenus C. in hypotenusam, Iati. Dico, esse quae n D sita triangula Primum enim ea formata esse constat a datis triangulis, ut traditum si definitione septima, si videlicet latera A D. velis nunc ut bases nune ut perpendicula considerentur. Igitur restat solum probandum, constituere triangulum rectangulum , itemque main. Ducatur C in ipsos metiniant s. Cum ergo idem C ductus in sit - prima, gulos Dis p seeerit ipsos T v c patet Tu constituere triangulum rectangulum δε quadratum ab aequari quadratis abs T,&v. Similiter quia idem ductus in singulos AC, producit ipsos, in eonstituunt mi triang. recto quadratus ab T aequatur quadrati, absis , Rursus quia idem ductus in singulos Aa C, producit ipsos LG, constituunt Whi triang. reci. quadratus ab uitia aequatur quadratis ab L. WG. Quare cum quadratus abi si ostensiis aequalis qua diatis abs τ ., i νεια. erit quadratiis abis aequalis' i dratis a singulis, Quoniam vero ex eodemi in ipso, Usee a, producuntur M. erit cadi Vt B ad A. Similiter quia ex cin eosdem Bis fiunt Ga erit C ad Lot , ad huius A, ae protrule erit xad, ut G ad L. ii amobrem haggregat iam quadratorun a singulis x κ .su quadratus ad R. aequatur quadrato silmmae extremorum seu quadrato ab M. inii adlato interualli mediorum seu quadrato ab N. Quare, in constituunt triang. rectang. Rursus idem aggregatum Lao. 48.
76쪽
κά. EF latera circa rectum, ductoque Binet fiat Κ. cuius semissis numerus G. Aio. EI σε 'λ stiliς ii ngui nailiter ductos in F fiat L cuius emissis H. 3.1 s area trianguli Di F. Cum ergo similia sint triangula, isti A ad D, B ad E&vi Cad F. Dico itaque esse aream ad area iiiii cluplicata ratione I
teris Bad latus E. vel lateris C ad latus F. Cui ne iii in plani, L habeant latera
proportionalia, erunt plani similes δε erat cada in duplicata ratione latcmi ad latus E vel Q. F. .. ad F. Sed quia G est dimidium ipsius Κ,&H est dimidium ipsius L est G ad H, K ad L. Igitur ex o ia a Gad inest in duplicata ratione laterum BG ad latera EF Quod demonstrandum etati
ia igitur umpto denominatore rationis cuis libet , im quadratus en denominator ationis duplicata illius sequitur sumito denominatore rat3oni iatera m eius quadratum esse denominatorem ratιonis arearum profosito faradigmAte, quia rationis, ter latera denominator est a raιιonis ister areas denominarer est 4 quadratus Usius a. ct Ecde atiss.pROPOSITIO III. Problema I. A duobus similibus planis numeris, triangulum rectangulum estorinare.
si ii duo plani similes A C a quibus oporteat formare triangulum cc mgillum. 3- sumit uim mellius toportionalis ipsorum A C. Et lit amborum Ara lumina δε aD o h Eiuili uni Dri dupluin ipsius B esto E. Patet tres Diui formatos esse ab ovais., ipsc BG ut traditum est definitione quinta. Dico itaque tres Dii constituere triangulum rectangulum. Quia enim est lumma ainboruin M. Crit quadratus ipsius Faequalis quadrupta plani sub MC.4 quadrato interualli ipsorum A C, qui si quadratus plius D. At quadruplum ἰplani sub Ain C aequatit quadruplo quadrati ipsiusi sum ponantur proportionales. - . quadruplum quadrati ex B est quadratus dupli ipsius B, nimirum ipsius E. Igitur quadratus ipsus. .hia. Fest aequalis quadratis ipsorum Da atque adeo in constituunt trianguluin tectangulum. i. Quod erat propositum.
Summa duorum pianorum milium onstituit 'potenusam trianguli rectanguli.
Hinc patet quemlibet numerum statui posse hypotenusam trianguli rectanguli, eum quilibet numerus diuidi possit in duos datam rationem seruantes, atque adeo infinitis modis eomponi possit ex duobus planissimilibus, unde&erui potest canon ad diuidendum quemlibet quadratum in duos quadiatos infinitis modis, ut docebimus ad octauam a Diophanti.
Cuiuslibet trianguli rectanguli hypotenuia componitur ex duobus planissimilibus. o, Sit hypotenvia trianguli rectanguli AZ latera eirca tectum BC de ir
componi ex duobus pia iis similibus UeIenim xest par, vel impar Sit primum par. Ergo QD par est,. pariter par. Igitu noli eris ivlorum EF alter par, alter impar, alioquin componis e ipsis Desset tineat, eonita id quod ostensu in Σ' est. Non erit etiam uterque ipsorum EF i inpar nam sic uterque plorum excederet pariter parem viis-ὰ unitate, atque adeo ompositus ex ipsis D excederet pariter parem binario, esset bis heri j iis ..tipa tantum, at ostensus et pariter par. Reliquitur ergo utrumque E esse parem. Quare i viissima uterque B par est. Itaque sumatur ipsi aequalis LMque adeo par, Maddatur e LM aecula' lis alteri laterum ci rea rectum puta C erit igitur a M par Quare totus G M patetiam erit se cetur ergo bifariam in & ipsi et sumatur aequalis HAE ita ut reliquus G H. reliquo LM seu C. - si aequalis, Cum ergo G L componatur ex duobus G Κ. a. erit quadratus totius Ga, seu D. aequalis quadruplo plani sub GK. Κα&quadrato interualli GHqui est F. At idem D. est aequalian ii H . quadratis EF ex hypothesi ergo quadrati EF aequantur quadruplo plani sub G Κ. clavi quadrato με rima, F. Quare ablato utrimque F. remanet Eaequalismi adruplo plani sub GK cta Quamobrem planus' sub G A L aequatur quadranti ipsius E, seu quadrato semiis ipsius B deripte semissis ipsius B est 'ia medius proportionalis inter G Κ. ω L. vnde sequitur ipsos r m. a. esse plano similes. Qua-ν q. isamobreminaequalis G L. componitur ex duobus planis similibus. Quod erat propolitum . .
77쪽
Iam vero fies impar, atque ideo i impar Igitur ea ipsa E FD 36ς A F .i Eium item , alterum imparem esse necesse est. Nam siueo; s Vterque ponatur par, siue uterque impar erit compositus exina inlina GH '' ipsis par, contra hypothesim Sit ergo par Fimpar Igitur
aequar quadruplo plani sub G Κ Κ L. atque ideo planum ipsum sub m. aequari quadrato se. missi, ipsius B. Vnde sequitur ipsos G Κ ΚΙ esse plano similes. Quamobrem Λ componitu ex duobus Iani similibus. Quod erat ostendendum.
addatur adimatur trumlibet Drerum circa rectum, semis summa, ct interualii exhibebunt lan.ι illos similes. Vnde eulsus,ollige si hypotenus sit numerus par, eam semper bis componi ex duobus planissimilibus integris. Nam tunc ur ostensum est, utrumque latus circa rectum est par quare utrumlibet addatur Vadimatur hypotenuis, erunt summae 4nterualla numeri pares. eorum semisses in integris habebuntur. Sie posita hypotenus Io si ei addas adimasin fiet summi interuallum is.&Puliolum semisses 8. a. sunt plani miles ex quibus Io constat. Rursus si eidem O. addas, adimas alterum latus 3 fit summavi lateruallum I8.4 a quorum semisses s. r. sunt alia duo planissimiles ex quibus Io componitur. Si vero hypotenuia sit impar,cum ut ostensum est,alterum laterum carca recium Ilipar,alterum imia par. Componetur hypotenuia semel tantum ex integris duobus planis similibus, qui habentur si ei ad dit it Madin alui latus illud quod est impar δε summaevi interualli semisses sumantur; sed si hypote nutae addatur adimatur latus par, tam summa quam interuallum impar erit, atque adeo ei nusses eorum non habebuntur in integris.
Alduobus quibuscumque inaequalibus numeris triangulum rectangulum formare.
Sint duo numeri truequales Assi a quibus oportet formare triangulum rectan-y et gulum. Sint ipsorum x quadrati T. & productus et in esto D. Tune C A DIO E F. duorum C E lumma esto F, de eorundem interuallum .ini H duplum ipsiua Fz9. D. Dieo F. G. H esse triangulum rectangulum quaesitum. Nam ipsos FGH sormari ab ipsis A B ut traditum est definitione sexta manifestum est. Restat probamium eosdem FGH onstituet triangulum. Quoniam ergo CE sunt plani miles , i medius eorum pro. portionalis, patet ab ipsi CE sormatos esse FGH, atque adeo GH constituere triangulum rectangulum per tertiam huius. Quare constat propositum
Inaauales momero esse oportet. Alisaians a les essent, quadrati quoaue orum essent aquales edi haberi non posse,iatus eirca rettum quod ea inter illum quadratorum Caterum paret modum hunef.rmandiariausiam a duabus quibuscumqua numeris nona erre ab eo qni tradisus estpropositione .riia, suco iermnsumantur ipse uadrata ct ab ipsi concipiatur formari triangulum.
Si fuerint quatuor numeri proportionales , aggregatum quadratorum a singulis, aequatur quadratis summae extremorum, &interualli mediorum. Itemque quadratis
summae mediorum. interualli extremorum. Sintini CD quatuor numeri proportionales , si videlicetis ad B ri C ad D. evnt extremorum lunama , mediorum interuallum . . in Rursus sit mediorum summam interuallum extremorum L leot ' quid atorum a singulis A B Cm aggregatum aequari tum quadratis ipsorum H. . tum quadratis GL. Quia enim quadratus H aequalis est quadratis partium Ad D
78쪽
quadratorum singulis H. LG. seu quadratus abnaequatur quadrato summae mediorum seu quadrato ab in quadrato interualli extremorum seu quadrato abs P. Quamobremis ipsi constituunt triang. rectang. Itaque ex omni parte constat propositum.
PROPOSITI I. Probi. 4, Inuenire tria triangula rectangula, ut solidus sub perpendiculis ad solidum sub
basibus sit in ratione quadrati numeri ad quadratum numerum. Exponatur triang. rect AB C. cuius hypotenus A perpendiculum B. basis
.'' Deinde ab ipsis formetur aliud rect ita ut hypotenus D E i.
H o. T 8 sit summa quadratorum , perpendiculum E sit duplum producti multiplica- tionisis basis F sit interuallum quadratorum , nimirum inuadratus ip- U sius C. Denique ab ipsi, A C. formetur etiam tertium triangulum, cuius hy-
u toxenuis si sinum quadratorum , perpendiculum Κ dupIum producti, dele hasis Udifferentia quadratorum, nempe quadratus ipsius B. Dico tria haec priori Vi ngula praestare quod requiritur. Ducto enim Eriti fiat P. quo ducto inciis, MI fiat imiliter ducto C in L fiat M, quo ducto in F fiat . Dic, solidum subie pendieuli, ad N solidum sub basibus habere rationem quadrati ad
quadratum Sumatui R duplum ipsius A. evex B in C sat V. quo ducto rursus ini fiat T. Quia ergo sumptis tribus numeris B C.&m rursus, idem fit numerus quouis ordine inter se ducatur,ducto e tertis. . autem B in in producto, in B fit T. At ducto B in B producto Lin Q fit M. sunt viique aequales Q ua vero ex Bies bis, seu ex B in sti,4 ex C in fit K. consideratis quatuor numeris B. R. C. R idem fiet numerus quouis ordine inter se ducantur. Sed ducet B in R. unde fila, ducto C in Munde fit Κ,in demum ducto E in producitu P. Igitur si dueatur Min unde fit H, de B in C. unde fit; ae demum V ducatur ines fiet idein P. Cum igitur idem V ductus in Hae in B producat ipsos a seus M. Leti H ad B sieul P ad M. . Quare qui fit ex mutuo 4 dici εductu mediorum B P nempe solidus Q. fit etiam ex ductu extremorum H M. Cum igitur ex eodem strum 7 M in ipsos H de F fiant solidi QN erit ad N sielit Had F. Quare cum in F sitit quadratι, erit ad N in latione quadrati ad quadratum. Quod demonstrandum erat.
Notatu dignissimum est iisdem prorsus manentibus triangulis i solido QN adrupliciter variari posse ρrout latera circa rectum nunc sient bases, nunc perpendicula is omnibus tamen modis ratio solidi ad solidum erit qua quadrati adquadratum, qua miraculo ue videtur. Primus casus est, qui in demonstratione exhibetur, quo
u rasione quadrati H ad quadratum L. quod ιι em pror- sus argumentis prohatur. Itaque ιn his dώobus eassibus Ρώ-dus adsolidum est die quadratur H ad quadratum F, vel ad quadratum L prout solidus .flia produ-ἱlo ex quadratis et inlatus ipsius velinitus ipsius L. Tertius casus est eum primi or teriis trianguli lateribus in eadem distodiana ma,ntibus , secundι fera transponuntur, infra basis 'perpenriculum. Et D L. E P. uise lidas ad solidum .se habet Ut quadratus F ad quadratum L. Quod GI . 'o L 16 ita raba Q.Ve a m prodacuntur eae eodem vis ipsius A in ipso E C. pateρ IDR ad C υta ad M. Igitur exi is nidem si numerus qui sit ex C in Hςima
79쪽
Marius demque casus est cum lateribus I. cst a trianguli eodem loco manentia
p sis ' iis numeras Doris ordine interse ducantur igitur .m ducto in R, ct producto , .so. Iro Ei .R oducto rursu in L. flat s solidAs, idem solidus siet ducto B iis B. producta , .adrato scilicet Uus B duEt in sibi aquatim, ct mrses predacto, Madrato scilice inta L ducto in R. Quare est ex R in quadratum ipsius L. Eodem prorsus argumento probatur solidum, feri ex R in quadrinum i u F. Proinde parer esse V ad N ut quadratus Q ad quadratum ipsius F. Vnd colligas in hoe eas Q ad N esse non solum in ratione quadrati adquadratum, sedes in ratione
quadrat equadrati ad quadratoquadratum ei Q. sint quadrati ae per eonsequens quadrati eo m sine quadrato uadrati quorum latera es P. C. Superest a moneam licere Deo euiuslibet sie mentorum triangulorum4 aliud iis ponere, ct -- vim manebit semper quae rius, ratio soliri ad solidum , quod unica demonstratione omnibω eas seonueniente demonstrari poten, bae arte Loco trianguti Ga X sumatu traan
PROPOSITIO XII. Probl. s. Inuenire duo triangula rectangula , ut planus sub perpendiculis, superet planum
sub basibus numero quadrato, vel cubo, vel quadratoquadrato, vel quadratocubo, vel cubo cubo. 6. Exponatur quodlibet triang. rect Aa C. ita vim duplum perpendi eulix siemaius basi B.4 ab ipsis formetur triangulum ΗΚ ita ut insit aggregatum quadratorum , assa sit in. teruallum eorundemin perpendiculum L sit duplum producti exi in D. Deinde singula lateram Κα di- νε ε vidantur per basim νω fiat aliud triangulum simile EI G. Dieo primo haberi duo triangula A BC EFG ita ut planus sub perpendi eulis superet planum sub basibus quadrato numero Etenim ducta C in G fiat quia ducto B in F fit, ex constructione auferatur Κ exin&supersi R. Dico Resse quadratum. Quia enim D est duplus ad C. productus bis ex B in D nempe L aequatur quadruplo producti ex B in C. Quare diuiso L per B quotiens G est quadtuplus ad C. Cum ergo ex C in fatra erit in quadruplus quadrati ipsa us C. seu aequalis quadrato ipsius D. Proinde cum Κ sit interuallum quo quadratus ex D nempe superat quadratum ex B patet auferendo ex Q residuum cesse quadratum ipsius B. Quod erat propo-
Die secundo haberi duo triangula ABC, Κ L, ita ut planus sub perpendiculis superet planum sub basibus numero cubo Etenim bucio C in L fiat S. ducto B in Κ fiat, quo detracto ex S. supersita. Dico Tesse eubum. Quia enim ex eodem C in ipsos GL fiunt Q S. erit Q ad L. Gadi Rursus , quia ex eodem B in ipsosia fiunt MN erit ad N ut Fad Κ. Quare eum ob si militudinem triangulorum sit F ad K ut G ad L erit &uadra vim ad N. Ideo cum sit, totu, Q ad totum S. sie ablatus cad ablatum N erit reliquus' ad reliquum T in eadem ratione. Sed rationis Fadri seu Gada denominator est Rex constructione Isiturvi tationis Mad T idem B denominator erit, ae proinde' ex B in fiet T. Igitur eum ex Bin suum quadratum R. fiat T. erit Teubus ipsius Quod erat propositum. Rurius si B ducatur initiangulum H DL, fiat aliud simile MN P. Die habeti duo triangula BG. M l. ita ut planus lub perpendiculis superet planum sub basibus numero quadratoquadrato. Etenim fi ducatur in P unde fiat; &Bdueatur in munde fiat quo detracto ex V relinquaturY. Dico Y esse quadratoquadratum. Nam eodem quo prius argumento ostendemus eme
80쪽
rad te ut cad N vela ad P. Quare cum lationis K ad N vela ad P denominator sita ex conis structiones erit idem B denominator rationi, T ad Y ac proinde ex B in suum cubum T fiet . Quare cerit quadrato quadratus ipsius B similiter, si B ducatur ut sus in triangulum in P. fiet aliud simile quod cum triangulo KB C exhibebit duo triangula ita ut planus sub perpendiculis superet planum sub basibus numero quadratoeubo nimirum quadratocub ipsius B. Et si ruisiti ducatur in ultimum triangulum , et aliud quod cum ipso ABC duo exhibebit triangula, ita veplanus sub perpendiculis superet planum sub basibus cubocubo plius B. Igitur ex omni parte constat propositu iri.
Inuenire duo triangula rectangula ut planus sub perpendiculis cum plano subbasibus , faciat quadratum , uel cubum, vel quadrato quadratum , vel quadrato-cubum , vel cubo cubeti m. Exponatur triang. redi. Am C. ita vim duplum basis C. fit minus perpen- ro diculo B. . Et ab ipsis BD formetur aliud triangulum H ait supra , cu . ius omnia latera dividantii per B sit .a inico triangulum simile EFG. Dico primo duo b ririris letoo. 118. I 28 triangula ABC EFG huiusmodi esse ut hia. . M 928. N 128 P48so. i oζι;6. ao 736. planii sub perpendiculis clim plano sub basibus faciat quadratum. Etenim ducto C in fiat Oti e ui addatur, productus ex B in F ex constructioneis fiat'. dico cesse quadratum. Quia enim D eit duplus ad C. & exis inobis fit L, idem L fiet exi in quadruplum ipsius C. Quare cum diuidendo L peti fiat G. erit G quadruplus ipsius C. toinde adroduc is ex C in G aequabitur quadruplo quadrati ipsius C, seu quadrato ipsius D eum ergo Κ sit interuallum quo quaὸratus B sit perat quadratum ex Dieinpe plum Raddendo ω sumina'. erit quadratus ipsius B. Qiiod erat propositum. Die secundo duo triangula A B C. Hri L. talia esse ut planus sub perpendiculis eum plano subbasibus saeiaceubum. Nam ducto C in L fiat S. ductoque Bin fiat, quo addito adri fiat T. Di eo Tegeeubuiti. Eteniri quia ex eodem C in is in L. fiuiu Q S. Me eodem B in ipsos Κfiuiu Κ N erit ad S ut G ad L. Meries ad N uti ad K. sed et ad Κ ut G ad Lob similitudinem triangulorum , ergo est Q ad Sut Κ ad N. Quare& erunt antecedentes simul nempe' ad consequentes simul nempe ad T, N. sed B est denominator rationis cad N ex constructiones ergo S rationi Rad T. Quamobrem ex in R fiet T. unde eum Ruit quadratus ipsius B ut ostensui nest, erit T cubus eiusdem B. Quod rat propositu in. Ritriticu B ducatii in triangulum sincia, fiat aliud simile M N P. Di eo tertio duo triangula BG. M N P. huiusmodi eise, planus sub perpendiculis cum plano sub basibus faciat quadratoqii ad ratum Etenim si C. ducatur in P fiat V,4 B ducatur in .vi fiat X. quo addito ad Uriae Y Dico Y esse quadrato luadratum. Nam eodeni quo prius argumento ostendemus esse ad , sicut N ad X. Qua te clim exi in uiat X, necesse est etiam ex Bina fieri, ac proinde eum Ostensus sit cubus ipsius B erit N quadratoquadratus eiusdem B. Similiter si B ducatur rursus in triangulum M N P. et aliud simile quod cum triangulo ABC ostendetur esse hujusmodi ut planus sub perpendiculis cum plano sub balibus faciat quadrato cubiam ipsius B Aedemum sim ducatur rursus in vitii num triangulum, fiet aliud, quod cum ipso Assii, ostendemus esse huiusmodi, ut planus sub perpendiculis cum plano subbasibus faciat cubocubum ipsius B Igitur ex omni pa te constat propositum.
In hoc e in pri cedenti problemate accidit i inuenta duo rriangulas per eundem numerum utraque multι8ticentur aut dιui intur , produc Ditiatia duo idem practantia, quod unica exemplo sublicie probare. Multiplica per . t sanguia 3. r. s. meto I. 3 . o. fient abaduo, 39. 36.ες est l. H. o. Usi vide planum sub basibus ocio cum piano sub perpendi cutis 396 efficere quadratum 296 a latere 36 perpendiculo scilicet primi ri.ιnguli Demon ratio facilis est,s ideo eam4 ibi resinauo indagandam
pilo POSITI XIV. Probi. 7. Inuenire tria triangula re elangula , ut solidus sub hypotenusis, ad solidum sub