장음표시 사용
81쪽
bri huius magni. Acciderimi ergo nobis per gratiam Dei di bonitate auxilii eius, proapositiones faciles Schmies, quibus excusa mitra libro Miles, a figurascetore, di a pharismo libri Theodosi. Et quibus ex trahitur ignotu ex noto per quatuor numeros pro retionales, per sex nume ros copositos,siciit praeparantur in figura inore. cammolabri fit ficilis extraelio ignoti ex noto,cii indigeamus in ea notis paucioribus,& fit per illis com prehensio eius facilis,incessus paucae inuolutionis di consilitationis. Et accidi i in istis propositionibus quae diximus de tacilitate notoμ in eis,3c paucitate diuersitatis in copositigoportionis G1KQ ipsae poducunt ad uerificatione in omnes quaesito,in quo administiat. t n6 est necessiriu meis uti lineis roris di angulis e ,loco arcuum & angulim sito', stacuisecit Ptolemaeus in suo libro.Cirin nosti erit possibile ei rugi illud ut i ediatur in hoc de propinquitare,quod no occultanlr.Et ipse utitur in is considerationion 'iibus indi
guit instiumentis quanior,in ciuibus necessariae simi armillae octo. Nobis aute accidit inis irrumentum in in quo non m necessaria nisi armilla una,&quarta alia β r la .Et exiscusamur ab onutibus instrumentis, quae mse dixit di indiguit in cognitione qualitatis de clinationis orbis Lunae decliuis ab orbe umo' consideratione,in regione citius latitudo
esset quasi triginta partes,ipsa existente in medietate diei,in parte Sept trionali, di loco eius item ab orbe signo' in puncto tropici aestiui di possibilis est eius consideratio in hoe instiumento in omni terra.Et dixit etia, ψ centrum orbis deserentis trium sicis ase seperioria diuidit lineam 've est inter centra motus aequalis,di inter centrii orbis signorum, in duo media.Et positit illud ex rebus quae asi linuntur absolute, in no silerit ei possibilis uia, qua perueniret ad cognitione illius per demonstratione. Nobis a sit accidit per gratia Dei in qua peruenimus ad cognitionem illius per demonstiationem mani filia.Et postquam consideratione ad ultimu perduximus,mparint nobis, in accidit ei, ω & uulgo accidit de diminutione propria naturae hominis. iare laudatus sit singularis cu intesitate, cuius nomen est sublime. Et illud est,quod diximus nuper de destimi eius,inuenimus eum errasse in locis pluribus libri sui errore a quo excusari non potest. Et hoe Mqssi eius demonsti tisti operatio sitnt labricatae stiper errorem. Et poste, uidimiis illud,perduxerimi nosola quae diximus ad coponendii hunc librum.Quare primus imus de libro Theodosii ea quinii intellectus proximus est, asilimptio iacilis,& adduximus demostrationes sup ea,ut liber sit stans per se,non indigens alio nisi libro Euclidis,cii ab eo non excusetur. Et addidimus ad propositiones,quae appariterunt nobis,&quae uidimus esse praemittenda libro seo. Et ad omnia illa secimus sin arem tractatum, que posuimus primit, Sest adeo propinismus di iacti Q possibila est siderati in eo ut sciat ipsium in hebdomada una. Et denudauimus in ipsis Scientia ab Operatio δε abbreuiauimus ipsim. Et conneximus alia alijs, O lucru libri Ptole ei n5 ut nisi Scientia tantu,qm Operacto in ipse no est possibilis nile
propter caussis multas. propterea expoliauerimi posteriores operatior seius in canoniabus quare fit sicilioris coprehensionis. Explanauimtu asst & e suimus loca,in quibus sese reuiauit flamone secundu quantitate qua potuimus, & attulimus demostiationes super ea quae ipse absolute sine demonstratione posuit, n6 fuerit postibilis demonstratiosia per ea .Etqvia necessariasiutinquisitio ueritatis,&iacere ipsim iuncere di apparere, diui non timeatur ille qui deuiat ab ea, is sit magnus. Et imitauimus in hoc Aristotelem, cu intendit redire seper m stru suum Platonem,dixit exculando, Veritas di Plato ambo simi amici, scit ueritas est magis amica . Visum in nobis,ut numeremus intentiones in quibus erraui didicamus loca earum in libro nostro hoc ut perueniat ad ea iacile qui uoluerit scire. Quod si fuerit veru quod diximus,luc lucrabitur ipse scientiam, di lucrabimur nos misericordiam.Sed si fuerit sellium erit ei necesiariu ut tueariir ueritate, di reducat nos ex unda ignorantiae,& iaciat nos lucrati scientia,& Iucretur ipse misericordiam di gratia.& Deus I limis perducet ad illud quod rectius est sua pietate. Ex illis iram est, im ipse
errauit in capitulo secim tractatus quam libri su in temporibus Lunar miolutionibus. Et errauit etia in capitulo decimo tractatus quinti. & dixi illa ambo in tractam quaristo huius nostri libri JEt errauit in terminis emptam Sola tu.&errauit in aequatione ecliis psia Lunarista errauit in aequatione eclipsis solaris,di in tena Diutius quantitare,ci omis
82쪽
mussati stat intra Ly.husilanti. Et citauit eminaequatione eclipsis solari inde mmdo diutissitate aspectus Lunae in latitudine, ii adiunxit illud ad orbe s ine. Et n5ominadiungat illud ad Luna. 5c hoc est ex eis quae ego no dixi. qm no est nectitariunt Ii in copositione tabulam quibus aequat eclipsis Solaris,& est ex resse operationis. Et mouit in principio tractatus noni sibi libri, in hoe v posuit ordine duope orbium Veneris di Memini sub orbe Solis tram illud Q dant radices sis est,q, ambo sunt sit pra orbem Mlis necessario. Et sili errauit in sermone suo, in ambo nouadunt per lincas,quae irascimi ruisita nostios di per Sole. Et errauit in inuentione longitudinis Iongioris Veneris di cum,qm uertit figuratrem capituli g. traA.9. libri sui Et sunt anilae ex eis quae n5 conuertunt. quia no intalexi quid uoluerunt antiqui per lor itudines oppolitas duabus stelli scissicetinnetis di Mercurii. Et errauit in nosiv posuit uiiachplinearum duaru he Ste figurae quartae illius capites medietate diametri orbis desentis Mereutium &n5 est ita illa simi intra L .l :us. Et errauit in extracti duo' punctorustationis stellae destaeis currentibus. D errauit in hoc,*posuit si vermitate arcuu retro oradationis ste secundu sim uitate longitudinu centri orbis reuol iugis ex centro ose est res ita.)Et errauit ponens considerationes stellat aequales abistute di Et oravit hi inmurando mitiones lae,&inquansitate teporis retrogradationis eiu ita ιν possibile 'ut ingrediatur per illuerrore in tempore retrogradationis stes
ita Matris situ quasi is .dies,& in tempore retrogradationis stellae Veneris quasi duo dies dissimidi δε no accidit illudni si insuperfluitate temporis. Sed sininta sutima errorε in tempore retrogradationis hara duaru latum apparem mansisus sistit: in alijsuo
libri silisc est in figura quarta lucata
incipio praemittere illa,quose primissio necessitia est.
DT incipiamis exponere intentiones nominum usitat in eo.Dico ergo Polus tiri culi ti supersit cie spluerat,in punctu sum ei sphama a quo ora lineae rectentes ad circas, tia circuli simi aequales. Et circulus magnus ex circulis signatis sis per sphaeaest circulus cuius centra est centru sphaerae,&est ille qui diuidit sphina in duo inedia. Angulus est que continent duo arcus se secantes duo e circulose magno'. Et a rulus restas est.'ta continent duo arcus duo' circulo e magnose.&sunt perpendiculares quae Hrediunt ex disserentia est ambobus, in superficie uniusciuus e e continetes angulos re s. Et est ille,cuius caput O ponit polus,&cireuducitur in quacunq; longina perpendicularis cadens ex extremitate eius arcus sep diametrum exeunte ex extremitaterius secunda. Et complementa arcus est sapere istas quae est iter ipsum di quam circuli,siue sit arcus minor quarta circuli siue maior. Et similiter coplementu anguli, est ser tu quae est inter ipsum di angula reiis siue angulus sit minor recto siue maior. Leduine angula L quope ammatio duobus rectis amulis est aequalis dicitur unusquiis tinuatus. Et sunt quoR arcuit aggregatio est meaietas circuli, di similiter duo' arcusi, quorum amborum ago tio est medietas circuli,nominatur unusquiis continuatus.
cim seperficies secat lima tunc dimentia cois illi superficies &superficies sphanue
est circusntentia circuli. Sititam sphaera a disii perficies secans Et g de et Dico ergo,q, circiferentia.g d e et est circuisentia circuli,cuius demonstratio luctes, Protraham ex centro spirariae punctu h perpendiculare superstiperficie g quae sit per icularis ii insigna sua circoserentia g d puncta g d e, interculcaciant, di continuabaeaiaui perpendiculari per luteas g c ecd e die eccontinuabo ea item centro sphaerae,aa i ii s
83쪽
GEBRI inhie g h A d I, R e h propidis ML ini tredi arissum simoencie g d e, in erecta opero litime quae sinu in illa ui perficie, per distinitionestiundam undecimi Euclidis. Et a)ptrio Q lineae g h 5c d li dieii sent aequales,similineae g t & d t di e tarquato. 5c similiter omnis linea rediens a pundio t ad circusemistiam n d e est aequalis ess,ergo circi entia gue et est cimita iacimili dicentrum eius est punctum t auii Iudes cultu declarationem uoluimus.
CVm super sphaera est circulus magni'θc conis.
nuatur centru eius centro sphaerae Iliis tuc ipsa est mendicularis super superficie illius cimili: & si penetret .in ambas partes,tunc ipsa transit per polos esu ec econii erct. Sit iram sip sphaeram cucullis a b g d no mas,tis,sit: centrinnesus punimi QS centrii sphaerae mmcta Σ,&Grinua ipsum centro cimili linea Σ e.Dico ergo Q linea ete est perpendicularis supersuriet superficies cuius haecin asgduopi meta adc qualitercu cadant dies tinuabo ea ambo centro circuli dua lineis. a e dc b eg faciam eas penetrare, nec currant circiliarentiae circulisti per duo puncta g 5c Accotinuabo ab gd cereo sphoria, lineis a b π,gΣ,d propterea igiem istae lineae sunt ae alas.&l in aetabeo ge eca Riterum sunt trales,tunc linea et e coherunt duo anguli a e R e z aequales. per s. mi Eucl. usqui igite inreetiis de similiterest unusquis pauose angula' bez, de assit comicegoce L 'i unusquiis eorum est resus, ei oes lineae mea dientesexcentro circuli, scilicet pacto e ad circuierentiam sunt ae ralis, tuc linea e li coistini ora lineae
ς sinit oestineae exeuntesexpuncto cad circinrentia circuli a b .g d mqualisaeigo puellam h est polus cilli a b g.ec similiterostendituretiam quod e est polus esus. Copleta est eius declaratio.Etsimiliter ipta trarimus ex centrosphaerae poperi inculare liversia iecimili a b quaesit linea e dico v punctu e incentri circini: a
punerum e est centrii circuli a b g.ergo cu fit ut linea e penetret inambas partes transit per duos polos. Corollariu ex hoc etia declaratu est, Q qn super sphaera est circulus non magnus, tuc puncta qua tuo scilicet duo poli,5c centrum esus, eccentrii sphaerae, simi raper lueer linea una recta, & q, illa linea est radicularis super superficiem eius.&φsi Otinuet inter duo puncta eos linea recta,ci penetrando r ducatur,nim ipsa transit ndo puncta reliqua .di Q si protrahatur ab uno istose perpendicularis siler superficiem caecuti,tuncipsa transitper puncta tria remanentia.
Inis circissus si aliis super sphaerii a cuius polo lineae redientis ad circuserentia a quadratus,vi aequalis medietati quadrati diametri illivss aene est circidus in
84쪽
gredientis expunci a ad cirreserentiam eius,quae sit linea a B, aequalis medietati quadrati diametri sphaerae. dico remi circulus bgd est magnus, ius demonstratiocitia c.Contamino punctiva, quod Arpoliis circuli,centro eius,quod sit puncta e linea a e laciam penetrare donec concurrat stiperficiei sph stin punctu et di continua th ais, B Ra pterea igitur icirculus b g d signatus esesuper sphaeram,&continuatus est polus eius centro ipsitus linea recta, in ipsa transit percenti si sphaerae,& st potu eius secundiura,ec in merulicularissiper superflat esus. o punctu et est polus cimili b g d,8 linea a si diameter sphaera qiri transit per centrum sphaerae, quare quadratu eius est duplum quadrati lineae a b secunditu positim est. Et imaginabor supernes trianguli a b et stacante sphaera erito dii mi Giseim supernetes sphaerae circulus a b z g, .pptereati Q angulus a b et est recthis qris ipse est in scini circisso a b et quadratu lincae a et aequale, tu quadratis duanim linea .rum a b at quadratu lineae ab positu est aequale medietati quadratilineae a et Ego quadratum lineae a b inaequale qii adrato lineath &rpterea Pli tira a e est perpendicularis sup
e T recti .Ergo quadratu lineae a Rest aequale duobus quadratiis diram line , a e Sc e 5 similiterquadratum lineaebet est 3 duo quadrata duarum
adratis duaru linearumi remanet suadra, tu lineae cet aequale quadrato linearea. Ergo lineaeae est a Mila lineaeae' linea ae et est diameter sphaerie a b.ergo punctu e est centrus aerae, di iaetrum circiti b g d. Ergo circulus bgd est magnus et illud est cuius uoluimus declarati nessit hine demonstiatu in q, oiscirculi magni super sphaera linea egrediens a polo ad cucumisenum festae viis lateri cadentis quadrati ineo. iii tr.
Ostendere uolo qualiter transire iacia stiper duo puncti situ superstae spherae notae in
culli magnaeSit Italsissima nota a b ecduoptincta signata super ea adi b. Qi ergo uoluero ut sit per ipsam transtat circulus magnu'pona puncta a polii, dimensurabocii longitudine linea cuius quadra' est aequale medietati quai draus diametri sphaelae,quae sit linea a g c circusicam circuistum g eo pona iterupi u b pollim δε mensura illa longitudine eande,&cir duca circulii e QR abstindat se isti duo circuli signatiui rapunctu e. rpterea ergo Q a e est polus circu li g 'est linea a R aequalis a e. Et ppterea v punctu b AEP artus circuli e lest linea b d aequalis lineae b e. At linea ag est qualis lineae b dfixo duae lineae a e & h e simi aequales. Cum ergo lineauerimus ui perpola 'dire longitudine unius ea θ citctau transibit stiper extremitate linea: alterius,ergo transibit per duo puncta a b. Siti tam circiuus a b ndico ergo Q ipse est magistis. Cuius est demonstratis,quom a quadratu uniusmittam duarum linearu ae 8c b e est aequale meaietati quadrati diametrisphaerae a b, 5cunaquein duas. lineaR a e oc e re hi ex polo dimili a b g ad circuistia eius.ergo circillus ab nis magnus, dicitat stui puncta abdc hoc uoluinius dechis
lus a b signatus stipspha:m,oc sit polus eius punctu Aec transmisiasteum circulus b g Σmagnus.Ui Φipie diuidit circula a b g in duo media,&esierectus sit pes orthogonaliter, cuius declaratio haec.Continuabo centin sphaerae, quod sit punctu φω polo circuli est punctis,linea , di amfampenetrare donec coinnat lineae. bnquae est diisero Vm transit circulus magnus stiper duos polos circuli signati sita sphaera tunc ipserat eum in duo medias est erectus sita euotalogonaliter,&econa. Sit iram clim
85쪽
tia is duosvesrculo ista puncti h. cimo h Memmicimili abn&circinum: priusia transiuit spolia cireuli ab mergo diuidit induomedi Et mitio ez popendici ris sudet in continuat intercentia es dicentru splumae.&cussuri iesuadens diuisnea Σhaestincta super silperficie circuli ab g.ergosuper escire b3gm v ense visis fla fici circuli a b g Explataineius declaratio. Etsitiit circisus bΣgiam ut it circuluab guidi inedia,&sit supersciescius erecta limoliri' cie ibius orthogomiliter, dico ergo xpcirculus b et g magnus Wqsetransit per duos poloscirculi ab g, cuius demostratio haec est. 'in cimitus bet g diuidit circulsi a b g in duo media, tui ipse tramini rcentrii ius.Si ergoprotraximus ex cenim eius perpendicaearcii aperi operficiem ipsius, transibit per centru sphaerae di perpessi mixta cinoraculus bet g eteressest super circula abnerit mendicitatis exredis ex centro circuli a b miransiens persisPerficie circuli betntaim transit
st per dims polos circuli a bg. pleta est eius demonstratio. Et utut circulashzg imis iam diviserit circulis ah g in duo medi dicoergo i e transit perpes eius. cuis demostiatio. incudiuidit eum duo media,tsic transerit supercentruo: Se tinuauerimus ipsium centrosphaera quod est cillitia b Σ n magni, mini sesum penetrare in utras parte transibit per duos polos circuli a b g, w traeibit circussis b et et per duos polas circuli a b g. Et similiter sisterit circul' bzg magnuserectus sit polli perficie circuli a b g, tuc ipse diuidet eum in duo media,&reansibit per pol es .cuindeclaratio haec est, Qm si nos pmtraxerim mice circaei bi g, quod in trum ame perpendiculare in sepe ficie eius seper linea b g, quae est cinerentia insciis nam cula erit per ichilaris super sep e circulli abn& transitata omissi distan.Eriterimipter illud superficies circuli bzn manni diuidens cimilia ab g in duo a relatias it per poloscius. Etsimiliter sitraadibit in lus b g Σ perdos polos euia abet luc circulus h et gest magnus. , si cotinuauerimus inter duos polas in
Cliculi signati super potu imu sunt atquedistantes,& si simi hincest aequedistantes, tune
ipsi sunt signati superpotu unii. Sint iram duo circuli a b d deet, innati superpolum ivi,qui sit h.dico ergo Q ipsi Gniaequedi states,cui haecin demonstatio. Conurus a centrus aer quod ili punctu Gineola duo e circulos scilicet in punctoi tuo ctransibit ergo per centru duo' circul rici erit perpendicularis Riperdi' si erficies res. Quod si fuerint a D circuli init distantes, tuc polus eoru erit unus. Quod sic demonstrat Continuabo centin sphaerae, Dd est planeta sim i. centro circuli abnquod est punctu dilacia ipsum penetrare ii adsis pessiciem nida fi us p ad superficies areae,ocus in adpuncis h. eritergo pune si h lus circuli abn&erit ch perpendi aris supersit perfici emesus,&ipsa etiam it perpenaicularis sit per superficie circuli de Σ. Ei transabit per centra eius.&Quando transit linea percen sphaerae recentium circaei signati sit per sphaera,tunc transbit per polas illius circuli.emo linea c h transit per potu circuli de etyc latrasiuit per potu et i a b g.er poliis eorum inpune unumnest punctum h. Et illud est,cuius declarationem uinin .
CImili magnes transeuntes p polas circulorii a resistanti separant in eo modestister eos de illis circulis aequeactantibus arcus similes. Sint ita duo circesi ab ad aeque distantes,super quine potu qui sit puncta quanseant duo circuli magni, sint circuli a g
86쪽
aequedulantiu simili incis, citius onstratio h. ec est. Pona centrucirculi a b pumihi Ree centra circuli g d puniis h. opterea igitur ' duo circuli a st e,& b d e,magni iam niterunt potu circula' aequedistinuit tunc trans it nco erum eo' transibunt te per duo puncta fi dc 3. Sinita disseWtinuae escis &circulis aequedistantilaulin- a et di dia K g d,siunt aequedistantes, tale it utrosi circulos a nstat duae dii entiae es ut
gaeque tes ergo linea a 3 aequedistat linea: h g. Et simit M ara m linea b 3 aequedistat lineae d h. Angulus ergo ay abest aequalis angillo glichei arcus a b est similis arcuib gl&ssii uolutam declam C eri tur si mra duas diametros duo' circula' a b g,&de re orthogonaliter sua superficie utrorum duae portioe aequales,cii sintumus oculi aut duos. circitarum rict c e aequale auae sint uiuus oculi aut duos. circulorumari iii,dismarant arcubus ambis portionsi ab eo q, sequitur duo puncta e S Kduo arcus arctuales,qus simi h b die e. Et paraneo duobus cir culis a b di d e duo arcus sequetes duo puncti e b etia aequales,qui sint duo arcus b k di e hec conti ni iantur duae lineas h h di e Lπcut insunt aequales.Ete uer illius etia scilicet Usidi in lin hi 'c Isiunt aequales,&est unusquisipd se arcuum h b & c e minor medietate portionis sua tunc ute arcus b h lce i sunt aequales Pon ital inprimis,cl duo arcus b h die i &h h & c e sunt aequales. coemo in duae lineae h h dc c l sent aequales, cinus haec est demonstratio. Producaeni ex duobus punctis ii & c duas perpe sculares super duas lineas a b & d e,quae sint perpendiculares h p ct c q.eruterm perpendiculares sita duas superficies duo' circula' a b hcid e a Continuabo aute lineas p k & ci l. Sittat cenum circuli a b h puncti' quod tinuabo puncto ¢ru circuli d e 3,punehim αδd tinuabo puncto I. ypterea igiis duo arcus h h di e I siuniae Ieserimi duo anguli n m aequales.&.ppterea v duo arcus h beee e sunt
ae Hles. At uero duo duae hi e m h et n I fiunt aequales. Sunt ergo ipter hoc duae lineae p k et i q it aequales.Sed unusquis duo Ean OR h p Eet e u sest rectam a tali mosintduae lineae h h et e t aequales. Copleta est eius declaratiαet cum uertio huius demonstrationis declarabitur conuoso illius.
Vin surispi duo circuli secant, et transit circulus magnus super polos eoae.
tunc ipsie Suidit arcus separatos idiose duine circulose in duo media .Et econuerso si intie diuidit arcire separatos cui q3 illine duose circulose in duo media, tunc ipse transit super polose Et si iter si diuidit arcus separatos unius duine circulau in duo media, di transit siua mediu polopi unius illo', tunc ipse diuidet arcus haratos in duo median transit δε per polosam ium. Sint itaq; duo circuli a b g,&g d b, ese super siphaera secantes G
ad pium B,rita lis lineae gredienti ex eo ad punelii g. ergo ppter illud arcus h 3 erit aequalia arcui g 3.Et Ppterea punus pii arcuu durie a b 3 n a g 3 est semicirculus.
87쪽
&separat ex eo arcire eth&Σ g aequalis, ligaratu est iram circuisentia portiorispinctu α raliter oeci derit, trunclinea ediciu exputvsto d ad pinctu h, cit in alis lineae egredienti ex pinulla d ad punctu g.Ergo arcus b d est aequalis arcui g d. remanet iram areus De aequalis arcui g αEt sit Q circulus a e Σ d magnus vitait arcus separatos umincultam invium circulo a lare eb induo media.Dico ergo vipse transit per pol eos uod sic*batur. Qin si no transi per polis 3 ,re tunc circuliis illius magnus tiansiens per polos eoni colo' canscucirculo ae Σd magno in punctis ae et s.
tuor. erit ergo umisquis arma a en e et, di et d semiciti l .hr aute est si sibα Circulus erI a e et magnus,trans per polos in circi tru a b gluimus declarare.Et si circulus a e Σ d iam diuisita se ratos est b nutu media di transeat per polos eius,aut p polum circuli e b 'qui sit pinvmi l dico ergo Q ipse umsit perpolas eois,cuius demonstiatio haec est.Qinti no transit arc a e do malos duom circulorum tunc erit circaeus magnus per polos eorum an m 'sed diui densare separat uniuscuius amborsi in duo media, Me coelut O circuli, a ea
in duobus punctis a Rinpoli, unius duom circularii, ita est piles h. reetitu Quisviduom culi a liðsemicirculus. e uero contrariae di impos illa Circuliis ἀ e d transita duos pol duora circulam a hgAebgnillud uoluimus declarare.
cissus a e h magnus me di non transmisuper polos amborsi, talint cinerentiae cooris duae lineae a et & e li Dico ergo,*eirculus a li e secatum uenm duomcircularimia b o & e et l, in duas sectionesiuuersas.&Q sectiones alternae utrorsissisimi aequa
enis duos polos duorum circulara atquedistinini duo puncta, et pol si circuli age punctu Let tranimi superduo puncta m fcirculiis tiragnus,qui sit d s m. Proptereaergo et arcus m n est soni circulas,et arcus h e item semicirculas,ertiar. Os En aequalis arcui m c.αδptearea duo circuli abn&e et hiunto uales, erimi duo arciis n h&mpar les. remanent ergo duo arcus
h h S p c aequales. et propterea P- - - arcus a v est aequalis arculumEtsi Ini a r- e e est aequalis arcui h Qquare erit torias arcus aliam toti arcui ech. Linea eriloa et inaequalis lineaeeh.Birpterea q=duo circuli a b g,αe Σ h limi u
lessest o ab gaequalis portioni e p h.Et similiter portio adg res portioni eΣhEt propterea u portio b sc transit pocuos polos duoru circuloru gh, qt imgvii
88쪽
L i B E R. I. se dimidit arcus varatos ambo n eorsi in duo media. Erit propter hoc unusquiset arcuak l & k q di i e & c q quarta citreuli.Et propterea QMd onstratu est, varcus ah est aequalis arcui e Get similiter arcus b g aequalis arcui h Gremanet arcus at aequalis arcule i, et similiter arcus g q aequalis armi h di illud est quod uoluimus declarare.
T quod plurimu intra statu primore secundo huius libri quaeritur, hoensi est nisi ex
ignotose arcuu & a lom ex notis eoiu. Et figura trianguli est,in resbDciuntur reliquae figura .Et triangulus reseluitur in duos trianguloso monios.lanos Q stimus quantitate alicuius arcuu circuli nisi per cognitione qualitatis sinus eius de diametro. Et sinus est cola duobus arcubus, qu unus est minor quarta circuli,& Gundus ni ior Quarta circuli. Oportet propter hoc ut praemittamus stimonem,quo sciamus,an latus quaelitu de lateribus tria li orthogoni j ut minus quarta circuli aut maius,ec similiter arcus anguli eius Wositus. i illud scitur per lioe quod narro. Dico ita RQ omnes trian guli: ex arcubus circialis magnor in quo est angulus redius, uni uodi duos laterum c5tinentium ipsum imitat an si cui subtenditur. Scilicet si angulus est res, illud latus eisippositu est quarta circuli. Et si in maior recto est maius Orta circuli.ct si est minor te Ela, minus quarta circuli. Et similiter angulus imitat latus libi suppositu scilicet si lati est quo circi lcangulus cui ipsiuri subtenditur est reeris .et si est maius quarta circuli, i maior rectio si est minus minor. Sititam triangulus abnsis angulus eius b rectus 5 sit angulus cius a recti dico ergo Q latust, et est aequale quartae circuli cuius haec est demonstratio. Qm angulus best re Ris,tune γρ-lus circuli abest sua circulubg. Et quia angulus aestre, bis erit etiam polus circuli ab supcirculii ag talus igit circuli abest punebig ergo lx, tush g est mai rta circi .Et id mangulus a st maior re dico ll IQ tanta b g est maius quarta circilli,quod se pbatur. Sit iram angulus b la d rectus, erit punctu d polus circuli a b Eriindu quod declarauimus, ergo arcita b d est quarta circuli. Latus ergo O g Ah maius quarta circuli. Sit si angulus b a g minor recto, dico m latus b g est minus quarta circuli, cuiusdem matio ita. sit angulus haeresbis, erit truncitam e potus circulia est ergo xpter hoc latus bequam et i .latus sit bg est minus quarta circuli.Et secundu hanc similitudine decla ratur, quod unusquio orii angulorum a et imitatur latus sibi sippolitum, di illud est Uuoluimus declara. e. Et dico item,quodsi unia duoru laterii ab Ab δε est quarta circi litunc latus ag subtensum recto est quarta circuli, quod sie probatur. Q m si a b in quarta circuli cuiam possierimus amula b rem, erit propter hoc princtu a polus, arcus b se ergo
latus agest quarta circuli. Et dico iter, Q uuii odin duo elateru ab,&biacotinen tia rectu, in minus quarta cimili, aut maius,tuc latus ag subtensum recto, est minus quaruta circuli.Et si in unu eoRmaicis quarta es inscimta minus tune a g slibrensum ro α,.., m est minus quarta circuli. Cuius haec est demonstratio. Nasi uni uod duos. laterum
a b & est nusquam circuli lime ponemus ii quen*duos arcuu bd & ge quarta circuli,& iaciamus transire super duo puncta d earcu circuli magni qui sit d et q&secet circulum ag super puncta z. Propterea ergo et angulus b in rectus A latus bd est quarta circuli,erit puncta d polus circini bnergo angaus e est rectus. &propterea v an ira
ius e est rectus' latus eg quam circuli,erit punctu g polus circuli dete, arcus g a zest quarta circuli , dilatus a gest minus quarta diriai. Et ponam item ui quodcv duorum latem ab&bmmaius quarta circuli.Dico ergo et latus a g subtensum recto est mi
nusquam circuli, quod sic probat.Pona enim unaquod duose arcua b h & g c quarta circulin facia transire super duo puncta ii ccirculii magnu, qui sit Ch M&secet circulum ag sit per punctu impropterea igitur quod angulus b in re is,& arcus bii est qnaria hinquarta circuli. Et pona latus a b maius quarta circuli,& latus bet minus quarta circusti. Dico ergo O latus a g est maius quarta circuli od sic demonstrat Ponaem uni uia
et duos arcuu ge .bh -ria circuli, di iacia transirem duo punctae h circulia magnit,
89쪽
ιo AsτRONOMIAE GEB Riqui sit estoilus e h EPropterea ergo Q angultu b est rectus,& arcus b h quarta cis eri tini nimi h polus circuli bmo angulus e inrothis,oc terra parcus eg est quat in circuli,erit punctu g polus ciriale hi ergo arcus g k est quarta circuli, latus igit a gest maius quarta circuli. Et quia duo anguli a&g, imitant duo
latera ab αbg, quae subtenduntur cis, oportet etia ut latus a gstippositu recto imitet duos angulos a Scin scilicet Q si unus eoiii fuerit r. ius ,sit latus a g quarta circuli.Et si fuerit unusquis , rem minor Go aut maior rex'O,sit latus a g minus quarta circuli. cisi Herit unus eoae minor rei' Bataus maior redio sit latus a g maius quarta circuit.P I aute latus a g subtensim re raria circuli. Dico eruo quod unum ditine latem a b b g,est quam circuli. quia sic probatur. a si no in unu dirope latem a b,b g, liram circuli,erit umquodq; eoru aut maius quarta circuli aut minus, autum eona maius quarta circuli di seonida minus, sequitur ergo Oelus quae nup declarauimus quod latus a g aut est maius quarta circuliaut minus. Nos autia posuimus ipsiim quarta circiit hoc contrarisi est Nimpossibile. v igit duo' laterum a Kb g,est quam circuli. Et si fuerit latus a g s ii positu recto minus quarta circaei, tuc una quia FG laterua bmatiterit mauisquam rimili aut minus, nis haec est denostiatio.Nasi non sunt ita,tunc erit unum' maius,&seciuidumimis, aut erit unum qua . circuli. Quod Runue inmanis quarta circuli, mindu minii sequitur ex eis quae claravi miihi latus agest maius quarta circuli, ipsum et iapolitus iit minus 5. hoc est impossibile. Et similiter etia si unu eoid est quarta circuli, seclusi si, sit latus a g quarta circuli.Sed declaratu est colori Q sit unu eoae maius quarta circuli,5 sc adu minus ,aut sit unu eole quam circuli. Ennii ergo unius species in magnitudine aut paruitate. di si lae, tus a g suppositu recto est maius quam circuli,tunc duo latera cotinentia recta sinit diuers,scilicet unu eole est maius quarta circuli sicui si minus,quod sic .pbatur. Onia si non est it tunc erunt unius in magiit ineaut paruitate. Aut crit unu eo' quarta cirisculi,& si fiterit unum in eos, maius quam circuli,aut minus erit latim a g minus sitiarista circilli. suemia posuimus ipsum malis di hoc est impossibile.eriit ergo ambo diuersa.Et similiter si silerit unu eos. quarta circuli sequitur Q sit latus a x quarta circuli. ipsum autest maius di hoc est contra iv. Contra riu uti in q, sint speciei unius in patuitate aut magnitudine atri in sit unu eoκ quarta circuli, uiasi igitur eose est maius,ec statindu minus.
Et qua unusquis p duos. anguloru qui sunt stast illud latus subtensum recto,imitatur la tus sibi stibaenium. rtet ut sit indiciu duolm angulose qui simi sit per illiud lanis sialtensum recto cu illo latere indiciu duoν latem sebi sos, ipsese eis ambobus ,scilicet qa si fuerint sit btensiim recto quarta circuli erit imus duos. Atiniosis angulorum tectus. Et si fiterit miniis quarta circuli crit linus sin eo' aut maior recto aut minor,oc si fuerit maius quarta ciris therit unus eorum maior recto, di s dus minor.& ilhid est quod uolitimus declarare. Istud est ergo quo sciuirtutuquod laterutrianguli orthogon lan sit quarta circul aut maius aut miniis,& similiter unus limi duo in reliquoin anguline estis,an lit rectus,aut maioratu minor.Qualiter uero sciatur quantitas cuiuis laterii eius Sangulosi, ad iniucem. pr mitta ad illiud figura magnae excusitionis di iuvamenti in hac intentione, di alijs abeasi est haec. γ II. Um sint duo circuli magni seper sphaera & no transit imus eos, per potu alterius, S signannir sita circus rentia unius eoR duo mincta aut stiper circii fomlia uniustitius piplose puncti qualiterciliis cadant,& produc nir ex uno lum; illose duos e punctoR duo arcus ad circulu sicut 'quosi unus piis incontinuat in arcii circuli ad qtie ipse .pducitur angula recti tuc proportio sinus arcus, itine est inter unis dirose punctos: di inter unu duos rianistinctos. sclionis duoW circulose ad sinu arcus . ucti ex illo puncto ad circinu secundu est siciit proportio simis arcus quae est inter punctus indu di inter imu diuo' punctora sectionis ad sinu arcus producti ex illo puncto ad circii lii secundu. Sint ergo duo cirisculi x g d b,a ex magini stipo sphaera di signemus sit P circuierentiam circuli a g d b,qui est Merie in primia opimi in s ΑΔ iaciamus transire super utral ea, di sit per pola circuli
90쪽
est sicut prom,rtio sinus a d ad sinu d z.Q ne probat.Proditra enim Cc duobus pii sqviduas perpendiculares sua superficie circuliae b,quae sint permissiculares illi di d c, di protraha essetia duas perpendiculares sua diametru ab insuperficie circuli a g quae int perpendiculares gi d di produca duas lineas hi diem Tte Y rea igitvir ψ duae perpendiculares g h & d e sunt in edistantes,& similiter duae imendicii lares g l di d in aequedisi intes, erunt de duo annulit g k,5 mdc aequales,&unusquis p duo' angulorum h&c est reinis, stat erilo trianguli l g h & d m e sinusses. Ergo proportio lateris et ad latus g κ est siciit proportio lateris d m ad latus d coc latus g l est sinus
arcus a latus Rheminus arcus Eq&similiter latus diri in sinus arcus a d,& latus d cesminus arcus o Ergo Pportio sinus arcus a gad sinu arcus gessi sicut proportio sinum arcus a d ad sinuareus d z. Copleta est esus declaratio. Et quia sinus arcus a g est sinus arcusg & sitniliter sinus arcus a d est sinus arcus d b,oportet ut sit proportio sinita arcus bgad sinu arcus ge,sicut proportio sinus arcus h d ad tali arcus d z.Et ut sit etiarporcio sinus arcus a g ad sinu arciis g e sicut propolita sinus arcu; b d ad sinum arcus d Σ. Et sit punebig sigilatu alicubi in circuierentia circuli a g d, resignetur etia alicubi in circus cientia circuliae et punei in &protraharii rad circulii a gd ex eo arcus circuli magm cotineris O eo ait tu recti, qui sit arcus ii p.Dico ergo Q proportio sinus arcus a g est ad sinu arcus g qest stat proportio sinus arcus a n ad sinum arcuun p,Qiod sic probant r.Facia transire Rip polos duine circulo' a g d di a e circulum nimgnum,tii si tyli ergo prehendit in duobus circialis agd&ae et angulos recitas,&di, uidit arcus separatos duo' circulose in duo media.Erunt ergo propter arcus a Ra Rechq bs,di a i di a yfcb 5cbyoeti , omnes aequales, qmunusqui eose est quarta circuli.Et ri ter etia Q circuli magni; sciat se sit in medietates tas, cuius declaratio hareest,propinquae acceptionis, erunt arcus y l ec s q aequales, cino proportio sinus cuiuis aeorum octo ad sinu citiusta duose arcuu y h di s q, est sicin proportio una. Et Ppterea Q duo pune tanti sunt signata super circula ant di ex eis produci sunt duae perpendiculares rap & y li erit ex eis quod declarauimus, promino sinus arcus a n ad sinum arciis ii p ,sicut itio sinus arcus ali ad sinu arciis ny. Et similliter erit item proportio sinus arcus a g
ia sinu arcus ne, sicut proponio sinus arcus a h. ad sinu li Leit sicut yportio sarcus aq,ad sinu arcusqs. At uero proportio sinus licui Pportio sinus a q ad sinu q s. go proportio sinus arcus a nad sinu ge, sesimi proportio sinus an, ad sinu np,ec illud uoluimus declarare.
' T postae ista ia reposita sunLdico v ois trianguli ex arcubus cimilope magnose pro- C porcio sinus cuius p late' ad sinu arcus anguli, a subtensum est est proportio in cirius liaee est demonstiatio.Non em est possibila quin unusquisl angulorum trianguli sit re
Bis,aut sint duo angulo erius recti,aut sit unus angulus ex eis rectus, aut no sit in eo anagulus unus rectus. Dd si iderint anguli eius tres re erit arciis cuius in cine quarta circir
lateru eius, ad tau arcus anguli cui subtensum est, proportio um,oc in proportio aequalis.Et si sunt duo angulos. eius rect caput reliqui an si est polus circuli lateris sibi sitien
arcus anguli cui ipsum siliensim est,proportio aequalis.Et similiter oli proportio stomis cuius auo' laterii resilio' ad sinu arcus anguli,cui subtensum est proportio aequi lis, imunuFAp Rest quarta circilli,5 angulus cui subtensum est,esi rechis. Et cu in triangulo est unus angulus rectus,declarae illud in e secundu quod narro. Sint trianguli ab g angulus bre v.Dico ei et proportio sinus lateris a b adstassareus anguli ncui ipse subtendit,in sicut proportio unus lateris bg ad sinu arcus anguli a citi ipsum si ibtenditur.& sicut proportio sinus lateris a g ad sinu arcus anguli b, cui nil,lesum est. Quod demonstratur. Poriam ueni duo' arcuu ad &ge, quarta circuli' similiter ponais i unum