Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

111쪽

Iam altera v ita dcterminetur, ut termini ipsa littera u assecti destritantur , quod sit siddo-- P dxduin Qv dx' ounde per superiora v per X detcrminetur, quo facto superest haec aequatio: a dudω - -υddu - - Ρω daedum X dae' unde cum C iam detur per x quantitas u definiri debet. Ponatur du sdX , eritque Ods -Φ- a s do -F-'P s C dx X daequae multiplicata per Oefy-φ integrabilis rediitur ;Prodit enim uos est 4 fef 'β Nudae ideoque

Quare cum incognita O suerit determinata ex aequationeddo P dx du H- QO dx' ointegrale aequationis propositae erit

112쪽

Coroll. I.

832. Vt integratio ad aequationem di fierentialem primi ordiniS reuocetur ponatur O est 4 , et quantitas ι definietur per hanc aequationem dι--t IdX- - Ρι dx--QdX oquo facto integrale quaesitum erit 3-es id se Πρ--at 4 dxfesse Ud Xdae.

erit

hincque

ubi duplex integratio ad integrale completum perducit.

8s . Alio modo qui propius ad ante usitatum accedat, eadem integratio institui potest. Pona tur scilicet pro aequatione proposita dxΦ x, ubi O certam ipsius ae functionem designet ex sunctione X determinandum. Cum igitur sit

113쪽

xos en ius aequationis Vtraque pars, tam ea quae per Fmultiplicatur , quam altera ab ' libera seorsim nihilo aequetur , Vnde has duas aequationes nan ciscimur ἔτι - Ρι dx--Qdxmo et dv-- ιυ dx-- Ροώ X dx ex quarum illa ι per x ut ante definiri debet, tum ero erit ex ista μ ν -- dx ο-DDP ε'04 X dx. Iam vero ex aequatione assumta Ο- dx ad colligitur : st 4 γ - D'It- e Mi s loco vi valor modo inuentus substituatur, Praecedens integralis forma obtinetur.

Scholion I.

8ss. Ex hac operatione stqui videtur, ae quationis propositae

integrationem necessario pendere ab integratione huiusddOH-PdOdX- - QOdd zz o quandoquidem hac concessa ilIa exhiberi potest. Μinime tamen hinc vicissim colligere licet, si posterioris resolutio vires nostras superet, etiam priorem

nullo modo integrari posse, quin potuis facile est. Voc II. O infini-

114쪽

infinitos casus exhibere , quibus prior integrationem admittat, cum tamen posterior irresolubilis existat. Sit enim P o et Q αX , atque certum est aequationem posteriorem ddO--αx Odx' o nulla adhuc methodo resolui posse, cum posito vi est 4 , abeat in dι--τι dx--αX daemo ἱ neque tameu hinc sequitur aequationem priorem

semper esse intractabilem. Infiniti enim casus pro X assignari possunt, quibus integratio succedat. Sumta enim pro F iunctione quacunque ipsius x , reperietur pro X eiusmodi sumstio, ut aequationi valor pro ν assuimus latisfaciat. Veluti posito Obdomo fit X β xx , atque aequationido --αvdX βxxdx' utique satisfacit integrale I -. Interim tamen hoc integrale tantum est particulare , ac dubium adhuc relinquitur , an etiam integrale completum exhiberi possit. At posito a ' ' -- a pro integrali completo inueniendo prodit ddzαxadae' o, quae cum resolutionem respuat, euidens est integrale compIe- tum etiam in genere exhiberi non posse, nisi simul altera aequatio integrationem admittat.

115쪽

Problema Ios.

8s s. sumis elemento dx constante, inuenire integrale completum huius aequationis disterentio disterentialis dori Ad dx- - ω 'αX 'denotante X iunctionem quamcunque ipsius x.

Solutio.

bebit , ut ob P A sit:

ubi cum duplex integratio integrale eompletum producat, sufficiet pro v integrale particulare prioris aequationis affumsisse, id quod etiam ex solutione generali patebit. Cum igitur pro resolutione, prioris aequationis formanda sit haec aequatio quadratica ιι -- A ι-DB o pro eius indole tres casus euolui conueniet.

117쪽

e gae

tum Vero

unde conficitur:

erit ex priori aequatione Ponain

ut habeatur m v RS RdS, Cum ergo sit

118쪽

unde conficitur FIT DUA X dx-UINA Xxdx seu cum sit

Quocirca obtinebitur

119쪽

Coroll. I.

Vnde patet angulum V proἔsus ex calculo excedere; fit enim

838. Cum igitur loco unius aequationis duas Ermauerimus integrandas, vidimns sussicere , si alterius integrale saltem particulare fuerit cognitum. In ambobus enim praecedentibus casibus constantesa et g integrale completum praebentes ex calculo sponte evanuerunt, et casu tertio constans V itidem excessit.

Exemplum.

239. Sumto elemento dx constante , inuenire integrale busius aequaιionis :

120쪽

Hoc exemplum ita est comparatum, Ut ei manifesto satisfaciat valor ν x' , qui eius integrale particulare constituit. Ad completum ergo inue.

et - βω stribendo ω et β erit Sin autem sitfzza bV- x et g a-bY-x , cum fiat