Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

131쪽

8 1. Quod si ergo ponatur Vmes 4 , quanti as P determinabitur pcr hanc aequationem differentialem primi gradus: do C Odi - P vi dxlQdx-dΡzzo cuius si saltem integrale particulare constet, integratio aequationis propositae absolui poterit.

Coroll. 3.

8 2. Dato autem multiplicatore V vicissim ratio aequationis propositae definitur , ut hoc modo integrabilis euadat. Erit enim veΙΟ - ΑΤ i tar

avnde

132쪽

Corollarium.

Exemplum I.

134쪽

Coroll. I.

8 6. si sumatur V m O et emo, erit

S . Hoc ergo casu posito α ν erit integrale: a x 'Ux gi d δ t Xaedae quae forma simplicius exhiberi nequit propterea quod in genere formula ta*''dx integrationem non admittit.. Scholion. Diuitigod by Coral

135쪽

Scholion.

8 8. Cum igitur inuentio multiplicatorum , qui huiusmodi aequationem do - - P dx Ο -- Q. F dx' - X dae' intcgrabilem reddunt, resolutionem huius aequationis post uict

quae in hac forma contineturdo -HPdXo-- Idae' movidendum est, quomodo hanc formam etiam permultiplicatores t ractari oporteat. Cuius multiplicator si fingatur V functio quaedam ipsius ae , iterum ad praecedentem formamdd V - ΡdVdΣ--V dae . Q dx-dP odeuenitur, atque si liu us multiplicator statuatur TU functioni ipsius ae , hic definietur per hanc aequR-rionem

ita ut sussiciat alteram harum duarum aequationum resoluisse. Ac supra quidem , Vbi uυ posuimus, ad hanc posscriorem aequationem peruenimus: at mirum non est harum duarum aequationum asteissam ab altera pendere , cum prior ex posteriori nascatur ponendo U e fy- V, posterior i vero ex priori ponendo V 'U, Iti tentanti facile patebit. Quoniam,

136쪽

Quoniam igitur hoc modo dissicultatem, si quae Occurrit , tollere non licet, inuestigandum est , an sorte eiusmodi multiplicator , qui utramque variabilem x et ν cum suis disserentiatilius dae et o seu inuoluat, negotium conficiat. At vero faciis te perspicitur exclusis disserentialibus hoc fieri non posse; nam si multiplicator esset V sunctio ipsarum X et I , ex primo termino do nalcetur intcgralis pars V d 3 , quae autem ditarentiata ponendod V rida: inuolueret in disserentiale partem Nds , in aequatione non Occurrentem , quae etiam per reliquas integralis partes tolli non posset. Quare rem tentemus eiuSmodi multiplicatoribus , qui etiam rationem disserentialium p complectantur ; et cfm ipsius 3 cum suis differentiali-hus ubique sit idem dimensionum numerus , eadem proprietas etiam in multiplicatore insit necesse est; si enim diuersae inessent, singulae seorsim negotium

essent confecturae.

Problema IO9.

8 9. Sumto elemento dae constante definire tonditiones, ut multiplicator huius sermae M - ,

existente p Fl et Μ et N iunctionibus ipsius xintegrabilem reddat hanc aequationem do-DP dx -- Q3dx' O , ubi P et Q sunt iunctiones ipsius x.

137쪽

quam integrabilem esse oportet. Ob terminos disserentiali affectos pars integrabilis erit ἰνη N p, unde integrale ipsum statuatur Μpp--Nyp S. cuius disterentiale cum ipsam illam aequationem praebere debeat, habebimus:

quam ergo Ermulam integrabilem esset oportet, quae cum tantum disserentialia primi ordinis dae et ocomplectatur , necesse est ut quantitas p ex calculo egrediatur. Posito ergo et dN N dxob pdx o , primus terminus continens p ad ni

138쪽

cuius Ermulae integrale est

quas duas Brmas congruere oportet, unde fit

quae aequatio cum illa N ΜΡ- , ἀά iuncta conditiones quaesitas determinat, proditque tum aequatio integralis

per hanc aequationem :

quae ob differentialia tertii ordinis parum iuuat.

Coroll. I.

88r. Sin autem multiplicator Μ p NIdetur, ipsia aequatio ita definitur , ut sit primo Φ NET , Vnde ex altera , quae est

139쪽

haecque per ' multiplicata integrale dat

quod posterius membrum pro P valore substituto abit in

cuius integrale est manifesto e P , ita ut sit

Coroll. 4.

833. Proposita ergo hac aequatione: a Ma

eam per--- multiplicando integrale fit

140쪽

Scholion.

88 . Cum ergo pro ri et N quascunque iunctiones ipsius X accipere liceat, innumerabiles hinc nacti sumus aequationum differentio - disterentialium formas, quas Ope maltiplicatoris -- NI integrare possumus. Forma stilicet generalis , quae hoc multiplicatore integrabilis redditur , est ut vidimus ipso integrali exi stente:

bi perspicuum in partem exponentialem constanti Cassectam utrinque omitti posse, cum ea sola ista proprietate sit praedita. Quodsi partem exponentia-

lem ad algebraicam reducamus ponendo zL

Vel si ponamus v