Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

91쪽

Iiceat; dum earum integralia vel per series exhibentur vel finite , simul integralia aequationum disserentialium primi gradus innotescunt, quorum ratio plerumque aliunde vix perspicitur. In sequentibus alitem videbimus, eiusmodi aequationes differentio is disserentiales in quibus variabilis altera ν unam dimensionem non superat, per series commode integrari posse, atque adeo interdum has series abrumpi, ita ut integrale finita expressione exhibeatur. Caeterum proposita huiusmodi aequatione differentiali primi gradus du--uudX Od x substitutio u-βά, eo magis est notatu digna, quod sumto elemento dxxonstante fiat dumπά- ideoque datu Mae, ita ut duo termini hoc modo in unum coalescant.

Scholion 2.

bus aequatio du--uudx vi dx integrationem ad mittiti Hunc in finem sit du V dx sorma generalis aequationum resolubilium , et V certa functio ipsarum x et v, ac manifestum est si fuerit vinis Uintegrationem succedere. Primum ergo hoc eueniet

si sit VraF, denotante X functionem ipsius, X et Vipsius P Secundo si V sit functio homogenea nullius dimensionis ipsarum x et v. Tertio si denotantibus X et E sanctiones quascunque ipsius x suerit V X--E Q. Quarto si denotantibus P et Q L a functioin

92쪽

iunctiones quascunque ipsius u , fuerit Utab O. Similique modo ex aliis formis integrabilibus alii

inius concludentur.

Exemplum I.

quae lacto p ur et v ν abit in hane

statuatur u I fietque

quae per lxΦY aa xx ' multiplicata et int grata dat:

93쪽

ita ut aequatio inter x et a sie

94쪽

829. Hoc idem exemplum ita est compar tum ut alia ratione facillime resolui possit; aequatio enim α q-'gpp- . t. . aeae, , si Per , p mul tiplicetur ob qdx d p εt pd X da , abit in υ - - - , cuius singnli termini sunt integrabiles.4 Prodit ergo i

istente P sumitione ipsius p, Y ipsius I et X ipsius x,

quae nostro more repraesentatur per - -Π--X O. Hinc ergo perspicitur quomodo etiam aequationes differentio-disserentiales ope idonei multiplicatoris ad integrationem perduci queant ἔ quae methodus, cum in aequationibus disserentialibus primi gradus inmgnem Vsum praestiterit , eo magis excolenda videtur , quod etiam ad aequationes disserentiales alii rum graduum pateat, quod argumentum insta fusius pertractare conabimur.

8ao. Sumto elemento dx constante, si proponatur haec aequatio Xyddy ydxdyin dyM A SE , ejus integrale iηuenire. Posito

96쪽

AEQUATIONIBUS DIFFE

RENTIO - DIFFERENTIALIBUS IN QUIBUS ALTERA VARIABILIS UNICAM HABET, DIMENSIONEM. Problema IOI.

Sumto elemento dx eonstante si proponatur aequatio huius Brmae do--PdXθ--Q dx o , ubi P et Q. sint functiones quaecunque ipsius X , eam ad aequationem diflarentialem primi gradus

reuocare.

Solutio. - . Ponendo oz pdae et dx aequatio proinposita induit hanc formam q Φ-o, in qua

97쪽

ita ut sitvrati α' in 'E, Ideoquedu -- uudX--Pu dx- -Qdxm substituto pro υ alore. Qua aequatione resbluta erit Immodae. Vel sine his substitutionibus statim in ipsa a quatione proposita ponamus I ef - , unde sit dν - ιμ-uo et d- ef - ίdadae utidae' et cum facta substitutione quantitas exponentialis es 4 ex calculo testatar , obtinebitur praecedens aequatici disterentialis primi gradus: --uudx-ΘΡudXH--x cisi cuius reinlutione integratio aequationis differentia disserentialis propostae pendet.

Saa. Haec aequatio disserentialis primi gradus pluribus modis in alias λrmas sibi sere similes transmutari potest. Veluti si ponamus u ΜΣ; prodit Μ du l x dΜΦPΜdxJΦMΜzadx- .Xzo ubi pro ri eiusmodi iunctionem ipsius ae accipere Iicet, ut terminus ipsa litera a affectus evanescat, quod fit si ἰ . - m Cc 'd'

98쪽

sit enim

tur Ponendo uπΚ Μα, prodit enim

si ponatur unde prodit

99쪽

quae reducitur ad hanc sormam :

bi pro II, L, M et N iunctiones eiusmodi ipsius aeaccipere licet, ut irma prodeat tractinu facillima,

8a6. Quoniam huiusmodi aequationes differentio - differentiales , in quibus variabilis ν unicam habet dimensionem sirequentissime occurrere solant; merito geometrae tantopere in resoluenda aequatione

studium et operam collocarunt , quae etiam forma generaliori ita repraesentari potest da -- ΡΣ dx - Rzzώ --- Qdae oculus quidem casum eximium da -Σzdae ax daeolim Comes Mecati in haud spernendum Analyseos incrementum proposuerat. Inter tran,Brmationes autem huius calus praecipue notari meretur positio

quae dat

100쪽

Theorema.

8a . Sumto elemento constante, si aequationi differentio - disserentialidis --- P detis. Q. y dx' ostiislaciant integralia particularia r Μ et X talis , ita ut ratio Μ:N non sit constans, erit eius int Male completum g N.