Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

81쪽

C A P V K III. I

dimensiones et quantitati q- ω , n-2 dimensiones. Quocirca ponamus: I ' X'ia , p x' 't et q-x - vel ob θ ρdae et qdae habebimus: xduin nudae Idae et aedιε n- x idae Odx unde colligimus a

ideoque duίυ- n- I s)αδείς - nu). At factis superioribus substi tutionibus in aequatione inter x , I , p et ρ per hypothesin variabilis x ex

calculo extruditur , ita ut prodeat aequatio inter tres tantum variabiles u , t et C, ex qua litteram per binas i et u definire licebit. Quo valore sub-1tituto habebitur aequatio disserentialis primi gradus inter binas variabiles u et ι, ex qua i per u determinari queat, ope aequationis ---m , definie-

tur x per u hincque ob obtinebitur aequatio integralis inter x et I , eaque ob duplicem integrationem completa.

SI a. Aequationum ergo inter x , T , p et qhoc modo tractabilium hoc est criterium , ut posito

82쪽

modi determinationem patiatur, ut variabilis X pro sus ex calculo per diuisionem egrediatur.

8r . Si sit amo, aequatio ita est comparata , ut tribuendo ipsi a eiusque disserentialibus nullam dimensionem fiat homogenca. Hoc scilicet calusola variabit s X cum suis dissirentialibus dimensio

nes constituere censetur.

3Is. Contra vero si dimensiones ex sola variabili νaestimentur , ita ut ea cum suis diistrentialibus oet do ubique eundem dimensionum numerum counituat, exponens n sui tufinitus.

8a6. Si soIa variabilis x cum suis disserentia- Iibus ubique eundem dimensionum numerum complet, ob n 'o fit a F; et in aequatione inter x , I, p et g statui conueuiet p- - et quo ino variabilis x ex calculo deturbabitur , prodibitque aequatio inter ν, τ et υ cuius Ope aequatio differentialis o υ Φι)αι di, ad duas tantum variabiles reducetur, qua resoluta , erit - - , Vbi cum ι detur per ν integratio nullam habet difficultatem. Verum altero casu , quo variabilis a sola

cum suis dissirentialibus pares ubique dimensiones habet ,

83쪽

habet, ideoque exponens n infinitus capi deberet, resolutio alio modo institui debet, quem mox docebimus; nisi sorte permutando variabiles x et a casum ad praecedentem reducere Iubuerit.

Exemplum I.

a fina

84쪽

unde colligitur integrando seu ν Ραὶ in θεί g

Tum vero est sera es seu

α est vero

Corollarium.

3I8. Quoniam in aequatione proposita etiam ambast variabites X et a simul ubique totidem dimensiones habent , eam etiam secundum praecepta praecedentis problematis tractare licet.

85쪽

8 I9. Posso dx constante s aequatio disserentio-HUerentialis Δobus tantum terminis conseι , τι μhuiusmodi d dy ccy'dx' dy eius integrale invisigare. Posito o et dae habebitur laaec fiorma ρ α cx, ' , ubi exponentem n ita definire licet ut

Lcto ob v obtinebitur aequatio integralis quaesita inter X et I. Casus tantum , quo n fit infinitus, peculiarem postulat tractationem insta exponendam , nisi mrte simul sit ν π α Φa, tum enim eX ponenS nprorsus arbitrio nostro relinquitur, at aequatio erit homogenea.

86쪽

Exemplum I.

822. Sumto elemento dx consan e , s proponarur haec aequatio: x'ddy x dxdy et xydXdy-4yy dx', eius integrale invenire. Hic euidens est si ipsi a eiusque disserentialibus et do binae dimensiones , ipsi x vero et daesingulae tribuantur, in omnibus terminis obtineri Gdimensiones. Quare cum posito O pdx et o Maehabeamus hanc aequationem: x'ρ x'p -- a υp- FI , faciamus I x'u , p xτ et g v prodiditque

faciens.

tres casus sunt considerandi: Primo si constans c x erit

Secundo Diuitia od by Corale

87쪽

hincque secundo si constans c I in erit se m Hy

Tertio si constans ideoque - - quae integrata dati m=Ang. tang. seu tang.fle. Pro ratione ergo consantis arbitrariae c integratio vel algebraice succedit , vel a Iogarithmis vel ab angulis pendet, unde sorma generali exprimi nequiti

8ar. Integrale autem particulare primo i ventuma CXX in nulla harum Brmarum, quibus integrale completum constituitur, contineri deprehenditur : nihilo Vero minus satisfacit aequationidisserentio - differentiali propositae. Hoc ergo e cmplo magis illustrantur ea, quae supra circa hoc paradoxon sumus commentati, quod intergum aequationi disterentiali satisfaciat aequatio finita , quae .is inte grati completo minime contineatur. Videmus igitur hoc idem paradoxon etiam in aequationibus differentio - disserentialibus Iocum habere. Vtrum 'autem illa aequatio a cxx intcr integralia sit admittenda, alia Diuitigod by Cooste

88쪽

alia est quaestio, quae nondum penitus Videtur confecta ; hic quidem ipse aequatio proposita quasi factores habens est censenda , ex quorum altero illa aequatio a CXX nascatur , verum multum abest , ut in hac explicatione acquiescere queamus. Quin potius ipsis illa quaestio , siue geometrica fuerit siue alius disciplinae , cuius solutio ad huiusmodi aequationem perduxerit, accurate perpendi debere videtur ; ubi plerumque haud dissiculter iudicari potest , virum quicquid aequationi differentiali satisfaciat, id etiam ipsi quaestioni conueniat nec ne i Veluti si descensus grauis ex altitudine 'a labentis definiri debeat , et altitudo qua iam a terra distat sit x, erit ibi celeritas ut V a - XJ et elementum temporis dι .i - τοῦ Hic quidem euidens est isti aequationi disterentiali satisfieri ponendo X a , ita Vitempus ι maneat indesinitum , quod tamen quae stioni neutiquam conuenit, quae nonnisi vero integrali resoluitur.

Problema IOO.

322. Si in aequatione differentio - disserentiali variabilis 3 cum suis diffcrentialibus G et do vhique eundem dimensonum numerum adimpleat, eius integrationem ad aequationem differentialem primi gradsis reducere. Solutio.

89쪽

Solutio.

Posito o pdae et θαρ dx aequatio ita erit eomparata Vt in ea ternae variabiles a , p, ρ Vbique eundem dimensionum numerum obtineant , altera variabili x in computrem dimensionum prorsus noci ingrediente. Quare si statuatur p- et ρρουν tu omnibus terminis inerit eadem ipsius 3 potestas 'qua per diuisionem sublata habebitur aequatio inter ternas tantum Variabiles x , u et v , eX qua Vnam per hinas reliquas definire licebit, ita ut v aequetur functioni cuipiam ipsarum x et v. Iam ob pr erit θρου , et ob ozqdae fiet vol=davdae. unde sequitur Z udae et v -

Quam ergo si integrare liceat , ut reIatio Inter xer u , inde innotescat, superest, ut Drmulae udx integrale inuestigetur, quo inuciato erit is' Iudae , sicque aequatio orietur integralis inier X et I , quae ob duplicem integrationem peractam duas constantes arbitrarias inuoluet, ideoque integrale completum exhibebit.

Coroll. I.

8aa. HuiusIrodi ergo aequationum integratio. reducitur ad huiusmodi aequationem difflarentialem du- audx' dx, cuius restautio si succedat, sit ulmos. II. L illarum Diuitigod by Cooste

90쪽

illarum integratio habetur , cum sormulae udae i tegratio dissicultate careat.

Ra . Cum sit ut udae erit aetes 4 quti substitutione aequatio differcntio - difirentialis proinposita statim reducitur ad aequationem differentialem. primi gradus , crit enim p-e'. u et μή du -uudae ac tum formuIa exponentialis. sponte ex aequatione egreditur.

Coroll.

8 2s.. Vicissim etiam: proposita aequatione di strentiali primi gradus. du-Duudae Iudae, in qua tu sit iunctio quaecunque. ipsarum X et v, ea posito, in eiusmodi aequationem differentio - disserentialem transformatur, in qua Variabilis a cum suis differentialibus o et do ubique eundem dimensionum numerum constituat,

Scholion I.

Haec reductio. aequationum disserentia lium primi gradus ad gradum secundum legibus analyseos aduersiari videtur , interim tamen subinde in non caret; quod si enim alia methodo huius modi aequationes, differentio. - differentiales. tractare. liceat Diuitir oste