Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

191쪽

I. Ascendant primo exponentes, et fingatur stries:

per eas ita determinantur :

sicque habebitur integrale completum ita expretam

192쪽

a xj a A xλ -l- a B x- -- etc. ubi cum terminus ah sui similem non habens, wlIi nequit, ita ut hinc nulla aequationis resolutio obtineatur.

sao. Geminata series pro F inuenta, quoniam litterae A et ri arbitrio nostro relinquuntur , inte grale completum aequationis disserentio - disserentialis do --ax γ dx' o exhibet; tribuendo autem litteris A et a datos valores, integralia Particularia

nascentur.

sar. Si ponamus n-u m , seu n zm-2, huius aequationis do-Fax bdx' No integrale completum ita commodius exprimetur:

coroll. a.

193쪽

i Coro ll. 3.

932. si exponens m fuerit positiuus et unitate maior, hae series eo magis convergunt, quo minor valor quantitati x tribuatur : aliis vero casibus in praxi hae series adhiberi nequeunt; nisi forte eae ipsae in alias convergentes transformari possint.

Scholion. I.

. . t

933. Dantur tamen casus, quibus hae series omni plane usu destituuntur , quod euenit , si quispiam factorum denominatores constituentium evane stat , sicque omnes termini Pquentes in infinitum excrescant. quibus casibus series in alias Brmas transis mutari conuenit. 'Hic primo occurrit calus m o seu n' - 2, quo utri u ue seriei omnes termini praeter primos fiunt infiniti , hoc vero casu aequatio , quae est do -- - o , cum sit homogenes singularem integrationem admittit: inueniri enim potest potestas ipsius a , quae pro ν substituta aequationi satisfacit. Ponatur . scilicet F P , prodibitque λ λ - x o seu λλ-λ- -a-o

unde colligitur λαἰ - , ob quem dupli-Cem valorem est integrale completum:

quae

194쪽

unde patet casu a ἰ ire

sa . ReIiqui casus ad incommodum ducentem. sunt, si vel in I vel mα-l denotante i nume-xum quemcunque integrum. Casu mmi prior nau- tum series fit incongrua, casu vero m α - I poste- Tior tantum. Quare illo casu ponendo A o hoc vero A o , series saItem una idonea habetur integrale particulare exhibens. Verum cognito integrali particulari quod sit a P , inde aequationis do -- a x dx'α. o integrale completum eruitur ponendo ' Pa unde MPd a dPda addPH- ax P adae moat per hypothesin estddΡ-Fax ' Pdx' ,

Cum autem P sit series infinita, hinc valarem ipsius a cogooscere haud licet. At casibus illis memoratis pars integralis Iogarithmum ipsius x iuu OI

195쪽

Exemplum I.

sas. Pasto mo hanc aequationem

ler series resoluere. A a a Posito

196쪽

pro qua ponamus breuitatis gratia. gratia: T x' --Tx' Dx'. .etc.

tum vero quaeratur p eX hac aequatione:

. . . l . .

A -- , quantitas B non determinatur , tum vero

ubi pro B scribere licet o , quandoquidem in integrali I pH-qix addimus partem αq, quae ex littera

197쪽

CAPUT VII.

pro qua ponatur breuitatis gratia :

198쪽

unde facta substitutione prodit

cum vero est

1. 4

si sumatne, id quod sine detrimento generalitatis seri licet, suemo , ita ut sit

qui valores similes sunt praecedcntibus.

199쪽

per series resoluere. Posito Imp- αρ qta capi oportete:

t r. a. 1. 4. 1. . s. a

pro qua breuitatis gratia Eribatur

tum Iero quantitas p ex hac aequatione definire debet: - ----α π.Fingamus ergo

200쪽

erit

ubi notetur esse :

Exemplum 6. ἰ

Ire serier restarere. Posito a p αε--qIx capi oportet: