Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

211쪽

9 3. Integrale aequationis dd y -c c x y d x 'Σ Ο inuenire. Ob λ-ς sit B A et z Ax , ita ut si Prax et Q. A' Posito ergo ν' - ax ', in tegrale ita exprimitur Casu autem cc -bb aequationis

Exemplum s.

9l9. Integrale aequationis ddy-ccx ydx'To. inuenire.

Ob λ est B et , hine

Posito ergo x sae' integrale erit C c a casu

212쪽

α οφ CAPUT VII

Problema II9.

sso. Aequationis differentio - differentialis

Solutio.

' Sit breuitatis gratia ι - 2i- I x , Vnde fit x - , ac posito pro alore ipsum et per seriem inuento

213쪽

Atque hinc aequationis propositae integrale completum ita exprimetur :

ubi in utraque progressione lex formationis singulorum terminorum est manifesta.

Coroll. I.

9s r. Hinc quoque illius aequationis

sset. si i sit numerus negativus haec integratio perinde succedit, aequationis enim

C c a posito

214쪽

posito t ' integrale erit

ssa. simili modo huius aequationis

9s . In Drmulis sinus et cosinus continentibus si ponatur α C sin. ζ et g Ccos ζ, pressiones nostrae ita contrahuntur, ut fiat αcos hi β sin. bt m C sin. bt --ζὶ et pcos bt Casin. bt Ccos bt -- ζ), ut iam hic C etζ sint constantes arbitrariae inte grate completum reddentes. scholion.

215쪽

9ss. Hinc egregium adipiscimur adminiculum ad casus integrabilitatis huius aequationis disterentialis primi gradus

agnoscendos simulque integralia completa definienda; nascitur enim haec aequatio ex i stado Hraaebo' mo ponendo F-e unde ex illa vicissim haec oritur ponendo u m. Cum igitur istius integrale assignare licuerit casibus quibus eAponens n iisdem casibus aequationem disserentialem primi gradus assignare licebit, ubi quidem duos casust euolui conuenit, prout afuerit veI numerus negativus a -ce vel positiuusa --hh. Hos igitur duos casus pertractasse operae erit pretium.

Problema IIO.

ss G. Denotante i numerum integrum siue postiuum siue negativum quemcunque , inuenire in tegrale huius aequationis t

Posito u haec aequatio transsermatur in istam:

216쪽

sumis elemento dae constante , cuius integrale assignauimus. Posito scilicet ima a I)x' ' est: Ponamus breuitatis gratias a tinge' t)Ρ- α t-ge' t) et cum sit

At vero est

217쪽

Ponamus ad abbreviandum :

completum.

Coroll. I.

93 . Quaternae formulae P, Q, R, S quae singulae casibus quibus i est numerus integer, abrum- . ML II. Dd pan-

218쪽

rio CA UT VII. pantur , ita a se inuicem pendent , ut sit primo

9 38. Posito ergo Vel α o vel β Izo, integralia particularia algebraica aequationis

exhiberi possunt, quae sunt

ideoque hac Vna formula comprehendi possunt

939. Pro Varii, ergo valoribus numeri i tam quantitas i quam litterae Ρ , Q, R , S sequenti modo se habebunt: Primo scilicit si i 'o erit ι X, atque P I , Q O , R 1 et S o , reliquus