Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

201쪽

Fingamus '

et secta substitutione prodit

unde sequentes determinationes colliguntur:

at 2b non determinatur et porro

202쪽

Quodsi iam sumatur U o , erit

qui oumeri ut ante progrediuntur.

sa9. Ex his exemplis perspicitur quomod stries aequationem domax 'γώ oresoluentes in reliquis casibus , quibus i veniri oporteat; ubi obstruetur, si, sit pro ghanc seriem accipi debere:

tum vero tamam ipsius p tali serie exprimi τ

at pro p huiusmodi rumam accipi conueniet:

unde pariter singulos eoessicientes uno excepto dete minare licebit. Atque hoc artificium in genere est

203쪽

tenendum , quoties in resolutione aequationis generalis ad series peruenitur , cuius coemcientes certis casibus in infinitum excrescunt, quod plerumque indicio est logarithmos esse introducendos. Verum etiam eadem aequatio do--αxbdx 'edi aliis mo dis per series resolui potest, dum ea ante reinlutio nem in aliam formam transmutatur , bi cum euenire possit, ut series certis casibus abrumpatur, quibus adeo integrale reuera assignari potest. talem transformationem maxime notabilem hic explicemus.

Problama II 8.

o. Aequationem disserentio - disserentialem adν--ax'ydae' o in aliam Ermam transsundere, cuius resolutio per series infinitas commode iustis tui possit.

204쪽

ubi ρ ita rapiatur, ut fiat

quae posito

unde perspicuum est sumi debere vel λ o vel λα I. Consequimur ergo seriem duplicatam huiusmodi: Ἀ

205쪽

unde utrique coefficientes. 2quenti modo determinantur :

ubi bini coefficientes A et A manent indeterminati ita ut hoc integrale completum sit censendum. , A Jιer. Sumta serie , in qua exponentes, ipsius x decrescant , fieri debet

quae posito

206쪽

Is abit in

unde coeffigientes ita determinantur:

Hiς unius tantum litteris A valor arbitrio nostro relinquitur, ex quo haec series tantum integralaparticularo exhibet.

Coro Il. I.

207쪽

I 'salteram vero quoties a i - χ)--μ et ιτα ci seu προ -- denotante i numerum integrum quemcunque. Ilio ergo casibus integrala saltem particulare finite e

primi potessi

9 a. Altera QIutri' praebet seriem finitam . quoties fuerit vel a ι-- o Ves cai I i ' o , hoc est i ante. Reliqu.s vero casibus haec series in insy

nitum e currit.

Coro II

integrationem saliem particularem admittis , sunt Tho sumendo Pro i numerum integrum quem

cunque,

- - sussicit autem integrale particulara iacvenisse , eum ex eo tactis integrale completum erui possiti

208쪽

possit. Cum enim in integrali insit littera e , dum

aequatio diiDrentialis tantum quadratum cc continet, perinde est siue in integrali sumatur H-c sule - c. Hinc si integrale particulare sit F m critetiam I P cd integrale particulare, xnde integrale completum erit

Quo haec clarius explicentur, ad solutionem alteriram aequationis do-ccx -y accommodenis tur, pro qua ponendo breuitatis gratia i , x x ι, secimus I P a , et inuenimus:

Pro qua expressione distinguendo terminos per potestates pares ipsius c diuisos ab iis, qui per potestates impares sunt diuisi, scribamuS et ' Ρ-cQ, ita ivtiam P et Q tantum. teliates pares ipsius o contineant eritque integrile particulare unum

et alterum I ' cvnde completum erit

209쪽

atque integrale completum hoc casu ita exprimetur:

cisus ergo hoc modo integrabiles euoluamus.

Exemplum I.

94s. Integrale aequaιionis ddy-ccydx' o inuenire. Hic est λ o et et A; atque t x, Vnde ob P A et Q O erit i*tegrale completum

Casa autem cc -bb aequationis do in bis ' integrale completum erita Y cos. b x ἡ- δ sin. b x.

210쪽

stos

inuenire.

inuenire. 1

ergo erit: Casu autem re - hb aequationis