Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

231쪽

a ergo nisi a o , pro λ gemini inueniuntur valores sicil .cet ,

binae series pro ν inuetvuntur, quae utcunque com- 'binatae integrata completum aequationis propositae praebent.

Aliter.

Proposita aequatione hae : ί Fbae do xk- - ' rid μίμg U) γ Δ' Ο series quoque ordine retrogrado fingi potest '

232쪽

in Af

Coroll. I.

968. Ex priore selut one , si i denotet numerum integrum positiuum , series assumta alicubi abrumpetur , si fuerit

233쪽

aequatio habebit integrala algebraicum, si fuerit denotante i numerum integrum positiuum et hoc est

si sit

234쪽

unde hinae series ita combinari poterunt, Vt integrale consequatur sormam realem.

9 2. Vtraque solutio generatim spectata duplicem seriem pro variabili a suppeditat, pro gemino exponentis λ valore , quinam combinatio inistegrale completum exhibet. Solutio scilicet prior Pro exponente λ hos duos praebet valores

solutio vero posterior

ita ut hoc modo integrale completum duplici modo exprimi possit; quae binae formae etiamsi maxime diuersiae , atque adeo interdum altera per exponentes imaginarios progrediatur , dum altera habet reales , tamen sibi aequi pollentes esse debent. Quin etiam euenire potest , ut altera solutio vel etiam utraque ad integrale completum exhibendum sit inepta, dum unicam striem suppeditet. Incommodum hoc pro utraque solutione duplici modo accidere potest ; propriori nempe solutione , ubi eXponentem λ ex hac aequatione: λ λ - 1 Ja--λς--fα definiri oportet, unicus inde pro λ eruitur valor, si fuerit vel a o , et af sa - c)' , priori casu tantum sit λ - οῦ altero ipsius λ valore quasi in

235쪽

22 inlinitum abeunte. Ι'osteriori tam vero ambo ipsius λvalores sunt inter se aequales scilicet λα- '. Idem incommodum in altera solutione locum habet, si fuerit vel b o vel φbgm h - e)', unde patet fieri posse, ut altera Qlutio huiusmodi incommodo laboret , dum altera eo careat, quin etiam ut utraque eodem inquinetur. Quocirca osendi conueniet , quemadmodum etiam his casibus integrale completum inuestigari debeat; quorsum etiam casum referamus , quo ambo ipsius λ valores fiunt . imaginarii quandoquidem ad imaginariam speciem tollendam singulari artificio est opus. Denique vero etiam hinae series pro ν exhibendae difficultate premuntur, quoties bini valores ipsius λ differentiam habent per exponentem n diuisibilem , quorum casuum euolutio etiam explicari meretur.

Problema I 23.

9 3. Proposita aequatione differentio is disserentiali:

s eueniat, ut binae series ascendentes pro F assumtae vel in unam coalescant , vel alicra fiat impossibilis, integrale completum per sericS eXpri Cre.

Solutio.

Assumta serie se Aa in B in C x in Da' etc.

236쪽

stas si eueniat ut bini valores ipsius λ ex aequatione λίλ- I Ja--λc HU vel fiant aequales, Vel differentiam per n diuisibilem obtineant, Valor ipsius γ praeter potestates ipsius xetiam logarithmum ipsius x inuoluet. Quare pro aequationis rosiolutione statim ponamus γ' u in v Ihae,

hanc

237쪽

etc.

His coefficientibus ita definitis , quorum primus Aarbitrio nostro relinquitur , ponamusu zΔ- - Axλ T .Θ S ah ρ ' -- D a etc. qui valor si in priori aequatione cum serie pro Uinuenta substituatur , Κquentes series ad nihilum reduci oportet

Cum Disiligod by Corale

238쪽

Cum autem sit λίλ-i a Φλel zo et λίλ- I Jb-λe 4-g-nbexpressio haec transmutahitur in hanc formam

ubi Δ denotat quosdam terminos seriei A ah -- T a etc. praemittendos, ita ut ordine retrogrado sit

' Quod principium quomodo quouis casu sit constituendum , sequentia sunt obseruanda. I. Principium hoc locum habere nequit, nisi fuerit λ in λ in xla -- ίλ- in c-- α O, cum igitur sit λ λ - I )a -- λc HU oinde erit λ α in--ν hinc vero

239쪽

a a Iquandoquidem hi duo valores conuenire nequeunt, ni si ibi signum radicate negatiue , hic Vero positive accipiatur. Aequatis autem his valoribus fit, seu tinnaam a c)' - U hincque

unde fit

. t n. Quare si aequatio proposita ita suerit comparata . ut st

tum sumto

Hic est calus, quo bini valores ipsius λ ex aequatione λ ί λ - x in a - - λ c -- differentiam habent per n diuisibilem , ubi notandum

fer.em v a ma ore valore ipsius λ, seriem vero u a minore inchoari debere. .

240쪽

binae radices sunt inter se aequales, ideoque Continetur ergo hic casus in praecedente sumendo ibi i o. Quare hoc modo resoluentur casus, quihus bini valores ipsius λ vel sunt inter se aequales, vel disserentiam habent per exponentem n diuisibilem. Sicque reperitur integrale completum por dua series ascendentes υ et u expressum , quarum illa vi

per D multiplicatur. Coroll. I., . Quando ergo in aequatione proposita

ita Diuitigod by Cooste