Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

241쪽

233 ita determinari poterunt, Vt ponatur: o Axμ ε Ca ' in D Τ Φet: is N ae 'ε T in ' - - ΦT etc. Has scilicet series substituendo omnes coefficientes ex uno definire licebit.

Scholion.

9 6. Logarithmo ergo ipsius x in subsidium vocato his casibus, quos commemorauimus, integrale completum aequationis propositae per series ascendentes exhiberi potest , dum sine hoc artificio integrale tantum particulare inuenitur. Quando enim aequatio λίλ - 1)a --λc-- o duas radices habet, quarum dictrentia per exponentem n est diuisibilis Puta λαμ et λαμ--in, priore methodo sola sexies, quae incipit a potestate in , determinari potest; si enim altera a potestate a ' incipiens pro ν assumeretur, coefficiens cuiusdam termini reperiretur infinitus , unde laquentes omnes mrent quoque infiniti , quod incommodum introducendo logarithmus ipsius x stliciter tollitur. Hunc igitur usum istius resolutionis aliquot exemplis illustrasse iuuabit.

Exemplum I.

242쪽

unde sit Bri Ma

243쪽

Hic autem tuto assumere licet A 'o, quoniam termini ex is oriundi , continentur in membro αυ. Cum igitur sit Cm f.D -: E m etc. erit ut sequitur

sicque obtinentur sequentes valores:

ibi numeratoreS a , 6 , 22 , ICO, s 8 , as 28 etc. singuli ita per hi nos praecedentes definiuntur

Consequenter integrale ita exprimetur

etc.

bi A et α sunt binae constantes arbitrariae.

244쪽

quae series, ex sequenti Si aequationibus. determinari debent et

ideoque Disi irco by Corale

245쪽

A etc. Ex altera vero aequatione reperitur:

246쪽

hitu accipi potest; nihilque impedit , qtio iminuS nihilo aequalis statuatur, siquideto conitan, α supra est inducta.

247쪽

etc. et

Hinc autem

248쪽

26 Ex prioribu, sormulis litterae B, C, D ete. per Adeterminantur , ex posteriorum vero secunda fit 'ue -- ex prima autem et . - , tum

vero C pro I ubi tu assimi potest , indeque reliqui coefficientes D, E, g etc. definiuntur.

Scholion.

98o. Exemplum hoc occasionem nil, s su peditat phaenomena quaedam singularia Obleruandi. Scilicet etiamsi integrale compictum ingenere Ixinuoluat , tamen id a lo arithmo liberum prodit certis casibus. Primo nempe si sit g--e fit m n omanente indefinito, tum vero b b T o capi oportet A o , C o etc. ideoque . O. Porro ero erit

eaea

ubi T altera est constans arbitraria, eritque aequationis xx et qbra νεx sinera s xM V ointegrale completum: Imx- - Ex' -- TH- E P - δ x '' etc. quod adeo finite exprimitur si i ins)b, pro isumendo numcios O, I , a , a , ε οις. secundo

249쪽

secundo si sir

hincque ubi ei et E arbitrio nostro reliquuntur. Tertio si sit . I b-- sari g - seu g - 2ob-- se, primo fit B To , CRO, Dao etc. iamque vita A e

tum Vero

- etc.

Per es ergo definiuntur e vicientes B, A, D, ε, .3 etc. ac E quoque' arbitrio riostro relinquitur, unde integrale completum hoc casu erit 3- Ax'u-HEx' Φ ela q-Bx'- --- DU-ete. i quae, expressio si finita quoties sti - s)bH-e O. . Via. II. II h . Exem-

250쪽

98r . Si in priori exemplo sit e - b et gra II b , aequationis

982. Posito ν ef - ut sit a ue ita aequationis huius differetitialis primi gradus:

983. Aequatio autem differentio - disserentialis integrabilis redditur, si diuidatur per xx x in bxx ', eritque integrale seu θ - - θ xx