Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

271쪽

aga, Verum facilius ad hane aequationem generalem per venitur , si ambae substitutiones alicrnatim in viam

vocentur.

I Oo . TransBrmatis autem hie exposita es magis est notatu digna , quod etiamsi aequatio transemrmata resolutionem admittat, inde tamen non nisi dissiculter ipsia proposita resoluatur. Cum enim re perta suerit sumitio ipsius x, quae Ioco a substituta aequationi transformatae sarissaciat, pro 'alare ipsius ν inueniendo , insuper integraIe huius aequationis inuestigari oportet, ubi etsi variabiIes x Et ν a se inuicem sunt separatae , tamen dissicu Itates insignes in ipsa integratione se exerere possunt. Fieri ergo poterit, ut ope huius substitutionis, eius modi aequationum integralia exhiberi queant, quae directa via vix inuestigare liceat. SciIicet si eueniat, ut integrale aequationis transformatae vel ope methodi cuiusdam supra expositae inueniri , vel per seriem abruptam exprimi possit , tum etiam ipsius aequationis propositae integraIe habebitur. Etsi enim cam posteriori integrale tantum puti lare innot stit. tamen ex eo semper in hoc aequationum ρο- vere integrati completum elici potest. Namque si aequationi

272쪽

vnde integrando oritur

ita ut integrale completum sit

Exemplum.

Ioos. Aequationem di erratio - disserentialem: xx a bx')ddyΦx c-bex')dxdy Φ fydx o . transformare ac per seriem integrare. Cum

273쪽

CAPUT IX.

vel f

Sin autem ipse aequatio proposita hoc modo in seriem rcsoluatur , haec abrumpetur , si fuerit

hoc est

274쪽

266 Vnde intelligitur integrale finitum exhiberi posse, siue numerus integer i sit positivus siue negativus. Ad hanc vero duplicitatem iam prior substitutio perduxerat 998. , ita ut haec noua substitutio nullos nouos casus integrabiles suppeditet.

Ioos. ut tamen pateat, quomodo ex valore finito ipsius Σ valor finitus ipsius a elici queat, contemplemur casum xx a --bx'ὶ do--x sa -ex' dxΟ- a adidae' o hi η a , c aer et fα - a 4a, quae facta substi

275쪽

a s cum ergo sit D O , sequentes termini omnes toI-luntur. Tum vero estro Ba -; a Ca - aBb-- a Be , ergo B zz LSE A ; C α' in B LI MI A . hincque

unde sequitur

seu resoluendo

hincque integrando

xoo . Quod hic casu fortuito euenisse videtur , ut ex valore ipsius et inuento quanti ira a commode definiri potuerit, idem perpetuo euenire Oportere , sequenti modo in genere ostendi potessi Cum enim aequatio proposita

276쪽

s haec per L da diuidatur , prodit

ex qua integrando elicit ut

quae inuento valore ipsius et statim sine ulteriori integratione praebet valorem ipsius a Cum porro sit

dν gerit dum aedx.e in L. cuti hincque atque hae relationes eo magis sunt notatu dignae , quod ex iis aequatio proposita nonnisi per plures ambages ad tranSBrmatam reduci possit. Ipsa enim formula pro I substituta perducit ad aequationem differentialem tertii gridus, quae autem manifesto integrationem admittit , ipsa que acquationem hic inuentam suppeditat. Hinc igitur occasionem adipiscimur eiusmodi subititutiones inucstgandi, quae quidem ad diaerentialia tertii gradus ascondant, verum tamen per integrationem ad disserentialia keunda redigi se patiantur. Probleo Diuiti so by COOste

277쪽

Problema III.

mare,

Solutio.

et ad α' a T o, ideoque T quantitas constatim

L I a Inde

278쪽

eX quo per alteram conditionem elicitur :

hocque valore pro P assumto, aequatio proposita ope substitutionis transformatur in hanc:

seu in postremo termino valorem ipsius P substituendo

atque hic pro Q iunctionem quamcunque ipsius xaccipere licet. coroll. r. Dissit sed by Corale

279쪽

ui ante.

Io Io. Sin autem ponamus

go xx. Ponatur se R X dx e , V et A o , B o erit X et Q ἴ , ideoque

280쪽

m, aequatioque resultans

IOI 2. Haec autem nimis sunt generalia, quam ut inde quicquam ad usum communem concludi pollit. Vtcunque autem transformatio instituatur, et aequatio transBrmata in seriem resoluatur , haec nullis aliis casibus abrumpi videtur, nisi iis quibus ipsa aequatio proposita , et inde per primam subiit tutionem transnormata , ad seriem alicubi icrminatam reducitur. Ex quo perspicuum cst ope huiusmodi transformationum ViX Vnquam nouos casus integrabiles erui posse. Verum dum hactenus loco variabilis γ aliam et per substitutionem introduximus , altera x , eX cuius potestatibuS series sormabantur , retenta , nunc etiam paucis exploremus, quomodo loco ipsius x aliam variabilem l introducendo , transformationem perfici oporteat, ubi imprimis notetur necesse est , cum ante elementum dramim tum fuerit constans, iam in transQrmata clementum di constans accipi debere. Hic igitur ι scribetur loco certae cuiuspiam funestionis ipsius x, quam autem ita comparatam esse decet, ut aequatio resultans ne nimis fiat complicata. Probleis Disit iroo by Coos e