Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

301쪽

293 cuius integrale est

λ ά. ποῦ et α- x a s 2η IJ habebitur haec aequatio

ddet aazidi m oculus integrale est

302쪽

integrale est

z e ' Vevnde Occasionem arripimus huiusmodi integratiotas generalius inuestigandi.

xo o. Si sint P et Q Iunctiones quaecunque

quae quaeritur. Ad calculum contrahendum ponamus drepeta, d P - P d u , item diu Edu et de inati Hinc erit

unde colligitur -- τά-- - -

quod

303쪽

9squod integrale statuatur me a' sa-x ' , ita ut evanestat posito X a dum sit νγ o, uti etiam evanescit casu x o si modo n: o. Cum igitur huius trmulae differentiale sit eν x a - x y ί Qx a - X n a -- n Φ ν ) x)cuius comparatio cum irma inuenta praebet:

sicque aequatio differentio - differentialis erit cognita.

Coroll. I.

304쪽

Coroll. 3.

305쪽

integrale est

et huius aequationis ' . ,

unde huius aequationis quae cum praecedcnte con

306쪽

Εxemplum s.

Io s. Si ponamus yzscix aa-xx ' cos au , posito post integrationem X a , Ut y aequetur ceriae functioni ipsus u , iηuenire aequationem diserentis in differentialem , eat ea sarissavitat Cum sit

Ouare huius aequationis

307쪽

Io S. Si ergo sit et α I , huius

aequationis integrale est

si quidem post integrationem statuatur xma hiteis grati ita sumto ut evanescat posito x - o. '

xo . Si igitur sit i numero int gro , seu λ - dii , huius aequationis

integrale est F fd x aa- x xy' eos I P x quod reuera exhiberi potest. Prodeunt scilicet casus integrabiles supra indicati.

1O 8. Cum posuerimus =zfVdx existente Viunctione quacunque ipsiarum v et x, quarum autem in hac integratione sola x ut variabilis tractatur , non opus est absolute integrale ita determinari,

308쪽

a oo CAPUT X.

ut evanestat posuo Tmo , sed lassicit ut certo quodam casu X b evanescat, quo sect3 si porro Ponatur di ma , t ν a uetur subctioni cuipiam ipsius M, quam per quadraturas assignare licet , quandoquidem hic integrationem formularum limplicium nobis concedi iure postuIamiis. Atque hie alor ipsius I per u expressus integrala exhibebit cuiusdam aequationis drierentio - differentiat s

integrari actu possit, quod integrale itidem ita est capiendum, ut evanescat posito x- b, tum vero posito x zza id fiat U.

Problema III. c

xo v. si merint Ρ et Q. functiones ipsius at, at Κ functio ipsius u , ac ponatur integrali ita sumto ut evanescat casu X b, rum ero statuatur X a, Vt pro a prodeat iunct oipsius u , inuenire aequationem disserentio - disterentialem inter a et u , cui ille valor ipsius a la

309쪽

ac denuo differentiando

unde si L, M. N denotent iunctiones ipsius M, erit

quae cum debeat esse integrabili , statuatur integrale R Κ - '' - Const. ita ut evanescat posito llante X vhi R sit iunctio ipsins x tantam. Cuius formae differentiala quia est

Hic ergo duplicis generis termini adesse debent, alii ab v plane liberi, alii vero furctione Κ aScti ,

quos de: nceps scorsim aequari coauenici. Hunc in. finem ponamus:

310쪽

hincque

ita ut ex iunctione Κ litterae L , Μ et N determinantur dum A , α , B , sῖ , C , , constant

quascunque denotant. Nunc autem superest vi essiciatur :

vnde duplicis generis terminos seorsim aequando fit

ideoque

nde ex functione Q iunctio R definitur: tum