장음표시 사용
281쪽
1o Ia. Proposita aequatione differentio - differentiali Loco quantitatis x aliam ι introducere, quae sun ctioni cuipiam ipsius X aequetur.
Diuisa aequatioue per dx, repraesentetur ae quatio ita Laesa -- No Ny ut iam consideratio elementi dae, quod constans erat assumtum , sit exclusa. Cum x aequetur functioni cuipiam ipsius fiat inde drata P dx , stu ex v nde naciscimur
rae Uumto elemento di constanter
hi tantum superest, ut in quantitatibus finitis, quae adhuc variabilem ae complectuntur , eius loco altera i introducatur.
282쪽
Nunc vero est x 'ini , qui valor substitutus praebet:
Uerum hic ita ubique ς-B Occurrit , ut aequatio simplicior euadat loco t-b scribendo u , tum autem perinde est, ac si laco potestatis stripsissemus quantitatem υτ neque ergo hinc qukquam lacri pro nouis strictus eruendis redundat. CoroI- Diqitiros by Orale
283쪽
xor G. Plura de huiusmodi aequationum trans- Rrmationibus tradere haud necesse videtur , cum ex his sontibus haud dissiculter omnes tranSBrmationes ad usum idoneae derivari queant. Datur autem alia methodus prorsus singularis huiusmodi aequationum disserentio - disserentialium integralia eXprimendi , quae per sermulas integrales binas variabiles inuolventes expeditur , dum altera in integratione ut constans tractatur. Ita si P suetit functio quaecunque hinarum variabilium x et u , ac ronatur a I P dx, considerando u in integratione t conflantem , inte
grate hoc I P dx erit iunctio ipsarum X et u , quod M m a ita
284쪽
ita determinatum Ut evanescat, posito x o , si deinceps statuatur x a, obtinebitur functio ipsius uipsi a aequalis, quae si satisfaciat aequationi cuipiam disserentiali inter u et I propositae , haec aequatio resoluetur formula I f P dx, quae ut eius integrale spectari poteriti Atque hoc modo innumerabilium aequationum differentia - disserentialium integralia exhiberi possunt, quae aliis methodis prorsus intractabiles videntur. Quanquam autem formula fΡdx ,
spectata quantitate u ut constante, actu integrari nequit, tamen eius integrale in hoc negotio pro cognito accipi potest,. quia eius Valor saltem per approximationes assignari potest. Scilicet dum sum. ta x pro abscissa , si P denotet applicatam orthogonalem ei conuenientem , mrmula I P dx exprimet aream eiusdem curuae abcissae. x insistentem, ac posito x a, area habetur determinata Valori a V Ρώ, prouti cum modo definiuimus aequalis, quae ergo, uti loqui itent, per quadraturas curuarum affignari potest , ex quo hacc integrandi ratio commode apis pellatur conitructio per quadraturaS. Hic autem imis primis ad eam rationem , qua integralia in particularia et completa distinXimus, attendi conueniet; unde lollicite est cauendum , ne integralia hoc modo inuenta pro completis habeantur, nisi quatenus binas constant Is arbitrar as inuoluant. Cum igitur eidem atquationi d fierentiali infinita integralia particularia conueniat, mirandum non est , si hoc modo . pro eadem aequatione proposita plura integralia dilaersia
285쪽
inueniamus Hoc autem argumentum stre prorsus est nouum , neque a quoquam adhuc pertractatum , siquidem nonnulla specimina, quae equidem iam dudum dedi , excipiantur; ex quo dubitare non licet, quin ista methodus, si diligentius eXcolatur, aliquando Brte praeclara incrementa in Analysin sit allatura
286쪽
NUM DIFFERE O-DIFFERENTI ALI UMPER QUADRATURAS CURVARUM. Problema I 29.
Si fuerit 3 IV dx denotante V sunctionem quam .cunque binarum quantitatum X et u , quarum autem haec u in integratione xt constans spectatur, post integrationem xero statuatur X a, Vt I aequetur functioni cuidam ipsius u; quodsi iam avariabilis sumatur , inuestigare valorem ipsius
Cum fVdae exhibeat iunctionem quandam binarum quantitatum X et u , cuius dis&rentiale sum tauconstante est V dx, si tam v quam X ut variabiles tractentur, disserentiale aequationis a J V dx talem habebit formam : d 'VdX-- Udu , quae
quia est differentiale verum, necesse est sit ig) π A At cum V sit iunctio data ipsarum X et v, sona tur dV P dx--Qdu , eritque Q, ideoque iri in Q Hinc considerata iterum v Vt constante ,
287쪽
x serit et V IQdae, in qua integratione sola x pro Variabili habetur. Quocirca si hunc Valorem Ndx ut cognitum spectemus, quippe quem per quadraturas assignare licet, erit sto εδες .Quaerimus autem id ipsius y disserentiala , quod ex variabilitate ipsius u tantum nascitur; quod cum sito zzdufQdae erit valor quaesitus j dx, si nempe post integrationem itidem ponatur X a
Io 18. Cum sit 3 J V X functio ipsarnm x et u , per integrationem autem sormulae Udae, in qua u constans spectatur, functio quaecunque ipsius ulmo constantis accedere possit , sunctio 3 per se erit indeterminata , determinabitur autem statim , atque integrale s V dx ita accipiatur , ut evanescat posito
xo I9. Hac conditione obseruata evanescet νposito x o quicunque valor alteri quantitati u tribuatur , erit ergo etiam aΗ-dus in o facto X O,
orgo etiam Vnde patet 1 Q dx aE ita
288쪽
Ioa I. Quodsi ergo post integrationes ita absolutas, ut integralia evanescant posito X O , ρο- natur Xza, tam valor FaGV x Iquam 2 dxei erit iunctio determinata ipsius u.
xoa a. simili modo ulterius progrediendo erit
iunctiones quascunque ipsius u erit
totumque negotium huc redit, ut ista formula ia-tegrationem admittat.
Ioeta. Datis scilicet ipsius ti iunctionibus L, Μ , N , quaeri debet functio V binarum variabilium x et u , ita ut spectata v constante sormula
289쪽
31 ssolute fiat integrabilis , cuius integrale, ut sit determinatum ita capiatur, ut posito X euanestat. Tum vero statuatur X a, ac si illud integrat etiam hoc casu evanescat , erit -- Ny Fhincque aequationi satisfacit valor 3 fVo , Iege indicata sumtus. Problema autem datis iunctionibus L , Μ et N, inuestigandi iunctionem V maxime est indeterminatum , neque methodis adhune cognitis in genere resolui potest; ex quo conueniet id inuerso. modo tractari, ut sumta iunctione v alterae L, Het N indagentur. Hinc aequationes disserentio - disis strentiales consequemur, quarum integralia hoc modo assignare valebimus , quae si aliis methodis tractari nequeant, insigne lucrum suppeditant. Quodsi integrale illud Posito x a non evanescat, sed datam ipsius u funis et ionem V exhibeat, valoe s msudae conueniet
quae cum infinitis modis in alias formas transmutari possit, etiam harum integralia innotestent , ubi simul hoc commode euenit, ut etiamsi integrale tantum particulare obtineatur , . inde , tamen plerumque
integrale completum haud difficulter colligi queat.
290쪽
Μ , N et V sint fηnctiones ipsius a cuius elemenis tum da hic pro constante accipitur , quarum integrale ope constructionis per quadraturas exhiberi possit.
Sumatur iunctio quaecunque binarum variabiliusti v et x, quae sit V, capiaturque integrale fV dxspectata quantitate u ut constante, ita ut posito x O, evanescat, tum vero fiat x a, denotante a quantitatem quamcunque constantem , ut iam J V exprimat functionem quandam ipsius u tantum cui quantitas F a quetur , ut sit 3 IV dx. Cum iam sit
his integralibus pariter ita sumtis , ut posito a moeuanesicant, tum Vero statuatur X a , quaerantur
functiones L , Μ , N ipsius u ut haec Brmula
sat abBlute integrabilis, eiusque integrale ita determinetur , ut posito x a , fiat id in V. Quod si fuerit praestitum , euidens est aequationi dis entio disserentiali satisfacere inmulam assumtam a V dx.