Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

321쪽

Iosa. Si fuerit et m et obri series nostra erit geometrica, aequatio vero nostra erit

Scholion.

Io6s. Imprimis hic casus notari meretur quo est E O , et summa a sine signo integrali exprimi potest; erit namque

et quia si s o fieri debet a ITA erit Const. I An ideoque x-An n-msὶ seu ara A man rvel etiam

quod integrale est Const. M II. R r

et Diuiti su by Cooste

322쪽

Porro perspicuum est , integrationem expediri posse casu h an quo cum sit

ubi Const. α

similique modo etiam integratio casibus E an ν - n etc. absoluetur.

Problema IS .

323쪽

e meientium lege existente -

eius summam per formulam integralem mprimere.

Solutio. -

Formetur huiusmodi formula integralis e V nuPadx Ρdx A-- B v x Φ Cu x' in Du etc. in qua u spectetur ut constans , pro P autem eius modi iunctio ipsius x accipiatur , It fiat

postquam scilicet in his integralibus data lage sumtis variabili ae datus quidem valor merit tributus. Cum igitur hinc sit

Rr a erit

324쪽

Quare cum valor ipsius a sit cognitus, tantum superest , ut functio P ipsius ae conditionibus memoratis praedita inuestigetur. In genere autem esse oportet quae aequilitas, cum lassiciat Ut tantum certo quodam casu quo ipsi x datus tribuitur valor, subastat, Ponamus in genere esse ita ut pro terminis integralibus sit Q o. Disse. rentiando ergo habebimus

seu per diuidendo:

quae aequalitas, cum pro omnibus valoribus ipsius iaeque subsistere debeat, hine duas adipistimur aris quationes r

325쪽

unde dupIici modo tolligimus:

unde fit a

si haec integralia ita capiantur Vt evanestant posito x o, tum vero statuatur', fiet uti hypo thesis nostra postulat

a Quae

326쪽

3 1 Quae conditio si locum habeat, seriei propositae summa ita exprimetur , ut sit:

integrali hoc ita sumto, ut fiat z A posito 3 ci. Hoc autem integrali inuento pro s scribatur ux , et hoc valore ipsius a in illa formula substituto quantitatem v tanquam constantem tractari oportet, quoad illae integrationes lege praescripta fuerint absolutae, tum enim pro ' prodibit iunctio ipsius u summam seriei propositae exprimens.

xo63. Quia in geminatis coefficientibus nostrae seriei similis i lex progressionis assumtur , singulas series A , B , C , D etc. et V, 2b , C etc. inter se permutare licet , unde hoc methodo duplex Ermula summam seriei exprimens obtinetur.

Coroll. 2.

xo66. Etsi functio Q non in calculum ingreditur , eam tamen nosse oportet , quoniam exolus indole termini integrationis constitui debent, i ita Diuitirso by COOste

327쪽

ubi i est numerus integer positivus.

Coroll. 3.

xo G . Pro functione d casus quo Vel μ. vel ν o seorsim sunt euoluendi. Priore quo μzo est

ideoque

Scholion.

Io 68. Constructiones hoc modo adornandae prorsus similes sunt ii S , quas capite praecedente tradidimus , cum res etiam ad formulam integralem huiusmodi s V dx reducatur, in qua V est iunctio binarum variabilium v et x , quarum illa autem uin ipsis integratione constans reputatur, post integrationem vero ipsi x datus quidam valor assignatur. Verum tamen haec constructio ad casus in superiori methodo non contentos extenditur, quandoquidem

328쪽

fieri potest, ut quantitas x lanctimes maxime irruinscendentes inuoluati Vicissim autem vidimus , m thodum praecedentem ad eiusmodi aequationes applicari posse , quae per series, quales hic tractamus, euolui nequeant , unde in Analysim ex hoc fonte haud contemnenda incrementa hauriri posse videntur

Problema I3s.

ro69. Proposita aequatione disserentio - disserentiali xx ais P do Φ se q-ex') o f g sdx' ci valorem ipsius 3 per rumulam integralem construere.

Solutio I.

Hanc aequationem supra 968.ὶ ita in seriem euoluimus ut positos rix A-- Bx Ca: 'H-Dx Ex 'ete. primo exponenti λ tribui debeat radix huius aequationis λ λ- IJa λc- O , tum vero posito breuitatis gratia λ λ- x)b--λe--g α δ fit

ideoque

329쪽

ideoque illius seriei positis binis terminis eontiguis indefinite NE', generaliter

ubi cum denominator iam habeat lactores , quales ante assumsimus, numeratorem quoque in factores resoluamus , quo nihilo aequali posito inuenitur

Ponamus iam P u, et seriem inuentam ita re

praesentemus

horumque duplicium coessicientium lex ita se habebit :

cum Disiligod by Corale

330쪽

ν na et I Ja c. Primum ergo quaeramus quantitatem et , et ne iittera x ambiguitatem creet, loco litterae X in praecedente problemate usurpatae utamur littera i sitisque ut s , et quia est E O , erit per f. I 6 .

Hoc valore inuento tractetur in sequentibus integrationibus quantitas u t constans, et cum quod supra νerat a hic sit', et ι quod supra erat x , erit

ubi cum sit utar x' hic valor statim pro u scribi potest , ut sit