장음표시 사용
351쪽
dus usu veniri vidimus, sed aliam insuper conditionem adiicere licet, quae sit ut posito x ' a fiat etiam p c quantitati datae. His ergo determinationibus constitutis , ut posivo x a , fiat a bet p c , totum integrationis negotium huc reducitur , ut ipsi x alium quemcunque valorem tribu endo , inuestigentur valores respondentes ipsius I et ipsius p , hoc enim si praestiterimus , aequatiouis propositae intςgrale persecte definiuerimus , ut nihil praeterea desiderari possit. Quod cum in genere fieri
nequeat, approximationis ratio in hoc consistit, ut ipsi x valor quam minimum ab a discrepanS tribuatur, qui sit x IzaH- ω, et inquiratur, quantam valores quantitatum F et p a primitivis θ et e sint disere-paturi. Hic pro principio assumimus, dum x m. Gad a-- ω increstit, etiam quantitatum ' et p val TeS tam parum mutatum iri, ut inde iunctio V nul iam Variationem notabilem patiatur. Quare si ponamus , statuenda x 'a , 3 B et prae, fieri UzF, eundem valorem F quantitas V retinere censebitur , dum x ab a Vsque ad a- ω augetur. Cum igitur pro hoc interuallo minimo habeamus Fdae erit integrando p FX--Const. erum, quia posito X a 'fieri debet p e erit peze H Fx-Fa. Sit nunc', atque habebimus p c--Fω , qui effvalor ipsius p , valori ae a. ω respondens. Deviisque pro hoc minimo interuallo erit 6 cdX, ideo
352쪽
conueniens. Quocirca si valores primitivi sint xza, a b et p ε c , eX iisque fiat V F , sequentes valores interuallo quam minimo ab illis remoti
qui si porro ut primitivi spectentur , ex iis simili
modo per interuallum quam minimum progredi licet , sicque tandem prograssus per lateruatim quan tumuis magnum innotescet.
Ioga. Quo minora capiantur haec interualla, eo minus a Vero aberrabitur, dummodo quantitates o et F non sint nimis magnae, sin autem ea adeo in infinitum excrescant , manifestum est errorem inquantitatibus I et p insignem commissum iri.
ao8 . Si quantitas e vel F fiat vehementer magna , interuallum quo a vel p crescit pro dato accipi potest ; ita posito cω erunt sequentes a-IOres , I bH- y et p c - . At si Fiprodeat quantitas permagna L Valor ipsius p intervallo minimo augeri sumatur, ut sit Fωα p.
353쪽
xogs si b sit quantitas infinita , pro Valore proximo ipsius 3 expediet definiri
quae expressio ut sit finita , ctiam quantitas e infinio sit oportet ; alioquin xalor ipsius ν ret pondens non solum ipsi x Iza sed etiam ipsi X a --iu maneret infinitus.
Io 86. Quoties soluto alicuius problematis pendet ab integratione cui ubpiam aequationis disserentialis secundi gradus, toties conditiones problematis binas determinationes suppeditare solent ; quarum altera, dum ipsi x certus quidam Fator X atribuitur , exigit ut ν datum valorem b, altera vero ut etiam . ratio A. p datum valorem p cconsequatur. Quodsi ergo in gknere aequationem quandam disserentio - di&rentialem intcgrare velimus, integrationem ita inllituere licet, Ut posito arma , fiat γ' b et p- c , quantitatibῶ a . , , c ab arbitrio nostro 'ndentibus. Interim tamen quandoque su Venire potest , xt posito x a, valores ipsarum 1 et p non penitus ab arbitrio nostro p noeant, scd ex natura aequationis iam datos valores fortiantur , quibus casibus descetus determinationis aliis condit o nibus compensatur. eluti si proponatur haec acquatio:
354쪽
quomodocunque ea per integrationem determinetur , posito x o necessario fit 3 a et Amp b , ita ut pro casu ae ' O Valores quantitatum F et p minime arbitrio nostro relinquantur. Integrale autem
etiamsi constantes A et B pro lubitu assumantur, tamen semper posito x o prodit =- a et p-λHuiusmodi ergo casibus mirum non est , si pro dato ipsius X valore , quantitum a et p valoreS arbitrio nostro haud permittantuI.
Io 8 . Exposita ratio aequationes disserentio disserentiales per approximationes integrandi , dum per interualla minima progrecimur , quemadmodum etiam in aequationibus dissirentialibus . primi gradus kcimus , certis casibus difficultatibus inuoluitur, ut
nisi remedium afferatur , in usum Vocari nequeat. Primum hoc euenit , quando cra , tum enim quantumuis exiguum accipiatur interuallum ae , neque ipsius γ neque ipsius p valorem cognoscere licet. Simi'e quoque incommodum turbat si positis X a, b et p c functici V fiat infinita. idemque prodeat F oo, quo casu valor ipsius p non definitur. Deinde etiam casus quibus vel o vel Fevanescit, icoisim tractari colΗlenit : etsi enim tum valcares ipsiarum a ct p satis acci rate ostenduntur, tamen quia nullam mutationem patiuntur, dum mutatio sitiet Corale
355쪽
ditio altiore ipsius tu potestate inprimitur, hanc ipsam mutationem inuestigari utile est , quo in progressu minus a Veritate aberretur. Sin autem quantitas b euadat infinita, iam animaduertimus, Imo ipsius a eius reciprocum explorari debere. Quemadmodum ergo dassicultatibus ante memoratis sit Occurrendum , diligentius perpendamus
Io 88. Si integrationem per interualla instituendo, pro initio cuiuspiam interualli posito x a, F b et p c eueniat, ut quantitas c sit vel eua nescens vel infinitia , integrationem per hoc intervallum absoluere.
Praecedens approximatio dederat a q-c x a)πnde si e . o , incrementum ipsius y altiore potestate ipsius x a exprimetur , scilicet Izb-ΡΑ x-apexistcnte λ - I , reiectisque altior bus poteritibus , quae prae hac ob hateruallum X a minimum recte contemnuntur. Sin autem sit em o va'or ipsius νsimili modo repraesentari potest , a b -A x-a existente λα x, ita tamen ut nihil O sit maior; viroque ergo casu eadem inuestigatio est , ut ex aequa tione proposita θ V dx tam coessiciens Λ quam exponens λ definiatur. Iam ex illa aequatione deducimus
356쪽
ac necesse est eandem expressionem resultare , si in formula V dx statuatur F'b--A X--a' et Ii αλβί-a λ ; unde euidens est, sorec o , si λγI et o oo, si λς x. Cum iam V sit functio ipsarum x , et p , pona.
tur ubique x a nisi quatenus formula x-a inest,
quae re inquatur , tum vero γ b , nisi hinc prodeat V ci, vel V hoc enim si eueniat prosvalor ,-- A X - a A scribatur, similique modo propscribatur λAίχ-aὶλ . Reliciantur autem formulae X a pol states altiores prae inferioribus, sicque pro Vorietur ex primo huius formae C sx-a' , quae formulae λίλ- 1 Asx- a aequari debet, unde tamco Sciens assumtus A quam exponens λ definietur, linoque vero proximi valores a b -- A x-a' et ρ - λ Asa: - a innotescent , qui eo minus a veritate recedent, quo minor differentia inter a et X constituatur. Casus autem quo λ I per se est peripicuus , atque in Praecedente problemate pertractatus, cum is sit solus quo quantitas o sinitum nanciscitur valbrem.
To80. si eueniat vi poseo e 'oo, quo cassuesse debelait λα i , iunctio U finitum obtineat valorem , cui formula λίλ- I)Asa: - a λ aequari nequit
357쪽
a snequit, calas per se nihil habet dissicultatis, et valor ipsins a etiam pro minimo excessu ipsius x super a reuera infinitus euadet.
1oso. Facilius hoc perspicere licet ex eXemplo Ο 6xdae unde fit
Si ergo constans e sumatur infinita , valor ipsius ysempcr erit infinitus solo excepto cassi x a.
1o9I. Sin autem sumto c o, quo casu esse debet λ x, functio V finitum lubeat valorem eumque adco constantem, posito x a et b, et formula λ λ- IJ A X-a' aequabitur sumendo λ a, et 2 A illi vali ri constanti. Veluti in praecedente exemplo fit V Ga a A , hinc A -aa , critque proXI me F bH ac x- a)' ; quod etiam congruit cum integrali inuento , quod posito c- ta est a b - - 2a - 3 a a vina' bin X staὶ x - a ', quae expressio facto x Iza in illam abit.
358쪽
Io 92. Posito e o functio V si in ea scrῖ-batur X π a , y b et p-c O , Valorem nanciscetur vel infinite magnum , vel finitum , vel adeo evanescentem. Primo casu, quo fit V - , ut ei
acquari possit λ λ-x Asumto necesse est sit λ α et , existente λ γ I ; ut autem hinc quantitates A et λ definiantur, in functione V scribi
itemque x Iza, nisi ubi formula x-a occurrit ; hoc modo quia per hypothesin cassu X a fit V - ω ,
ne prodeat λα I , qui casus cum c o subsistere nequit. Secundo casu quo prodit V quantitati finitae, capi oportet λ et , sin antem tertio casu sit V m o, sumi debet λγa, ut eius valor in formula λίλ-xJAsx-at ' contineatur. At si debeat esse czzoo, fieri nequit ut vidimus , Ut fiunctio V finitum obtineat valorem, multo minus evanescentem, nisi quidem casus incongruos, quibus νperpetuo maneat infinita, admittere velimus. Tum igitur functio V necessario valorem infinitum induit, cum sormula λίλ-i JA x-a Α ' comparandum ita ut sit λ cI. Hinc igitur patet, determinationem quantitatis o non semper arbitrio nostro relinqui, sed quandoque ex indole ipsius aequationis nobis prae-
359쪽
scribi. Veluti si proponatur hae aequatio do . . erit E p A- Aran et Ynde
quatio integralis omnino in infinitis versetur , litterae B et o non possunt non esse infinitae.
1o93. Non autem omneS Ordines infinitorum et evanescentium in formula sX-ajΑ casu X a, contineri iam obseruauimus ψ eXpressio scilicet x xlx casu Xzo, infinities inperat potellatem secundam a , interim tamen infinities minor est potestate xy' , quantumuiS etiam exiguae mustio α accipiatur. Quares in superiori soIutione formuIas ita instruere veli mus , ut ad omnes ordines tam infinitorum quam evaneIcentium rateant, statui conueniet: a b --A A a ,
360쪽
quae expressio cum functione V postquam in ea scripserimus a' a , y c et p c , Du potius
comparari debet , Vt inde tam constans A quam exinponentes λ et μ innote cant. Haec ergo tenenda sunt in ista inuestigatione , quo ea ad plures casus extendatur.
1o9φ. Approximationem ante expositam accuratius persequi, ut sumtis intcruallis etiam paulo maioribus minus a Vero aberretur.
Posito G pdae aequatio differentio - distore1-tialis hac forma V exhibeatur , eX qua ante pita di finiuimus quasi V esset quantitas constans, pro interuallo saltem vehementer paruo, Vnde Obtinu, mus prac--V x--α postquam scilicet in V po. suerimus X a , et ν b , et prac qui sunt valo. res primitivi per interuallum X a tu retinendLCum autem functio V interea non sit constans quia x , y et p inuoluit, reuera erit