Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

341쪽

at posito -- s, quaeri debet a ex hac aequatione L

vt posito s o fiat z A quo facto erit

oritur constructio:

omnino ergo sedecim coustructMnes sumus conisutia

xo 6. Periculum faciamus ostendendi, quomodahae constructiones , quae magis arduae videntur, ae quationi propositae satisfaciant; atque in hunc finem eligamus constructionem posteriorem No. 4. quae habet

haec per sv I - s) multiplicata praebet integrale:

Iam ut posito 3 π o fiat zz A debet esse B-- aut sit

342쪽

hincque

quod integrale est

vel etiam hoc modo: - Expressio

343쪽

Expressio autem ista fit o primo si x - r , deinde etiam si , unde Valor pro a inuentus: I ' . , tae Π ita per integrationem definiri debet, Ut evanescat posito V o; tum vero ponatur im-I. Vel posito

να D f A I integrali ita sumto Ut evanescat posito v O , tum vero facto Um I. Exemplum hoc sussicit ad ostendum quomodo constructiones exhibitae aequationi disserentio - dicturentiali satisfaciant ; interim Vero si quantitas a transcendenter per Iogarithmos scilicet exprimitur, consensum nonnisi per calculos nimium taediosos declarare licet.

Problema I 36.

Io T. Posito a C f x -μι)' sa --t xydi , in qua integratione quantitas x vi constans specta- tui, integrali per terminos deinceps in stigandos definito , ut ' aequetur certae sunctioni ipsius x , inuenire aequationes disserentio - differentiales sermae V- 4 Hi sui ea iunctio satisfaciat. Solutio.

344쪽

a a s C A P U T XI. Solutio.

Cum sit ex principiis ante stabilitis:

erit

quae formula sumta x constante absolute integrabiis esse debet. Ponatur ergo integrale

346쪽

tractata X It constante, dummodo integrationis teris mini ita constituantur , ut utroque haec expressio: h Pa-F. x euanescat. Notari autem oportet hos terminos non ab X. Pendere debere. Primo autem patet hanc eXpressionem fieri mo casu ια-I , si modo sit νγ o. Deinde posito ι Tria etiam evanescet, si modo sit νε x Φ Inumeras negativus seu ν--λco. Quocirca si sit et ν--λα Θ, integrales C f I tr a ι xydrita capi debet, Ut posito x'-I euanestat , tum. ero statuatur ι' , functioque ipsius x pro a resuItans satisfaciet aequationi propositae.

Io 8. Quoniam iunctiones P et Q in rmu- Iam integralem pro I assiimiam , non ingrediuntur, manifestum est eandem formulam satisfacere Omnibus aequationibus disserentio - disserentialitas, quicunque valores litteris P et Q tribuantur.

347쪽

latisseeli etiam huic aequationi disterentiali primi gradussa a ) xθ -- νa λxὶν dx o. Huius vero integrale est

qui ergo valor quoque in genere nostrae aequat'onidissirent O- diflarcntiali satisfacit, id quod leutanti mox Patebit.

Togo. Hic ergo valor integralis secundum terminos definitos sumtus congruere debet

1 3I. Parum ergo integratio hoc proHemate exhibita habet in recessu. Verum reductio sormulae integralis

eo magis est notatu digna , ad quam illa reducitur, si integrali ita sumto ut evanescat posito - I , V v a pona-

348쪽

ideoque haec formula ita integrata ut evanescat posito aro si tum ponatur zzoo hanc induet mrmam se , in qua A quantitatem constantem denotat ab v non pendentem. Pendet autem ab exponentibus μ et ν, lege ex casibus facile obstruanda.

Scilicet posito

si sit ν i , integrale illud praebet

et Diuitiaco by Coosl

349쪽

et Polito z- , prodit Ποῦ, ita ut hoc tala sit Λ' Si sit ν a, integratio quoque succedit, reperiturque A . si M a fit A

et fi ν fit Am ---- genere concludimus ire

nde is in

Quare integratione secundum regulam praescriptam instituta erit μ-ΡΙ μ- - 2 μ-ka i u Quod si exponens ν non merit integer, valor ipsius Aope interpolationis huius fior mulae per sectores pro cedentis definietur. Quadratura scilicet circuli ingredietur si exponens ν fractionem ἰ inuoluat, de huiusmodi autem interpolationibus alibi iusius egimus , ncque hic locus est hoc argumentum uberius prosequendi. Restat ultimum huius siectionis caput . quo aequationum differentio - disserentialium integratio per approximationes docebitur.

V v a CAPUT XII.

350쪽

AEQUATIONUM DIFFERENTI

DIFFERENTIALIUM INTEGRATIONE PER APPROXIMATIONES.

Problema III.

Ρroposita .aequatione differentio - differentiali quacunque, principia explicare, ex quibus integrationem per approximationes peti oportet.

Solutio.

Versetur aequatio proposita inter binas variabiles x et I , ac posito o Idx et qdx, dabitur aequatio inter quatuor quantitates X, γ, p et ς, ex qua q ita definire licebit, ut q aequetur functioni cuidam trium quantitatum X, ν et p, qua vocata T vst ρ V seu o V dx. Hic primo obseruandum est integrationem , ut sit determinata , duplicem determinationem requirere , seu duas conditiones quasi pro lubitu praescribi posse , quibus satissectat. Milicet non lassicit, ut posito fiat ν b, quem admodum in aequationibus disserentialibus primi gradus Disitigod by Corale