Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

371쪽

3Ioa. Quia constantes α, β, Y ete. ab ar- ritrio nostra pendent, stactiones tuto reiicere licet, eritque Formularum Integralia

1Ioa. Quoti ergo ordinis est formuIa disse. Tentialis , totidem constantes arbitrarias eius integrale completum complectitur, quas pro quouis casu oblato secundum conditiones praescriptas definiri oportet.

Scholion I.

IIo . Ponendo o p dx , 'qdX, dg rdae, drras dae etc. Omnes aequationes disserentiales altio rum ordinum ad quantitates finitas reducuntur , in quibus.nulla amplius ratio eius elementi, quod constans assumitur, habetur. Atque hinc Brmae omnium aequationum disserentialium sequenti modo repraesentari possunt :ZE a Aequa-

372쪽

Aequationum differentialium I. gradus II: gradus III. gradus IV. gradus,

bi quantitates F, si, g, r, s etc. ita excludendo a se inuicem pendent , ut cum sit

ex quibus porro ob Iado Oz Oda istae concluduntur :

373쪽

Hine porro definitur Ddu au uo, at gra es , unde Dduz u-Ddι Tu, tri-qF- rr. Quare si differentialia iterum introducamus, obtinebimus sequentes formulas integrales:

etc.

ita ut fiormula Dd, sit integrabilis , quoties v est

numerus impar.

Scholion O.

IIos. In aequationibus ditarentialibus secundi gradus sermas simpliciores ita constituimus, Ut qaequetur functioni vel ipsius x tantum, vel ipsius a vel ipsius p , quas litteras maiusculas pro iunctioniabus minuscularum scribendo , ita repraestntare licet ,

Hinc simili modo pro aequationibus disserentialibus tertii gradus fiormas simpliciores constituere possumus: r X; r Yr Ρ; r Qita ut tantum binas quantitates variabiles inuoluant.

374쪽

Pro quarto autem gradu essent Brmae simplicioresis X έ s Y r, 1 P; ἔ- ῆ β Ret pro quinto :

atque ita porro pro superioribus. Verum hae Drmae non omnes aeque integrationem admittunt, dum aliae ne semel quidem, aliae semel tantum , aliae per omnes integrationes usque ad re- Iationem inter x et 3 perduci possunt , cuiusmodi sunt primae quaeque in quovis gradu. Semper autem id est propositum, ut relatio inter binas varia-hiles principales x et 3 eliciatur.

Problema I I.

xxos. Posito O pdae , 'ρ dx, dq νdx,ἀr sdae, ds ι dx etc. pro quouis disserentialium gradu , si litterarum p , q , r, 3, 1 etc. quaepiam aequetur functioni ipsius x , quae sit X , inuenires elationem inter x et F.

Solutio.

Si primo sit p X, per dx multiplicando erit pdx dν X dx , hincque a fX dx , qui est casus formulium dissirentialium primi gradus simplicium.

375쪽

ac tandem

xxo . Tot ergo habentur Brmulae integrales, quoti gradus aequatio fuerit disserentialis, et quia quaelibet constantem arbitrariam assumit , totidem constantes in integrale ingrediuntur, quibus id completum redditur ; quod idem ex priori mrma , ubLtotidem signa integralia implicantur , intelligitur.

II 8. sumto elemento dX constante, sequentium Ermularum more consueto expressarum integralia Diuitiam by Corale

376쪽

Scholion.

II p. Formulas autem, quas supra secundo Ioco constituimns , functionem Y complectentes, post secundum gradum integrare non licet. Ex tertio enim ordine formula r Y etsi nouimus esse

nullo modo integrari potest; neque etiam hinc ρ per 'determinari potest. Nam sumta sorma pdq Yo existente p 'qo ob p - , erit hincque p elidendor

quae Dissit rod by Corale

377쪽

CAPUT L

quae quidem aequatio est secundi gradus , sed neuti quam in genere resolutionem admittit. Ex quarto genere formula s Y , ob Ddm pr - qq Yo semel integrari potest, sed hinc ulterius progredi non liceti Quas autem supra pro quovis gradu --

mulas simpliciores vltimo loco constituimus itemque penultimo, eae tractabiles deprehenduntur et earum ergo integrationem inuestigemus.

Problema I 2.

IIIo. Posito ut hactenus θ pda , o go,dρ r dx etc. litterae Y, Ρ, Q, R denotent functiones cuiusque litterae minusculae cognominis. ia- vestigare integralia harum Ermularum simplicium p Y, q' P, r Q, s R , t s etc.

Solutio.

Aequatio prima ob statim dat dx-- ideoque X 'Aequatio secunda ρ α Ρ ob g - praebet dx fi et o ML, unde cum P sit functio ipsius p, utraque variabilis x et I per p determinatur hoc modo

378쪽

Quare per eandem variabile n ρ utraque variabilis x et I ita determinatur, ut sitv x fis et

Aequatio praebet: quinta tIT S simili modo tractata

sicque facile ulterius progredi licet.

II II. Ex formula sccunda intelligitur, si x aequetur functioni ipsius p , ut sit at Ρ , mres Od P P , quod quidem per se est manifestum.

a. Sin autem sit a m Q ob dx ad erit

siue Diqitigod by Corale

379쪽

siue hoc modo

III . At si fuerit x S reperietur per simi-Ies reductiones:

hinc ergo per disserentiationes retrogrediendo d

III s. Iisdem manentibus denominationibus, quibus hactenus sumus usi, inuestigare integralia Aaa a harum

380쪽

a re

Solutio.

Pro Brmula prima q Y; cum sit q-

unde colligitur X f sicque x per F deter

minatur.

Vnde concludimus

et tola At est sin, unde fit QTyκὰ . Est Vero etiam ades ue