Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

361쪽

CAPUT XII. as

et nune quantitatem P -- p RV Vt constantem spectemus , cuius valor prodeat ponendo X a, I bet p'e , quo facto V in F abire supra sumsimus, eritque

smilique modo approximationem ulterius prosequi licet. Quando autem quantitates P , Q, R et Vmrmulam x-a eiusue potestates complectuntur, quam non amplius ut constantem spectare licet, eius Ta tio in integratione est habenda, qua fit ut in serie bus approximantibus formulae x a potestates ninordine ascendant. Tum igitur conueniet pro p eius modi seriei initium assami: p ς-- A X- , unde fit a b --c X - a H--ay et quia

huic Brmulae aequari debet iunctio V, postquam in ea pro I et p Valores assumtos et a pro X, scrip- serimus, nisi sormula x-a ingrediatur , hoc modo tam exponens λ quam coeffciens A determinabitur. Si e sit m o vel - - , eius ratio potest in calculum introduci Vt ponatur

362쪽

unde fit qui valores si loco X et p substituantur in iunctione Vprodire debet ny lx - a)' ' -- λ A lx a '

Coroll. I.

xoys. Hoc modo per interualla continuo vi-terius progredi licet, dummodo singula non maiora accipiantur , quam Ut errores commissi maneant ininsensibiles; atque hac quidem correctione errores illi diminuuntur , Yt interualla etiam maiora statui

Io 96. Pro primo scilicet interuallo valores Primitivi x π a , F b et p c pro lubitu assumuntur , et vaIores in fine interualli inuenti praetent valores initiales pro secundo interuallo, ex quibus calculus pro hoc interuallo perinde expeditur ac pro primo ; sicque continuo vlierius est progrediendum.

Scholion.

Ios . Huius problematis duplicem Elutionem dedimus, quarum prior etsi latissime patere videtur, certis tamen casibus in usum vocari nequit; iis ergo altera solutione uti conueniet. Existunt autem

-' - . tantum

363쪽

tantum plerumque paucissima eiusmodi interualla; quae posteriorem methodum postulant, dum reliqua omnia ope prioris expedire Iicet. Euenit hoc quando pro quopiam interuallo quantitates V et o vel eua-nestunt vel in infinitum excrestunt; quin etiam fieri potest , ut quantumuis exiguum interuallum accipiatur , quantitates F et ρ variationibus infinitis sint obnmiae, quarum repraesentatio determinationem prorsus singularem requirit. Veluti si proponatur haec aequatio do avis, o, interuallum ab aenovsque ad X ae , etiamsi tu quam minimum assumatur, infinitam mutationem in valoribus F et pindicat; id quod ex eius. integrali completo perspicitur , quod cum sit

valorem esse incertum. At ipsi X Valorem quam minimum tribuendo , a quidem minimum retinebit valorem , sed qui pro minimo interuallo, modo sit positiuus modo evanescens , modo negativus , oh maximam mutationem , quam i x patitur , quantitas autem p interea transit per omnes mutationes possiohites. Idem luculentius perspicitur ex hoc exemplo

364쪽

euius integrale completam est να Asin. - α); dum enim x a o ad ae crescit , angulus π α ab infinito ad finitum transibit, eiusque sinus interea omnes mutationes ab in I ad - I infinities adeo subiit. Quando ergo eiusmodi interualla occurrunt, mirum non est, si consuetae methodi approximandi deficiant, quippe quae hoc principio innituntur, quod mutationes per interualla minima , sint etiam valde paruae; his autem interuallis exceptis solutio praescripta semper cum usu adhiberi potest.

Exemplum I.

Io93. Proposita aequationae edX Η ' O , eius integrationem per approximationem absoluere.

Cum ergo sit , erit quare si pro initio interualli sit X a , ν', et p'c, inde tantillum progrediendo, per solutionem priorem

bebimus:

a b c x-σὶ - -B x-σὶ Sumto ergo x arae, pro interuallo sequente erunt Mores initiales:

365쪽

sequente colliguntur. Verum si pro quopiam intervallo fiat a 'o, operatio peculiari modo institui debet. Posito scilicet pro initio huius interualli

tui nisi sit hamo satisfieri nequit; prodiret enim λ et A' - , Vnde concludimus poni debere Ax x xt sit p ADΦA et hinc A - r. Verum quo hinc p accuratius cognoscere Iiceat statuamus I bH-AXIX Bx, erit p- AIX-- A--B et 1 unde concluditur ut ante A et B manet indeis terminatum : ita ut sit a b - lx--BX et p' 'Ix- --Bnisi ergo sit casu Xzzz O , quantitas c necensario est infinita. Quamobrem si interualli initidi sit x o , F-b et p-- , pro eius fine et initio sequentis erit X-ω ἐ I b--et ρ piae.

Exemplum I.

366쪽

c ΛΡVT XII. Cum sit

Hinc si pro cuiusque interualli initio sit aera, γ' b,

unde calculus por interualla facile continuatur, dum ne sit amo. Hoc autem casu quo a o, dissiculter interuallum computo definitur , quia tum fieri nequit, ut quantitatibuS b et e dati Valores tribuantur , id quod inde facillime intelligitur , quod aequationis propositae integrale completum est

CALCULI

367쪽

LIBER PRIOR PARS SECUNDA

VNIVS VARIABILIS EX DATA RELATIONE DIFFERENTIALIUM SECUNDI ALTIORISUE GRUUS.

TIMIUM TERTII ALTIORUMQUE GRADUUM QUAE DUAS TANTUM VARIABILES INVOLVUNT.

369쪽

INTEGRATIONE FORMULARUM

DIFFERENTIALIVΜ TERTII ALTIORISVE GRADUS SIMPLICIVAL Problema I O.

Sumto elemento dx constante inuenire integraIe

completum harum formularum d'ν'o, d γ' o, db O etc. atque in genere huius db - Ο.

Solutio.

370쪽

) F lex x'--ἰβX'-- YX--δ. Ex aequatione autem PF o, integratio quinquies repetita dat ra - 4 α P - - : β x' -- ξ γ P -- δ X ἡ- e. At huius aequationis ramo integrale colligitur: Izzziti αδ-ήγxsicque ad huiusmodi formas QP o , quanticumque suerint gradus progredi licet, dummodo n fuerit numerus integer positivus.

Iro I. A simplicissima Erma ergo incipiendo integralia sequenti ordine procedunt: Formularum Integralia completa sunt