Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

381쪽

1136. Hi sunt casus , quibus sermulas illas simpliciores, supra recensitas resoluere licet , neque methodus patet, qua reliquae tractari queant. .Μulis Pauciores occurrunt casus tractabiles in Ermis magis

compositis, ubi aequatur functioni hinarum pIariumue quantitatum variabilium , Ob quam penu Tiam parum admodum suppetit, quod in hac sectione eXponer Meamus. Aequationum autem , quae per methodos adhuc inuentas tractari possunt, haec fiere est Brma generalis

382쪽

Deinde vero etiam aequationes hac Brma latius patente contentae resolutionem admittunt: AIH--D r-H E s- etc.. X denotante X functionem quamcunque . ipsius X. Porro quoque sequentes Ermae , quae quidem ad illas reduci possunt, ad integrationem perduci possunt:

quarum reQlutio adeo succedit, ad quantumuis gradum etiam differentialitas assurgat; in harum ergo aequationum euolutione tractatio nostra versabitur.

383쪽

RESOLUTIONE AEQUATIONUM

Problema I l.

equationis differentialis tertii gradus rsumto elemento dx constante , integrale completum

inuenire.

Solutio.

Cum A , B , C, D sint quantitates constanistes , leui attentione adhibita , patet, isti aequationi huiusmodi formam satisfacere ι cum enim hinc sit

384쪽

a unde exponens λ. determinatur, qui cum tres va-Iores irtiatur , qui sint α , g , Y habebimus tres fiormulas satisfacientes FGeμφ ό ν δ' ἔ I er . Verum ex natura aequationis propositae perspicuum est, si ei satisfaciant valores Ita P , F Q, I R, etiam his utcunque coniungendis satisfacturum s m S P -- T -- g R. . Quare ex ternis formulis inuentis nanciscimur hanclatissime patentem aeque satisfacientem quae Qrma cum tres constantes arbitrarias Ccomplectatur , reuera erit integrale completum aequationis nostrae propositae.

Coroll. I.

I III 8. Integrale ergo completum tot constat partibus, quot radices habeat seu factores aequatio A Bλ .cλ' --Dλ' mocuius si factor fuerit aΦλ, pars integrali, erit e .

Coroll. 2.

385쪽

quaerantur valores ipsius ν ex his aequati nibus simplicibus υ--2 γ, y a P, qui si sint 3 P , I Q, I R, integrale aequatio nis propositae erit .a a P - - 5 --ER

xxa o. si binae radices sint aequales puta βτα, eonsideretur differentia ut evanestens βαα ω , et cum sit euidens est loco scribi deberet HEU x R--Bxὶ , ac si omnes tres radices suerint aequales α β γ, t aequatio sit:

xx xx. Si binae radices fiant imaginariae, ut sit a FLΦνν- I et νγ -a, loco scribi debet

386쪽

II et et . Quanquam aequatio proposita triplicem integrationem postulat, antequam ad relationem finitam inter x et a perueniatur , hic tamen una operatione , quae ne integrationi quidem est amnis , eo pertigimus. Coniectura sci Iicet sormam collegimus aequationi particulariter satisfacientem, simulque tres huiusmodi formas sumus consecuti. Deinde

ex ipsia aequationis indole intelleximus, si valores singuli P , 3 Q. y R sttisfaciant, etiam foris mam ex iis compositam amis P -- BQ-DER satis facere debere , quod nisi commode euenisset, ex illis ternis valoribus nihiI amplius concludi potuisset. Ex eodem ergo principio in genere huiusmodi aequati nes differentiales , quoticunque fuerint gradus , uno quasi actu ita resolui poterunt, Vt adeo integrale

completum assigneturia

Iras. Quoniam aequationem disserentialem tertii gradus in genere resoluere licuit , ut integrale completum

387쪽

cubicae AH- Βλ -H Cλ- Ο , hinc Vsum non contemnendum pro aliis aequationibus , in quas illam transformare licet, percipiemus. Primo autem illam aequationem ad di fierentialem secundi gradus reuocare licet ope substitutionis I 'μμ; nde fit

388쪽

detur, erit primo tum vero tob t. Loco ν ergo substituto valore supra in ento erit

ιευ - a.- me in E in dummodo α , g, Y sint radices ex hac aequatine A--Bλ Cλ' Dλ' o. Obseruari autem conuenit lillam aequationem posito ν--uu z , abire in hanc formam A--Bu in a C--Du -- Usa vu)z: o quae latius patere Videtur , quam illae eiusdem generis aequationeS , quas supra tractauimus ψ cuius , quia ratio per methodos cognitas integrandi non constat , resolutio sacillime instituitur ponendo

ideoque

sicque

389쪽

euius resolutio est ostensia.

Vtrinque autem diuisor iste nihilo aequatus praebet integrale particulare, Vnde cum ι Vel a ternos ob tineant valores, singuli exhibebunt integralia parti cularia. Hinc operae pretium erit. in genere aequationem

390쪽

inuestigare quae per formam -- Laa -- -- Ndiuisis integrabilis euadat. Per operationem autem supra explicatam inuenitur: L arax; dM. PLG aQ5; dN aQLta et PN-QM o 'unde colligitur:

Verum commodius, ac singulari quidem modo illae aequationes restituuntur , statuendo N - αZ' et L unde sumto clemento de constante deducitur Mae . hincque

Quocirca sumto Σααz' -- β Σ' -- γα -- δ haec aequatio