장음표시 사용
391쪽
integrabilis redditur diuisia per hane formam :I H-γ.dE F. - - α ZZ. Praeterea si Z habeat factores ut proposita sit haee aequatio:
diuisor eam integrabilem reddens erit
cuius singuli factores nihilo aequati praebeat integrale particulare. EX Vnc quoque autem, more magis consueto integrale completum ita elicitur. Ponatur
st porro do pda eritque υ-, et differentiando Iocoque do ponendo pda, orietur haec acquatio
II et s. Aequationis differentialis cuiuscunque gradus
392쪽
sumto elemento dx constante , integrala completum inuenire.
Et huic aequationi euidens est satisfacere Hrmulam a P , cum enim hinc sit
Pyet in genere L p Me φ, facta substitutione peris Venietur ad hanc aequationem , postquam scilicet per H diuiserimus: A--Bλ CP - Dλ' Ex H- etc. ex qua valorem . ipsius λ definiri oportet. Hi littera λ totidem valores obtinebit, quoti fuerit ordinis aequatio differentialis proposita , quorum singuli aequationi aeque satissectent. Qui valores si sint α , β , Y , δ etc. integralia quidem particularia erunt a Se ; F E έ IITCH etc. Verum ex ipsa aequationis natura perspicuum est aggregata quotcunque horum valorum , ideoque etiam omnium perinde satisfacere. Cum igitur ag-Fregatum omnium: ν α et e -- 2b DE H - - tD e etc. tot complectatur constantes arbitrarias V, 2b, E, Deae. moti ordinis disserentialis est aequatio proposita, quin haec inma eius sit integrala completum, dubitari nequit. Diqitiros by CO le
393쪽
nequit. Ascendat aequatio disserentialis ad gradum n t sit
atque integrale completum ex n partibus constabit squas ex resolutione huius aequationis algebraicae Ordinis n , sicilicet AH-Bλ--CU Dλ -- ..... -- NM Odefiniri oportet. Singuli nimirum eius factores simisplices partes illas patefacient, ita si factor sit α λex eo integralis pars nascitur RH . quae uti ma- nilastum est ex integratione aequationis differentialis simplicis o nascitur. Simili modo duo mores coniunctim
integralis portionem ele' H e-φ suppeditant, quae simul est integrale huius aequationis disserentialis secundi gradus
Atque in genere si aequationis illius algebraicae sa-ctor sita H- b λ -- cx-fλ -- etc. Ο , ex hoc vicissim formetur aequatio dictrentialis:
culus integrale completum si sit I P , id simul Vol. II. C c c erit
394쪽
erit pars integralis aequationis propositae. Atque hoc modo ex singuis laetoribus aequationis algebraicae A -- Βλ--Cλ' - - D λ -- --- Nλ' cideriuabuntur singulae partes integralis quaesiti, quae iunctae eius integrale compi tum constituent, ita ut praecipuum negotium resolutioni huius aequationis
odis. si igitur istius aequationis algebraicae omnes Betores simplices fuerint reales simulque inaequales , integratio nullam habet dissicultatem. Si enim laetor simplex sit f -gλ , integralis pars inde
xx div. si bini factores simplices sint aequales stu actor fuerit Ρ-gλὶ', pars integralis inue oriun-
inde oritur pars integralis e ε N -- TY-Sx'ὶ , et ex iactore biquadrato f g λὶ' huiusmodi pars
et ita porro pro quotcunque Betoribus aequalibus uti ex s. II sto. colligere licet. CoroII. a. Disitiroci by Cooste
395쪽
IIa 8. Si factores occurrant imaginarii, bini eoniuncti exhibent factorem trimmium realem, cuius Drma ita repraesentatur f se an λ cos. ζH-ggλλ , unde deducitur
quo cum f. IIII. collato sit et ν-QU
Ex quo pars integralis ex tali factore oriunda luit
xxas. Si huiusmodi mrmae quadratum inter
seu duo huiusmodi factores sint aequales, considerentur quasi infinite parum discrepantes , ut in aIuro loco , sit ; et ob I - ω ὶ -fa .c
396쪽
unde illae constantes Vtique determinantur , eritque pars integralis respondens:
IIIo. En ergo uniuersiam methodum huiusmodi aequationum differentialium integralia inueniendi
m , dbita in compendium contractam. Scribatur ut iste laterculus indicat: loco Idy
l oriatur haec aequatio algebraica A Ba C et D et Ez'H- . . . . Nz' O cuius Digiti ou by Cooste
397쪽
euius singuli factores reales, siue simplices siue duplicati notentur, atque insuper casus quibus duo pluresue sunt inter se aequales probe obsieruentur. Tum cuiusinodi partes pro Integrali quaesito ex singulis factoribus oriantur, ex sequente Tabella intelligere licet: FactoreSPartes integralis
Pro singulis autem sectoribus diuersae litterae eonstantes scribi debent , ut integrale omnibus numeris completum obtineatur.
II a T. Aequationis disseremiahs quarti gradus t
398쪽
quae in hos factores resoluitur r- Σὶ ἔ aa quorum prior Ob stata I et g - I praebet lianc partem integralis sa - - 2b eles, alter vero factor ob DI; cos. ζα o ; g 1 et sin. ζ I dat: Ucos x in B sin. X. Quare integrale completum , quod quaeritur , erit .a S -- 2b xj e -- Ecos x D sin. x continens quatuor constantes arbitrarias. Quod si velimus Vt posito x o , fiat F o, fieri oportet VH E o , si etiam θη eodem casu evanescere de heat , ob v ses in B --Σx ' - E sin. x-- D cos. X fieri debet e--m--D o. Si praetera eua nescere debeat , ob
fieri debet ei a B - o. Quare his tribus con ditionibus satisfaciemus sumendo Em-2s p B - aet D O , ita ut sit integrale: a eis I - x)e - 2scos X.
II 32. Aequationem disserentialem quarti ordinis
399쪽
quae semper duos fictores duplicatos reales habet , quorum Drma duplex esse potest: vel saa amaz naz saa- amaz--nzz
A a'; C m anaa- mmaa ἔ E nn ex posteriore ero Ama'; C sm- n)ga ; Em mn semper autem terminum primum A biquadrato repraesentare licet, et prior re Iulio lacum habet , si E sit numerus positivus, et anaa-C seu a VAE quoque positivus, ideoque AE , CC. Posterior vero si CCQ AE. Tum igitur videndum est, ad quamnam classem singuli laetores pertineant, unde sequentes calus occurrent: L Si omnes quatuor fictores simplices sunt reales , erit
haec habebitur aequatio: aabby- a σε bb)ἴς - - εὐαγ ius integrale completum est :
400쪽
II Si duo sectores simplices sint reales, duo vero imaginarii, erit A CzzΦΕΣ' sa - Σὶ a a) bbina a)haec habebitur aequatio:
culus integrale completum est: ma es inde 'φΦEcos. b x ε D sin. b x. III. si omnes sectores simplices sint imaginarii, duo casus sunt euoluendi: x) si Aq-CzΣ--ΕΣ aa Φ zz bbΦααὶ unde huius aequationis