Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

401쪽

Scholion I.

IIaa. Cum igitur aequationis

integrale assignari possit , Omnes aequationes qua inde derivare licet, integrari poterunt. At haec aequatio per a o multiplicata primo per integrationem ad disserentialem tertii ordinis reducitur: A11 -D- Const. In integrali autem ante inuento constantes ei, B, E, Dita definire licet, ut haec constans Const. evanescat, ideoque huius aequationis

integrale completum erit in nostra potestate. Nunc ponatur Ita μ' - ut sit vi , et Ob

Hoc II. Ddd aequa

402쪽

aequatio nostra hane induit Brmam ε

Scholion I.

IIa . Retenta autem illa constante per ita grationem ingressa , ut habeatur: MI ----α Gin integrali completo, quo I per X exprimitur sconstantes li, B , E , D quantitati huic G con miter determinari poterunti Nunc igitur ponatur dx -, ut sit em G. et -d Sideoque Id H. Vnde obtinetur haec aequatio differentialis secundi gradus:

bi consideratio elementi pro constante assumti est exuta. Nihil ergo impedit quo minus sumamus of pro

403쪽

Pro eonstante, fietque

quae ergo aequatio etiam integrari potest. Vel si ponamus v p et uu q, sumto elemento constante , prodibit haec aequatio et

Vel si in illa aequatione ponatur u H, erit ,

Quarum iurmarum integratio sine hoc subsidio maxi

me ardua videtur.

Problema r 6.

II S. Proposita aequatione ditarentiali ordinis 'ν euiuscunque a P o , ubi eleme itum ex toninnans est assumtum, eius integrale compIetum ia- vestigare.

Solutio.

Aequatio algebraica solutioni inseruiens , estae x o pro cuius resolutions duos cassis considerari conuenit, prout signum vel superius vel inserius aleat.

404쪽

et Prmulae a' Σ' factores reales sunta a zaz cos et zzἰ a a - 2 a z coc in . E a ;aa - 2a et cos ψ etc quorum ultimus est Vel aa - 2aacosra --ΣΣ velaa-aa Eco . - za , prout Vel n vel n - x fuerit numerus impar , atque illo quidem casu loco factoris quadrati a aq-2sa -- zz eiuS radix aq-zsumi debet. Hine istius aequationis integrale completum est

etc.

eulus expressionis, si v sit numerus impar, ultima pars fit Fre ' . Quod integrale etiam ita potest exhiberi

405쪽

CAPUT IL

quorum si a numerus par , vltimus est a--m si autem impar λ' aa-aazcos 2 UZ--ΣαQuare sequationis huius integrale eomplatum eff

etc.

quod integrale etiam ita exprimi potest :

quae Brma eousque est continuanda se quamdiu ter mini a prioribus diuersi prodeunt. D d d a Sch. 3

406쪽

sumto elemento dx constante , integrale completum inuenire.

Solutio

et in genere λ eh , facta substitutione peris enietur ad hanc aequationem , postquam scilicet per P diuiserimus: A-Bλ CV--Dλ --Eλ -- etc. Oex qua Valorem . ipsius λ definiri. Oportet. Hinc littera λ totidem valores obtinebit, quoti fuerit ordinis aequatio differentialis proposita , quorum singuli aequationi aeque satisfacient. Qui valores si sint α , β , , , δ etc. integralia quidem particularia erunta e etc.

Verum ex ipsa aequationis natura perspicuum est aggregata quotcunque horum valorum , ideoque etiam omnium perinde satisfacere. Cum igitur ag-Fregatum omnium: tot complectatur constantes arbitrarias S, T, E, Detc. quoti ordinis disserentialis est aequatio proposita, quintiare forma eius sit integrale completum , dubitari nequit. Dipili sed by Godsi e

407쪽

nequit. Ascendat aequatio di Srentialis ad gradum n t sit

atque integrale completum ex n partibus constabit squas ex resolutione huius aequationis algebraicae or dinis η , scilicet A H- B λ --C λ -D λ - ..... -- N U Odefiniri oportet. Singuli nimirum eius sectores siminplices partes illas patefacient, ita si factor sit α- λex eo integralis pars nascitur Re R. quae uti manissistum est ex integratione aequationis disserentialis simplicis αδ- o nascitur. Simili modo duo factores coniunctim

α- λὶ β-λὶ αβ θία - - β)λH-λλintegralis portionem 'le 'H- ab φ suppeditant, quae simul est integrale huius aequationis disserentialis secundi gradus Atque in genere si aequationis illius algebraicae st-ctor sit

ex hoc vicissim formetur aequatio disserentialis .

culus integrale completum si sit 3 P, id simul Vol. II. C c c erit

408쪽

erit pars integralis aequationis propositae. Atque hoc modo ex singul .s factoribus aequationis algebraicae A-Bλ--Cλ' -- Dλ -- --Nλio derivabuntur singulae partes integralis quaesiti, quae iunctae eius integrale com tum constituent, ita ut praecipuum negotium resolutioni huius aequationis innittatur.

Coroll. I.

xr 6. Si igitur istius aequationis algebraicae omnes sectores simplices ierint reales simulque inaequales , integratio nullam habet dissicultatem. Si enim Octor simplex sit fingλ, integralis pars inde

oriunda est ae . .

Coroll. 2.

xx div. si bini Ectores simplices sint aequales

inde oritur pars integralis e . E - - Η Σ' -- Sa 'ὶ , et ex Sctore biquadrato f gλῖ huiusmodi pars

et ita porro pro quotcunque Dctoribus aequalibus uti ex s. II 2o. colligere licet. CoroII. a. Diuitigod by Cooste

409쪽

II 28. Si factores occurrant imaginarii, bini eoniuncti exhibent factorem trinomium realem, cuius Drma ita repraesentatur Π-- an λ cos. ζ-ggλλ , unde deducitur λ -bscos. - V I. . ζὶ , quo cum *. IIII. collato sit et ν' M. Ex quo pars integralis ex tali factore oriunda Mit

Coroll. 6.

II 29. Si huiusmodi fiormae quadratum inter

factores Occurrat

410쪽

ex hoc sectore colligitur pars integralis

unde illae constantes Vtique determinantur , eritque pars integralis respondens:

IIIo. En ergo uniuersam methodum huiusmodi aequationum differentialium integralia inueniendi

ita in compendium contractam. Scribatur ut iste laterculus indicat . loco I

i scribatur I

l oriatur haec aequatio algebraica A in Ba Cet' Da --Ez'- .... -Nz α oculus Digiti ou by Cooste