장음표시 사용
421쪽
integrationes ad Valores simpliciores exponeatis naccommodatae ita se habebunt: L Aequationis υ-lamo integrale est et II. Aequationis aν- integrale est t
422쪽
1Ia . Quamuis methodus, qua hic sum Vsus, expedite integralia aequationum in proposita Erma contentarum suppeditet, a principiis tamen integra tionis omnino abhorret. Cum enim aequatio differentialis est altioris gradus, Ieges integrationis postu- Iant, ut toties seorsim integretur , antequam ad relationem finitam inter binas variabiles perueniatur , et dum singulae integrationes constantem arbitrariam recipiunt, hoc demum modo integrale completum
Obtinetur. Hactenus autem Una quasi Operatione integrale postremum eruimus, cum omnibus constantibus, quibus id completum redditur; reuera scilicet sola coniectura utentes plura integralia. particularia sumus adepti, atque natura aequitionis commode permisit, ut ex iis integrale compretum sermare Lee-Tet. Verum . si leges integrandi stridie obseruare velimus , proposita verbi gratia aequatione disterentialiquarti gradus, quadruplici integratione opus erit, quarum prima , ea reducatur ad aequationem differentialem tertii gradus , tum vero ista per nouam integrationem ad aequationem disserentialem secundi gradus, quae denuo integrata ad gradum primum Perducatur, haecque tandem iterum integrata relationem quaesitam inter binas variabiles patefaciat. Atque hoc modo etiam aequationum hic tractatarum2rmam reisuere licet, ut per Continuas integrationes ad gradus simpliciores redigatur , quibus tandem
eadem integralia , quae hic elicuimus, inueniantur. Cum
423쪽
UE Cum autem haec methodus latius pateat , quam ad Brmas hic consideratas, eiusque ope haec aequatio generalior integrari queat
denotante X functionem quamcunque ipsius x. tulreiluendae praecedens methodus minime sufficit , nouam methodum stritim ad hanc tamam generatiorem accommodabo.
424쪽
NVM DIFFERENTIALIUM HUIUS FORMAE
roposita aequatione differentiali
Sit P dx iste multiplicator quem quaerimus , et eum prius membrum X eo integrabile reddatur , eius rationem ex altero membro definiri oportet. Facile autem intelligitur, Ermam huius multiplicatoris P eiusmodi sere P , ita ut quantitas λ definiti
425쪽
finiri debeat. Sit ergo e G mlhanc formam: integrabilem esse oportet, cuius istatuatur
ita ut huius differentiale eum illa debeat, quod cum sit
426쪽
4 4 ubi ex ultima aequatione 'quantitas λ erui debet quae aequatio induit hanc formam :A Bλ--CM-Dλ -Eλ' - NU Ovnde cum λ sortiatur n valares, totidem quoque multiplicatores inueniuntur. videamus, quomodo hae determinationes proisingulis valoribus exponentis n se habeant.1 si urar ; erit A Bλ o, tum Vero
427쪽
atque ita porro Inuento autem hoc multiplicatore e dx prima aequationis membrum fit se X dx, et aequatio proposita . quae est disserentialis gradus ni per integra. tionem reducitur ad hanc uno gradu simpliciorem ν dA P - ν
II 39. Integratione ergo hac prima instituta .. aequatio proposita uno gradu deprimitux , et definitis coefficientibus A , S, P etc. ex superioribbus Drmulis aequatio integralis hac irma exhiber, potest: αδν dis d- W
428쪽
11 4 . Cum prius membrum e MV X daest functio ipsius x constantem arbitrariam inuoluens, si eius loco ponatur At, haec aequatio similem sormam habet atque ipsia proposita, ideoque eadem methodo iterum integrari et ad gradum ditarentia Iitatis n- 2 reduci potest , quae t iusmodi sotmam habebit: dν ' - .dis
II I. Hoc modo 'lterius progrediendo tandem ad aequationem disserentialem primi gradus pervenietur in Ul , quae si-.. mili modo ad aequationem finitam in Ainj, reducitur , qua relatio inter ipsas variabilcs x et 1
12 2. Haec igitur est methodus huiusmodi aequationes dictrentiales altiorum graduum successive Per gradus integrandi , ubi tot opus est integrationibus , quoti gradus diistrentialis fuerit ipsa aequatio Proposita. Totum ergo negotium situm est in inventione successiua coefficientium , quos ex praece dentibus ope multiplicat dis definiri oportet. In ge uere quidem lex, qua ii continuo ex antecedentibus
429쪽
o determinantur , non ita est perspicua, ut inde forma integrabilis extremi perspici possit, verum quia ex capite superiori nouimus casu , quo primum membrum X evanescit, etiam ultimum integraIe lege satis simplici contineri, idem hic usu venire merito suspicamur ; eamque legem facillime agnoscemus , si pedetentim a gradibus inferioribus ad altiores progrediamur. Ac primo quidem casu , quo Requa tio est disserentialis primi gradus X multiplicator erit e dx posito A - λB o , ut sit λαα ; et cum sit A B, integrale erit D X dx . Beh P seu e A se Xd B Ad hane similitudinem aequationes graduum altiorum euoluamus, ac λrmam integralis ultimi inue
11 4 a. Proposita aequatione disserentiali seeundi gradus
per duplicem integrationem relationem inter x et Iinuestigare.
Sit e dx multiplicator hanc aequationem peris integrabilem reddens, eritque A - Βλ cx o, tum sumatur να α B-Cλ et B sposit
430쪽
aequatio semel integrata est . . Iulus iam multiplicator sit e dae, erit lue: A et Te ac statuatur A ta zU; positoque habebimus XR' Ab, quile est aequatio bis integrata relationem quaesitam inter x et 3 eXprimens. Cum igitur hic sit Ass et: Bi et Bi C erit A in . Deinde loco Ai et D substitutis valoribus, aequatio δε - B μ. ci induti hanc Brmam rB-Cλ-CFι α o seu B-Cίλ- μ)mo ,
QT qua cum sit λ- ' patet λ- - μ sequarisiimmae binarum radi m ae quationis A-Bλ- Eo. Quoniam igitur λ eius una est radix , μ necessario eius alteram radicem denotat. Quare si ex aequatione proposita , uti in capite praecedente siccimus, hanc formemus aequationem A BQH-CΣz o , eius radices erunt ui λ et zz -μ. Seu si finoia
res eius statuamus C α Σ) β-Ha) litterae α et βpraebebunt valores λ et ita. Hinc cum sit