장음표시 사용
481쪽
II98. Num autem huius aequitionis disserentialis in infinitum excurrentis , X -ν-b- εγ - --μ εχ - ς' -- etc. denotante X, iunctionem quamcundie ipsius X, integrale commodius exprimi possit, quam Per partium illarum innumerabilium evanescentium sumis mam , quaestio est altioris indaginis , neque adhuc ad hunc scopum Analyseos fines satis Videnetur pro moti. Casibus quidem , quibus X est iunctio rationalis integra puta Xαa hae cx e res nullam habet dissicultatem , cum sumeo - λ αα--βX--γύ δX H-εar'. etc. -υhi coessicientes α , p, P etc. semper ita i definirὶ queant, v facta substitutione prodeat talis aequatio
482쪽
euidens est semper posito Iz, aequa- timem illam transformari in hanc:
099. En ergo praeter expectationem integrationem completam huius aequationis differentia. Iis in infinitum excurrentis I
Pro qua iam nouimus esse a X--HAe - cos xsin θ )quod postremum membrum ob angulos ζ et θ a hitrarios in infinitum multipIicari potest. Haecque forma maxime complicatae illi ex soIutione oriundaea nivalere est censenda.
12 O. Proposita hac aequatione disserentias
ubi quidem n sit numerus integer affirmativus , Ut terminorum numerus sit finitus, eius integrale completum inuestigare.
Formula algebraica hinc consideranda sit
483쪽
SI quae ergo meros habet finores simplices inter se aequales z--a Cum igitur sit -- ex ε. II 6 a. statim colligitur integrale quaesitum y a e UdUdae se X dx quoad signorum integralium numeru, aequetur ex ponenti R. Hanc autem formam sequenti modo in integralia simplicra resoluere licet, ope reductionis generalis qua esse nouimus
Cum igitur signorum integralium numerus sit 'η, concludimus fore ν----r a se X dx-- 'I Xaedae ----X Udx - ete. ubi eum singula integralia constantem arbitrariam implicent manifestum est , hoc integraIe esse completum. Μ m m a Coroll. I.
484쪽
Isto I. Si ergo esset X o aequationis disserentialis propositae integrale completum foret: Ax ΦΒ etc ΦΜx Ninvbi constantium arbitrariarum A, B, C etc. numerus utique est n.
Isto a. Si numerus n fuerit infinitus, simulque quantitas a capiatur infinita Vt si ara nc , ae quatio integranda in infinitum eΣcurret , eritque
aequatio autem integralis ad hunc casum applicata nullam lucem laeneIatur.
ipsius X, constat si loco X scibatur X--: , eam abire in :
quae cum esse debeat m X, vicissim patot a aequari ei functioni ipsius x quae nascitur ex X , si ibi loco x scribatur X- ζ. SchO-
485쪽
12O4. Quod quo facilius appareat obseruo si proposita fuerit quaecunque eiuSmodi aequatio
semper sine ulla integratione integrale particularo per approximationem hoc modo inueniri posse, statuatur έ - etc. fustaque substitutione habebitur:
quae si accommodentur ad casum problematis , fiet
486쪽
1 inc casu quo nα et a nc colligitur r
quae expressio etsi in infinitum excurrens mani sesto definit eam ipsius x iunctionem quae nascitur ex x si Ioco x scribatur Qiiod si iam hanc nouam iunctionem signo X indicemus ponamusque X vaequatio Coroll. a. abit in hanc :oαυ-R L
cuius integrale particulare quodcunque est QTAe-x existente n numero infinito, et in numero integro positivo.
Istos. Haec me deducunt ad sequentem speculationem circa serierum summationem. Sit nempestries quaecunque 1 2 a x
cuius terminus indici x respondens sit T iunctio quaecunque ipsius x. Statuatur summa omnium horum terminorum A -- B H- C in D --- I , ac perspicuum est 3 sore eiusmodi iunctionem ipsius x, ut si in ea loco x scribatur x-I, proditurae sit eadem illa summa a termino, vitiuio T mulctata , scilicet Disit zod by Gorale
487쪽
cilicet F-T. At loco κ scribendo x- I , lanctio νabit inrvnde oritur haec aequatio:
quae semel integrata posito fTdx α X fit
quam quomodo integrari conueniat videamus, dum eam aliquanto generaliorem reddemus.
Exos. Proposita hac aequatione disserentiali i
eius integrale completum inuestigare.
488쪽
Cum autem sit cos dinco et sin. an o , erit eoca Α-Iὶζ cos. 2ζ et sin a n- 1lζα - sin. ac ideoque
489쪽
'uae reducitur ad hane formam unde eoncluditur sicque est
quamdiu sunt angulo recto minores, at si n sit nu. merus par ad has partes insuper addi oportet irae Ve' φ X dx,
490쪽
xxo 3. Inuento integrali particulari quocunque V quod aequationi propositae satisfaciat, si ponamus deinceps F - VΦυ , Orietur haec aequatio
ex quo integrale com serum erit1 V--Ae' ' sin. α axsin. a ζJvItima hae parte secundum omnes valores ipsius cmultiplicata
Istost. si sumamus nzzoo et az η , ut haec prodeat aequatio differentialis in infinitum excurrens
erit F terminus summatorius progressionis, euius terminus generalis indici x respondens est