Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

511쪽

ubi variabilis a cum suis differentialibus nusquamnus una dimensione, altera vero x adeo nullam obtineat, eius integrale completum inuenire.

Solutio.

Particulariter huic aequationi satisfieri perspicimum est, si a certae ipsius x potestati aequetur, ponamus ergo esse et facta substitutions , cum ubique per H diuiserimus, perueniemus ad hanc aequationem

Vnde eXponentem μ. determinari oportet Vel si secundum praeceptum praec. Probi. eX aequatione proposita hanc sermemus formulam algebraicam τ

euidens est posito μ Σ- I , primae aequationi satisfieri sumendo μ. -α- I , Vel μ. - β-I, Vel μ. V -I etc. ita ut quisque fusior suppeditet integrale particulare. Cum igitur factoruin numerus acquctur gredui diseserentialium summo , hinc colligetur integrale completum aequationis propositae

512쪽

ubi tantum obseruari conuenit, si lactorum illorum simplicium duo pluresue suerint inter se aequales , integralis formam simili modo immutari debere quo supra cap. II. sum usus. Scilicet cum aequationes ibi tractatae ad praesentem sormam reuocentur, si ibi laco x scribatur Ix , inde has regulas haurimus. rὶ Si forma P sectorem habeat α - - a ', inde Irascitur pars integralisa Si forma P factorem habeat pars integralis inde orta est

Si factores occurrant imaginarii partes inde oriundae per solitam imaginariorum reductionem facile ad formam realem reuocabuntur , Uti in corollariis docebo.

Coroll. I.

xas . Si mrma P duos habeat factores simisplices imaginarios in Drmula D Ha acos contentos, hac cum Producto α - - a)ίβ--αὶ com-

Parata erit

513쪽

unde st

Est vero

ideoqile habetur

Quare cum x simili modo exprimatur mutato signo ipsius ν-I , ex factore duplici st-l-2j cos.θlzet haec nascitur pars integralis:

quae etiam ita potest repracsentarillae cos sa f sin. 4 lx) , denotante a angulum constantem arbitrarium.

Istas. Simili modo si Zrma P duos huius modi factores aequales inuoluat , ut sit α--Σ ' β Σ)' aDcos. --zzὶ', litterae οι et β , eosdem quos ante sortientur Va-IOres imaginarios ex quorum reductione colligitur haec pars integralis inde oriunda t' Ucosi ari, sinsisH-Tis.cos bin sin . Ex inquatuor constantes arbitrarias A, B , a et b con

514쪽

12 36. Hinc ergo euidens est , quomodo ex factoribus formae P, siue sint sim pices siue duplice, siue inaequales siue aequales singulas integralis partes assignari liadeque totum integrale completum formari conueniat.

123 . Totum ergo negotium huc redit, ut quantitas algebraica ex aequatione diss rentiali formata:

in suos factores reales vel simplices vel duplices re soluetur in quo plerumque maxima dissicultas ver satur, quoniam huiusmodi formae minus tractari sunt solitae. Cum vero haec resolutio isti aequationi cum generali, quam hoc capite euoluere suscepi est communis , quicquid hic praestare licuerit potius in aequatione generali ostendi conueniet ad quam resoluendam propterea reuertor. Id tantum hic Obseruasse necesse duco , quod si pro aequatione gene Tali X α Aν - η Ξ Ξ' a etc. undecunque innotuerit integrale particulare putasse V existente V certa functione ipsius X, tum posito I V--v perueniri ad hanc aequationem τ

cuius Di sitiroo by Corale

515쪽

cuius integrale completum per praecepta huius problematis iiiii ermim si loco vi scribatur , habebitur integrale completum illius aequationis, quo pacto certe insigne calculi compendium obtinetur.

Problema I 65.

eius integrale per integrationem n vicibus repetitam inuenire.

Solutio.

Ex hac aequatione formetur haec quantitas algebraicari A*B Σ-r μία - xyz-2J Φ.... ΦNίπ-Iὶ Σ-2).... z-nὶ cuius quaerantur omnes fastores simplices nullo ha hito respectu siue sint reale, siue imaginarii, Vt ea hoc modo exprimatur:

factorum numero existento n. Quo facto, initio huius capitis vidimus quemlibet factorem puta α-Fapraebere potestaten x', per quam nostra aequatio fiat integrabilis, atque adeo ostendimus, integrale inde ortum , si compendii gratia ponamus

516쪽

fore

ita ut sit A ' , ceterique coemcientes ita se habeant uti ibidem docuimus, hic autem sussiciet ad primum potissimum respexisse. Absoluta iam prima integratione si eadem lege ex aequatione semel integrata formemus quantitatem et cuius resolutio in factores iam ex prima norma P constat postquam f. Iaas. demonstraui esse

existente hie A Quod si hoe

modo tot integrationes successive absioluantur , quot unitates continentur in indice n , sicque omnes factores simplices formae P in usum vocentur, tandem ad Diuitigod by Cooste

517쪽

ad hanc peruenietur aequationem: X 'Τα At b, quae est ipsa integralis desiderata. Cum autem hic futurum sit

euidens est denominatorem nasci ex forma I si loco ascribatur unitas; tum autem sumto z I , prima 'forma manifesto dat P A, ita ut denominator iste fiat ideoque A ' ITN , quod etiam inde patet, quod omnium aequationum ultimi termini habeant eundem coessicientem N , quo ergo in postrema integrali ipse primus terminus I debet esse affectus. Deinde vero est X T 'M Ux fidae X dx ubi eum numeri α , β , V ete. Vtcunque inter se permutari possunt, integrale quaesitum etiam hoc modo repraesentari potest: --c Ix dcx ' dx D ' dxD'Xdm

Coroll. I.

. T239. Totum ergo negotium huc redit, ut inma algebraica

518쪽

hine integrale quaesitum facile exhibetur, et quidem pro sectorum varia permutatione pluribus modis , qui autem Omnes eundem valorem eurimunt, si ex sequentibus clarius patebit.

Ialo. Cum haec serma integralis inuenta tot Inuoluat integrationes, quoti gradus fuerit aequatio disserentialis proposita , totidem quoque constantes arbitrariae ingerentur , quemadmodum indoles integrationis completae postulat.

Ia I. Quoniam integrale inuentum pluribus Integrationibus est inuolutum , ad usum seciliorein conueniet hanc Brmam in partes resolui , quae singulae unicum tantum signum integrale contineant. Hanc autem resolutionem simili modo instituere licet, quo supra sumus usi , atque hic quidem totum negotium ad huiusmodi sermulam reuocatur Ix - - dx 'X , quae manifesto ita reducitur , ut sit I x 'UX - - I x X dxxbi iamcn Obseruandum est si sterit m n peculiari reductione Opus esse , hocque casi sere:

519쪽

49 Hac ergo regula utemur in reQlutione sequentium problematum , quibus successive omnes gradus disterentialium percurramus, praetermisso quidem gradu Primo, cum aequationis Ob

Problema

1 2 a. Proposita hac aequatione disserentiat secundi gradus: eius integrale per Brmulas, Integrales simplices

euoluere.

Solutio.

statuatur

520쪽

93 quae forma euoluitur in haner P IPI dx - isicque erit

Coroll. I.

Ia a. si ambo factores simplices sint narit, ponatur eritque a ficus θ V - r. sin. εὶ et g ficos θ-V- I. sin. θὶ indeque