Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

491쪽

CAPUT IV. 46s

Quamdiu ergo angulus -- est infinite paruus ob O 21 rx integralis pars quaelibet est :

H-cos 'P- - et irrae infe ' X dxsin. 2ιπαὶ et omissis evanescentibus r in cos. at x) fraxsin rietuF-si sal ρα cos ri παῖ si iam hic pro i successive omnes numeri integrix , a , 3 etc. substituantur omnium formularum hoc modo resultantium summa dabit verum et coinpletum valorem ipsius I.

12 IO. Pro aequatione autem proposita methodo ante indicata integrale Particulare perrentialium inuenire licet ponendo: seriem dictis

I AX facta enim substitutione reperitur:

cuius quidem striei difficile est legem progressio is

in genere assignare. erum pro casu n cia et a n,

qui imprimis in Doctrina progressionum est notata. dignus, hi coefficientes ita se habent.

492쪽

unde ea ipsa Drma oritur , quam Olim in genere pro termino summatorio dedi. Concesso autem hoc termino summatorio qui fit 'V probe notari conuenit aequationem a V tantum esse integrale particulare aequationis propositae, completum vero faciIe exhiberi , si modo ad V addantur omnes huiusmodi formulae Asin. α -- αι rae), pro i scribendo successive omnes numeros V, adi, a , etc. bi pro quolibet angulus α pro arbitrio assumi potest. Quod autem singuli hi valores aequationi

satisfaciant, ita facillime ostenditur. Posito breuitatis gratia Ei r m Vt sit Q sin. αH-m xl et facta substitutione fieri debet insin. a nψ 1 in P, - etc.λ sin. α πx Isin .m

Cum autem sit m et i π manifesto est tam sin. m taci

Problema I 6 I.

12 II. Proposita hac aequatione disserentisi:

eius integrale completum inuestigare.

Solutio.

493쪽

cuius factor quicunque trinomialis estata a et a cos ac la Ersumendo

Haec autem Hrma abit in i at i ocaζγba e cos adet aasin. Φ xcos qui factor generalis repraesentetur hoc modo

sicque comparatio cum forma generali

494쪽

ideoque Q. Quocirca ob cos θ o, ia-tegralis pars ex hoc factore oriunda est I

quamdiu sunt recto minores, pro quibus ibi alternatim -- et scribi oportet; haeque partes omnes in unam summam collectie dabunt valorem completum ipsius y , dummodo pro ultima parte exangulo ζ I oriunda, quod euenit si n numerus impar, eius tantum semissis capiatur. DIL R. Disit iroo by Coos e

495쪽

I 2Ia. Accommodemus haec statim ad eam mn et a nc , Ut proposita sit haec aequatio disserentialis

Cum igitur hic valores ipsius ζ sint infinite parui.

erit cos. ζ et tang. s. ae ε ae

quaecunque :st a c sin. ωf X aeae cos. ω - eos V X sin. ωὶ ubi signa ambigua sibi mutuo respondeat.

Coroll. 2.

IIII. si tantum angulus I ex ponatur integrale uniuersum ita erit expressum τ

quae Brmulae in infinitum sunt continuandae.

496쪽

Iax . si ponamus cmbV-1 , habeaturhaee aequatio infinitar .

ae iam angulum Ibx vocemus vi erit integrato. mpletum

. Scholion.

reperiemus hos coessicientium valorest

Nicque valor si ponatur m V , vocato angulo ex sp erit integrale completum:

497쪽

Problema i62.

12IG. Proposita aequatione disserentialit

s. a πτὰ - - . v et Olc eius integrale completum inuestigare.

Solutio.

Quantitas algebra:ca hinc formandar '

cum ex praecedente nascatur si ibi laco et a ser M.tur u , tumio anno Io e i ' i , lactor quicunque erit ac tangsea, ita t huius loriTae omnes factores simplices sint reales. I cc ergo iactore cum formula α--Σ comparato, orit m satang ζ , et sumto N WA posito et ''α , trit in Iegralis pars ex hoe factore oriunda be 'e X dae. Quia vero Peuanescit posito x in ta urit quoque at est differentiando:

Quia igitur poni oportet V tang. ζ. V - x erit

498쪽

Iam obstruetur esse sin. nr sin. Et -- I I , i vhi signum superius valet si i numerus par , inferius si imparὶ tum vero cos. η o, Unde fit sin. η- a)ζα cos. ζ, ex quo conficitur

quoad angulum rectum non superent , atque omnes istae partes in unam summam collectae, dabunt in. tegrale completum seu Valorem ipsius I.

xa II. si ponamus n ois et a nc, aequatio proposita in infinitum excurrit, eritque X 'l' πα -- -- -- et et Prma algebraica inde nata

quae omnes factores simplices habet reales, et ob ζinfinite paruum erit tang. ζ α ζ': π, indeque factorum Drma generalis , i famaeae ποῦς seu I in . . CorolI a.

499쪽

Coroll. 2.

32I3. Ponatur breuitatis gratia angulus et: θ , erita a tang. ζ Moc , tum vero cos. ζα x et S tam cc, ex quo integralis pars quaecunque erit: - αρ ec σε φον εφφηxdae ubi pro θ successive omnes hos angulos scribi oportet

Coroll. 3.

xxx ς. Perinde hic est siue cc negative suo positive capiatur, hine istius aequationis differentialis infinitae

integrale erit Ima brev=γμ . X dae ioco θ scribendo successive omnes hos angulos, ambiguitate signi iam sublata

vnde si X α o integrale particulare quodvis est

500쪽

Problema I iis

Iasto. Proposita aequatione differentialit

eius integrale completum inuestigare.

Solutio.

Etsi haec aequatio in dae ducta sponte semet integratur, praestat tamen hanc formam retinere, unde fit

quae manifesto ita exhiberi potest

cuius quidem statim unus factor se osteri z; reliqui vero in hac forma continentur:

sumto anguIo istu hacte vero forma abit in . .:

unde patet in genere factorem mm ac tang. ζ' Σ , quae etiam primum illum a compi ctitur sumtoi Q. Hinc posito satang. ζ' α, integral.s pars huic factori respondens erit: '