Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

71쪽

unde lacto ν- ux prodit qX p nu TU, itat iunctio unius dimensionis ipsarum p et u et

ideoque I - α xjc. At si n si numerus nev tiuus integratio etiam anguIos impIicabit.

Coroll. r.

8or. Si si mo, huius aequationis xx γυώδε Integrale complatum erit JU-20 g, qui cinis

72쪽

3o a. si sit ηza, aequationis xxώλυώθlaadae' integrale completum est yx' - Uxν g. Idem euenit si loco νίn--r in scribatur -a, fit enim μ' - g, et J-20 gae', utraque redit ad

Exemplum 2.

dix qua fit

73쪽

unde tum ume quam x per eandem variabilem edeterminatur.

Exemplum

Corollarium.

74쪽

quae facto a ux et q Z transit ita hanc

lutio non sponte patet. Calculum autem ad angulose reuocando sit pTtang. p et u tang. ω erit o Hrς

75쪽

Coroll. I.

So8. Eodem autem casu no, quo constans αnon sumitur infinita, fractioniS cui aequatur, numerator commode est differentiale denominatoris ;vnde fit

76쪽

Scholion r.

denominatoris est

77쪽

numeratorem. Ita ut sit

Scholion 2.

8xo. At si numerus n sit tunitate maior, haec integratio fit imaginaria , quod incommodum ut tes- latur, notandum est aequationis d p inte grate esse :

78쪽

I unde reperitur: ita ut ex angulo η definiantur anguli O , ψ et is. Cum iam sit

x coi. O e M vnn - I)-Hiin. pM-r an-De εὶ ubi iterum commode euenit , ut numerator sit. lysum disserentiale denominatoris , quemadmodum di ferentiationem instituenti mox patebit. Hinc ergo erit .ma cos: M'ν ηη-I ,sesin. p an )ὶ seux incocta H-a -ne ) et Ob a aetatang. ω fit stata a sin. ta ocirca ex angulo e primo quaeratur angulus φ, ut sit sin. ψ

ac formulae illae pro x et a inuentae dabunt integrale completum ob duas constantes a et α introductas.

scholion a.

79쪽

Scholion I. -

8 . Cum hie praecipua pars Integrationis Pr-tuito successisse videatur , Operae praetium erit in eius causiam inquirere , num sorte ratio integrandiciarius perspici queat. Cum igitur sit rei hincquem aequatio. ob cos. O cos q/ cos. ω-sin. . sin. ω in tres has re2luitur

Induit hanc formam integrabilam et

ex qua elicitur : res ob Izax X tang. En ergo in genere aequationise nostrae hanc integrationem. , Anguli ae et cla hanc inter se teneant relationem ; ut sit :dωα et , , , tum vero erit

Quodsi

80쪽

vnde angulus ae per a definitur. Ad irrationalitatem tollendam, si ponamus V maz-s a 'dis ηαεα-a) fit

et diu '

quae integratio est manifesta.

Problema 99

8r a. si aequatio disserentio - disserentialis tum demum fiat homogenea, si alteri variabili s tribuantur n dimensiones, eius integrationem ad aequationem differentialem primi gradus reducere.

Solutio.

Posito pdx et qdae, t oriatur ae quatio inter quaternas quantitates finitas X, ' , pet g , quae quomodo ratione homogeneitatis futura sit comparata , Videamus. Primo ergo cum pro X nam dimensionem numerando, variabilis a ha at ndimensiones, quantitati Ii tribuendae sunt n- 1 dimen-Dihil irco by Cooste